MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustbl 24566
Description: The "section" image of an entourage at a point 𝑃 always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
metustbl ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑃,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem metustbl
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simp3 1135 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃𝑋)
3 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑤𝑉)
4 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
54elrnmpt 5962 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟))))
65elv 3468 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
76biimpi 215 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
87ad2antlr 725 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
9 sseq1 4005 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝑤𝑉 ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
109biimpcd 248 . . . . . 6 (𝑤𝑉 → (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
1110reximdv 3160 . . . . 5 (𝑤𝑉 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
123, 8, 11sylc 65 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
132ne0d 4338 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
15 metuel 24564 . . . . . 6 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)))
1615simplbda 498 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)
1713, 1, 14, 16syl21anc 836 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)
1812, 17r19.29a 3152 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
19 imass1 6111 . . . . . 6 ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
2019reximi 3074 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
21 blval2 24562 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}))
2221sseq1d 4011 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
23223expa 1115 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2423rexbidva 3167 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2520, 24imbitrrid 245 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2625imp 405 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
271, 2, 18, 26syl21anc 836 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
28 blssexps 24423 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
29283adant2 1128 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
3027, 29mpbird 256 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  Vcvv 3462  wss 3947  c0 4325  {csn 4633  cmpt 5236   × cxp 5680  ccnv 5681  ran crn 5683  cima 5685  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  +crp 13028  [,)cico 13380  PsMetcpsmet 21327  ballcbl 21330  metUnifcmetu 21334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ico 13384  df-psmet 21335  df-bl 21338  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-metu 21342
This theorem is referenced by:  psmetutop  24567
  Copyright terms: Public domain W3C validator