Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustbl 22741
 Description: The "section" image of an entourage at a point 𝑃 always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
metustbl ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑃,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem metustbl
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1172 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simp3 1174 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃𝑋)
3 simpr 479 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑤𝑉)
4 vex 3417 . . . . . . . 8 𝑤 ∈ V
5 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
65elrnmpt 5605 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟))))
74, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
87biimpi 208 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
98ad2antlr 720 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
10 sseq1 3851 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝑤𝑉 ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
1110biimpcd 241 . . . . . 6 (𝑤𝑉 → (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
1211reximdv 3224 . . . . 5 (𝑤𝑉 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
133, 9, 12sylc 65 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
142ne0d 4151 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
15 simp2 1173 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
16 metuel 22739 . . . . . 6 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)))
1716simplbda 495 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)
1814, 1, 15, 17syl21anc 873 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)
1913, 18r19.29a 3288 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
20 imass1 5741 . . . . . 6 ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
2120reximi 3219 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
22 blval2 22737 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}))
2322sseq1d 3857 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
24233expa 1153 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2524rexbidva 3259 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2621, 25syl5ibr 238 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2726imp 397 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
281, 2, 19, 27syl21anc 873 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
29 blssexps 22601 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
30293adant2 1167 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
3128, 30mpbird 249 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  {csn 4397   ↦ cmpt 4952   × cxp 5340  ◡ccnv 5341  ran crn 5343   “ cima 5345  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  ℝ+crp 12112  [,)cico 12465  PsMetcpsmet 20090  ballcbl 20093  metUnifcmetu 20097 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ico 12469  df-psmet 20098  df-bl 20101  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-metu 20105 This theorem is referenced by:  psmetutop  22742
 Copyright terms: Public domain W3C validator