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Theorem hbtlem2 42168
Description: Leading coefficient ideals are ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem2.t 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
hbtlem2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∈ 𝑇)
Proof of Theorem hbtlem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 hbtlem.u . . 3 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
3 hbtlem.s . . 3 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . . 3 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
51, 2, 3, 4hbtlem1 42167 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
6 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
76, 2lidlss 20978 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
873ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
98sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜π‘)
11 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1210, 6, 1, 11coe1f 21954 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜π‘):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
139, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (coe1β€˜π‘):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
14 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
1513, 14ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
16 eleq1a 2828 . . . . . . 7 (((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1817adantld 491 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1918rexlimdva 3155 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
2019abssdv 4065 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
211ply1ring 21990 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
22213ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
23 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
24 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
252, 24lidl0cl 20984 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
2622, 23, 25syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
274, 1, 24deg1z 25829 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
28273ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
29 nn0ssre 12480 . . . . . . . . . 10 β„•0 βŠ† ℝ
30 ressxr 11262 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
3129, 30sstri 3991 . . . . . . . . 9 β„•0 βŠ† ℝ*
32 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
3331, 32sselid 3980 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
34 mnfle 13118 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ 𝑋)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ -∞ ≀ 𝑋)
3628, 35eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋)
37 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
381, 24, 37coe1z 22005 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = (β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
39383ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = (β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
4039fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹) = ((β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘‹))
41 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
4241fvconst2 7207 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ ((β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘‹) = (0gβ€˜π‘…))
43423ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘‹) = (0gβ€˜π‘…))
4440, 43eqtr2d 2773 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))
45 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)))
4645breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋))
47 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)))
4847fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))
4948eqeq2d 2743 . . . . . . . 8 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ ((0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹)))
5046, 49anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))))
5150rspcev 3612 . . . . . 6 (((0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
5226, 36, 44, 51syl12anc 835 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
53 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
5453anbi2d 629 . . . . . . 7 (π‘Ž = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
5554rexbidv 3178 . . . . . 6 (π‘Ž = (0gβ€˜π‘…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
5641, 55elab 3668 . . . . 5 ((0gβ€˜π‘…) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
5752, 56sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
5857ne0d 4335 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} β‰  βˆ…)
5922adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
60 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
621, 61, 11, 6ply1sclf 22027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 ∈ Ring β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
63623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
65 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6664, 65ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
67 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ 𝑓 ∈ 𝐼)
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑓 ∈ 𝐼)
69 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
702, 6, 69lidlmcl 20989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ 𝐼)
7159, 60, 66, 68, 70syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ 𝐼)
72 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐼)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐼)
74 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
752, 74lidlacl 20985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ 𝐼 ∧ 𝑔 ∈ 𝐼)) β†’ ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) ∈ 𝐼)
7659, 60, 71, 73, 75syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) ∈ 𝐼)
77 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
788adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
7978, 68sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
806, 69ringcl 20144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8159, 66, 79, 80syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8278, 73sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
83 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
8431, 83sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
854, 1, 6deg1xrcl 25824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ∈ ℝ*)
8681, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ∈ ℝ*)
874, 1, 6deg1xrcl 25824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
8879, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
894, 1, 11, 6, 69, 61deg1mul3le 25858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ≀ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“))
9077, 65, 79, 89syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ≀ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“))
91 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
9386, 88, 84, 90, 92xrletrd 13145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ≀ 𝑋)
94 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)
961, 4, 77, 6, 74, 81, 82, 84, 93, 95deg1addle2 25844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋)
97 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
981, 6, 74, 97coe1addfv 22007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹) = (((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
9977, 81, 82, 83, 98syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹) = (((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
100 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1011, 6, 11, 61, 69, 100coe1sclmulfv 22025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹) = (𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
10277, 65, 79, 83, 101syl121anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹) = (𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
103102oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
10499, 103eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))
105 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)))
106105breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋))
107 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)))
108107fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))
109108eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹)))
110106, 109anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))))
111110rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
11276, 96, 104, 111syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
113 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ V
114 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
115114anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
116115rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
117113, 116elab 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
118112, 117sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
119118exp45 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))))
120119imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})))
121120exp5c 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑓 ∈ 𝐼 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (𝑔 ∈ 𝐼 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})))))
122121imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (𝑔 ∈ 𝐼 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))))
123122imp41 426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
124 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
125124eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹) β†’ (((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
126123, 125syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ (𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
127126expimpd 454 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐼) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
128127rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
129128alrimiv 1930 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ βˆ€π‘’(βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
130 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
131130anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
132131rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
133 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑔 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”))
134133breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑔 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))
135 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑔 β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜π‘”))
136135fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑔 β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹))
137136eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑔 β†’ (𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
138134, 137anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑔 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹))))
139138cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
140132, 139bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹))))
141140ralab 3687 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆ€π‘’(βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
142129, 141sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
143 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) = (𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
144143oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒))
145144eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ (((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
146145ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
147142, 146syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
148147expimpd 454 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
149148rexlimdva 3155 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
150149alrimiv 1930 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
151 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
152151anbi2d 629 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
153152rexbidv 3178 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
154 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑓 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“))
155154breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑓 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋))
156 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑓 β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜π‘“))
157156fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑓 β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))
158157eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑓 β†’ (𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
159155, 158anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑓 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))))
160159cbvrexvw 3235 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
161153, 160bitrdi 286 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))))
162161ralab 3687 . . . . 5 (βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆ€π‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
163150, 162sylibr 233 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
164163ralrimiva 3146 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
165 hbtlem2.t . . . 4 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
166165, 11, 97, 100islidl 20981 . . 3 ({π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ∈ 𝑇 ↔ ({π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
16720, 58, 164, 166syl3anbrc 1343 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ∈ 𝑇)
1685, 167eqeltrd 2833 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  LIdealclidl 20928  algSccascl 21626  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   deg1 cdg1 25793  ldgIdlSeqcldgis 42165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-cnfld 21145  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25794  df-deg1 25795  df-ldgis 42166
This theorem is referenced by:  hbtlem7  42169  hbtlem6  42173
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