Theorem pw2ltdivmulsd 28442

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2ltdivmulsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2ltdivmulsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2ltdivmulsd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2ltdivmulsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s ((2s↑s𝑁) ·s 𝐵)))

Proof of Theorem pw2ltdivmulsd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2ltdivmulsd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2ltdivmulsd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2no 28411	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2ltdivmulsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28423	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2nns 28410	. . . . 5 ⊢ 2s ∈ ℕs
8		nnsgt0 28331	. . . . 5 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0s <s 2s
10		expsgt0 28429	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑁))
11	3, 9, 10	mp3an13 1455	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑁))
12	4, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s (2s↑s𝑁))
13		pw2recs 28430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
14	4, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
15	1, 2, 6, 12, 14	ltdivmulswd 28191	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s ((2s↑s𝑁) ·s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367   No csur 27603   <s clts 27604   0_s c0s 27797   1_s c1s 27798   ·_s cmuls 28098   /_su cdivs 28179  ℕ_0scn0s 28304  ℕ_scnns 28305  2_sc2s 28402  ↑_scexps 28404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-1s 27800  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec 27930  df-norec2 27941  df-adds 27952  df-negs 28013  df-subs 28014  df-muls 28099  df-divs 28180  df-seqs 28276  df-n0s 28306  df-nns 28307  df-zs 28371  df-2s 28403  df-exps 28405

This theorem is referenced by:  pw2ltsdiv1d  28444  avglts2d  28446