Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hbtlem2 42470
Description: Leading coefficient ideals are ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem2.t 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
hbtlem2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∈ 𝑇)
Proof of Theorem hbtlem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 hbtlem.u . . 3 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
3 hbtlem.s . . 3 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
4 eqid 2727 . . 3 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
51, 2, 3, 4hbtlem1 42469 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) = {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
6 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
76, 2lidlss 21097 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
873ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
98sselda 3978 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜π‘)
11 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1210, 6, 1, 11coe1f 22117 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜π‘):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
139, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (coe1β€˜π‘):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
14 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
1513, 14ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
16 eleq1a 2823 . . . . . . 7 (((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1817adantld 490 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1918rexlimdva 3150 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
2019abssdv 4061 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
211ply1ring 22153 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
22213ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
23 simp2 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
24 eqid 2727 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
252, 24lidl0cl 21105 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
2622, 23, 25syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼)
274, 1, 24deg1z 26010 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
28273ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
29 nn0ssre 12498 . . . . . . . . . 10 β„•0 βŠ† ℝ
30 ressxr 11280 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
3129, 30sstri 3987 . . . . . . . . 9 β„•0 βŠ† ℝ*
32 simp3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
3331, 32sselid 3976 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
34 mnfle 13138 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ 𝑋)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ -∞ ≀ 𝑋)
3628, 35eqbrtrd 5164 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋)
37 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
381, 24, 37coe1z 22169 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = (β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
39383ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = (β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
4039fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹) = ((β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘‹))
41 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
4241fvconst2 7210 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ ((β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘‹) = (0gβ€˜π‘…))
43423ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜π‘‹) = (0gβ€˜π‘…))
4440, 43eqtr2d 2768 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))
45 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)))
4645breq1d 5152 . . . . . . . 8 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋))
47 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)))
4847fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))
4948eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ ((0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹)))
5046, 49anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑏 = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))))
5150rspcev 3607 . . . . . 6 (((0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))β€˜π‘‹))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
5226, 36, 44, 51syl12anc 836 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
53 eqeq1 2731 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (0gβ€˜π‘…) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
5453anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘Ž = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
5554rexbidv 3173 . . . . . 6 (π‘Ž = (0gβ€˜π‘…) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
5641, 55elab 3665 . . . . 5 ((0gβ€˜π‘…) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ (0gβ€˜π‘…) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
5752, 56sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
5857ne0d 4331 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} β‰  βˆ…)
5922adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
60 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
61 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
621, 61, 11, 6ply1sclf 22191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 ∈ Ring β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
63623ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (algScβ€˜π‘ƒ):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
65 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6664, 65ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
67 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ 𝑓 ∈ 𝐼)
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑓 ∈ 𝐼)
69 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
702, 6, 69lidlmcl 21110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ 𝐼)
7159, 60, 66, 68, 70syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ 𝐼)
72 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐼)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐼)
74 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
752, 74lidlacl 21106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ 𝐼 ∧ 𝑔 ∈ 𝐼)) β†’ ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) ∈ 𝐼)
7659, 60, 71, 73, 75syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) ∈ 𝐼)
77 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
788adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
7978, 68sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
806, 69ringcl 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8159, 66, 79, 80syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
8278, 73sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
83 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
8431, 83sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
854, 1, 6deg1xrcl 26005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ∈ ℝ*)
8681, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ∈ ℝ*)
874, 1, 6deg1xrcl 26005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
8879, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ∈ ℝ*)
894, 1, 11, 6, 69, 61deg1mul3le 26039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ≀ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“))
9077, 65, 79, 89syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ≀ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“))
91 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋)
9386, 88, 84, 90, 92xrletrd 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)) ≀ 𝑋)
94 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)
961, 4, 77, 6, 74, 81, 82, 84, 93, 95deg1addle2 26025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋)
97 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
981, 6, 74, 97coe1addfv 22171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹) = (((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
9977, 81, 82, 83, 98syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹) = (((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
100 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1011, 6, 11, 61, 69, 100coe1sclmulfv 22189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹) = (𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
