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Theorem hbtlem2 41851
Description: Leading coefficient ideals are ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem2.t 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
hbtlem2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∈ 𝑇)
Proof of Theorem hbtlem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 hbtlem.u . . 3 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
3 hbtlem.s . . 3 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . . 3 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
51, 2, 3, 4hbtlem1 41850 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
6 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
76, 2lidlss 20825 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
873ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
98sselda 3981 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜π‘)
11 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1210, 6, 1, 11coe1f 21726 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜π‘):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
139, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (coe1β€˜π‘):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
14 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
1513, 14ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
16 eleq1a 2828 . . . . . . 7 (((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1817adantld 491 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1918rexlimdva 3155 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
2019abssdv 4064 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
211ply1ring 21761 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
22213ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
23 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
24 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
252, 24lidl0cl 20827 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
2622, 23, 25syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
274, 1, 24deg1z 25596 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
28273ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
29 nn0ssre 12472 . . . . . . . . . 10 β„•0 βŠ† ℝ
30 ressxr 11254 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
3129, 30sstri 3990 . . . . . . . . 9 β„•0 βŠ† ℝ*
32 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
3331, 32sselid 3979 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
34 mnfle 13110 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ 𝑋)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ -∞ ≀ 𝑋)
3628, 35eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋)
37 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
381, 24, 37coe1z 21776 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = (β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
39383ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = (β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
4039fveq1d 6890 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹) = ((β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘‹))
41 fvex 6901 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
4241fvconst2 7201 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ ((β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘‹) = (0gβ€˜π‘…))
43423ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘‹) = (0gβ€˜π‘…))
4440, 43eqtr2d 2773 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))
45 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)))
4645breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋))
47 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)))
4847fveq1d 6890 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))
4948eqeq2d 2743 . . . . . . . 8 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ ((0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹)))
5046, 49anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))))
5150rspcev 3612 . . . . . 6 (((0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
5226, 36, 44, 51syl12anc 835 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
53 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
5453anbi2d 629 . . . . . . 7 (π‘Ž = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
5554rexbidv 3178 . . . . . 6 (π‘Ž = (0gβ€˜π‘…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
5641, 55elab 3667 . . . . 5 ((0gβ€˜π‘…) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
5752, 56sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
5857ne0d 4334 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} β‰  βˆ…)
5922adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
60 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
621, 61, 11, 6ply1sclf 21798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 ∈ Ring β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
63623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
65 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6664, 65ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
67 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ 𝑓 ∈ 𝐼)
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑓 ∈ 𝐼)
69 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
702, 6, 69lidlmcl 20832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ 𝐼)
7159, 60, 66, 68, 70syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ 𝐼)
72 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐼)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐼)
74 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
752, 74lidlacl 20828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ 𝐼 ∧ 𝑔 ∈ 𝐼)) β†’ ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) ∈ 𝐼)
7659, 60, 71, 73, 75syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) ∈ 𝐼)
77 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
788adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
7978, 68sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
806, 69ringcl 20066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8159, 66, 79, 80syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8278, 73sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
83 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
8431, 83sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
854, 1, 6deg1xrcl 25591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ∈ ℝ*)
8681, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ∈ ℝ*)
874, 1, 6deg1xrcl 25591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
8879, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
894, 1, 11, 6, 69, 61deg1mul3le 25625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ≀ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“))
9077, 65, 79, 89syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ≀ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“))
91 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
9386, 88, 84, 90, 92xrletrd 13137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ≀ 𝑋)
94 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)
961, 4, 77, 6, 74, 81, 82, 84, 93, 95deg1addle2 25611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋)
97 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
981, 6, 74, 97coe1addfv 21778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹) = (((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
9977, 81, 82, 83, 98syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹) = (((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
100 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1011, 6, 11, 61, 69, 100coe1sclmulfv 21796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹) = (𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
10277, 65, 79, 83, 101syl121anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹) = (𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
103102oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
10499, 103eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))
105 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)))
106105breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋))
107 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)))
108107fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))
109108eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹)))
110106, 109anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))))
111110rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
11276, 96, 104, 111syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
113 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ V
114 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
115114anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
116115rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
117113, 116elab 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
118112, 117sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
119118exp45 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))))
120119imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})))
121120exp5c 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑓 ∈ 𝐼 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (𝑔 ∈ 𝐼 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})))))
122121imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (𝑔 ∈ 𝐼 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))))
123122imp41 426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
124 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
125124eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹) β†’ (((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
126123, 125syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ (𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
127126expimpd 454 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐼) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
128127rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
129128alrimiv 1930 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ βˆ€π‘’(βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
130 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
131130anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
132131rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
133 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑔 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”))
134133breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑔 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))
135 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑔 β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜π‘”))
136135fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑔 β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹))
137136eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑔 β†’ (𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
138134, 137anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑔 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹))))
139138cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
140132, 139bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹))))
141140ralab 3686 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆ€π‘’(βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
142129, 141sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
143 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) = (𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
144143oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒))
145144eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ (((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
146145ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
147142, 146syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
148147expimpd 454 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
149148rexlimdva 3155 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
150149alrimiv 1930 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
151 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
152151anbi2d 629 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
153152rexbidv 3178 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
154 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑓 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“))
155154breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑓 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋))
156 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑓 β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜π‘“))
157156fveq1d 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑓 β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))
158157eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑓 β†’ (𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
159155, 158anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑓 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))))
160159cbvrexvw 3235 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
161153, 160bitrdi 286 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))))
162161ralab 3686 . . . . 5 (βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆ€π‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
163150, 162sylibr 233 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
164163ralrimiva 3146 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
165 hbtlem2.t . . . 4 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
166165, 11, 97, 100islidl 20826 . . 3 ({π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ∈ 𝑇 ↔ ({π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
16720, 58, 164, 166syl3anbrc 1343 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ∈ 𝑇)
1685, 167eqeltrd 2833 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  LIdealclidl 20775  algSccascl 21398  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   deg1 cdg1 25560  ldgIdlSeqcldgis 41848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-cnfld 20937  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-ldgis 41849
This theorem is referenced by:  hbtlem7  41852  hbtlem6  41856
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