Theorem jm2.27a 43991

Description: Lemma for jm2.27 43994. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11	⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12	⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a14	⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
jm2.27a17	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
jm2.27a19	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
jm2.27a20	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
jm2.27a21	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
jm2.27a22	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑃))
jm2.27a23	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
jm2.27a24	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
jm2.27a25	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
jm2.27a26	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
jm2.27a27	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
jm2.27a28	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑅))
jm2.27a29	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
jm2.27a	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27a23	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
2		2z 12721	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		jm2.27a3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
5		zmulcl 12738	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
7		jm2.27a2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9		jm2.27a27	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
10		jm2.27a21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
11		jm2.27a8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
13		jm2.27a19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
14		congsym 43954	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
15	6, 12, 8, 13, 14	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
16		jm2.27a7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
18		peano2zm 12732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
20	12, 9	zsubcld 12801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) ∈ ℤ)
21		jm2.27a17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
22		jm2.27a13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
23	11	nn0ge0d 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐻)
24		rmy0 43915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
25	22, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
26		jm2.27a29	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
27	26	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) = 𝐻)
28	23, 25, 27	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅))
29		0zd 12698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
30		lermy 43941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
31	22, 29, 9, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
32	28, 31	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
33		elnn0z 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑅))
34	9, 32, 33	sylanbrc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
35		jm2.16nn0 43990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
36	22, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
37	26	oveq1d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
38	36, 37	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻 − 𝑅))
39	6, 19, 20, 21, 38	dvdstrd 16458	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))
40		congtr 43951	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
41	6, 8, 12, 9, 15, 39, 40	syl222anc 1413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
42	41	orcd 887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)))
43		jm2.27a24	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
44		zmulcl 12738	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
45	2, 43, 44	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
46		zsqcl 14265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
48		dvdsmul2 16441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
49	2, 47, 48	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
50		jm2.27a10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
51	50	nn0zd 12711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
52	51	peano2zd 12799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
53		zmulcl 12738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
54	2, 47, 53	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmultr2 16461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ) → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
56	47, 52, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
57	49, 56	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
58	1	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2))
59		jm2.27a15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
60		jm2.27a26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
61	59, 60	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (𝐴 Yrm 𝑄))
62	57, 58, 61	3brtr3d 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
63		jm2.27a1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	52	zred 12796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
65	54	zred 12796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
66		nn0p1nn 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
67	50, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
68	67	nngt0d 12380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐽 + 1))
69		2nn 12409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
70	3	nnsqcld 14381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
71		nnmulcl 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
72	69, 70, 71	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
73	72	nngt0d 12380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · (𝐶↑2)))
74	64, 65, 68, 73	mulgt0d 11458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
75	74, 59	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
76		rmy0 43915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
77	63, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
78	60	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) = 𝐸)
79	75, 77, 78	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄))
80		ltrmy 43938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
81	63, 29, 43, 80	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
82	79, 81	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑄)
83		elnnz 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑄))
84	43, 82, 83	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
85	3	nngt0d 12380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
86	1	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) = 𝐶)
87	85, 77, 86	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃))
88		ltrmy 43938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
89	63, 29, 10, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
90	87, 89	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
91		elnnz 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
92	10, 90, 91	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
93		jm2.20nn 43983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
94	63, 84, 92, 93	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
95	62, 94	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄)
96	1, 4	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ)
97		muldvds2 16444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
98	10, 96, 43, 97	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
99	95, 98	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄)
100	1, 99	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ 𝑄)
101	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
102		dvdscmul 16445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
103	4, 43, 101, 102	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
104	100, 103	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄))
105		jm2.27a25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
106		jm2.27a6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
107	106	nn0zd 12711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
108	105, 107	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
109		frmy 43900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
110	109	fovcl 7546	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
111	63, 9, 110	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
112	26, 12	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
113		eluzelz 12968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
114	63, 113	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
115	114, 17	zsubcld 12801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∈ ℤ)
116	111, 112	zsubcld 12801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ)
117		jm2.27a16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
118		congsym 43954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
119	107, 17, 114, 117, 118	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
120	105, 119	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴 − 𝐺))
121		jm2.15nn0 43989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
122	63, 22, 34, 121	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
123	108, 115, 116, 120, 122	dvdstrd 16458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
124		jm2.27a18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
125	26, 1	oveq12d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
126	124, 105, 125	3brtr3d 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
127		congtr 43951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ) ∧ ((𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
128	108, 111, 112, 96, 123, 126, 127	syl222anc 1413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
129	128	orcd 887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))))
130		jm2.26 43988	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
131	63, 84, 9, 10, 130	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
132	129, 131	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
133		dvdsacongtr 43970	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄) ∧ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
134	45, 9, 10, 6, 104, 132, 133	syl222anc 1413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
135		acongtr 43964	. . . . 5 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
136	6, 8, 9, 10, 42, 134, 135	syl222anc 1413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
137	7	nnnn0d 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
138	3	nnnn0d 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
139		jm2.27a20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
140		elfz2nn0 13745	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
141	137, 138, 139, 140	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0...𝐶))
142	92	nnnn0d 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
143		rmygeid 43950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
144	63, 142, 143	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
145	144, 1	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝐶)
146		elfz2nn0 13745	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 𝐶))
147	142, 138, 145, 146	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...𝐶))
148		acongeq 43969	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (0...𝐶)) → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
149	3, 141, 147, 148	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
150	136, 149	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝑃)
151	150	oveq2d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) = (𝐴 Yrm 𝑃))
152	1, 151	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  -cneg 11535  ℕcn 12328  2c2 12390  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  ↑cexp 14197   ∥ cdvds 16415   X_rm crmx 43886   Y_rm crmy 43887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226  df-sin 16228  df-cos 16229  df-pi 16231  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-prm 16840  df-numer 16904  df-denom 16905  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180  df-log 26877  df-squarenn 43827  df-pell1qr 43828  df-pell14qr 43829  df-pell1234qr 43830  df-pellfund 43831  df-rmx 43888  df-rmy 43889

This theorem is used by:  jm2.27b  43992