MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv23 11523
Description: Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 gt0ne0 11097 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
31, 2jca 515 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4 redivcl 11351 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
543expb 1117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
63, 5sylan2 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
763adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
10 ltmul1 11482 . . . 4 (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) < (𝐶 · 𝐵)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1368 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) < (𝐶 · 𝐵)))
12113adant3r 1178 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) < (𝐶 · 𝐵)))
13 recn 10619 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1413adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 recn 10619 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
1615ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
172adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
1814, 16, 17divcan1d 11409 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
19183adant3 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
2019breq1d 5062 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐶 · 𝐵)))
21 remulcl 10614 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
2221ancoms 462 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
2322adantrr 716 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
24233adant1 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
25 ltdiv1 11496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
2624, 25syld3an2 1408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
27 recn 10619 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
2827adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
29 gt0ne0 11097 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
3028, 29jca 515 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
31 divcan3 11316 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
32313expb 1117 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
3315, 30, 32syl2an 598 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
34333adant1 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
3534breq2d 5064 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) < ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
3626, 35bitrd 282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
37363adant2r 1176 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
3812, 20, 373bitrd 308 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  (class class class)co 7145  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529   · cmul 10534   < clt 10667   / cdiv 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290
This theorem is referenced by:  ltdiv23i  11556  divlt1lt  12451  ltdiv23d  12491  divrcnv  15203  prmind2  16023  lebnumii  23567  bposlem2  25865  pntibndlem1  26169  stoweidlem7  42512
  Copyright terms: Public domain W3C validator