Theorem lcmineqlem15 42044

Description: F times the least common multiple of 1 to n is a natural number. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem15.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem15.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem15.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem15.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem15	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem15.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem15.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem15.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem15.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem6 42035	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)
6		fz1ssnn 13595	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
7		fzfi 14013	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
8		lcmfnncl 16666	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
11	10	nnred 12281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℝ)
12	1, 3, 2, 4	lcmineqlem13 42042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
13		1red 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	3	nnnn0d 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
15	2, 14, 4	bccl2d 41992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
16	3, 15	nnmulcld 12319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ)
17	16	nnred 12281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℝ)
18	16	nnne0d 12316	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
19	13, 17, 18	redivcld 12095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℝ)
20	12, 19	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
21	10	nngt0d 12315	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (lcm‘(1...𝑁)))
22		nnrecgt0 12309	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ → 0 < (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
23	16, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
24	23, 12	breqtrrd 5171	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐹)
25	11, 20, 21, 24	mulgt0d 11416	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹))
26		elnnz 12623	. 2 ⊢ (((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℕ ↔ (((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹)))
27	5, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℤcz 12613  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  Ccbc 14341  lcmclcmf 16626  ∫citg 25653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-lcmf 16628  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  lcmineqlem16  42045