Theorem metustbl 24760

Description: The "section" image of an entourage at a point 𝑃 always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
metustbl	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑃,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem metustbl

Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
3		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → 𝑤 ⊆ 𝑉)
4		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
5	4	elrnmpt 5953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))))
6	5	elv 3463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
7	6	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
8	7	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
9		sseq1 3965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝑤 ⊆ 𝑉 ↔ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
10	9	biimpcd 252	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑉 → (𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
11	10	reximdv 3183	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑉 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
12	3, 8, 11	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
13	2	ne0d 4298	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
15		metuel 24758	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)))
16	15	simplbda 505	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)
17	13, 1, 14, 16	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)
18	12, 17	r19.29a 3176	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
19		imass1 6108	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
20	19	reximi 3106	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
21		blval2 24756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}))
22	21	sseq1d 3971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
23	22	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
24	23	rexbidva 3190	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
25	20, 24	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
26	25	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
27	1, 2, 18, 26	syl21anc 851	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
28		blssexps 24620	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
29	28	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
30	27, 29	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594   ↦ cmpt 5197   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665  ran crn 5667   “ cima 5669  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13392  PsMetcpsmet 21543  ballcbl 21546  metUnifcmetu 21550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13396  df-psmet 21551  df-bl 21554  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-metu 21558

This theorem is used by:  psmetutop  24761