Theorem jm2.27a 43715

Description: Lemma for jm2.27 43718. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11	⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12	⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
jm2.27a14	⊢ (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
jm2.27a17	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
jm2.27a19	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
jm2.27a20	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
jm2.27a21	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
jm2.27a22	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑃))
jm2.27a23	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
jm2.27a24	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
jm2.27a25	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
jm2.27a26	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
jm2.27a27	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
jm2.27a28	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑅))
jm2.27a29	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
jm2.27a	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27a23	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
2		2z 12627	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		jm2.27a3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
5		zmulcl 12644	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
7		jm2.27a2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
9		jm2.27a27	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
10		jm2.27a21	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
11		jm2.27a8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
13		jm2.27a19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))
14		congsym 43678	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝐵))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
15	6, 12, 8, 13, 14	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻))
16		jm2.27a7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
18		peano2zm 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
20	12, 9	zsubcld 12706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) ∈ ℤ)
21		jm2.27a17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
22		jm2.27a13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2))
23	11	nn0ge0d 12569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐻)
24		rmy0 43639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
25	22, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
26		jm2.27a29	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
27	26	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) = 𝐻)
28	23, 25, 27	3brtr4d 5144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅))
29		0zd 12604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
30		lermy 43665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
31	22, 29, 9, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
32	28, 31	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
33		elnn0z 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑅))
34	9, 32, 33	sylanbrc 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
35		jm2.16nn0 43714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
36	22, 34, 35	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
37	26	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝑅) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
38	36, 37	breqtrrd 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻 − 𝑅))
39	6, 19, 20, 21, 38	dvdstrd 16354	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))
40		congtr 43675	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝐻) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻 − 𝑅))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
41	6, 8, 12, 9, 15, 39, 40	syl222anc 1413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅))
42	41	orcd 886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)))
43		jm2.27a24	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
44		zmulcl 12644	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
45	2, 43, 44	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
46		zsqcl 14167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
47	4, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
48		dvdsmul2 16337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
49	2, 47, 48	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
50		jm2.27a10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
51	50	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
52	51	peano2zd 12704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
53		zmulcl 12644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
54	2, 47, 53	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
55		dvdsmultr2 16357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ) → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
56	47, 52, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
57	49, 56	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
58	1	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2))
59		jm2.27a15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
60		jm2.27a26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
61	59, 60	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (𝐴 Yrm 𝑄))
62	57, 58, 61	3brtr3d 5143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
63		jm2.27a1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
64	52	zred 12701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
65	54	zred 12701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
66		nn0p1nn 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
67	50, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
68	67	nngt0d 12286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐽 + 1))
69		2nn 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
70	3	nnsqcld 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
71		nnmulcl 12258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
72	69, 70, 71	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
73	72	nngt0d 12286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · (𝐶↑2)))
74	64, 65, 68, 73	mulgt0d 11366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
75	74, 59	breqtrrd 5140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
76		rmy0 43639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
77	63, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
78	60	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) = 𝐸)
79	75, 77, 78	3brtr4d 5144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄))
80		ltrmy 43662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
81	63, 29, 43, 80	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
82	79, 81	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑄)
83		elnnz 12602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑄))
84	43, 82, 83	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
85	3	nngt0d 12286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
86	1	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) = 𝐶)
87	85, 77, 86	3brtr4d 5144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃))
88		ltrmy 43662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
89	63, 29, 10, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
90	87, 89	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
91		elnnz 12602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
92	10, 90, 91	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
93		jm2.20nn 43707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
94	63, 84, 92, 93	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
95	62, 94	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄)
96	1, 4	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ)
97		muldvds2 16340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
98	10, 96, 43, 97	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
99	95, 98	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄)
100	1, 99	eqbrtrd 5134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∥ 𝑄)
101	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
102		dvdscmul 16341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
103	4, 43, 101, 102	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∥ 𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
104	100, 103	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄))
105		jm2.27a25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
106		jm2.27a6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
107	106	nn0zd 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
108	105, 107	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
109		frmy 43624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
110	109	fovcl 7540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
111	63, 9, 110	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
112	26, 12	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
113		eluzelz 12873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
114	63, 113	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
115	114, 17	zsubcld 12706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∈ ℤ)
116	111, 112	zsubcld 12706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ)
117		jm2.27a16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))
118		congsym 43678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∥ (𝐺 − 𝐴))) → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
119	107, 17, 114, 117, 118	syl22anc 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐴 − 𝐺))
120	105, 119	eqbrtrrd 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴 − 𝐺))
121		jm2.15nn0 43713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
122	63, 22, 34, 121	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
123	108, 115, 116, 120, 122	dvdstrd 16354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
124		jm2.27a18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∥ (𝐻 − 𝐶))
125	26, 1	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
126	124, 105, 125	3brtr3d 5143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
127		congtr 43675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ) ∧ ((𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
128	108, 111, 112, 96, 123, 126, 127	syl222anc 1413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
129	128	orcd 886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))))
130		jm2.26 43712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
131	63, 84, 9, 10, 130	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
132	129, 131	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
133		dvdsacongtr 43694	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄) ∧ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
134	45, 9, 10, 6, 104, 132, 133	syl222anc 1413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
135		acongtr 43688	. . . . 5 ⊢ ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
136	6, 8, 9, 10, 42, 134, 135	syl222anc 1413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
137	7	nnnn0d 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
138	3	nnnn0d 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
139		jm2.27a20	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
140		elfz2nn0 13648	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
141	137, 138, 139, 140	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0...𝐶))
142	92	nnnn0d 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
143		rmygeid 43674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
144	63, 142, 143	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
145	144, 1	breqtrrd 5140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝐶)
146		elfz2nn0 13648	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 𝐶))
147	142, 138, 145, 146	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (0...𝐶))
148		acongeq 43693	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (0...𝐶)) → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
149	3, 141, 147, 148	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − 𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
150	136, 149	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝑃)
151	150	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) = (𝐴 Yrm 𝑃))
152	1, 151	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  -cneg 11443  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  ↑cexp 14099   ∥ cdvds 16311   X_rm crmx 43610   Y_rm crmy 43611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-prm 16731  df-numer 16795  df-denom 16796  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26702  df-squarenn 43551  df-pell1qr 43552  df-pell14qr 43553  df-pell1234qr 43554  df-pellfund 43555  df-rmx 43612  df-rmy 43613

This theorem is referenced by:  jm2.27b  43716