10277, 65, 79, 83, 101syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹) = (𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
103102oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ (((coe1β€˜(((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓))β€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
10499, 103eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))
105 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)))
106105breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋))
107 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)))
108107fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))
109108eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹)))
110106, 109anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = ((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))))
111110rspcev 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔) ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔)) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜((((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑓)(+gβ€˜π‘ƒ)𝑔))β€˜π‘‹))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
11276, 96, 104, 111syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
113 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ V
114 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
115114anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
116115rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
117113, 116elab 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
118112, 117sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ (𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋)))) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
119118exp45 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))))
120119imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑔 ∈ 𝐼 ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})))
121120exp5c 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑓 ∈ 𝐼 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (𝑔 ∈ 𝐼 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})))))
122121imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 β†’ (𝑔 ∈ 𝐼 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))))
123122imp41 425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
124 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
125124eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹) β†’ (((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
126123, 125syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋) β†’ (𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
127126expimpd 453 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝐼) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
128127rexlimdva 3150 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
129128alrimiv 1923 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ βˆ€π‘’(βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
130 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
131130anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
132131rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
133 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑔 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”))
134133breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑔 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋))
135 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑔 β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜π‘”))
136135fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑔 β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹))
137136eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑔 β†’ (𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
138134, 137anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑔 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹))))
139138cbvrexvw 3230 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)))
140132, 139bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹))))
141140ralab 3684 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆ€π‘’(βˆƒπ‘” ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) ≀ 𝑋 ∧ 𝑒 = ((coe1β€˜π‘”)β€˜π‘‹)) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
142129, 141sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
143 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ (𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑) = (𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
144143oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) = ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒))
145144eleq1d 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ (((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
146145ralbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
147142, 146syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋) β†’ (𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
148147expimpd 453 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐼) β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
149148rexlimdva 3150 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
150149alrimiv 1923 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
151 eqeq1 2731 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)))
152151anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
153152rexbidv 3173 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))))
154 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑓 β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“))
155154breq1d 5152 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑓 β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋))
156 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑓 β†’ (coe1β€˜π‘) = (coe1β€˜π‘“))
157156fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑓 β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))
158157eqeq2d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑓 β†’ (𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹) ↔ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
159155, 158anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑓 β†’ (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))))
160159cbvrexvw 3230 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)))
161153, 160bitrdi 287 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑑 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹))))
162161ralab 3684 . . . . 5 (βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ↔ βˆ€π‘‘(βˆƒπ‘“ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘“) ≀ 𝑋 ∧ 𝑑 = ((coe1β€˜π‘“)β€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
163150, 162sylibr 233 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
164163ralrimiva 3141 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))})
165 hbtlem2.t . . . 4 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
166165, 11, 97, 100islidl 21100 . . 3 ({π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ∈ 𝑇 ↔ ({π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘‘ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}βˆ€π‘’ ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ((𝑐(.rβ€˜π‘…)𝑑)(+gβ€˜π‘…)𝑒) ∈ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))}))
16720, 58, 164, 166syl3anbrc 1341 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘) ≀ 𝑋 ∧ π‘Ž = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘‹))} ∈ 𝑇)
1685, 167eqeltrd 2828 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘‹) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  -∞cmnf 11268  β„*cxr 11269   ≀ cle 11271  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  0gc0g 17412  Ringcrg 20164  LIdealclidl 21091  algSccascl 21773  Poly1cpl1 22083  coe1cco1 22084   deg1 cdg1 25974  ldgIdlSeqcldgis 42467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-cnfld 21267  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-coe1 22089  df-mdeg 25975  df-deg1 25976  df-ldgis 42468
This theorem is referenced by:  hbtlem7  42471  hbtlem6  42475
  Copyright terms: Public domain W3C validator