Theorem ltsopr 10142

Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopr	⊢ <P Or P

Proof of Theorem ltsopr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssirr 3904	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ⊊ 𝑥
2		ltprord 10140	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑥<P 𝑥 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑥))
3	1, 2	mtbiri 319	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → ¬ 𝑥<P 𝑥)
4	3	anidms 563	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ P → ¬ 𝑥<P 𝑥)
5		psstr 3908	. . 3 ⊢ ((𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑧)
6		ltprord 10140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑦))
7	6	3adant3 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑦))
8		ltprord 10140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑧))
9	8	3adant1 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑧))
10	7, 9	anbi12d 625	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧)))
11		ltprord 10140	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑧 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑧))
12	11	3adant2 1162	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥<P 𝑧 ↔ 𝑥 ⊊ 𝑧))
13	10, 12	imbi12d 336	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧) ↔ ((𝑥 ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ 𝑧) → 𝑥 ⊊ 𝑧)))
14	5, 13	mpbiri 250	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∧ 𝑦<P 𝑧) → 𝑥<P 𝑧))
15		psslinpr 10141	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 ⊊ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ⊊ 𝑥))
16		biidd 254	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
17		ltprord 10140	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑥))
18	17	ancoms 451	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑦<P 𝑥 ↔ 𝑦 ⊊ 𝑥))
19	6, 16, 18	3orbi123d 1560	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥<P 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦<P 𝑥) ↔ (𝑥 ⊊ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ⊊ 𝑥)))
20	15, 19	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥<P 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦<P 𝑥))
21	4, 14, 20	issoi 5264	1 ⊢ <P Or P

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∨ w3o 1107   ∧ w3a 1108   ∈ wcel 2157   ⊊ wpss 3770   class class class wbr 4843   Or wor 5232  Pcnp 9969  <_P cltp 9973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-ni 9982  df-mi 9984  df-lti 9985  df-ltpq 10020  df-enq 10021  df-nq 10022  df-ltnq 10028  df-np 10091  df-ltp 10095

This theorem is referenced by:  ltapr  10155  addcanpr  10156  suplem2pr  10163  ltsosr  10203