Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27a 41792
Description: Lemma for jm2.27 41795. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm2.27a2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
jm2.27a3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
jm2.27a4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
jm2.27a5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•0)
jm2.27a6 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„•0)
jm2.27a7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„•0)
jm2.27a8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•0)
jm2.27a9 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•0)
jm2.27a10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
jm2.27a11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ถโ†‘2))) = 1)
jm2.27a12 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ†‘2) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ธโ†‘2))) = 1)
jm2.27a13 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
jm2.27a14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผโ†‘2) โˆ’ (((๐บโ†‘2) โˆ’ 1) ยท (๐ปโ†‘2))) = 1)
jm2.27a15 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = ((๐ฝ + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
jm2.27a16 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆฅ (๐บ โˆ’ ๐ด))
jm2.27a17 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐บ โˆ’ 1))
jm2.27a18 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆฅ (๐ป โˆ’ ๐ถ))
jm2.27a19 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ป โˆ’ ๐ต))
jm2.27a20 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
jm2.27a21 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
jm2.27a22 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = (๐ด Xrm ๐‘ƒ))
jm2.27a23 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐‘ƒ))
jm2.27a24 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
jm2.27a25 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐ด Xrm ๐‘„))
jm2.27a26 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (๐ด Yrm ๐‘„))
jm2.27a27 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
jm2.27a28 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (๐บ Xrm ๐‘…))
jm2.27a29 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = (๐บ Yrm ๐‘…))
Assertion
Ref Expression
jm2.27a (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต))

Proof of Theorem jm2.27a
StepHypRef Expression
1 jm2.27a23 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐‘ƒ))
2 2z 12594 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
3 jm2.27a3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
43nnzd 12585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
5 zmulcl 12611 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
62, 4, 5sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
7 jm2.27a2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
87nnzd 12585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
9 jm2.27a27 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
10 jm2.27a21 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
11 jm2.27a8 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„•0)
1211nn0zd 12584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„ค)
13 jm2.27a19 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ป โˆ’ ๐ต))
14 congsym 41755 . . . . . . . 8 ((((2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ป โˆ’ ๐ต))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ป))
156, 12, 8, 13, 14syl22anc 838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ป))
16 jm2.27a7 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„ค)
18 peano2zm 12605 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐บ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2012, 9zsubcld 12671 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
21 jm2.27a17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐บ โˆ’ 1))
22 jm2.27a13 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2311nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ป)
24 rmy0 41716 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐บ Yrm 0) = 0)
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐บ Yrm 0) = 0)
26 jm2.27a29 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = (๐บ Yrm ๐‘…))
2726eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐บ Yrm ๐‘…) = ๐ป)
2823, 25, 273brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐บ Yrm 0) โ‰ค (๐บ Yrm ๐‘…))
29 0zd 12570 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
30 lermy 41742 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘… โ†” (๐บ Yrm 0) โ‰ค (๐บ Yrm ๐‘…)))
3122, 29, 9, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘… โ†” (๐บ Yrm 0) โ‰ค (๐บ Yrm ๐‘…)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘…)
33 elnn0z 12571 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘…))
349, 32, 33sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
35 jm2.16nn0 41791 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บ โˆ’ 1) โˆฅ ((๐บ Yrm ๐‘…) โˆ’ ๐‘…))
3622, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆ’ 1) โˆฅ ((๐บ Yrm ๐‘…) โˆ’ ๐‘…))
3726oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆ’ ๐‘…) = ((๐บ Yrm ๐‘…) โˆ’ ๐‘…))
3836, 37breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆ’ 1) โˆฅ (๐ป โˆ’ ๐‘…))
396, 19, 20, 21, 38dvdstrd 16238 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ป โˆ’ ๐‘…))
40 congtr 41752 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ป โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐ป) โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ป โˆ’ ๐‘…))) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐‘…))
416, 8, 12, 9, 15, 39, 40syl222anc 1387 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐‘…))
4241orcd 872 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐‘…) โˆจ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐‘…)))
43 jm2.27a24 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
44 zmulcl 12611 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ค)
452, 43, 44sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ค)
46 zsqcl 14094 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
474, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
48 dvdsmul2 16222 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆฅ (2 ยท (๐ถโ†‘2)))
492, 47, 48sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆฅ (2 ยท (๐ถโ†‘2)))
50 jm2.27a10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
5150nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
5251peano2zd 12669 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„ค)
53 zmulcl 12611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
542, 47, 53sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
55 dvdsmultr2 16241 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆฅ (2 ยท (๐ถโ†‘2)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆฅ ((๐ฝ + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2)))))
5647, 52, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘2) โˆฅ (2 ยท (๐ถโ†‘2)) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆฅ ((๐ฝ + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2)))))
5749, 56mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆฅ ((๐ฝ + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
581oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((๐ด Yrm ๐‘ƒ)โ†‘2))
59 jm2.27a15 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = ((๐ฝ + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
60 jm2.27a26 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (๐ด Yrm ๐‘„))
6159, 60eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))) = (๐ด Yrm ๐‘„))
6257, 58, 613brtr3d 5180 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘ƒ)โ†‘2) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘„))
63 jm2.27a1 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6452zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„)
6554zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„)
66 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„•)
6750, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„•)
6867nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ฝ + 1))
69 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„•
703nnsqcld 14207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„•)
71 nnmulcl 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„•)
7269, 70, 71sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„•)
7372nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < (2 ยท (๐ถโ†‘2)))
7464, 65, 68, 73mulgt0d 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ฝ + 1) ยท (2 ยท (๐ถโ†‘2))))
7574, 59breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ธ)
76 rmy0 41716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐ด Yrm 0) = 0)
7763, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Yrm 0) = 0)
7860eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Yrm ๐‘„) = ๐ธ)
7975, 77, 783brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Yrm 0) < (๐ด Yrm ๐‘„))
80 ltrmy 41739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < ๐‘„ โ†” (๐ด Yrm 0) < (๐ด Yrm ๐‘„)))
8163, 29, 43, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐‘„ โ†” (๐ด Yrm 0) < (๐ด Yrm ๐‘„)))
8279, 81mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘„)
83 elnnz 12568 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘„ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘„))
8443, 82, 83sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
853nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ถ)
861eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ) = ๐ถ)
8785, 77, 863brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Yrm 0) < (๐ด Yrm ๐‘ƒ))
88 ltrmy 41739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < ๐‘ƒ โ†” (๐ด Yrm 0) < (๐ด Yrm ๐‘ƒ)))
8963, 29, 10, 88syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐‘ƒ โ†” (๐ด Yrm 0) < (๐ด Yrm ๐‘ƒ)))
9087, 89mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘ƒ)
91 elnnz 12568 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘ƒ))
9210, 90, 91sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
93 jm2.20nn 41784 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด Yrm ๐‘ƒ)โ†‘2) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘„) โ†” (๐‘ƒ ยท (๐ด Yrm ๐‘ƒ)) โˆฅ ๐‘„))
9463, 84, 92, 93syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด Yrm ๐‘ƒ)โ†‘2) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘„) โ†” (๐‘ƒ ยท (๐ด Yrm ๐‘ƒ)) โˆฅ ๐‘„))
9562, 94mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐ด Yrm ๐‘ƒ)) โˆฅ ๐‘„)
961, 4eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
97 muldvds2 16225 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด Yrm ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ ยท (๐ด Yrm ๐‘ƒ)) โˆฅ ๐‘„ โ†’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘„))
9810, 96, 43, 97syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ ยท (๐ด Yrm ๐‘ƒ)) โˆฅ ๐‘„ โ†’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘„))
9995, 98mpd 15 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ) โˆฅ ๐‘„)
1001, 99eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆฅ ๐‘„)
1012a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
102 dvdscmul 16226 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐‘„ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (2 ยท ๐‘„)))
1034, 43, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐‘„ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (2 ยท ๐‘„)))
104100, 103mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (2 ยท ๐‘„))
105 jm2.27a25 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น = (๐ด Xrm ๐‘„))
106 jm2.27a6 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„•0)
107106nn0zd 12584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„ค)
108105, 107eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Xrm ๐‘„) โˆˆ โ„ค)
109 frmy 41701 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((โ„คโ‰ฅโ€˜2) ร— โ„ค)โŸถโ„ค
110109fovcl 7537 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด Yrm ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
11163, 9, 110syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Yrm ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
11226, 12eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ Yrm ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
