Theorem lcmineqlem15 39785

Description: F times the least common multiple of 1 to n is a natural number. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem15.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem15.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem15.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem15.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem15	⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem15.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem15.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem15.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem15.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem6 39776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ)
6		fz1ssnn 13143	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
7		fzfi 13545	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
8		lcmfnncl 16186	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
11	10	nnred 11845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℝ)
12	1, 3, 2, 4	lcmineqlem13 39783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
13		1red 10834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	3	nnnn0d 12150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
15	2, 14, 4	bccl2d 39734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
16	3, 15	nnmulcld 11883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ)
17	16	nnred 11845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℝ)
18	16	nnne0d 11880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
19	13, 17, 18	redivcld 11660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℝ)
20	12, 19	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
21	10	nngt0d 11879	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (lcm‘(1...𝑁)))
22		nnrecgt0 11873	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ → 0 < (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
23	16, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
24	23, 12	breqtrrd 5081	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐹)
25	11, 20, 21, 24	mulgt0d 10987	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹))
26		elnnz 12186	. 2 ⊢ (((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℕ ↔ (((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 0 < ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹)))
27	5, 25, 26	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · 𝐹) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062   / cdiv 11489  ℕcn 11830  ℤcz 12176  [,]cicc 12938  ...cfz 13095  ↑cexp 13635  Ccbc 13868  lcmclcmf 16146  ∫citg 24515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-symdif 4157  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-prod 15468  df-dvds 15816  df-lcmf 16148  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-ovol 24361  df-vol 24362  df-mbf 24516  df-itg1 24517  df-itg2 24518  df-ibl 24519  df-itg 24520  df-0p 24567  df-limc 24763  df-dv 24764

This theorem is referenced by:  lcmineqlem16  39786