MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustbl 23091
Description: The "section" image of an entourage at a point 𝑃 always contains a ball (centered on this point). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
metustbl ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑃,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem metustbl
Dummy variables 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simp3 1132 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑃𝑋)
3 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑤𝑉)
4 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
54elrnmpt 5827 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟))))
65elv 3505 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
76biimpi 217 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
87ad2antlr 723 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)))
9 sseq1 3996 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝑤𝑉 ↔ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
109biimpcd 250 . . . . . 6 (𝑤𝑉 → (𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
1110reximdv 3278 . . . . 5 (𝑤𝑉 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑤 = (𝐷 “ (0[,)𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉))
123, 8, 11sylc 65 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))) ∧ 𝑤𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
132ne0d 4305 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14 simp2 1131 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷))
15 metuel 23089 . . . . . 6 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ↔ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)))
1615simplbda 500 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)
1713, 1, 14, 16syl21anc 835 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑟)))𝑤𝑉)
1812, 17r19.29a 3294 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉)
19 imass1 5962 . . . . . 6 ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
2019reximi 3248 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
21 blval2 23087 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}))
2221sseq1d 4002 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
23223expa 1112 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2423rexbidva 3301 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ((𝐷 “ (0[,)𝑟)) “ {𝑃}) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2520, 24syl5ibr 247 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
2625imp 407 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐷 “ (0[,)𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
271, 2, 18, 26syl21anc 835 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃}))
28 blssexps 22951 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
29283adant2 1125 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
3027, 29mpbird 258 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ (metUnif‘𝐷) ∧ 𝑃𝑋) → ∃𝑎 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑎𝑎 ⊆ (𝑉 “ {𝑃})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144  Vcvv 3500  wss 3940  c0 4295  {csn 4564  cmpt 5143   × cxp 5552  ccnv 5553  ran crn 5555  cima 5557  cfv 6352  (class class class)co 7148  0cc0 10526  +crp 12379  [,)cico 12730  PsMetcpsmet 20445  ballcbl 20448  metUnifcmetu 20452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ico 12734  df-psmet 20453  df-bl 20456  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-metu 20460
This theorem is referenced by:  psmetutop  23092
  Copyright terms: Public domain W3C validator