Theorem jm2.27a 42994

Description: Lemma for jm2.27 42997. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11	⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12	⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a14	⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
jm2.27a17	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
jm2.27a19	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
jm2.27a20	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
jm2.27a21	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
jm2.27a22	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑃))
jm2.27a23	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
jm2.27a24	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
jm2.27a25	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
jm2.27a26	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
jm2.27a27	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
jm2.27a28	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑅))
jm2.27a29	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
jm2.27a	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27a23	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
2		2z 12565	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		jm2.27a3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
5		zmulcl 12582	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
7		jm2.27a2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9		jm2.27a27	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
10		jm2.27a21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
11		jm2.27a8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12555	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
13		jm2.27a19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
14		congsym 42957	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
15	6, 12, 8, 13, 14	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
16		jm2.27a7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
18		peano2zm 12576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
20	12, 9	zsubcld 12643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) ∈ ℤ)
21		jm2.27a17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
22		jm2.27a13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
23	11	nn0ge0d 12506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐻)
24		rmy0 42918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
26		jm2.27a29	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
27	26	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) = 𝐻)
28	23, 25, 27	3brtr4d 5139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅))
29		0zd 12541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
30		lermy 42944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
31	22, 29, 9, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
32	28, 31	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
33		elnn0z 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑅))
34	9, 32, 33	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
35		jm2.16nn0 42993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
36	22, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
37	26	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
38	36, 37	breqtrrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻 − 𝑅))
39	6, 19, 20, 21, 38	dvdstrd 16265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))
40		congtr 42954	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
41	6, 8, 12, 9, 15, 39, 40	syl222anc 1388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
42	41	orcd 873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)))
43		jm2.27a24	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
44		zmulcl 12582	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
45	2, 43, 44	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
46		zsqcl 14094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
48		dvdsmul2 16248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
49	2, 47, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
50		jm2.27a10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
51	50	nn0zd 12555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
52	51	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
53		zmulcl 12582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
54	2, 47, 53	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmultr2 16268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ) → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
56	47, 52, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
57	49, 56	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
58	1	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2))
59		jm2.27a15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
60		jm2.27a26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
61	59, 60	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (𝐴 Yrm 𝑄))
62	57, 58, 61	3brtr3d 5138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
63		jm2.27a1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	52	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
65	54	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
66		nn0p1nn 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
67	50, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
68	67	nngt0d 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐽 + 1))
69		2nn 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
70	3	nnsqcld 14209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
71		nnmulcl 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
72	69, 70, 71	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
73	72	nngt0d 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · (𝐶↑2)))
74	64, 65, 68, 73	mulgt0d 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
75	74, 59	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
76		rmy0 42918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
77	63, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
78	60	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) = 𝐸)
79	75, 77, 78	3brtr4d 5139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄))
80		ltrmy 42941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
81	63, 29, 43, 80	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
82	79, 81	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑄)
83		elnnz 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑄))
84	43, 82, 83	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
85	3	nngt0d 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
86	1	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) = 𝐶)
87	85, 77, 86	3brtr4d 5139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃))
88		ltrmy 42941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
89	63, 29, 10, 88	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
90	87, 89	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
91		elnnz 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
92	10, 90, 91	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
93		jm2.20nn 42986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
94	63, 84, 92, 93	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
95	62, 94	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄)
96	1, 4	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ)
97		muldvds2 16251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
98	10, 96, 43, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
99	95, 98	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄)
100	1, 99	eqbrtrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ 𝑄)
101	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
102		dvdscmul 16252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
103	4, 43, 101, 102	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
104	100, 103	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄))
105		jm2.27a25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
106		jm2.27a6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
107	106	nn0zd 12555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
108	105, 107	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
109		frmy 42903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
110	109	fovcl 7517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
111	63, 9, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
112	26, 12	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
113		eluzelz 12803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
114	63, 113	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
115	114, 17	zsubcld 12643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∈ ℤ)
116	111, 112	zsubcld 12643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ)
117		jm2.27a16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
118		congsym 42957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
119	107, 17, 114, 117, 118	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
120	105, 119	eqbrtrrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴 − 𝐺))
121		jm2.15nn0 42992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
122	63, 22, 34, 121	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
123	108, 115, 116, 120, 122	dvdstrd 16265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
124		jm2.27a18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
125	26, 1	oveq12d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
126	124, 105, 125	3brtr3d 5138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
127		congtr 42954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ) ∧ ((𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
128	108, 111, 112, 96, 123, 126, 127	syl222anc 1388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
129	128	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))))
130		jm2.26 42991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
131	63, 84, 9, 10, 130	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
132	129, 131	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
133		dvdsacongtr 42973	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄) ∧ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
134	45, 9, 10, 6, 104, 132, 133	syl222anc 1388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
135		acongtr 42967	. . . . 5 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
136	6, 8, 9, 10, 42, 134, 135	syl222anc 1388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
137	7	nnnn0d 12503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
138	3	nnnn0d 12503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
139		jm2.27a20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
140		elfz2nn0 13579	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
141	137, 138, 139, 140	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0...𝐶))
142	92	nnnn0d 12503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
143		rmygeid 42953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
144	63, 142, 143	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
145	144, 1	breqtrrd 5135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝐶)
146		elfz2nn0 13579	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 𝐶))
147	142, 138, 145, 146	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...𝐶))
148		acongeq 42972	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (0...𝐶)) → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
149	3, 141, 147, 148	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
150	136, 149	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝑃)
151	150	oveq2d 7403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) = (𝐴 Yrm 𝑃))
152	1, 151	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  -cneg 11406  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ↑cexp 14026   ∥ cdvds 16222   X_rm crmx 42888   Y_rm crmy 42889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-numer 16705  df-denom 16706  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-squarenn 42829  df-pell1qr 42830  df-pell14qr 42831  df-pell1234qr 42832  df-pellfund 42833  df-rmx 42890  df-rmy 42891

This theorem is referenced by:  jm2.27b  42995