Theorem elnnzs 28418

Description: Positive surreal integer property expressed in terms of integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elnnzs	⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Proof of Theorem elnnzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnno 28341	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No )
2		orc 873	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
3		nnsgt0 28356	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 0s <s 𝑁)
4	1, 2, 3	jca31 519	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
5		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ ℕs))
6		negscl 28053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
8		0no 27826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0s ∈ No
9		ltnegs 28062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
10	8, 9	mpan 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
11		neg0s 28043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
12	11	breq2i 5087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s )
13	10, 12	bitrdi 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s ))
14	13	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) <s 0s )
15		ltsasym 27737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((( -us ‘𝑁) ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
16	8, 15	mpan2 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ No → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
17	7, 14, 16	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁))
18		nnsgt0 28356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs → 0s <s ( -us ‘𝑁))
19	17, 18	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)
20		gt0ne0s 27835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ≠ 0s )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ≠ 0s )
22	21	neneqd 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0s )
23		ioran 991	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∧ ¬ 𝑁 = 0s ))
24	19, 22, 23	sylanbrc 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
25	24	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) → 𝑁 ∈ ℕs))
26	5, 25	jaod 865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs))
27	26	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs)))
28	27	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕs)))
29	28	imp31 418	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕs)
30	4, 29	impbii 210	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
31		elzs2 28416	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
32		3orcomb 1099	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
33		3orass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
34	32, 33	bitri 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
35	34	anbi2i 629	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
36	31, 35	bitri 276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
37	36	anbi1i 630	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
38	30, 37	bitr4i 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∨ w3o 1091   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492   No csur 27628   <s clts 27629   0_s c0s 27822   -u_s cnegs 28036  ℕ_scnns 28330  ℤ_sczs 28395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-nadd 8599  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-les 27734  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-0s 27824  df-1s 27825  df-made 27844  df-old 27845  df-left 27847  df-right 27848  df-norec 27955  df-norec2 27966  df-adds 27977  df-negs 28038  df-subs 28039  df-n0s 28331  df-nns 28332  df-zs 28396

This theorem is referenced by: (None)