Theorem elnnzs 28402

Description: Positive surreal integer property expressed in terms of integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elnnzs	⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Proof of Theorem elnnzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsno 28344	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No )
2		orc 867	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
3		nnsgt0 28357	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 0s <s 𝑁)
4	1, 2, 3	jca31 514	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
5		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ ℕs))
6		negscl 28083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
8		0sno 27886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0s ∈ No
9		sltneg 28092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
10	8, 9	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
11		negs0s 28073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
12	11	breq2i 5156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s )
13	10, 12	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s ))
14	13	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) <s 0s )
15		sltasym 27808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((( -us ‘𝑁) ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
16	8, 15	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ No → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
17	7, 14, 16	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁))
18		nnsgt0 28357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs → 0s <s ( -us ‘𝑁))
19	17, 18	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)
20		sgt0ne0 27894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ≠ 0s )
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ≠ 0s )
22	21	neneqd 2943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0s )
23		ioran 985	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∧ ¬ 𝑁 = 0s ))
24	19, 22, 23	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
25	24	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) → 𝑁 ∈ ℕs))
26	5, 25	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs))
27	26	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs)))
28	27	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕs)))
29	28	imp31 417	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕs)
30	4, 29	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
31		elzs2 28400	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
32		3orcomb 1093	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
33		3orass 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
34	32, 33	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
35	34	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
36	31, 35	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
37	36	anbi1i 624	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
38	30, 37	bitr4i 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563   No csur 27699   <s cslt 27700   0_s c0s 27882   -u_s cnegs 28066  ℕ_scnns 28334  ℤ_sczs 28379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-1s 27885  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069  df-n0s 28335  df-nns 28336  df-zs 28380

This theorem is referenced by: (None)