Theorem elnnzs 28387

Description: Positive surreal integer property expressed in terms of integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elnnzs	⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Proof of Theorem elnnzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsno 28329	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No )
2		orc 868	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
3		nnsgt0 28342	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 0s <s 𝑁)
4	1, 2, 3	jca31 514	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
5		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ ℕs))
6		negscl 28068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
8		0sno 27871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0s ∈ No
9		sltneg 28077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
10	8, 9	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
11		negs0s 28058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
12	11	breq2i 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s )
13	10, 12	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s ))
14	13	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) <s 0s )
15		sltasym 27793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((( -us ‘𝑁) ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
16	8, 15	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ No → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
17	7, 14, 16	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁))
18		nnsgt0 28342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs → 0s <s ( -us ‘𝑁))
19	17, 18	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)
20		sgt0ne0 27879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ≠ 0s )
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ≠ 0s )
22	21	neneqd 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0s )
23		ioran 986	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∧ ¬ 𝑁 = 0s ))
24	19, 22, 23	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
25	24	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) → 𝑁 ∈ ℕs))
26	5, 25	jaod 860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs))
27	26	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs)))
28	27	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕs)))
29	28	imp31 417	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕs)
30	4, 29	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
31		elzs2 28385	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
32		3orcomb 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
33		3orass 1090	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
34	32, 33	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
35	34	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
36	31, 35	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
37	36	anbi1i 624	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
38	30, 37	bitr4i 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561   No csur 27684   <s cslt 27685   0_s c0s 27867   -u_s cnegs 28051  ℕ_scnns 28319  ℤ_sczs 28364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-1s 27870  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27971  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-negs 28053  df-subs 28054  df-n0s 28320  df-nns 28321  df-zs 28365

This theorem is referenced by: (None)