Theorem elnnzs 28570

Description: Positive surreal integer property expressed in terms of integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elnnzs	⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Proof of Theorem elnnzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnno 28493	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No )
2		orc 880	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
3		nnsgt0 28508	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 0s <s 𝑁)
4	1, 2, 3	jca31 523	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
5		idd 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ ℕs))
6		negscl 28205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
7	6	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
8		0no 27978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0s ∈ No
9		ltnegs 28214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
10	8, 9	mpan 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
11		neg0s 28195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
12	11	breq2i 5116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s )
13	10, 12	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s ))
14	13	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) <s 0s )
15		ltsasym 27888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((( -us ‘𝑁) ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
16	8, 15	mpan2 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ No → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
17	7, 14, 16	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁))
18		nnsgt0 28508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs → 0s <s ( -us ‘𝑁))
19	17, 18	nsyl 141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)
20		gt0ne0s 27987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ≠ 0s )
21	20	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ≠ 0s )
22	21	neneqd 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0s )
23		ioran 999	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∧ ¬ 𝑁 = 0s ))
24	19, 22, 23	sylanbrc 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
25	24	pm2.21d 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) → 𝑁 ∈ ℕs))
26	5, 25	jaod 872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs))
27	26	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs)))
28	27	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕs)))
29	28	imp31 422	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕs)
30	4, 29	impbii 212	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
31		elzs2 28568	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
32		3orcomb 1108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
33		3orass 1104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
34	32, 33	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
35	34	anbi2i 634	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
36	31, 35	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
37	36	anbi1i 635	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
38	30, 37	bitr4i 281	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536   No csur 27780   <s clts 27781   0_s c0s 27974   -u_s cnegs 28188  ℕ_scnns 28482  ℤ_sczs 28547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-nadd 8651  df-no 27783  df-lts 27784  df-bday 27785  df-les 27885  df-slts 27927  df-cuts 27929  df-0s 27976  df-1s 27977  df-made 27996  df-old 27997  df-left 27999  df-right 28000  df-norec 28107  df-norec2 28118  df-adds 28129  df-negs 28190  df-subs 28191  df-n0s 28483  df-nns 28484  df-zs 28548

This theorem is referenced by: (None)