![]() |
Mathbox for metakunt |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lcmineqlem15 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: F times the least common multiple of 1 to n is a natural number. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
lcmineqlem15.1 | โข ๐น = โซ(0[,]1)((๐ฅโ(๐ โ 1)) ยท ((1 โ ๐ฅ)โ(๐ โ ๐))) d๐ฅ |
lcmineqlem15.2 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
lcmineqlem15.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
lcmineqlem15.4 | โข (๐ โ ๐ โค ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
lcmineqlem15 | โข (๐ โ ((lcmโ(1...๐)) ยท ๐น) โ โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lcmineqlem15.1 | . . 3 โข ๐น = โซ(0[,]1)((๐ฅโ(๐ โ 1)) ยท ((1 โ ๐ฅ)โ(๐ โ ๐))) d๐ฅ | |
2 | lcmineqlem15.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
3 | lcmineqlem15.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
4 | lcmineqlem15.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โค ๐) | |
5 | 1, 2, 3, 4 | lcmineqlem6 41442 | . 2 โข (๐ โ ((lcmโ(1...๐)) ยท ๐น) โ โค) |
6 | fz1ssnn 13556 | . . . . . 6 โข (1...๐) โ โ | |
7 | fzfi 13961 | . . . . . 6 โข (1...๐) โ Fin | |
8 | lcmfnncl 16591 | . . . . . 6 โข (((1...๐) โ โ โง (1...๐) โ Fin) โ (lcmโ(1...๐)) โ โ) | |
9 | 6, 7, 8 | mp2an 691 | . . . . 5 โข (lcmโ(1...๐)) โ โ |
10 | 9 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ (lcmโ(1...๐)) โ โ) |
11 | 10 | nnred 12249 | . . 3 โข (๐ โ (lcmโ(1...๐)) โ โ) |
12 | 1, 3, 2, 4 | lcmineqlem13 41449 | . . . 4 โข (๐ โ ๐น = (1 / (๐ ยท (๐C๐)))) |
13 | 1red 11237 | . . . . 5 โข (๐ โ 1 โ โ) | |
14 | 3 | nnnn0d 12554 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
15 | 2, 14, 4 | bccl2d 41399 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐C๐) โ โ) |
16 | 3, 15 | nnmulcld 12287 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ ยท (๐C๐)) โ โ) |
17 | 16 | nnred 12249 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ ยท (๐C๐)) โ โ) |
18 | 16 | nnne0d 12284 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ ยท (๐C๐)) โ 0) |
19 | 13, 17, 18 | redivcld 12064 | . . . 4 โข (๐ โ (1 / (๐ ยท (๐C๐))) โ โ) |
20 | 12, 19 | eqeltrd 2828 | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ โ) |
21 | 10 | nngt0d 12283 | . . 3 โข (๐ โ 0 < (lcmโ(1...๐))) |
22 | nnrecgt0 12277 | . . . . 5 โข ((๐ ยท (๐C๐)) โ โ โ 0 < (1 / (๐ ยท (๐C๐)))) | |
23 | 16, 22 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ 0 < (1 / (๐ ยท (๐C๐)))) |
24 | 23, 12 | breqtrrd 5170 | . . 3 โข (๐ โ 0 < ๐น) |
25 | 11, 20, 21, 24 | mulgt0d 11391 | . 2 โข (๐ โ 0 < ((lcmโ(1...๐)) ยท ๐น)) |
26 | elnnz 12590 | . 2 โข (((lcmโ(1...๐)) ยท ๐น) โ โ โ (((lcmโ(1...๐)) ยท ๐น) โ โค โง 0 < ((lcmโ(1...๐)) ยท ๐น))) | |
27 | 5, 25, 26 | sylanbrc 582 | 1 โข (๐ โ ((lcmโ(1...๐)) ยท ๐น) โ โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wss 3944 class class class wbr 5142 โcfv 6542 (class class class)co 7414 Fincfn 8955 โcr 11129 0cc0 11130 1c1 11131 ยท cmul 11135 < clt 11270 โค cle 11271 โ cmin 11466 / cdiv 11893 โcn 12234 โคcz 12580 [,]cicc 13351 ...cfz 13508 โcexp 14050 Ccbc 14285 lcmclcmf 16551 โซcitg 25534 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-inf2 9656 ax-cc 10450 ax-cnex 11186 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 ax-pre-mulgt0 11207 ax-pre-sup 11208 ax-addf 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-symdif 4238 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-disj 5108 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7679 df-ofr 7680 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8160 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-omul 8485 df-er 8718 df-map 8838 df-pm 8839 df-ixp 8908 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-fsupp 9378 df-fi 9426 df-sup 9457 df-inf 9458 df-oi 9525 df-dju 9916 df-card 9954 df-acn 9957 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11894 df-nn 12235 df-2 12297 df-3 12298 df-4 12299 df-5 12300 df-6 12301 df-7 12302 df-8 12303 df-9 12304 df-n0 12495 df-z 12581 df-dec 12700 df-uz 12845 df-q 12955 df-rp 12999 df-xneg 13116 df-xadd 13117 df-xmul 13118 df-ioo 13352 df-ioc 13353 df-ico 13354 df-icc 13355 df-fz 13509 df-fzo 13652 df-fl 13781 df-mod 13859 df-seq 13991 df-exp 14051 df-fac 14257 df-bc 14286 df-hash 14314 df-cj 15070 df-re 15071 df-im 15072 df-sqrt 15206 df-abs 15207 df-limsup 15439 df-clim 15456 df-rlim 15457 df-sum 15657 df-prod 15874 df-dvds 16223 df-lcmf 16553 df-struct 17107 df-sets 17124 df-slot 17142 df-ndx 17154 df-base 17172 df-ress 17201 df-plusg 17237 df-mulr 17238 df-starv 17239 df-sca 17240 df-vsca 17241 df-ip 17242 df-tset 17243 df-ple 17244 df-ds 17246 df-unif 17247 df-hom 17248 df-cco 17249 df-rest 17395 df-topn 17396 df-0g 17414 df-gsum 17415 df-topgen 17416 df-pt 17417 df-prds 17420 df-xrs 17475 df-qtop 17480 df-imas 17481 df-xps 17483 df-mre 17557 df-mrc 17558 df-acs 17560 df-mgm 18591 df-sgrp 18670 df-mnd 18686 df-submnd 18732 df-mulg 19015 df-cntz 19259 df-cmn 19728 df-psmet 21258 df-xmet 21259 df-met 21260 df-bl 21261 df-mopn 21262 df-fbas 21263 df-fg 21264 df-cnfld 21267 df-top 22783 df-topon 22800 df-topsp 22822 df-bases 22836 df-cld 22910 df-ntr 22911 df-cls 22912 df-nei 22989 df-lp 23027 df-perf 23028 df-cn 23118 df-cnp 23119 df-haus 23206 df-cmp 23278 df-tx 23453 df-hmeo 23646 df-fil 23737 df-fm 23829 df-flim 23830 df-flf 23831 df-xms 24213 df-ms 24214 df-tms 24215 df-cncf 24785 df-ovol 25380 df-vol 25381 df-mbf 25535 df-itg1 25536 df-itg2 25537 df-ibl 25538 df-itg 25539 df-0p 25586 df-limc 25782 df-dv 25783 |
This theorem is referenced by: lcmineqlem16 41452 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |