knoppndvlem21 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem21 36811

Description: Lemma for knoppndv 36813. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem21.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem21.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem21.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem21.g	⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
knoppndvlem21.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem21.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem21.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem21.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem21.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
knoppndvlem21.2	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
knoppndvlem21.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem21	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝐷,𝑎,𝑏 𝐸,𝑎,𝑏 𝑖,𝐹,𝑤 𝐻,𝑎,𝑏 𝐽,𝑎,𝑏 𝑖,𝐽,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐽,𝑖,𝑤 𝑁,𝑎,𝑏 𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝑊,𝑎,𝑏 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑎,𝑏) 𝐶(𝑥,𝑤,𝑎,𝑏) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑇(𝑥,𝑤,𝑖,𝑎,𝑏) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎,𝑏) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛,𝑎,𝑏) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem21 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3		knoppndvlem21.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
4		knoppndvlem21.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
5		knoppndvlem21.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	knoppndvlem19 36809	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
7		2re 12249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	5	nnred 12183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
11		2pos 12278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
13	5	nngt0d 12220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
14	8, 9, 12, 13	mulgt0d 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
15	14	gt0ne0d 11708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
16	3	nn0zd 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
17	16	znegcld 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
18	10, 15, 17	reexpclzd 14205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 12418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
22	21	zred 12627	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 11169	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
24	23	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
25		peano2re 11313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
26	22, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
27	20, 26	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ))
28		remulcl 11117	. . . . . 6 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
30	29	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
31		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
32	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ₀)
33	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	1, 2, 32, 21, 33	knoppndvlem16 36806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
35		knoppndvlem21.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
37	34, 36	eqbrtrd 5108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷)
38	10, 17, 14	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
39		expgt0 14051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
41	18, 8, 40, 12	divgt0d 12085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
43	34	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
44	42, 43	breqtrd 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
45	23, 29	posdifd 11731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ↔ 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
46	44, 45	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
47	23, 46	ltned 11276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
48	37, 47	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
49	48	adantrr 718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
50		knoppndvlem21.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
51	50	rpred 12980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℝ)
53		knoppndvlem21.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
54	53	knoppndvlem3 36793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
55	54	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
56	55	recnd 11167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
57	56	abscld 15395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
58	10, 57	remulcld 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
59	58, 3	reexpcld 14119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
60		knoppndvlem21.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
62		knoppndvlem21.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
63	53, 5, 62	knoppndvlem20 36810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ⁺)
64	63	rpred 12980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
65	61, 64	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
66	59, 65	remulcld 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
67	66	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
68		knoppndvlem21.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
69		knoppndvlem21.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
70		knoppndvlem21.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
71	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
72	54	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘𝐶) < 1)
74	68, 69, 70, 29, 33, 71, 73	knoppcld 36784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
75	68, 69, 70, 23, 33, 71, 73	knoppcld 36784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ∈ ℝ)
78	34, 20	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℝ)
79	44	gt0ne0d 11708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	redivcld 11977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℝ)
81		knoppndvlem21.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
82	81	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
83	60	oveq2i 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
84	83	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
85	53	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
86	62	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
87	68, 69, 70, 1, 2, 85, 32, 21, 33, 86	knoppndvlem17 36807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
88	84, 87	eqbrtrd 5108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
89	52, 67, 80, 82, 88	letrd 11297	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
90	89	adantrr 718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
91	31, 49, 90	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
92	24, 30, 91	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
93		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻))
94	93	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏)))
95		oveq2 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
96	95	breq1d 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ↔ (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
97		neeq1 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏))
98	96, 97	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏)))
99		fveq2 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑊‘𝑎) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
100	99	oveq2d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎)) = ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
101	100	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) = (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
102	101, 95	oveq12d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) = ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
103	102	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
104	94, 98, 103	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
105		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐻 ≤ 𝑏 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
106	105	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
107		oveq1 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
108	107	breq1d 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
109		neeq2 2996	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
110	108, 109	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
111		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑊‘𝑏) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
112	111	fvoveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) = (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
113	112, 107	oveq12d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) = ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
114	113	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
115	106, 110, 114	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
116	104, 115	rspc2ev 3578	. . 3 ⊢ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
117	92, 116	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
118	6, 117	rexlimddv 3145	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∃wrex 3062 class class class wbr 5086 ↦ cmpt 5167 ‘cfv 6493 (class class class)co 7361 ℝcr 11031 0cc0 11032 1c1 11033 + caddc 11035 · cmul 11037 < clt 11173 ≤ cle 11174 − cmin 11371 -cneg 11372 / cdiv 11801 ℕcn 12168 2c2 12230 ℕ₀cn0 12431 ℤcz 12518 ℝ⁺crp 12936 (,)cioo 13292 ⌊cfl 13743 ↑cexp 14017 abscabs 15190 Σcsu 15642

