Theorem ltsopr 11046

Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopr	⊢ <P Or P

Proof of Theorem ltsopr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssirr 4078	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ⊊ 𝑥
2		ltprord 11044	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑥<P 𝑥 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑥))
3	1, 2	mtbiri 327	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → ¬ 𝑥<P 𝑥)
4	3	anidms 566	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ P → ¬ 𝑥<P 𝑥)
5		psstr 4082	. . 3 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑧)
6		ltprord 11044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑦))
7	6	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑦))
8		ltprord 11044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑧))
9	8	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑧))
10	7, 9	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧)))
11		ltprord 11044	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑧 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑧))
12	11	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑧 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑧))
13	10, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧) ↔ ((𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑧)))
14	5, 13	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧))
15		psslinpr 11045	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 ⊊ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ⊊ 𝑥))
16		biidd 262	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
17		ltprord 11044	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑥))
18	17	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑥))
19	6, 16, 18	3orbi123d 1437	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦<P 𝑥) ↔ (𝑥 ⊊ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ⊊ 𝑥)))
20	15, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦<P 𝑥))
21	4, 14, 20	issoi 5597	1 ⊢ <P Or P

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ⊊ wpss 3927   class class class wbr 5119   Or wor 5560  Pcnp 10873  <_P cltp 10877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ni 10886  df-mi 10888  df-lti 10889  df-ltpq 10924  df-enq 10925  df-nq 10926  df-ltnq 10932  df-np 10995  df-ltp 10999

This theorem is referenced by:  ltapr  11059  addcanpr  11060  suplem2pr  11067  ltsosr  11108