MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23 12106
Description: Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))

Proof of Theorem ltdiv23
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 gt0ne0 11680 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰  0)
31, 2jca 511 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0))
4 redivcl 11934 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
543expb 1117 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
63, 5sylan2 592 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
763adant3 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
8 simp3 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
9 simp2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
10 ltmul1 12065 . . . 4 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ต)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1368 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ต)))
12113adant3r 1178 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ต)))
13 recn 11199 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1413adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 recn 11199 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615ad2antrl 725 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
172adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
1814, 16, 17divcan1d 11992 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
19183adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
2019breq1d 5151 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต)))
21 remulcl 11194 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
2221ancoms 458 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
2322adantrr 714 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
24233adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
25 ltdiv1 12079 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
2624, 25syld3an2 1408 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
27 recn 11199 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
29 gt0ne0 11680 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
3028, 29jca 511 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
31 divcan3 11899 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
32313expb 1117 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
3315, 30, 32syl2an 595 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
34333adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
3534breq2d 5153 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
3626, 35bitrd 279 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
37363adant2r 1176 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
3812, 20, 373bitrd 305 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   < clt 11249   / cdiv 11872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by:  ltdiv23i  12139  divlt1lt  13046  ltdiv23d  13086  divrcnv  15801  prmind2  16626  lebnumii  24842  bposlem2  27168  pntibndlem1  27472  stoweidlem7  45277
  Copyright terms: Public domain W3C validator