Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem15 39350
 Description: F times the least common multiple of 1 to n is a natural number. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem15.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem15.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem15.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem15.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem15 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem15
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem15.1 . . 3 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 lcmineqlem15.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lcmineqlem15.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 lcmineqlem15.4 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
51, 2, 3, 4lcmineqlem6 39341 . 2 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)
6 fz1ssnn 12936 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℕ
7 fzfi 13338 . . . . . 6 (1...𝑁) ∈ Fin
8 lcmfnncl 15966 . . . . . 6 (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
96, 7, 8mp2an 691 . . . . 5 (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
1110nnred 11643 . . 3 (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℝ)
121, 3, 2, 4lcmineqlem13 39348 . . . 4 (𝜑𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
13 1red 10634 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
143nnnn0d 11946 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
152, 14, 4bccl2d 39298 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
163, 15nnmulcld 11681 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ)
1716nnred 11643 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℝ)
1816nnne0d 11678 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
1913, 17, 18redivcld 11460 . . . 4 (𝜑 → (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℝ)
2012, 19eqeltrd 2890 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
2110nngt0d 11677 . . 3 (𝜑 → 0 < (lcm‘(1...𝑁)))
22 nnrecgt0 11671 . . . . 5 ((𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ → 0 < (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
2316, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 < (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
2423, 12breqtrrd 5059 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐹)
2511, 20, 21, 24mulgt0d 10787 . 2 (𝜑 → 0 < ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹))
26 elnnz 11982 . 2 (((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℕ ↔ (((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹)))
275, 25, 26sylanbrc 586 1 (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕcn 11628  ℤcz 11972  [,]cicc 12732  ...cfz 12888  ↑cexp 13428  Ccbc 13661  lcmclcmf 15926  ∫citg 24232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-symdif 4169  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-ofr 7392  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-dju 9317  df-card 9355  df-acn 9358  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ioc 12734  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-prod 15255  df-dvds 15603  df-lcmf 15928  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-lp 21751  df-perf 21752  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-cmp 22002  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cncf 23493  df-ovol 24078  df-vol 24079  df-mbf 24233  df-itg1 24234  df-itg2 24235  df-ibl 24236  df-itg 24237  df-0p 24284  df-limc 24479  df-dv 24480 This theorem is referenced by:  lcmineqlem16  39351
 Copyright terms: Public domain W3C validator