Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27a 42568
Description: Lemma for jm2.27 42571. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm2.27a2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12 (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13 (𝜑𝐺 ∈ (ℤ‘2))
jm2.27a14 (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15 (𝜑𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16 (𝜑𝐹 ∥ (𝐺𝐴))
jm2.27a17 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18 (𝜑𝐹 ∥ (𝐻𝐶))
jm2.27a19 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))
jm2.27a20 (𝜑𝐵𝐶)
jm2.27a21 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
jm2.27a22 (𝜑𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑃))
jm2.27a23 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
jm2.27a24 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
jm2.27a25 (𝜑𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
jm2.27a26 (𝜑𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
jm2.27a27 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
jm2.27a28 (𝜑𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑅))
jm2.27a29 (𝜑𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
Assertion
Ref Expression
jm2.27a (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27a
StepHypRef Expression
1 jm2.27a23 . 2 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
2 2z 12627 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
3 jm2.27a3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
43nnzd 12618 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
5 zmulcl 12644 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
62, 4, 5sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
7 jm2.27a2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
87nnzd 12618 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
9 jm2.27a27 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
10 jm2.27a21 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
11 jm2.27a8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
1211nn0zd 12617 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
13 jm2.27a19 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))
14 congsym 42531 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻))
156, 12, 8, 13, 14syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻))
16 jm2.27a7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
1716nn0zd 12617 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
18 peano2zm 12638 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
2012, 9zsubcld 12704 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝑅) ∈ ℤ)
21 jm2.27a17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
22 jm2.27a13 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (ℤ‘2))
2311nn0ge0d 12568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝐻)
24 rmy0 42492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
26 jm2.27a29 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
2726eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) = 𝐻)
2823, 25, 273brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅))
29 0zd 12603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
30 lermy 42518 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
3122, 29, 9, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
3228, 31mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
33 elnn0z 12604 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑅))
349, 32, 33sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
35 jm2.16nn0 42567 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3622, 34, 35syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3726oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑅) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3836, 37breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻𝑅))
396, 19, 20, 21, 38dvdstrd 16275 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅))
40 congtr 42528 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅))
416, 8, 12, 9, 15, 39, 40syl222anc 1383 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅))
4241orcd 871 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)))
43 jm2.27a24 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
44 zmulcl 12644 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
452, 43, 44sylancr 585 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
46 zsqcl 14129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
474, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
48 dvdsmul2 16259 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
492, 47, 48sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
50 jm2.27a10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5150nn0zd 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
5251peano2zd 12702 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
53 zmulcl 12644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
542, 47, 53sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
55 dvdsmultr2 16278 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ) → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
5647, 52, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
5749, 56mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
581oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2))
59 jm2.27a15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
60 jm2.27a26 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
6159, 60eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (𝐴 Yrm 𝑄))
6257, 58, 613brtr3d 5180 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
63 jm2.27a1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6452zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
6554zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
66 nn0p1nn 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
6750, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
6867nngt0d 12294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (𝐽 + 1))
69 2nn 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
703nnsqcld 14242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
71 nnmulcl 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
7269, 70, 71sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
7372nngt0d 12294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (2 · (𝐶↑2)))
7464, 65, 68, 73mulgt0d 11401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
7574, 59breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐸)
76 rmy0 42492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
7763, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
7860eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) = 𝐸)
7975, 77, 783brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄))
80 ltrmy 42515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
8163, 29, 43, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
8279, 81mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑄)
83 elnnz 12601 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ ℕ ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑄))
8443, 82, 83sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
853nngt0d 12294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐶)
861eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) = 𝐶)
8785, 77, 863brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃))
88 ltrmy 42515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
8963, 29, 10, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
9087, 89mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑃)
91 elnnz 12601 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
9210, 90, 91sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
93 jm2.20nn 42560 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
9463, 84, 92, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
9562, 94mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄)
961, 4eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ)
97 muldvds2 16262 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
9810, 96, 43, 97syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
9995, 98mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄)
1001, 99eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑄)
1012a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
102 dvdscmul 16263 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐶𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
1034, 43, 101, 102syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
104100, 103mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄))
105 jm2.27a25 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
106 jm2.27a6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
107106nn0zd 12617 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
108105, 107eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
109 frmy 42477 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
110109fovcl 7549 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
11163, 9, 110syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
11226, 12eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
113 eluzelz 12865 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
11463, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
115114, 17zsubcld 12704 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐺) ∈ ℤ)
116111, 112zsubcld 12704 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ)
117 jm2.27a16 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∥ (𝐺𝐴))
118 congsym 42531 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∥ (𝐺𝐴))) → 𝐹 ∥ (𝐴𝐺))
119107, 17, 114, 117, 118syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∥ (𝐴𝐺))
120105, 119eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴𝐺))
121 jm2.15nn0 42566 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
12263, 22, 34, 121syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
123108, 115, 116, 120, 122dvdstrd 16275 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
124 jm2.27a18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∥ (𝐻𝐶))
12526, 1oveq12d 7437 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
126124, 105, 1253brtr3d 5180 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
127 congtr 42528 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ) ∧ ((𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
128108, 111, 112, 96, 123, 126, 127syl222anc 1383 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
129128orcd 871 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))))
130 jm2.26 42565 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
13163, 84, 9, 10, 130syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
132129, 131mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
133 dvdsacongtr 42547 . . . . . 6 ((((2 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄) ∧ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
13445, 9, 10, 6, 104, 132, 133syl222anc 1383 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
135 acongtr 42541 . . . . 5 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
1366, 8, 9, 10, 42, 134, 135syl222anc 1383 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
1377nnnn0d 12565 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
1383nnnn0d 12565 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
139 jm2.27a20 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
140 elfz2nn0 13627 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0𝐵𝐶))
141137, 138, 139, 140syl3anbrc 1340 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (0...𝐶))
14292nnnn0d 12565 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
143 rmygeid 42527 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
14463, 142, 143syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
145144, 1breqtrrd 5177 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐶)
146 elfz2nn0 13627 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0𝑃𝐶))
147142, 138, 145, 146syl3anbrc 1340 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (0...𝐶))
148 acongeq 42546 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (0...𝐶)) → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
1493, 141, 147, 148syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
150136, 149mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝑃)
151150oveq2d 7435 . 2 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) = (𝐴 Yrm 𝑃))
1521, 151eqtr4d 2768 1 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  -cneg 11477  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  cexp 14062  cdvds 16234   Xrm crmx 42462   Yrm crmy 42463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-numer 16710  df-denom 16711  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-squarenn 42403  df-pell1qr 42404  df-pell14qr 42405  df-pell1234qr 42406  df-pellfund 42407  df-rmx 42464  df-rmy 42465
This theorem is referenced by:  jm2.27b  42569
  Copyright terms: Public domain W3C validator