Theorem ltsopr 11089

Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopr	⊢ <P Or P

Proof of Theorem ltsopr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssirr 4050	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ⊊ 𝑥
2		ltprord 11087	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑥<P 𝑥 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑥))
3	1, 2	mtbiri 330	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → ¬ 𝑥<P 𝑥)
4	3	anidms 577	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ P → ¬ 𝑥<P 𝑥)
5		psstr 4055	. . 3 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑧)
6		ltprord 11087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑦))
7	6	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑦))
8		ltprord 11087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑧))
9	8	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑧))
10	7, 9	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧)))
11		ltprord 11087	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑧 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑧))
12	11	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑧 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑧))
13	10, 12	imbi12d 347	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧) ↔ ((𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑧)))
14	5, 13	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧))
15		psslinpr 11088	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 ⊊ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ⊊ 𝑥))
16		biidd 265	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
17		ltprord 11087	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑥))
18	17	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑥))
19	6, 16, 18	3orbi123d 1463	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦<P 𝑥) ↔ (𝑥 ⊊ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ⊊ 𝑥)))
20	15, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦<P 𝑥))
21	4, 14, 20	issoi 5591	1 ⊢ <P Or P

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊊ wpss 3899   class class class wbr 5102   Or wor 5554  Pcnp 10916  <_P cltp 10920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-ni 10929  df-mi 10931  df-lti 10932  df-ltpq 10967  df-enq 10968  df-nq 10969  df-ltnq 10975  df-np 11038  df-ltp 11042

This theorem is used by:  ltapr  11102  addcanpr  11103  suplem2pr  11110  ltsosr  11151