Theorem metustbl 24503

Description: The "section" image of an entourage at a point 𝑃 always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
metustbl	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑃,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem metustbl

Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → 𝑤 ⊆ 𝑉)
4		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
5	4	elrnmpt 5938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))))
6	5	elv 3464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
7	6	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
8	7	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))
9		sseq1 3984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝑤 ⊆ 𝑉 ↔ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
10	9	biimpcd 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑉 → (𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
11	10	reximdv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑉 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
12	3, 8, 11	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤 ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
13	2	ne0d 4317	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
15		metuel 24501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)))
16	15	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)
17	13, 1, 14, 16	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤 ⊆ 𝑉)
18	12, 17	r19.29a 3148	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
19		imass1 6088	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
20	19	reximi 3074	. . . . 5 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
21		blval2 24499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}))
22	21	sseq1d 3990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
23	22	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
24	23	rexbidva 3162	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
25	20, 24	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
26	25	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (◡𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
27	1, 2, 18, 26	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
28		blssexps 24363	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
29	28	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
30	27, 29	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653  ran crn 5655   “ cima 5657  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  ℝ⁺crp 13006  [,)cico 13362  PsMetcpsmet 21297  ballcbl 21300  metUnifcmetu 21304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ico 13366  df-psmet 21305  df-bl 21308  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-metu 21312

This theorem is referenced by:  psmetutop  24504