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Theorem ptcn 23524
Description: If every projection of a function is continuous, then the function itself is continuous into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcn.2 𝐾 = (∏tβ€˜πΉ)
ptcn.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
ptcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
ptcn.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢Top)
ptcn.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
ptcn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐼,π‘₯   π‘˜,𝐽   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯   π‘₯,𝐾   π‘˜,𝑉,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘˜)

Proof of Theorem ptcn
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcn.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 ptcn.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢Top)
43ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ Top)
5 toptopon2 22813 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ Top ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
64, 5sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
7 ptcn.6 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
8 cnf2 23146 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
92, 6, 7, 8syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
109fvmptelcdm 7117 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
1110an32s 651 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
1211ralrimiva 3142 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
13 ptcn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1413adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
15 mptelixpg 8947 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 𝐴 ∈ βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)))
1712, 16mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
18 ptcn.2 . . . . . . 7 𝐾 = (∏tβ€˜πΉ)
1918ptuni 23491 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2013, 3, 19syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2120adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐼 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2217, 21eleqtrd 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴) ∈ βˆͺ 𝐾)
2322fmpttd 7119 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
241adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2513adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
263adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:𝐼⟢Top)
27 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
287adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
29 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
30 toponuni 22809 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
311, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3231ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3329, 32eleqtrd 2831 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽)
34 eqid 2728 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3534cncnpi 23175 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 CnP (πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘§))
3628, 33, 35syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 CnP (πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘§))
3718, 24, 25, 26, 27, 36ptcnp 23519 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘§))
3837ralrimiva 3142 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘§))
39 pttop 23479 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢Top) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
4013, 3, 39syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
4118, 40eqeltrid 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
42 toptopon2 22813 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
4341, 42sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
44 cncnp 23177 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘§))))
451, 43, 44syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘§))))
4623, 38, 45mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  βˆͺ cuni 4903   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Xcixp 8909  βˆtcpt 17413  Topctop 22788  TopOnctopon 22805   Cn ccn 23121   CnP ccnp 23122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-fin 8961  df-fi 9428  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cn 23124  df-cnp 23125
This theorem is referenced by:  pt1hmeo  23703  ptunhmeo  23705  symgtgp  24003  prdstmdd  24021  prdstgpd  24022  ptpconn  34837  broucube  37121
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