MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsopr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltsopr 11072
Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsopr <P Or P

Proof of Theorem ltsopr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssirr 4103 . . . 4 ¬ 𝑥𝑥
2 ltprord 11070 . . . 4 ((𝑥P𝑥P) → (𝑥<P 𝑥𝑥𝑥))
31, 2mtbiri 327 . . 3 ((𝑥P𝑥P) → ¬ 𝑥<P 𝑥)
43anidms 566 . 2 (𝑥P → ¬ 𝑥<P 𝑥)
5 psstr 4107 . . 3 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
6 ltprord 11070 . . . . . 6 ((𝑥P𝑦P) → (𝑥<P 𝑦𝑥𝑦))
763adant3 1133 . . . . 5 ((𝑥P𝑦P𝑧P) → (𝑥<P 𝑦𝑥𝑦))
8 ltprord 11070 . . . . . 6 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦<P 𝑧𝑦𝑧))
983adant1 1131 . . . . 5 ((𝑥P𝑦P𝑧P) → (𝑦<P 𝑧𝑦𝑧))
107, 9anbi12d 632 . . . 4 ((𝑥P𝑦P𝑧P) → ((𝑥<P 𝑦𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑧)))
11 ltprord 11070 . . . . 5 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥<P 𝑧𝑥𝑧))
12113adant2 1132 . . . 4 ((𝑥P𝑦P𝑧P) → (𝑥<P 𝑧𝑥𝑧))
1310, 12imbi12d 344 . . 3 ((𝑥P𝑦P𝑧P) → (((𝑥<P 𝑦𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧) ↔ ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)))
145, 13mpbiri 258 . 2 ((𝑥P𝑦P𝑧P) → ((𝑥<P 𝑦𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧))
15 psslinpr 11071 . . 3 ((𝑥P𝑦P) → (𝑥𝑦𝑥 = 𝑦𝑦𝑥))
16 biidd 262 . . . 4 ((𝑥P𝑦P) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦))
17 ltprord 11070 . . . . 5 ((𝑦P𝑥P) → (𝑦<P 𝑥𝑦𝑥))
1817ancoms 458 . . . 4 ((𝑥P𝑦P) → (𝑦<P 𝑥𝑦𝑥))
196, 16, 183orbi123d 1437 . . 3 ((𝑥P𝑦P) → ((𝑥<P 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦<P 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑥 = 𝑦𝑦𝑥)))
2015, 19mpbird 257 . 2 ((𝑥P𝑦P) → (𝑥<P 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦<P 𝑥))
214, 14, 20issoi 5628 1 <P Or P
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1086  w3a 1087  wcel 2108  wpss 3952   class class class wbr 5143   Or wor 5591  Pcnp 10899  <P cltp 10903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-mi 10914  df-lti 10915  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-ltp 11025
This theorem is referenced by:  ltapr  11085  addcanpr  11086  suplem2pr  11093  ltsosr  11134
  Copyright terms: Public domain W3C validator