Theorem jm2.27a 43680

Description: Lemma for jm2.27 43683. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11	⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12	⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a14	⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
jm2.27a17	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
jm2.27a19	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
jm2.27a20	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
jm2.27a21	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
jm2.27a22	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑃))
jm2.27a23	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
jm2.27a24	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
jm2.27a25	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
jm2.27a26	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
jm2.27a27	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
jm2.27a28	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑅))
jm2.27a29	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
jm2.27a	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27a23	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
2		2z 12625	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		jm2.27a3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
5		zmulcl 12642	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
7		jm2.27a2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9		jm2.27a27	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
10		jm2.27a21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
11		jm2.27a8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
13		jm2.27a19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
14		congsym 43643	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
15	6, 12, 8, 13, 14	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
16		jm2.27a7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
18		peano2zm 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
20	12, 9	zsubcld 12704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) ∈ ℤ)
21		jm2.27a17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
22		jm2.27a13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
23	11	nn0ge0d 12567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐻)
24		rmy0 43604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
25	22, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
26		jm2.27a29	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
27	26	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) = 𝐻)
28	23, 25, 27	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅))
29		0zd 12602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
30		lermy 43630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
31	22, 29, 9, 30	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
32	28, 31	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
33		elnn0z 12603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑅))
34	9, 32, 33	sylanbrc 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
35		jm2.16nn0 43679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
36	22, 34, 35	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
37	26	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
38	36, 37	breqtrrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻 − 𝑅))
39	6, 19, 20, 21, 38	dvdstrd 16352	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))
40		congtr 43640	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
41	6, 8, 12, 9, 15, 39, 40	syl222anc 1411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
42	41	orcd 886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)))
43		jm2.27a24	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
44		zmulcl 12642	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
45	2, 43, 44	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
46		zsqcl 14164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
48		dvdsmul2 16335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
49	2, 47, 48	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
50		jm2.27a10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
51	50	nn0zd 12615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
52	51	peano2zd 12702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
53		zmulcl 12642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
54	2, 47, 53	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmultr2 16355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ) → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
56	47, 52, 54, 55	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
57	49, 56	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
58	1	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2))
59		jm2.27a15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
60		jm2.27a26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
61	59, 60	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (𝐴 Yrm 𝑄))
62	57, 58, 61	3brtr3d 5141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
63		jm2.27a1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	52	zred 12699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
65	54	zred 12699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
66		nn0p1nn 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
67	50, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
68	67	nngt0d 12284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐽 + 1))
69		2nn 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
70	3	nnsqcld 14279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
71		nnmulcl 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
72	69, 70, 71	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
73	72	nngt0d 12284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · (𝐶↑2)))
74	64, 65, 68, 73	mulgt0d 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
75	74, 59	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
76		rmy0 43604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
77	63, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
78	60	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) = 𝐸)
79	75, 77, 78	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄))
80		ltrmy 43627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
81	63, 29, 43, 80	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
82	79, 81	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑄)
83		elnnz 12600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑄))
84	43, 82, 83	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
85	3	nngt0d 12284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
86	1	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) = 𝐶)
87	85, 77, 86	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃))
88		ltrmy 43627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
89	63, 29, 10, 88	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
90	87, 89	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
91		elnnz 12600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
92	10, 90, 91	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
93		jm2.20nn 43672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
94	63, 84, 92, 93	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
95	62, 94	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄)
96	1, 4	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ)
97		muldvds2 16338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
98	10, 96, 43, 97	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
99	95, 98	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄)
100	1, 99	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ 𝑄)
101	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
102		dvdscmul 16339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
103	4, 43, 101, 102	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
104	100, 103	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄))
105		jm2.27a25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
106		jm2.27a6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
107	106	nn0zd 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
108	105, 107	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
109		frmy 43589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
110	109	fovcl 7538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
111	63, 9, 110	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
112	26, 12	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
113		eluzelz 12871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
114	63, 113	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
115	114, 17	zsubcld 12704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∈ ℤ)
116	111, 112	zsubcld 12704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ)
117		jm2.27a16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
118		congsym 43643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
119	107, 17, 114, 117, 118	syl22anc 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
120	105, 119	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴 − 𝐺))
121		jm2.15nn0 43678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
122	63, 22, 34, 121	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
123	108, 115, 116, 120, 122	dvdstrd 16352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
124		jm2.27a18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
125	26, 1	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
126	124, 105, 125	3brtr3d 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
127		congtr 43640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ) ∧ ((𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
128	108, 111, 112, 96, 123, 126, 127	syl222anc 1411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
129	128	orcd 886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))))
130		jm2.26 43677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
131	63, 84, 9, 10, 130	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
132	129, 131	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
133		dvdsacongtr 43659	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄) ∧ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
134	45, 9, 10, 6, 104, 132, 133	syl222anc 1411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
135		acongtr 43653	. . . . 5 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
136	6, 8, 9, 10, 42, 134, 135	syl222anc 1411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
137	7	nnnn0d 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
138	3	nnnn0d 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
139		jm2.27a20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
140		elfz2nn0 13645	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
141	137, 138, 139, 140	syl3anbrc 1360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0...𝐶))
142	92	nnnn0d 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
143		rmygeid 43639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
144	63, 142, 143	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
145	144, 1	breqtrrd 5138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝐶)
146		elfz2nn0 13645	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 𝐶))
147	142, 138, 145, 146	syl3anbrc 1360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...𝐶))
148		acongeq 43658	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (0...𝐶)) → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
149	3, 141, 147, 148	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
150	136, 149	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝑃)
151	150	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) = (𝐴 Yrm 𝑃))
152	1, 151	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕcn 12232  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ↑cexp 14096   ∥ cdvds 16309   X_rm crmx 43575   Y_rm crmy 43576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-numer 16793  df-denom 16794  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-squarenn 43516  df-pell1qr 43517  df-pell14qr 43518  df-pell1234qr 43519  df-pellfund 43520  df-rmx 43577  df-rmy 43578

This theorem is referenced by:  jm2.27b  43681