Theorem ltdiv23 12013

Description: Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv23	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Proof of Theorem ltdiv23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4		redivcl 11840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
10		ltmul1 11971	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) < (𝐶 · 𝐵)))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) < (𝐶 · 𝐵)))
12	11	3adant3r 1182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) < (𝐶 · 𝐵)))
13		recn 11096	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		recn 11096	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
18	14, 16, 17	divcan1d 11898	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
19	18	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
20	19	breq1d 5101	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) < (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐶 · 𝐵)))
21		remulcl 11091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
22	21	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
23	22	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
24	23	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
25		ltdiv1 11986	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
26	24, 25	syld3an2 1413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
27		recn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
29		gt0ne0 11582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
30	28, 29	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
31		divcan3 11802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
32	31	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
33	15, 30, 32	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
34	33	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
35	34	breq2d 5103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) < ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
36	26, 35	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
37	36	3adant2r 1180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
38	12, 20, 37	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006   · cmul 11011   < clt 11146   / cdiv 11774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775

This theorem is referenced by:  ltdiv23i  12046  divlt1lt  12961  ltdiv23d  13001  divrcnv  15759  prmind2  16596  lebnumii  24893  bposlem2  27224  pntibndlem1  27528  stoweidlem7  46051