knoppndvlem21 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem21 34712

Description: Lemma for knoppndv 34714. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem21.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem21.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem21.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem21.g	⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
knoppndvlem21.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem21.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem21.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem21.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem21.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
knoppndvlem21.2	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
knoppndvlem21.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem21	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝐷,𝑎,𝑏 𝐸,𝑎,𝑏 𝑖,𝐹,𝑤 𝐻,𝑎,𝑏 𝐽,𝑎,𝑏 𝑖,𝐽,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐽,𝑖,𝑤 𝑁,𝑎,𝑏 𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝑊,𝑎,𝑏 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑎,𝑏) 𝐶(𝑥,𝑤,𝑎,𝑏) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑇(𝑥,𝑤,𝑖,𝑎,𝑏) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎,𝑏) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛,𝑎,𝑏) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem21 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3		knoppndvlem21.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
4		knoppndvlem21.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
5		knoppndvlem21.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	knoppndvlem19 34710	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
7		2re 12047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	5	nnred 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
11		2pos 12076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
13	5	nngt0d 12022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
14	8, 9, 12, 13	mulgt0d 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
15	14	gt0ne0d 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
16	3	nn0zd 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
17	16	znegcld 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
18	10, 15, 17	reexpclzd 13964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 12220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
21		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
22	21	zred 12426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11005	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
24	23	adantrr 714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
25		peano2re 11148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
26	22, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
27	20, 26	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ))
28		remulcl 10956	. . . . . 6 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
30	29	adantrr 714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
31		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
32	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ₀)
33	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	1, 2, 32, 21, 33	knoppndvlem16 34707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
35		knoppndvlem21.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
37	34, 36	eqbrtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷)
38	10, 17, 14	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
39		expgt0 13816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
41	18, 8, 40, 12	divgt0d 11910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
43	34	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
44	42, 43	breqtrd 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
45	23, 29	posdifd 11562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ↔ 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
46	44, 45	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
47	23, 46	ltned 11111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
48	37, 47	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
49	48	adantrr 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
50		knoppndvlem21.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
51	50	rpred 12772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℝ)
53		knoppndvlem21.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
54	53	knoppndvlem3 34694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
55	54	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
57	56	abscld 15148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
58	10, 57	remulcld 11005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
59	58, 3	reexpcld 13881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
60		knoppndvlem21.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
62		knoppndvlem21.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
63	53, 5, 62	knoppndvlem20 34711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ⁺)
64	63	rpred 12772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
65	61, 64	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
66	59, 65	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
67	66	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
68		knoppndvlem21.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
69		knoppndvlem21.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
70		knoppndvlem21.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
71	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
72	54	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘𝐶) < 1)
74	68, 69, 70, 29, 33, 71, 73	knoppcld 34685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
75	68, 69, 70, 23, 33, 71, 73	knoppcld 34685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ∈ ℝ)
78	34, 20	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℝ)
79	44	gt0ne0d 11539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	redivcld 11803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℝ)
81		knoppndvlem21.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
82	81	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
83	60	oveq2i 7286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
84	83	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
85	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
86	62	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
87	68, 69, 70, 1, 2, 85, 32, 21, 33, 86	knoppndvlem17 34708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
88	84, 87	eqbrtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
89	52, 67, 80, 82, 88	letrd 11132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
90	89	adantrr 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
91	31, 49, 90	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
92	24, 30, 91	3jca 1127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
93		breq1 5077	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻))
94	93	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏)))
95		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
96	95	breq1d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ↔ (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
97		neeq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏))
98	96, 97	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏)))
99		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑊‘𝑎) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
100	99	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎)) = ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
101	100	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) = (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
102	101, 95	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) = ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
103	102	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
104	94, 98, 103	3anbi123d 1435	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
105		breq2 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐻 ≤ 𝑏 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
106	105	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
107		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
108	107	breq1d 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
109		neeq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
110	108, 109	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
111		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑊‘𝑏) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
112	111	fvoveq1d 7297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) = (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
113	112, 107	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) = ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
114	113	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
115	106, 110, 114	3anbi123d 1435	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
116	104, 115	rspc2ev 3572	. . 3 ⊢ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
117	92, 116	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
118	6, 117	rexlimddv 3220	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∃wrex 3065 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 -cneg 11206 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℝ⁺crp 12730 (,)cioo 13079 ⌊cfl 13510 ↑cexp 13782 abscabs 14945 Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950 ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-iin 4927 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-supp 7978 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-ixp 8686 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-fsupp 9129 df-fi 9170 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xneg 12848 df-xadd 12849 df-xmul 12850 df-ioo 13083 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-limsup 15180 df-clim 15197 df-rlim 15198 df-sum 15398 df-dvds 15964 df-struct 16848 df-sets 16865 df-slot 16883 df-ndx 16895 df-base 16913 df-ress 16942 df-plusg 16975 df-mulr 16976 df-starv 16977 df-sca 16978 df-vsca 16979 df-ip 16980 df-tset 16981 df-ple 16982 df-ds 16984 df-unif 16985 df-hom 16986 df-cco 16987 df-rest 17133 df-topn 17134 df-0g 17152 df-gsum 17153 df-topgen 17154 df-pt 17155 df-prds 17158 df-xrs 17213 df-qtop 17218 df-imas 17219 df-xps 17221 df-mre 17295 df-mrc 17296 df-acs 17298 df-mgm 18326 df-sgrp 18375 df-mnd 18386 df-submnd 18431 df-mulg 18701 df-cntz 18923 df-cmn 19388 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592 df-mopn 20593 df-cnfld 20598 df-top 22043 df-topon 22060 df-topsp 22082 df-bases 22096 df-cn 22378 df-cnp 22379 df-tx 22713 df-hmeo 22906 df-xms 23473 df-ms 23474 df-tms 23475 df-cncf 24041 df-ulm 25536

This theorem is referenced by: knoppndvlem22 34713

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