Theorem metustbl 24594

Description: The "section" image of an entourage at a point 𝑃 always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
metustbl	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑃,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem metustbl

Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → 𝑤 ⊆ 𝑉)
4		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
5	4	elrnmpt 5971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))))
6	5	elv 3482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
7	6	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
8	7	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
9		sseq1 4020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝑤 ⊆ 𝑉 ↔ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
10	9	biimpcd 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑉 → (𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
11	10	reximdv 3167	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑉 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
12	3, 8, 11	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
13	2	ne0d 4347	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
15		metuel 24592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)))
16	15	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)
17	13, 1, 14, 16	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)
18	12, 17	r19.29a 3159	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
19		imass1 6121	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
20	19	reximi 3081	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
21		blval2 24590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}))
22	21	sseq1d 4026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
23	22	3expa 1117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
24	23	rexbidva 3174	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
25	20, 24	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
26	25	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
27	1, 2, 18, 26	syl21anc 838	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
28		blssexps 24451	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
29	28	3adant2 1130	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
30	27, 29	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  {csn 4630   ↦ cmpt 5230   × cxp 5686  ^◡ccnv 5687  ran crn 5689   “ cima 5691  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  ℝ⁺crp 13031  [,)cico 13385  PsMetcpsmet 21365  ballcbl 21368  metUnifcmetu 21372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-psmet 21373  df-bl 21376  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-metu 21380

This theorem is referenced by:  psmetutop  24595