MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23 12143
Description: Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))

Proof of Theorem ltdiv23
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 gt0ne0 11717 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰  0)
31, 2jca 510 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0))
4 redivcl 11971 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
543expb 1117 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
63, 5sylan2 591 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
763adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
8 simp3 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
9 simp2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
10 ltmul1 12102 . . . 4 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ต)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1368 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ต)))
12113adant3r 1178 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ต)))
13 recn 11236 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1413adantr 479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 recn 11236 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615ad2antrl 726 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
172adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
1814, 16, 17divcan1d 12029 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
19183adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
2019breq1d 5162 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต)))
21 remulcl 11231 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
2221ancoms 457 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
2322adantrr 715 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
24233adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
25 ltdiv1 12116 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
2624, 25syld3an2 1408 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
27 recn 11236 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2827adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
29 gt0ne0 11717 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
3028, 29jca 510 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
31 divcan3 11936 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
32313expb 1117 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
3315, 30, 32syl2an 594 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
34333adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
3534breq2d 5164 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
3626, 35bitrd 278 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
37363adant2r 1176 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
3812, 20, 373bitrd 304 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146   ยท cmul 11151   < clt 11286   / cdiv 11909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910
This theorem is referenced by:  ltdiv23i  12176  divlt1lt  13083  ltdiv23d  13123  divrcnv  15838  prmind2  16663  lebnumii  24912  bposlem2  27238  pntibndlem1  27542  stoweidlem7  45424
  Copyright terms: Public domain W3C validator