Theorem ltsubsubsbd 28474

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubsubsbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
ltsubsubsbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
ltsubsubsbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
ltsubsubsbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
ltsubsubsbd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐶) <s (𝐵 −s 𝐷) ↔ (𝐴 −s 𝐵) <s (𝐶 −s 𝐷)))

Proof of Theorem ltsubsubsbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubsubsbd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		ltsubsubsbd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
3		npcans 28466	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 −s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
5		ltsubsubsbd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
6		npcans 28466	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 −s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
7	1, 5, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
8	4, 7	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐶) +s 𝐶) = ((𝐴 −s 𝐵) +s 𝐵))
9	5, 2	addscomd 28358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
10	9	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐷)) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -s‘𝐷)))
11		ltsubsubsbd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No)
12	5, 11	subsvald 28452	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −s 𝐷) = (𝐵 +s ( -s‘𝐷)))
13	12	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s ( -s‘𝐷)) +s 𝐶))
14	11	negscld 28428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐷) ∈ No)
15	5, 14, 2	adds32d 28398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s ( -s‘𝐷)) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -s‘𝐷)))
17	2, 11	subsvald 28452	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 −s 𝐷) = (𝐶 +s ( -s‘𝐷)))
18	17	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 −s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s ( -s‘𝐷)) +s 𝐵))
19	2, 14, 5	adds32d 28398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s ( -s‘𝐷)) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -s‘𝐷)))
20	18, 19	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 −s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -s‘𝐷)))
21	10, 16, 20	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐶 −s 𝐷) +s 𝐵))
22	8, 21	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 −s 𝐷) +s 𝐶) ↔ ((𝐴 −s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 −s 𝐷) +s 𝐵)))
23	1, 2	subscld 28454	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐶) ∈ No)
24	5, 11	subscld 28454	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −s 𝐷) ∈ No)
25	23, 24, 2	ltadds1d 28389	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐶) <s (𝐵 −s 𝐷) ↔ ((𝐴 −s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 −s 𝐷) +s 𝐶)))
26	1, 5	subscld 28454	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) ∈ No)
27	2, 11	subscld 28454	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 −s 𝐷) ∈ No)
28	26, 27, 5	ltadds1d 28389	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐵) <s (𝐶 −s 𝐷) ↔ ((𝐴 −s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 −s 𝐷) +s 𝐵)))
29	22, 25, 28	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐶) <s (𝐵 −s 𝐷) ↔ (𝐴 −s 𝐵) <s (𝐶 −s 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   <s clts 28003   +_s cadds 28350   -_scnegs 28410   −_s csubs 28411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-1o 8479  df-2o 8480  df-nadd 8678  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-les 28107  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221  df-right 28222  df-norec 28329  df-norec2 28340  df-adds 28351  df-negs 28412  df-subs 28413

This theorem is used by:  ltsubsubs3bd  28476  lesubsubs3bd  28479  mulsproplem6  28512  mulsproplem7  28513  mulsproplem8  28514