Theorem elnnzs 28405

Description: Positive surreal integer property expressed in terms of integers. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elnnzs	⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Proof of Theorem elnnzs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsno 28347	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ No )
2		orc 866	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
3		nnsgt0 28360	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 0s <s 𝑁)
4	1, 2, 3	jca31 514	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
5		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ ℕs))
6		negscl 28086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) ∈ No )
8		0sno 27889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0s ∈ No
9		sltneg 28095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ No ) → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
10	8, 9	mpan 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s )))
11		negs0s 28076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
12	11	breq2i 5174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -us ‘𝑁) <s ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s )
13	10, 12	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 ↔ ( -us ‘𝑁) <s 0s ))
14	13	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ( -us ‘𝑁) <s 0s )
15		sltasym 27811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((( -us ‘𝑁) ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
16	8, 15	mpan2 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ No → (( -us ‘𝑁) <s 0s → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁)))
17	7, 14, 16	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 0s <s ( -us ‘𝑁))
18		nnsgt0 28360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs → 0s <s ( -us ‘𝑁))
19	17, 18	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)
20		sgt0ne0 27897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ≠ 0s )
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ≠ 0s )
22	21	neneqd 2951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0s )
23		ioran 984	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (¬ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∧ ¬ 𝑁 = 0s ))
24	19, 22, 23	sylanbrc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ¬ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
25	24	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) → 𝑁 ∈ ℕs))
26	5, 25	jaod 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s <s 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs))
27	26	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ No → ( 0s <s 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → 𝑁 ∈ ℕs)))
28	27	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) → ( 0s <s 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕs)))
29	28	imp31 417	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕs)
30	4, 29	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
31		elzs2 28403	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)))
32		3orcomb 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
33		3orass 1090	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
34	32, 33	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
35	34	anbi2i 622	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -us ‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
36	31, 35	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
37	36	anbi1i 623	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ (( -us ‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))) ∧ 0s <s 𝑁))
38	30, 37	bitr4i 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs ↔ (𝑁 ∈ ℤs ∧ 0s <s 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573   No csur 27702   <s cslt 27703   0_s c0s 27885   -u_s cnegs 28069  ℕ_scnns 28337  ℤ_sczs 28382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-nadd 8722  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sle 27808  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-0s 27887  df-1s 27888  df-made 27904  df-old 27905  df-left 27907  df-right 27908  df-norec 27989  df-norec2 28000  df-adds 28011  df-negs 28071  df-subs 28072  df-n0s 28338  df-nns 28339  df-zs 28383

This theorem is referenced by: (None)