Theorem ltsubsubs2bd 28258

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubsubsbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltsubsubsbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltsubsubsbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltsubsubsbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
ltsubsubs2bd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem ltsubsubs2bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubsubsbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
2		ltsubsubsbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	subscld 28237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 -s 𝐶) ∈ No )
4		ltsubsubsbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		ltsubsubsbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
6	4, 5	subscld 28237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
7	3, 6	ltnegsd 28221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) <s ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶))))
8	4, 5	negsubsdi2d 28254	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) = (𝐴 -s 𝐵))
9	1, 2	negsubsdi2d 28254	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶)) = (𝐶 -s 𝐷))
10	8, 9	breq12d 5123	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘(𝐵 -s 𝐴)) <s ( -us ‘(𝐷 -s 𝐶)) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))
11	7, 10	bitr2d 283	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   No csur 27785   <s clts 27786   -u_s cnegs 28193   -_s csubs 28194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-1o 8454  df-2o 8455  df-nadd 8653  df-no 27788  df-lts 27789  df-bday 27790  df-les 27890  df-slts 27932  df-cuts 27934  df-0s 27981  df-made 28001  df-old 28002  df-left 28004  df-right 28005  df-norec 28112  df-norec2 28123  df-adds 28134  df-negs 28195  df-subs 28196

This theorem is referenced by:  ltsubsubs3bd  28259  lesubsubs2bd  28261  mulsproplem5  28294  mulsproplem7  28296  mulsproplem8  28297  mulsproplem12  28301  sltmuls1  28321  sltmuls2  28322