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5213 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5303 ax-pr 5371 ax-un 7683 ax-inf2 9556 ax-cnex 11088 ax-resscn 11089 ax-1cn 11090 ax-icn 11091 ax-addcl 11092 ax-addrcl 11093 ax-mulcl 11094 ax-mulrcl 11095 ax-mulcom 11096 ax-addass 11097 ax-mulass 11098 ax-distr 11099 ax-i2m1 11100 ax-1ne0 11101 ax-1rid 11102 ax-rnegex 11103 ax-rrecex 11104 ax-cnre 11105 ax-pre-lttri 11106 ax-pre-lttrn 11107 ax-pre-ltadd 11108 ax-pre-mulgt0 11109 ax-pre-sup 11110 ax-addf 11111

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-iin 4937 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6260 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-isom 6502 df-riota 7318 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7625 df-om 7812 df-1st 7936 df-2nd 7937 df-supp 8105 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-2o 8400 df-er 8637 df-map 8769 df-pm 8770 df-ixp 8840 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-fsupp 9269 df-fi 9318 df-sup 9349 df-inf 9350 df-oi 9419 df-card 9857 df-pnf 11175 df-mnf 11176 df-xr 11177 df-ltxr 11178 df-le 11179 df-sub 11373 df-neg 11374 df-div 11802 df-nn 12169 df-2 12238 df-3 12239 df-4 12240 df-5 12241 df-6 12242 df-7 12243 df-8 12244 df-9 12245 df-n0 12432 df-z 12519 df-dec 12639 df-uz 12783 df-q 12893 df-rp 12937 df-xneg 13057 df-xadd 13058 df-xmul 13059 df-ioo 13296 df-ico 13298 df-icc 13299 df-fz 13456 df-fzo 13603 df-fl 13745 df-seq 13958 df-exp 14018 df-hash 14287 df-cj 15055 df-re 15056 df-im 15057 df-sqrt 15191 df-abs 15192 df-limsup 15427 df-clim 15444 df-rlim 15445 df-sum 15643 df-dvds 16216 df-struct 17111 df-sets 17128 df-slot 17146 df-ndx 17158 df-base 17174 df-ress 17195 df-plusg 17227 df-mulr 17228 df-starv 17229 df-sca 17230 df-vsca 17231 df-ip 17232 df-tset 17233 df-ple 17234 df-ds 17236 df-unif 17237 df-hom 17238 df-cco 17239 df-rest 17379 df-topn 17380 df-0g 17398 df-gsum 17399 df-topgen 17400 df-pt 17401 df-prds 17404 df-xrs 17460 df-qtop 17465 df-imas 17466 df-xps 17468 df-mre 17542 df-mrc 17543 df-acs 17545 df-mgm 18602 df-sgrp 18681 df-mnd 18697 df-submnd 18746 df-mulg 19038 df-cntz 19286 df-cmn 19751 df-psmet 21339 df-xmet 21340 df-met 21341 df-bl 21342 df-mopn 21343 df-cnfld 21348 df-top 22872 df-topon 22889 df-topsp 22911 df-bases 22924 df-cn 23205 df-cnp 23206 df-tx 23540 df-hmeo 23733 df-xms 24298 df-ms 24299 df-tms 24300 df-cncf 24858 df-ulm 26358

This theorem is referenced by: knoppndvlem22 36812

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