Theorem ltsubsubsbd 28356

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubsubsbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltsubsubsbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltsubsubsbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltsubsubsbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
ltsubsubsbd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

Proof of Theorem ltsubsubsbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubsubsbd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltsubsubsbd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		npcans 28348	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
5		ltsubsubsbd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6		npcans 28348	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
7	1, 5, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
8	4, 7	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵))
9	5, 2	addscomd 28240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
10	9	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
11		ltsubsubsbd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
12	5, 11	subsvald 28334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐷)))
13	12	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶))
14	11	negscld 28310	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐷) ∈ No )
15	5, 14, 2	adds32d 28280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
17	2, 11	subsvald 28334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐷)))
18	17	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵))
19	2, 14, 5	adds32d 28280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
20	18, 19	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
21	10, 16, 20	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵))
22	8, 21	breq12d 5120	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
23	1, 2	subscld 28336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
24	5, 11	subscld 28336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
25	23, 24, 2	ltadds1d 28271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶)))
26	1, 5	subscld 28336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
27	2, 11	subscld 28336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) ∈ No )
28	26, 27, 5	ltadds1d 28271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
29	22, 25, 28	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   No csur 27884   <s clts 27885   +_s cadds 28232   -u_s cnegs 28292   -_s csubs 28293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-nadd 8658  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-0s 28080  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104  df-norec 28211  df-norec2 28222  df-adds 28233  df-negs 28294  df-subs 28295

This theorem is used by:  ltsubsubs3bd  28358  lesubsubs3bd  28361  mulsproplem6  28394  mulsproplem7  28395  mulsproplem8  28396