Theorem ltsopr 11044

Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopr	⊢ <P Or P

Proof of Theorem ltsopr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssirr 4054	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ⊊ 𝑥
2		ltprord 11042	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑥<P 𝑥 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑥))
3	1, 2	mtbiri 330	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → ¬ 𝑥<P 𝑥)
4	3	anidms 577	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ P → ¬ 𝑥<P 𝑥)
5		psstr 4059	. . 3 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑧)
6		ltprord 11042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑦))
7	6	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑦))
8		ltprord 11042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑧))
9	8	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑧))
10	7, 9	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧)))
11		ltprord 11042	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑧 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑧))
12	11	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑧 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑧))
13	10, 12	imbi12d 347	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧) ↔ ((𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑧)))
14	5, 13	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧))
15		psslinpr 11043	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 ⊊ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ⊊ 𝑥))
16		biidd 265	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
17		ltprord 11042	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑥))
18	17	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑥))
19	6, 16, 18	3orbi123d 1463	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦<P 𝑥) ↔ (𝑥 ⊊ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ⊊ 𝑥)))
20	15, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦<P 𝑥))
21	4, 14, 20	issoi 5603	1 ⊢ <P Or P

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊊ wpss 3903   class class class wbr 5107   Or wor 5566  Pcnp 10871  <_P cltp 10875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-ni 10884  df-mi 10886  df-lti 10887  df-ltpq 10922  df-enq 10923  df-nq 10924  df-ltnq 10930  df-np 10993  df-ltp 10997

This theorem is used by:  ltapr  11057  addcanpr  11058  suplem2pr  11065  ltsosr  11106