Theorem ltsubsubsbd 28089

Description: Equivalence for the surreal less-than relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 6-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubsubsbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltsubsubsbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltsubsubsbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltsubsubsbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
ltsubsubsbd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

Proof of Theorem ltsubsubsbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubsubsbd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltsubsubsbd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		npcans 28081	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐴)
5		ltsubsubsbd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6		npcans 28081	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
7	1, 5, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
8	4, 7	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) = ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵))
9	5, 2	addscomd 27973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
10	9	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
11		ltsubsubsbd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
12	5, 11	subsvald 28067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) = (𝐵 +s ( -us ‘𝐷)))
13	12	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶))
14	11	negscld 28043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐷) ∈ No )
15	5, 14, 2	adds32d 28013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
16	13, 15	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐵 +s 𝐶) +s ( -us ‘𝐷)))
17	2, 11	subsvald 28067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐷)))
18	17	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵))
19	2, 14, 5	adds32d 28013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s ( -us ‘𝐷)) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
20	18, 19	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵) = ((𝐶 +s 𝐵) +s ( -us ‘𝐷)))
21	10, 16, 20	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) = ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵))
22	8, 21	breq12d 5099	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
23	1, 2	subscld 28069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
24	5, 11	subscld 28069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
25	23, 24, 2	ltadds1d 28004	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐶) +s 𝐶) <s ((𝐵 -s 𝐷) +s 𝐶)))
26	1, 5	subscld 28069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
27	2, 11	subscld 28069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) ∈ No )
28	26, 27, 5	ltadds1d 28004	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s ((𝐶 -s 𝐷) +s 𝐵)))
29	22, 25, 28	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) <s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) <s (𝐶 -s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   No csur 27617   <s clts 27618   +_s cadds 27965   -u_s cnegs 28025   -_s csubs 28026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8398  df-2o 8399  df-nadd 8595  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-les 27723  df-slts 27764  df-cuts 27766  df-0s 27813  df-made 27833  df-old 27834  df-left 27836  df-right 27837  df-norec 27944  df-norec2 27955  df-adds 27966  df-negs 28027  df-subs 28028

This theorem is referenced by:  ltsubsubs3bd  28091  lesubsubs3bd  28094  mulsproplem6  28127  mulsproplem7  28128  mulsproplem8  28129