MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustbl 24082
Description: The "section" image of an entourage at a point 𝑃 always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
metustbl ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑃,π‘Ž   𝑉,π‘Ž   𝑋,π‘Ž

Proof of Theorem metustbl
Dummy variables π‘Ÿ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
2 simp3 1138 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
3 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑉)
4 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ))) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))
54elrnmpt 5955 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ))))
65elv 3480 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ))) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))
76biimpi 215 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))
87ad2antlr 725 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))
9 sseq1 4007 . . . . . . 7 (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑉 ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) βŠ† 𝑉))
109biimpcd 248 . . . . . 6 (𝑀 βŠ† 𝑉 β†’ (𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) βŠ† 𝑉))
1110reximdv 3170 . . . . 5 (𝑀 βŠ† 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑀 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) βŠ† 𝑉))
123, 8, 11sylc 65 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))) ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) βŠ† 𝑉)
132ne0d 4335 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
14 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·))
15 metuel 24080 . . . . . 6 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ↔ (𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))𝑀 βŠ† 𝑉)))
1615simplbda 500 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))𝑀 βŠ† 𝑉)
1713, 1, 14, 16syl21anc 836 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)))𝑀 βŠ† 𝑉)
1812, 17r19.29a 3162 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) βŠ† 𝑉)
19 imass1 6100 . . . . . 6 ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) βŠ† 𝑉 β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) β€œ {𝑃}) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃}))
2019reximi 3084 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) βŠ† 𝑉 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) β€œ {𝑃}) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃}))
21 blval2 24078 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) β€œ {𝑃}))
2221sseq1d 4013 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃}) ↔ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) β€œ {𝑃}) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})))
23223expa 1118 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃}) ↔ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) β€œ {𝑃}) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})))
2423rexbidva 3176 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃}) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) β€œ {𝑃}) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})))
2520, 24imbitrrid 245 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) βŠ† 𝑉 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})))
2625imp 407 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ÿ)) βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃}))
271, 2, 18, 26syl21anc 836 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃}))
28 blssexps 23939 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})))
29283adant2 1131 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})))
3027, 29mpbird 256 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ (metUnifβ€˜π·) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† (𝑉 β€œ {𝑃})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„+crp 12976  [,)cico 13328  PsMetcpsmet 20934  ballcbl 20937  metUnifcmetu 20941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ico 13332  df-psmet 20942  df-bl 20945  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-metu 20949
This theorem is referenced by:  psmetutop  24083
  Copyright terms: Public domain W3C validator