MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustbl 24579
Description: The "section" image of an entourage at a point 𝑃 always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
metustbl ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑃,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem metustbl
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simp3 1139 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃𝑋)
3 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑤𝑉)
4 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
54elrnmpt 5969 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟))))
65elv 3485 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
76biimpi 216 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
87ad2antlr 727 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
9 sseq1 4009 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝑤𝑉 ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
109biimpcd 249 . . . . . 6 (𝑤𝑉 → (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
1110reximdv 3170 . . . . 5 (𝑤𝑉 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
123, 8, 11sylc 65 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
132ne0d 4342 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
15 metuel 24577 . . . . . 6 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)))
1615simplbda 499 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)
1713, 1, 14, 16syl21anc 838 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)
1812, 17r19.29a 3162 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
19 imass1 6119 . . . . . 6 ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
2019reximi 3084 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
21 blval2 24575 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}))
2221sseq1d 4015 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
23223expa 1119 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2423rexbidva 3177 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2520, 24imbitrrid 246 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2625imp 406 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
271, 2, 18, 26syl21anc 838 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
28 blssexps 24436 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
29283adant2 1132 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
3027, 29mpbird 257 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  ccnv 5684  ran crn 5686  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +crp 13034  [,)cico 13389  PsMetcpsmet 21348  ballcbl 21351  metUnifcmetu 21355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-psmet 21356  df-bl 21359  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-metu 21363
This theorem is referenced by:  psmetutop  24580
  Copyright terms: Public domain W3C validator