Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27a 38513
Description: Lemma for jm2.27 38516. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm2.27a2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12 (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13 (𝜑𝐺 ∈ (ℤ‘2))
jm2.27a14 (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15 (𝜑𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16 (𝜑𝐹 ∥ (𝐺𝐴))
jm2.27a17 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18 (𝜑𝐹 ∥ (𝐻𝐶))
jm2.27a19 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))
jm2.27a20 (𝜑𝐵𝐶)
jm2.27a21 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
jm2.27a22 (𝜑𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑃))
jm2.27a23 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
jm2.27a24 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
jm2.27a25 (𝜑𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
jm2.27a26 (𝜑𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
jm2.27a27 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
jm2.27a28 (𝜑𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑅))
jm2.27a29 (𝜑𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
Assertion
Ref Expression
jm2.27a (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27a
StepHypRef Expression
1 jm2.27a23 . 2 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
2 2z 11761 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
3 jm2.27a3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
43nnzd 11833 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
5 zmulcl 11778 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
62, 4, 5sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
7 jm2.27a2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
87nnzd 11833 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
9 jm2.27a27 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
10 jm2.27a21 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
11 jm2.27a8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
1211nn0zd 11832 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
13 jm2.27a19 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))
14 congsym 38476 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻))
156, 12, 8, 13, 14syl22anc 829 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻))
16 jm2.27a17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
17 jm2.27a13 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (ℤ‘2))
1811nn0ge0d 11705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝐻)
19 rmy0 38435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
21 jm2.27a29 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
2221eqcomd 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) = 𝐻)
2318, 20, 223brtr4d 4918 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅))
24 0zd 11740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
25 lermy 38463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
2617, 24, 9, 25syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
2723, 26mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
28 elnn0z 11741 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑅))
299, 27, 28sylanbrc 578 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
30 jm2.16nn0 38512 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3117, 29, 30syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3221oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑅) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3331, 32breqtrrd 4914 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻𝑅))
34 jm2.27a7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
3534nn0zd 11832 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
36 peano2zm 11772 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
3812, 9zsubcld 11839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑅) ∈ ℤ)
39 dvdstr 15425 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐺 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐻𝑅) ∈ ℤ) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ (𝐺 − 1) ∥ (𝐻𝑅)) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅)))
406, 37, 38, 39syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ (𝐺 − 1) ∥ (𝐻𝑅)) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅)))
4116, 33, 40mp2and 689 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅))
42 congtr 38473 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅))
436, 8, 12, 9, 15, 41, 42syl222anc 1454 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅))
4443orcd 862 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)))
45 jm2.27a24 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
46 zmulcl 11778 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
472, 45, 46sylancr 581 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
48 zsqcl 13253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
494, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
50 dvdsmul2 15411 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
512, 49, 50sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
52 jm2.27a10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
5453peano2zd 11837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
55 zmulcl 11778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
562, 49, 55sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
57 dvdsmultr2 15428 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ) → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
5849, 54, 56, 57syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
5951, 58mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
601oveq1d 6937 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2))
61 jm2.27a15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
62 jm2.27a26 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
6361, 62eqtr3d 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (𝐴 Yrm 𝑄))
6459, 60, 633brtr3d 4917 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
65 jm2.27a1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6654zred 11834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
6756zred 11834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
68 nn0p1nn 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
6952, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
7069nngt0d 11424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (𝐽 + 1))
71 2nn 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
723nnsqcld 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
73 nnmulcl 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
7471, 72, 73sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
7574nngt0d 11424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (2 · (𝐶↑2)))
7666, 67, 70, 75mulgt0d 10531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
7776, 61breqtrrd 4914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐸)
78 rmy0 38435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
7965, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
8062eqcomd 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) = 𝐸)
8177, 79, 803brtr4d 4918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄))
82 ltrmy 38460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
8365, 24, 45, 82syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
8481, 83mpbird 249 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑄)
85 elnnz 11738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ ℕ ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑄))
8645, 84, 85sylanbrc 578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
873nngt0d 11424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐶)
881eqcomd 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) = 𝐶)
8987, 79, 883brtr4d 4918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃))
90 ltrmy 38460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
9165, 24, 10, 90syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
9289, 91mpbird 249 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑃)
93 elnnz 11738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
9410, 92, 93sylanbrc 578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
95 jm2.20nn 38505 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
9665, 86, 94, 95syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
9764, 96mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄)
981, 4eqeltrrd 2859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ)
99 muldvds2 15414 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
10010, 98, 45, 99syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
10197, 100mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄)
1021, 101eqbrtrd 4908 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑄)
1032a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
104 dvdscmul 15415 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐶𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
1054, 45, 103, 104syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
106102, 105mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄))
107 jm2.27a25 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
108 jm2.27a6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
109108nn0zd 11832 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
110107, 109eqeltrrd 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
111 frmy 38420 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
112111fovcl 7042 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
11365, 9, 112syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
11421, 12eqeltrrd 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
115 eluzelz 12002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
11665, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
117 jm2.27a16 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∥ (𝐺𝐴))
118 congsym 38476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∥ (𝐺𝐴))) → 𝐹 ∥ (𝐴𝐺))
119109, 35, 116, 117, 118syl22anc 829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∥ (𝐴𝐺))
120107, 119eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴𝐺))
121 jm2.15nn0 38511 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
12265, 17, 29, 121syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
123116, 35zsubcld 11839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐺) ∈ ℤ)
124113, 114zsubcld 11839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ)
125 dvdstr 15425 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐺) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴𝐺) ∧ (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅))))
126110, 123, 124, 125syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴𝐺) ∧ (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅))))
127120, 122, 126mp2and 689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
128 jm2.27a18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∥ (𝐻𝐶))
12921, 1oveq12d 6940 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
130128, 107, 1293brtr3d 4917 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
131 congtr 38473 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ) ∧ ((𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
132110, 113, 114, 98, 127, 130, 131syl222anc 1454 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
133132orcd 862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))))
134 jm2.26 38510 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
13565, 86, 9, 10, 134syl22anc 829 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
136133, 135mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
137 dvdsacongtr 38492 . . . . . 6 ((((2 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄) ∧ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
13847, 9, 10, 6, 106, 136, 137syl222anc 1454 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
139 acongtr 38486 . . . . 5 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
1406, 8, 9, 10, 44, 138, 139syl222anc 1454 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
1417nnnn0d 11702 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
1423nnnn0d 11702 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
143 jm2.27a20 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
144 elfz2nn0 12749 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0𝐵𝐶))
145141, 142, 143, 144syl3anbrc 1400 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (0...𝐶))
14694nnnn0d 11702 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
147 rmygeid 38472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
14865, 146, 147syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
149148, 1breqtrrd 4914 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐶)
150 elfz2nn0 12749 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0𝑃𝐶))
151146, 142, 149, 150syl3anbrc 1400 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (0...𝐶))
152 acongeq 38491 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (0...𝐶)) → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
1533, 145, 151, 152syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
154140, 153mpbird 249 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝑃)
155154oveq2d 6938 . 2 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) = (𝐴 Yrm 𝑃))
1561, 155eqtr4d 2816 1 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2106   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606  -cneg 10607  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  ...cfz 12643  cexp 13178  cdvds 15387   Xrm crmx 38406   Yrm crmy 38407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-numer 15847  df-denom 15848  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-squarenn 38347  df-pell1qr 38348  df-pell14qr 38349  df-pell1234qr 38350  df-pellfund 38351  df-rmx 38408  df-rmy 38409
This theorem is referenced by:  jm2.27b  38514
  Copyright terms: Public domain W3C validator