MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recsexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recsexd 28069
Description: A non-zero surreal has a reciprocal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
recsexd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
recsexd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0s )
Assertion
Ref Expression
recsexd (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem recsexd
StepHypRef Expression
1 recsexd.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2 recsexd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0s )
3 recsex 28068 . 2 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ด โ‰  0s ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
41, 2, 3syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  (class class class)co 7404   No csur 27524   0s c0s 27706   1s c1s 27707   ยทs cmuls 27957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-dc 10440
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-nadd 8664  df-no 27527  df-slt 27528  df-bday 27529  df-sle 27629  df-sslt 27665  df-scut 27667  df-0s 27708  df-1s 27709  df-made 27725  df-old 27726  df-left 27728  df-right 27729  df-norec 27806  df-norec2 27817  df-adds 27828  df-negs 27885  df-subs 27886  df-muls 27958  df-divs 28039
This theorem is referenced by:  divsmuld  28071  divscan2d  28074  divscan1d  28075  sltdivmuld  28076  sltdivmul2d  28077  sltmuldivd  28078  sltmuldiv2d  28079  divsassd  28080
  Copyright terms: Public domain W3C validator