knoppndvlem21 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem21 37613

Description: Lemma for knoppndv 37615. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem21.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem21.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem21.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem21.g	⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
knoppndvlem21.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( -1(,)1))
knoppndvlem21.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem21.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem21.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem21.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
knoppndvlem21.2	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) < 𝐷)
knoppndvlem21.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem21	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝐷,𝑎,𝑏 𝐸,𝑎,𝑏 𝑖,𝐹,𝑤 𝐻,𝑎,𝑏 𝐽,𝑎,𝑏 𝑖,𝐽,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐽,𝑖,𝑤 𝑁,𝑎,𝑏 𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝑊,𝑎,𝑏 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥, 𝑎, 𝑏) 𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑎, 𝑏) 𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛) 𝑇(𝑥, 𝑤, 𝑖, 𝑎, 𝑏) 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛, 𝑎, 𝑏) 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛, 𝑎, 𝑏) 𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛) 𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem21 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3		knoppndvlem21.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
4		knoppndvlem21.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
5		knoppndvlem21.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	knoppndvlem19 37611	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
7		2re 12457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	5	nnred 12390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
11		2pos 12487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
13	5	nngt0d 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
14	8, 9, 12, 13	mulgt0d 11504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
15	14	gt0ne0d 11920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
16	3	nn0zd 12758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
17	16	znegcld 12845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
18	10, 15, 17	reexpclzd 14434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑ -𝐽) ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 12633	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℝ)
21		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
22	21	zred 12843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11378	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
24	23	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
25		peano2re 11522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
26	22, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
27	20, 26	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ))
28		remulcl 11324	. . . . . 6 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
30	29	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
31		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
32	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ₀)
33	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	1, 2, 32, 21, 33	knoppndvlem16 37608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
35		knoppndvlem21.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) < 𝐷)
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) < 𝐷)
37	34, 36	eqbrtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷)
38	10, 17, 14	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
39		expgt0 14278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑ -𝐽))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑ -𝐽))
41	18, 8, 40, 12	divgt0d 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
43	34	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) = (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))
44	42, 43	breqtrd 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))
45	23, 29	posdifd 11943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ↔ 0 < (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))
46	44, 45	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
47	23, 46	ltned 11485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
48	37, 47	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
49	48	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
50		knoppndvlem21.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
51	50	rpred 13204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
52	51	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℝ)
53		knoppndvlem21.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( -1(,)1))
54	53	knoppndvlem3 37595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
55	54	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
57	56	abscld 15650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
58	10, 57	remulcld 11378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
59	58, 3	reexpcld 14346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
60		knoppndvlem21.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
62		knoppndvlem21.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
63	53, 5, 62	knoppndvlem20 37612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ⁺)
64	63	rpred 13204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
65	61, 64	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
66	59, 65	remulcld 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
67	66	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
68		knoppndvlem21.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
69		knoppndvlem21.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
70		knoppndvlem21.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
71	55	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
72	54	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
73	72	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘𝐶) < 1)
74	68, 69, 70, 29, 33, 71, 73	knoppcld 37586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
75	68, 69, 70, 23, 33, 71, 73	knoppcld 37586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) ∈ ℝ)
78	34, 20	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℝ)
79	44	gt0ne0d 11920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	redivcld 12185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℝ)
81		knoppndvlem21.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
82	81	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
83	60	oveq2i 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
84	83	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
85	53	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ( -1(,)1))
86	62	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
87	68, 69, 70, 1, 2, 85, 32, 21, 33, 86	knoppndvlem17 37609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))
88	84, 87	eqbrtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))
89	52, 67, 80, 82, 88	letrd 11506	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))
90	89	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))
91	31, 49, 90	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))))
92	24, 30, 91	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))))
93		breq1 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻))
94	93	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏)))
95		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))
96	95	breq1d 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ↔ (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
97		neeq1 3021	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏))
98	96, 97	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏)))
99		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑊‘𝑎) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))
100	99	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎)) = ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))
101	100	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) = (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))))
102	101, 95	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) = ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))
103	102	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))))
104	94, 98, 103	3anbi123d 1465	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))))
105		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐻 ≤ 𝑏 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
106	105	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
107		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))
108	107	breq1d 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ↔ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
109		neeq2 3022	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
110	108, 109	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
111		fveq2 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑊‘𝑏) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
112	111	fvoveq1d 7473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) = (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))))
113	112, 107	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))) = ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))
114	113	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))))
115	106, 110, 114	3anbi123d 1465	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))))
116	104, 115	rspc2ev 3592	. . 3 ⊢ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
117	92, 116	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
118	6, 117	rexlimddv 3173	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 ∃wrex 3090 class class class wbr 5108 ↦ cmpt 5192 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ℝcr 11238 0cc0 11239 1c1 11240 + caddc 11242 · cmul 11244 < clt 11382 ≤ cle 11383 − cmin 11580 -cneg 11581 / cdiv 12013 ℕcn 12375 2c2 12437 ℕ₀cn0 12646 ℤcz 12733 ℝ⁺crp 13160 (,)cioo 13516 ⌊cfl 13970 ↑cexp 14244 abscabs 15444 Σcsu 15897

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-inf2 9679 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317 ax-addf 11318

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4841 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-iin 4959 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-se 5612 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-isom 6575 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-of 7725 df-om 7912 df-1st 8035 df-2nd 8036 df-supp 8215 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-1o 8514 df-2o 8515 df-er 8755 df-map 8887 df-pm 8888 df-ixp 8964 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-fin 9015 df-fsupp 9392 df-fi 9440 df-sup 9471 df-inf 9472 df-oi 9541 df-card 10057 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-4 12447 df-5 12448 df-6 12449 df-7 12450 df-8 12451 df-9 12452 df-n0 12647 df-z 12734 df-dec 12855 df-uz 13006 df-q 13116 df-rp 13161 df-xneg 13281 df-xadd 13282 df-xmul 13283 df-ioo 13520 df-ico 13522 df-icc 13523 df-fz 13680 df-fzo 13829 df-fl 13972 df-seq 14185 df-exp 14245 df-hash 14516 df-cj 15309 df-re 15310 df-im 15311 df-sqrt 15445 df-abs 15446 df-limsup 15682 df-clim 15699 df-rlim 15700 df-sum 15898 df-dvds 16467 df-struct 17369 df-sets 17386 df-slot 17404 df-ndx 17416 df-base 17432 df-ress 17453 df-plusg 17486 df-mulr 17487 df-starv 17488 df-sca 17489 df-vsca 17490 df-ip 17491 df-tset 17492 df-ple 17493 df-ds 17495 df-unif 17496 df-hom 17497 df-cco 17498 df-euf 17499 df-rest 17643 df-topn 17644 df-0g 17662 df-gsum 17663 df-topgen 17664 df-pt 17665 df-prds 17668 df-xrs 17724 df-qtop 17729 df-imas 17730 df-xps 17732 df-mre 17806 df-mrc 17807 df-acs 17809 df-mgm 18866 df-sgrp 18958 df-mnd 18974 df-submnd 19029 df-mulg 19328 df-cntz 19582 df-cmn 20047 df-psmet 21721 df-xmet 21722 df-met 21723 df-bl 21724 df-mopn 21725 df-cnfld 21730 df-top 23267 df-topon 23284 df-topsp 23306 df-bases 23319 df-cn 23600 df-cnp 23601 df-tx 23936 df-hmeo 24129 df-xms 24694 df-ms 24695 df-tms 24696 df-cncf 25254 df-ulm 26761

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