Theorem jm2.27a 43359

Description: Lemma for jm2.27 43362. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11	⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12	⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a14	⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
jm2.27a17	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
jm2.27a19	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
jm2.27a20	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
jm2.27a21	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
jm2.27a22	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑃))
jm2.27a23	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
jm2.27a24	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
jm2.27a25	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
jm2.27a26	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
jm2.27a27	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
jm2.27a28	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑅))
jm2.27a29	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
jm2.27a	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27a23	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
2		2z 12535	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		jm2.27a3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12526	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
5		zmulcl 12552	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
7		jm2.27a2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9		jm2.27a27	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
10		jm2.27a21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
11		jm2.27a8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
13		jm2.27a19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
14		congsym 43322	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
15	6, 12, 8, 13, 14	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
16		jm2.27a7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
18		peano2zm 12546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
20	12, 9	zsubcld 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) ∈ ℤ)
21		jm2.27a17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
22		jm2.27a13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
23	11	nn0ge0d 12477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐻)
24		rmy0 43283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
26		jm2.27a29	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
27	26	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) = 𝐻)
28	23, 25, 27	3brtr4d 5132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅))
29		0zd 12512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
30		lermy 43309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
31	22, 29, 9, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
32	28, 31	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
33		elnn0z 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑅))
34	9, 32, 33	sylanbrc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
35		jm2.16nn0 43358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
36	22, 34, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
37	26	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
38	36, 37	breqtrrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻 − 𝑅))
39	6, 19, 20, 21, 38	dvdstrd 16234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))
40		congtr 43319	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
41	6, 8, 12, 9, 15, 39, 40	syl222anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
42	41	orcd 874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)))
43		jm2.27a24	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
44		zmulcl 12552	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
45	2, 43, 44	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
46		zsqcl 14064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
48		dvdsmul2 16217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
49	2, 47, 48	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
50		jm2.27a10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
51	50	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
52	51	peano2zd 12611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
53		zmulcl 12552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
54	2, 47, 53	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmultr2 16237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ) → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
56	47, 52, 54, 55	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
57	49, 56	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
58	1	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2))
59		jm2.27a15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
60		jm2.27a26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
61	59, 60	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (𝐴 Yrm 𝑄))
62	57, 58, 61	3brtr3d 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
63		jm2.27a1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	52	zred 12608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
65	54	zred 12608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
66		nn0p1nn 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
67	50, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
68	67	nngt0d 12206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐽 + 1))
69		2nn 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
70	3	nnsqcld 14179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
71		nnmulcl 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
72	69, 70, 71	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
73	72	nngt0d 12206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · (𝐶↑2)))
74	64, 65, 68, 73	mulgt0d 11300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
75	74, 59	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
76		rmy0 43283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
77	63, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
78	60	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) = 𝐸)
79	75, 77, 78	3brtr4d 5132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄))
80		ltrmy 43306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
81	63, 29, 43, 80	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
82	79, 81	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑄)
83		elnnz 12510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑄))
84	43, 82, 83	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
85	3	nngt0d 12206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
86	1	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) = 𝐶)
87	85, 77, 86	3brtr4d 5132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃))
88		ltrmy 43306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
89	63, 29, 10, 88	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
90	87, 89	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
91		elnnz 12510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
92	10, 90, 91	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
93		jm2.20nn 43351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
94	63, 84, 92, 93	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
95	62, 94	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄)
96	1, 4	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ)
97		muldvds2 16220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
98	10, 96, 43, 97	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
99	95, 98	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄)
100	1, 99	eqbrtrd 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ 𝑄)
101	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
102		dvdscmul 16221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
103	4, 43, 101, 102	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
104	100, 103	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄))
105		jm2.27a25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
106		jm2.27a6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
107	106	nn0zd 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
108	105, 107	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
109		frmy 43268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
110	109	fovcl 7496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
111	63, 9, 110	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
112	26, 12	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
113		eluzelz 12773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
114	63, 113	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
115	114, 17	zsubcld 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∈ ℤ)
116	111, 112	zsubcld 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ)
117		jm2.27a16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
118		congsym 43322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
119	107, 17, 114, 117, 118	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
120	105, 119	eqbrtrrd 5124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴 − 𝐺))
121		jm2.15nn0 43357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
122	63, 22, 34, 121	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
123	108, 115, 116, 120, 122	dvdstrd 16234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
124		jm2.27a18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
125	26, 1	oveq12d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
126	124, 105, 125	3brtr3d 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
127		congtr 43319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ) ∧ ((𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
128	108, 111, 112, 96, 123, 126, 127	syl222anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
129	128	orcd 874	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))))
130		jm2.26 43356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
131	63, 84, 9, 10, 130	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
132	129, 131	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
133		dvdsacongtr 43338	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄) ∧ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
134	45, 9, 10, 6, 104, 132, 133	syl222anc 1389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
135		acongtr 43332	. . . . 5 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
136	6, 8, 9, 10, 42, 134, 135	syl222anc 1389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
137	7	nnnn0d 12474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
138	3	nnnn0d 12474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
139		jm2.27a20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
140		elfz2nn0 13546	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
141	137, 138, 139, 140	syl3anbrc 1345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0...𝐶))
142	92	nnnn0d 12474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
143		rmygeid 43318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
144	63, 142, 143	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
145	144, 1	breqtrrd 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝐶)
146		elfz2nn0 13546	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 𝐶))
147	142, 138, 145, 146	syl3anbrc 1345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...𝐶))
148		acongeq 43337	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (0...𝐶)) → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
149	3, 141, 147, 148	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
150	136, 149	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝑃)
151	150	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) = (𝐴 Yrm 𝑃))
152	1, 151	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ↑cexp 13996   ∥ cdvds 16191   X_rm crmx 43254   Y_rm crmy 43255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-numer 16674  df-denom 16675  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-squarenn 43195  df-pell1qr 43196  df-pell14qr 43197  df-pell1234qr 43198  df-pellfund 43199  df-rmx 43256  df-rmy 43257

This theorem is referenced by:  jm2.27b  43360