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Theorem knoppndvlem21 33889
Description: Lemma for knoppndv 33891. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem21.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem21.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem21.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem21.g 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
knoppndvlem21.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem21.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
knoppndvlem21.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
knoppndvlem21.h (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem21.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem21.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem21.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
knoppndvlem21.2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
knoppndvlem21.3 (𝜑𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem21 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏   𝑖,𝐹,𝑤   𝐻,𝑎,𝑏   𝐽,𝑎,𝑏   𝑖,𝐽,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐽,𝑖,𝑤   𝑁,𝑎,𝑏   𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝑊,𝑎,𝑏   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem21
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
2 eqid 2824 . . 3 ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3 knoppndvlem21.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
4 knoppndvlem21.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
5 knoppndvlem21.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
61, 2, 3, 4, 5knoppndvlem19 33887 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
7 2re 11697 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
95nnred 11638 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
108, 9remulcld 10656 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
11 2pos 11726 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
135nngt0d 11672 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
148, 9, 12, 13mulgt0d 10780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
1514gt0ne0d 11189 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
163nn0zd 12071 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
1716znegcld 12075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
1810, 15, 17reexpclzd 13604 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
1918rehalfcld 11870 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
2019adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
21 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
2221zred 12073 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 10656 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
2423adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
25 peano2re 10798 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
2622, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
2720, 26jca 515 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ))
28 remulcl 10607 . . . . . 6 (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
3029adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
31 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
323adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
335adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
341, 2, 32, 21, 33knoppndvlem16 33884 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
35 knoppndvlem21.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
3635adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
3734, 36eqbrtrd 5069 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷)
3810, 17, 143jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
39 expgt0 13456 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
4118, 8, 40, 12divgt0d 11560 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
4241adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
4334eqcomd 2830 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
4442, 43breqtrd 5073 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
4523, 29posdifd 11212 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ↔ 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
4644, 45mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
4723, 46ltned 10761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
4837, 47jca 515 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
4948adantrr 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
50 knoppndvlem21.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5150rpred 12417 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
5251adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℝ)
53 knoppndvlem21.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
5453knoppndvlem3 33871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
5554simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5655recnd 10654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5756abscld 14785 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
5810, 57remulcld 10656 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
5958, 3reexpcld 13521 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
60 knoppndvlem21.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
62 knoppndvlem21.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
6353, 5, 62knoppndvlem20 33888 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)
6463rpred 12417 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6561, 64eqeltrd 2916 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
6659, 65remulcld 10656 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
6766adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
68 knoppndvlem21.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
69 knoppndvlem21.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
70 knoppndvlem21.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
7155adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7254simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
7372adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘𝐶) < 1)
7468, 69, 70, 29, 33, 71, 73knoppcld 33862 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
7568, 69, 70, 23, 33, 71, 73knoppcld 33862 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℂ)
7674, 75subcld 10982 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℂ)
7776abscld 14785 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ∈ ℝ)
7834, 20eqeltrd 2916 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℝ)
7944gt0ne0d 11189 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ≠ 0)
8077, 78, 79redivcld 11453 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℝ)
81 knoppndvlem21.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
8281adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
8360oveq2i 7149 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
8483a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
8553adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
8662adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
8768, 69, 70, 1, 2, 85, 32, 21, 33, 86knoppndvlem17 33885 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
8884, 87eqbrtrd 5069 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
8952, 67, 80, 82, 88letrd 10782 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
9089adantrr 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
9131, 49, 903jca 1125 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
9224, 30, 913jca 1125 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
93 breq1 5050 . . . . . 6 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻))
9493anbi1d 632 . . . . 5 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻𝑏)))
95 oveq2 7146 . . . . . . 7 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑏𝑎) = (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
9695breq1d 5057 . . . . . 6 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑏𝑎) < 𝐷 ↔ (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
97 neeq1 3075 . . . . . 6 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏))
9896, 97anbi12d 633 . . . . 5 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ↔ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏)))
99 fveq2 6651 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑊𝑎) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
10099oveq2d 7154 . . . . . . . 8 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎)) = ((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
101100fveq2d 6655 . . . . . . 7 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) = (abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
102101, 95oveq12d 7156 . . . . . 6 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎)) = ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
103102breq2d 5059 . . . . 5 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎)) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
10494, 98, 1033anbi123d 1433 . . . 4 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
105 breq2 5051 . . . . . 6 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐻𝑏𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
106105anbi2d 631 . . . . 5 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
107 oveq1 7145 . . . . . . 7 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
108107breq1d 5057 . . . . . 6 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
109 neeq2 3076 . . . . . 6 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
110108, 109anbi12d 633 . . . . 5 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
111 fveq2 6651 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑊𝑏) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
112111fvoveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) = (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
113112, 107oveq12d 7156 . . . . . 6 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) = ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
114113breq2d 5059 . . . . 5 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
115106, 110, 1143anbi123d 1433 . . . 4 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
116104, 115rspc2ev 3620 . . 3 ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
11792, 116syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
1186, 117rexlimddv 3283 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  cr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527   < clt 10660  cle 10661  cmin 10855  -cneg 10856   / cdiv 11282  cn 11623  2c2 11678  0cn0 11883  cz 11967  +crp 12375  (,)cioo 12724  cfl 13153  cexp 13423  abscabs 14582  Σcsu 15031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-limsup 14817  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-dvds 15597  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918  df-cncf 23472  df-ulm 24961
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