Theorem metustbl 22696

Description: The "section" image of an entourage at a point 𝑃 always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
metustbl	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑃,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem metustbl

Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1167	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		simp3 1169	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
3		simpr 478	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → 𝑤 ⊆ 𝑉)
4		vex 3386	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑤 ∈ V
5		eqid 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
6	5	elrnmpt 5574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
8	7	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
9	8	ad2antlr 719	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
10		sseq1 3820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝑤 ⊆ 𝑉 ↔ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
11	10	biimpcd 241	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑉 → (𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
12	11	reximdv 3194	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑉 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
13	3, 9, 12	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
14	2	ne0d 4120	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
15		simp2 1168	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
16		metuel 22694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)))
17	16	simplbda 494	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)
18	14, 1, 15, 17	syl21anc 867	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)
19	13, 18	r19.29a 3257	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
20		imass1 5715	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
21	20	reximi 3189	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
22		blval2 22692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}))
23	22	sseq1d 3826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
24	23	3expa 1148	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
25	24	rexbidva 3228	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
26	21, 25	syl5ibr 238	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
27	26	imp 396	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
28	1, 2, 19, 27	syl21anc 867	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
29		blssexps 22556	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
30	29	3adant2 1162	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
31	28, 30	mpbird 249	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2969  ∃wrex 3088  Vcvv 3383   ⊆ wss 3767  ∅c0 4113  {csn 4366   ↦ cmpt 4920   × cxp 5308  ^◡ccnv 5309  ran crn 5311   “ cima 5313  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  0cc0 10222  ℝ⁺crp 12070  [,)cico 12422  PsMetcpsmet 20049  ballcbl 20052  metUnifcmetu 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-ico 12426  df-psmet 20057  df-bl 20060  df-fbas 20062  df-fg 20063  df-metu 20064

This theorem is referenced by:  psmetutop  22697