Theorem recsexd 28136

Description: A non-zero surreal has a reciprocal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
recsexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
recsexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
recsexd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s )

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem recsexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recsexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		recsexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )
3		recsex 28135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s )
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ∃wrex 3066  (class class class)co 7424   No csur 27591   0_s c0s 27773   1_s c1s 27774   ·_s cmuls 28024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-dc 10475

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-nadd 8691  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sle 27696  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-0s 27775  df-1s 27776  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796  df-norec 27873  df-norec2 27884  df-adds 27895  df-negs 27952  df-subs 27953  df-muls 28025  df-divs 28106

This theorem is referenced by:  divsmuld  28138  divscan2d  28141  divscan1d  28142  sltdivmuld  28143  sltdivmul2d  28144  sltmuldivd  28145  sltmuldiv2d  28146  divsassd  28147