MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcn 23455
Description: If every projection of a function is continuous, then the function itself is continuous into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcn.2 𝐾 = (∏tβ€˜πΉ)
ptcn.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
ptcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
ptcn.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢Top)
ptcn.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
ptcn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐼,π‘₯   π‘˜,𝐽   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯   π‘₯,𝐾   π‘˜,𝑉,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘˜)

Proof of Theorem ptcn
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcn.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 ptcn.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢Top)
43ffvelcdmda 7077 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ Top)
5 toptopon2 22744 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ Top ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
64, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
7 ptcn.6 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
8 cnf2 23077 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
92, 6, 7, 8syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
109fvmptelcdm 7105 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
1110an32s 649 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
1211ralrimiva 3138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
13 ptcn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1413adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
15 mptelixpg 8926 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
1712, 16mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
18 ptcn.2 . . . . . . 7 𝐾 = (∏tβ€˜πΉ)
1918ptuni 23422 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2013, 3, 19syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2120adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2217, 21eleqtrd 2827 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴) ∈ βˆͺ 𝐾)
2322fmpttd 7107 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
241adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2513adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
263adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:𝐼⟢Top)
27 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
287adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
29 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
30 toponuni 22740 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
311, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3231ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3329, 32eleqtrd 2827 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
34 eqid 2724 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3534cncnpi 23106 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 CnP (πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘§))
3628, 33, 35syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 CnP (πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘§))
3718, 24, 25, 26, 27, 36ptcnp 23450 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘§))
3837ralrimiva 3138 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘§))
39 pttop 23410 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢Top) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
4013, 3, 39syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
4118, 40eqeltrid 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
42 toptopon2 22744 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
4341, 42sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
44 cncnp 23108 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘§))))
451, 43, 44syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘§))))
4623, 38, 45mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆͺ cuni 4900   ↦ cmpt 5222  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Xcixp 8888  βˆtcpt 17385  Topctop 22719  TopOnctopon 22736   Cn ccn 23052   CnP ccnp 23053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-fin 8940  df-fi 9403  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-cn 23055  df-cnp 23056
This theorem is referenced by:  pt1hmeo  23634  ptunhmeo  23636  symgtgp  23934  prdstmdd  23952  prdstgpd  23953  ptpconn  34715  broucube  37016
  Copyright terms: Public domain W3C validator