113 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
11463, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
115114, 17zsubcld 12671 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐บ) โˆˆ โ„ค)
116111, 112zsubcld 12671 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐บ Yrm ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
117 jm2.27a16 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆฅ (๐บ โˆ’ ๐ด))
118 congsym 41755 . . . . . . . . . . . 12 (((๐น โˆˆ โ„ค โˆง ๐บ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐น โˆฅ (๐บ โˆ’ ๐ด))) โ†’ ๐น โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐บ))
119107, 17, 114, 117, 118syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐บ))
120105, 119eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐บ))
121 jm2.15nn0 41790 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐บ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐บ) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐บ Yrm ๐‘…)))
12263, 22, 34, 121syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐บ) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐บ Yrm ๐‘…)))
123108, 115, 116, 120, 122dvdstrd 16238 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐บ Yrm ๐‘…)))
124 jm2.27a18 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆฅ (๐ป โˆ’ ๐ถ))
12526, 1oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ป โˆ’ ๐ถ) = ((๐บ Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ)))
126124, 105, 1253brtr3d 5180 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐บ Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ)))
127 congtr 41752 . . . . . . . . 9 ((((๐ด Xrm ๐‘„) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด Yrm ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐บ Yrm ๐‘…) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด Yrm ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐บ Yrm ๐‘…)) โˆง (๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐บ Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ)))) โ†’ (๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ)))
128108, 111, 112, 96, 123, 126, 127syl222anc 1387 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ)))
129128orcd 872 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ)) โˆจ (๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ -(๐ด Yrm ๐‘ƒ))))
130 jm2.26 41789 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ)) โˆจ (๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ -(๐ด Yrm ๐‘ƒ))) โ†” ((2 ยท ๐‘„) โˆฅ (๐‘… โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐‘„) โˆฅ (๐‘… โˆ’ -๐‘ƒ))))
13163, 84, 9, 10, 130syl22anc 838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ (๐ด Yrm ๐‘ƒ)) โˆจ (๐ด Xrm ๐‘„) โˆฅ ((๐ด Yrm ๐‘…) โˆ’ -(๐ด Yrm ๐‘ƒ))) โ†” ((2 ยท ๐‘„) โˆฅ (๐‘… โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐‘„) โˆฅ (๐‘… โˆ’ -๐‘ƒ))))
132129, 131mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘„) โˆฅ (๐‘… โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐‘„) โˆฅ (๐‘… โˆ’ -๐‘ƒ)))
133 dvdsacongtr 41771 . . . . . 6 ((((2 ยท ๐‘„) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (2 ยท ๐‘„) โˆง ((2 ยท ๐‘„) โˆฅ (๐‘… โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐‘„) โˆฅ (๐‘… โˆ’ -๐‘ƒ)))) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘… โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘… โˆ’ -๐‘ƒ)))
13445, 9, 10, 6, 104, 132, 133syl222anc 1387 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘… โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘… โˆ’ -๐‘ƒ)))
135 acongtr 41765 . . . . 5 ((((2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โˆง (((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐‘…) โˆจ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐‘…)) โˆง ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘… โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐‘… โˆ’ -๐‘ƒ)))) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐‘ƒ)))
1366, 8, 9, 10, 42, 134, 135syl222anc 1387 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐‘ƒ)))
1377nnnn0d 12532 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
1383nnnn0d 12532 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
139 jm2.27a20 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)
140 elfz2nn0 13592 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ (0...๐ถ) โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โ‰ค ๐ถ))
141137, 138, 139, 140syl3anbrc 1344 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (0...๐ถ))
14292nnnn0d 12532 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
143 rmygeid 41751 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐ด Yrm ๐‘ƒ))
14463, 142, 143syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐ด Yrm ๐‘ƒ))
145144, 1breqtrrd 5177 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐ถ)
146 elfz2nn0 13592 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (0...๐ถ) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โ‰ค ๐ถ))
147142, 138, 145, 146syl3anbrc 1344 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (0...๐ถ))
148 acongeq 41770 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ถ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (0...๐ถ)) โ†’ (๐ต = ๐‘ƒ โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐‘ƒ))))
1493, 141, 147, 148syl3anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต = ๐‘ƒ โ†” ((2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) โˆจ (2 ยท ๐ถ) โˆฅ (๐ต โˆ’ -๐‘ƒ))))
150136, 149mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ๐‘ƒ)
151150oveq2d 7425 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด Yrm ๐ต) = (๐ด Yrm ๐‘ƒ))
1521, 151eqtr4d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = (๐ด Yrm ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027   โˆฅ cdvds 16197   Xrm crmx 41686   Yrm crmy 41687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-numer 16671  df-denom 16672  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-squarenn 41627  df-pell1qr 41628  df-pell14qr 41629  df-pell1234qr 41630  df-pellfund 41631  df-rmx 41688  df-rmy 41689
This theorem is referenced by:  jm2.27b  41793
  Copyright terms: Public domain W3C validator