knoppndvlem21 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem21 36040

Description: Lemma for knoppndv 36042. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem21.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem21.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem21.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem21.g	⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
knoppndvlem21.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem21.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem21.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem21.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem21.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
knoppndvlem21.2	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
knoppndvlem21.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem21	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝐷,𝑎,𝑏 𝐸,𝑎,𝑏 𝑖,𝐹,𝑤 𝐻,𝑎,𝑏 𝐽,𝑎,𝑏 𝑖,𝐽,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐽,𝑖,𝑤 𝑁,𝑎,𝑏 𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝑊,𝑎,𝑏 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑎,𝑏) 𝐶(𝑥,𝑤,𝑎,𝑏) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑇(𝑥,𝑤,𝑖,𝑎,𝑏) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎,𝑏) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛,𝑎,𝑏) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem21 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3		knoppndvlem21.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
4		knoppndvlem21.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
5		knoppndvlem21.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	knoppndvlem19 36038	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
7		2re 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	5	nnred 12265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
11		2pos 12353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
13	5	nngt0d 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
14	8, 9, 12, 13	mulgt0d 11407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
15	14	gt0ne0d 11816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
16	3	nn0zd 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
17	16	znegcld 12706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
18	10, 15, 17	reexpclzd 14251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 12497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	19	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
21		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
22	21	zred 12704	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
24	23	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
25		peano2re 11425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
26	22, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
27	20, 26	jca 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ))
28		remulcl 11231	. . . . . 6 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
30	29	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
31		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
32	3	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ₀)
33	5	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	1, 2, 32, 21, 33	knoppndvlem16 36035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
35		knoppndvlem21.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
36	35	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
37	34, 36	eqbrtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷)
38	10, 17, 14	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
39		expgt0 14100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
41	18, 8, 40, 12	divgt0d 12187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
42	41	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
43	34	eqcomd 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
44	42, 43	breqtrd 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
45	23, 29	posdifd 11839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ↔ 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
46	44, 45	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
47	23, 46	ltned 11388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
48	37, 47	jca 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
49	48	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
50		knoppndvlem21.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
51	50	rpred 13056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
52	51	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℝ)
53		knoppndvlem21.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
54	53	knoppndvlem3 36022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
55	54	simpld 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
57	56	abscld 15423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
58	10, 57	remulcld 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
59	58, 3	reexpcld 14167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
60		knoppndvlem21.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
62		knoppndvlem21.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
63	53, 5, 62	knoppndvlem20 36039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ⁺)
64	63	rpred 13056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
65	61, 64	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
66	59, 65	remulcld 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
67	66	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
68		knoppndvlem21.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
69		knoppndvlem21.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
70		knoppndvlem21.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
71	55	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
72	54	simprd 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
73	72	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘𝐶) < 1)
74	68, 69, 70, 29, 33, 71, 73	knoppcld 36013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
75	68, 69, 70, 23, 33, 71, 73	knoppcld 36013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ∈ ℝ)
78	34, 20	eqeltrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℝ)
79	44	gt0ne0d 11816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	redivcld 12080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℝ)
81		knoppndvlem21.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
82	81	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
83	60	oveq2i 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
84	83	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
85	53	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
86	62	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
87	68, 69, 70, 1, 2, 85, 32, 21, 33, 86	knoppndvlem17 36036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
88	84, 87	eqbrtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
89	52, 67, 80, 82, 88	letrd 11409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
90	89	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
91	31, 49, 90	3jca 1125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
92	24, 30, 91	3jca 1125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
93		breq1 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻))
94	93	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏)))
95		oveq2 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
96	95	breq1d 5162	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ↔ (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
97		neeq1 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏))
98	96, 97	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏)))
99		fveq2 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑊‘𝑎) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
100	99	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎)) = ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
101	100	fveq2d 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) = (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
102	101, 95	oveq12d 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) = ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
103	102	breq2d 5164	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
104	94, 98, 103	3anbi123d 1432	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
105		breq2 5156	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐻 ≤ 𝑏 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
106	105	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
107		oveq1 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
108	107	breq1d 5162	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
109		neeq2 3001	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
110	108, 109	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
111		fveq2 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑊‘𝑏) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
112	111	fvoveq1d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) = (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
113	112, 107	oveq12d 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) = ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
114	113	breq2d 5164	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
115	106, 110, 114	3anbi123d 1432	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
116	104, 115	rspc2ev 3624	. . 3 ⊢ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
117	92, 116	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
118	6, 117	rexlimddv 3158	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2937 ∃wrex 3067 class class class wbr 5152 ↦ cmpt 5235 ‘cfv 6553 (class class class)co 7426 ℝcr 11145 0cc0 11146 1c1 11147 + caddc 11149 · cmul 11151 < clt 11286 ≤ cle 11287 − cmin 11482 -cneg 11483 / cdiv 11909 ℕcn 12250 2c2 12305 ℕ₀cn0 12510 ℤcz 12596 ℝ⁺crp 13014 (,)cioo 13364 ⌊cfl 13795 ↑cexp 14066 abscabs 15221 Σcsu 15672

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-inf2 9672 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 ax-addf 11225

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-iin 5003 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-of 7691 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8172 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-2o 8494 df-er 8731 df-map 8853 df-pm 8854 df-ixp 8923 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-fsupp 9394 df-fi 9442 df-sup 9473 df-inf 9474 df-oi 9541 df-card 9970 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-4 12315 df-5 12316 df-6 12317 df-7 12318 df-8 12319 df-9 12320 df-n0 12511 df-z 12597 df-dec 12716 df-uz 12861 df-q 12971 df-rp 13015 df-xneg 13132 df-xadd 13133 df-xmul 13134 df-ioo 13368 df-ico 13370 df-icc 13371 df-fz 13525 df-fzo 13668 df-fl 13797 df-seq 14007 df-exp 14067 df-hash 14330 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-sqrt 15222 df-abs 15223 df-limsup 15455 df-clim 15472 df-rlim 15473 df-sum 15673 df-dvds 16239 df-struct 17123 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-ress 17217 df-plusg 17253 df-mulr 17254 df-starv 17255 df-sca 17256 df-vsca 17257 df-ip 17258 df-tset 17259 df-ple 17260 df-ds 17262 df-unif 17263 df-hom 17264 df-cco 17265 df-rest 17411 df-topn 17412 df-0g 17430 df-gsum 17431 df-topgen 17432 df-pt 17433 df-prds 17436 df-xrs 17491 df-qtop 17496 df-imas 17497 df-xps 17499 df-mre 17573 df-mrc 17574 df-acs 17576 df-mgm 18607 df-sgrp 18686 df-mnd 18702 df-submnd 18748 df-mulg 19031 df-cntz 19275 df-cmn 19744 df-psmet 21278 df-xmet 21279 df-met 21280 df-bl 21281 df-mopn 21282 df-cnfld 21287 df-top 22816 df-topon 22833 df-topsp 22855 df-bases 22869 df-cn 23151 df-cnp 23152 df-tx 23486 df-hmeo 23679 df-xms 24246 df-ms 24247 df-tms 24248 df-cncf 24818 df-ulm 26333

This theorem is referenced by: knoppndvlem22 36041

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