Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27a 41315
Description: Lemma for jm2.27 41318. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm2.27a2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12 (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13 (𝜑𝐺 ∈ (ℤ‘2))
jm2.27a14 (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15 (𝜑𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16 (𝜑𝐹 ∥ (𝐺𝐴))
jm2.27a17 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18 (𝜑𝐹 ∥ (𝐻𝐶))
jm2.27a19 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))
jm2.27a20 (𝜑𝐵𝐶)
jm2.27a21 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
jm2.27a22 (𝜑𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑃))
jm2.27a23 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
jm2.27a24 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
jm2.27a25 (𝜑𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
jm2.27a26 (𝜑𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
jm2.27a27 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
jm2.27a28 (𝜑𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑅))
jm2.27a29 (𝜑𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
Assertion
Ref Expression
jm2.27a (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27a
StepHypRef Expression
1 jm2.27a23 . 2 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
2 2z 12535 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
3 jm2.27a3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
43nnzd 12526 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
5 zmulcl 12552 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
62, 4, 5sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
7 jm2.27a2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
87nnzd 12526 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
9 jm2.27a27 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
10 jm2.27a21 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
11 jm2.27a8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
1211nn0zd 12525 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
13 jm2.27a19 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))
14 congsym 41278 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻))
156, 12, 8, 13, 14syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻))
16 jm2.27a7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
1716nn0zd 12525 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
18 peano2zm 12546 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
2012, 9zsubcld 12612 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝑅) ∈ ℤ)
21 jm2.27a17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
22 jm2.27a13 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (ℤ‘2))
2311nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝐻)
24 rmy0 41239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
26 jm2.27a29 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
2726eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) = 𝐻)
2823, 25, 273brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅))
29 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
30 lermy 41265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
3122, 29, 9, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
3228, 31mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
33 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑅))
349, 32, 33sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
35 jm2.16nn0 41314 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3622, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3726oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑅) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3836, 37breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻𝑅))
396, 19, 20, 21, 38dvdstrd 16177 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅))
40 congtr 41275 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅))
416, 8, 12, 9, 15, 39, 40syl222anc 1386 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅))
4241orcd 871 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)))
43 jm2.27a24 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
44 zmulcl 12552 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
452, 43, 44sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
46 zsqcl 14034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
474, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
48 dvdsmul2 16161 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
492, 47, 48sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
50 jm2.27a10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5150nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
5251peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
53 zmulcl 12552 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
542, 47, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
55 dvdsmultr2 16180 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ) → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
5647, 52, 54, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
5749, 56mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
581oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2))
59 jm2.27a15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
60 jm2.27a26 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
6159, 60eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (𝐴 Yrm 𝑄))
6257, 58, 613brtr3d 5136 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
63 jm2.27a1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6452zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
6554zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
66 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
6750, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
6867nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (𝐽 + 1))
69 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
703nnsqcld 14147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
71 nnmulcl 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
7269, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
7372nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (2 · (𝐶↑2)))
7464, 65, 68, 73mulgt0d 11310 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
7574, 59breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐸)
76 rmy0 41239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
7763, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
7860eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) = 𝐸)
7975, 77, 783brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄))
80 ltrmy 41262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
8163, 29, 43, 80syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
8279, 81mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑄)
83 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ ℕ ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑄))
8443, 82, 83sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
853nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐶)
861eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) = 𝐶)
8785, 77, 863brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃))
88 ltrmy 41262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
8963, 29, 10, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
9087, 89mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑃)
91 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
9210, 90, 91sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
93 jm2.20nn 41307 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
9463, 84, 92, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
9562, 94mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄)
961, 4eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ)
97 muldvds2 16164 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
9810, 96, 43, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
9995, 98mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄)
1001, 99eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑄)
1012a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
102 dvdscmul 16165 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐶𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
1034, 43, 101, 102syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
104100, 103mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄))
105 jm2.27a25 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
106 jm2.27a6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
107106nn0zd 12525 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
108105, 107eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
109 frmy 41224 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
110109fovcl 7484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
11163, 9, 110syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
11226, 12eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
113 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
11463, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
115114, 17zsubcld 12612 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐺) ∈ ℤ)
116111, 112zsubcld 12612 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ)
117 jm2.27a16 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∥ (𝐺𝐴))
118 congsym 41278 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∥ (𝐺𝐴))) → 𝐹 ∥ (𝐴𝐺))
119107, 17, 114, 117, 118syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∥ (𝐴𝐺))
120105, 119eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴𝐺))
121 jm2.15nn0 41313 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
12263, 22, 34, 121syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
123108, 115, 116, 120, 122dvdstrd 16177 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
124 jm2.27a18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∥ (𝐻𝐶))
12526, 1oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
126124, 105, 1253brtr3d 5136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
127 congtr 41275 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ) ∧ ((𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
128108, 111, 112, 96, 123, 126, 127syl222anc 1386 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
129128orcd 871 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))))
130 jm2.26 41312 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
13163, 84, 9, 10, 130syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
132129, 131mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
133 dvdsacongtr 41294 . . . . . 6 ((((2 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄) ∧ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
13445, 9, 10, 6, 104, 132, 133syl222anc 1386 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
135 acongtr 41288 . . . . 5 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
1366, 8, 9, 10, 42, 134, 135syl222anc 1386 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
1377nnnn0d 12473 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
1383nnnn0d 12473 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
139 jm2.27a20 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
140 elfz2nn0 13532 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0𝐵𝐶))
141137, 138, 139, 140syl3anbrc 1343 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (0...𝐶))
14292nnnn0d 12473 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
143 rmygeid 41274 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
14463, 142, 143syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
145144, 1breqtrrd 5133 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐶)
146 elfz2nn0 13532 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0𝑃𝐶))
147142, 138, 145, 146syl3anbrc 1343 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (0...𝐶))
148 acongeq 41293 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (0...𝐶)) → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
1493, 141, 147, 148syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
150136, 149mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝑃)
151150oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) = (𝐴 Yrm 𝑃))
1521, 151eqtr4d 2779 1 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  cexp 13967  cdvds 16136   Xrm crmx 41209   Yrm crmy 41210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-numer 16610  df-denom 16611  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-squarenn 41150  df-pell1qr 41151  df-pell14qr 41152  df-pell1234qr 41153  df-pellfund 41154  df-rmx 41211  df-rmy 41212
This theorem is referenced by:  jm2.27b  41316
  Copyright terms: Public domain W3C validator