knoppndvlem21 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem21 33984

Description: Lemma for knoppndv 33986. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem21.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem21.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem21.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem21.g	⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
knoppndvlem21.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem21.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
knoppndvlem21.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem21.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem21.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem21.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
knoppndvlem21.2	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
knoppndvlem21.3	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem21	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑖,𝑛,𝑦 𝐷,𝑎,𝑏 𝐸,𝑎,𝑏 𝑖,𝐹,𝑤 𝐻,𝑎,𝑏 𝐽,𝑎,𝑏 𝑖,𝐽,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝐽,𝑖,𝑤 𝑁,𝑎,𝑏 𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦 𝑥,𝑁 𝑇,𝑛,𝑦 𝑊,𝑎,𝑏 𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑎,𝑏) 𝐶(𝑥,𝑤,𝑎,𝑏) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑇(𝑥,𝑤,𝑖,𝑎,𝑏) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎,𝑏) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛,𝑎,𝑏) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem21 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3		knoppndvlem21.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
4		knoppndvlem21.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
5		knoppndvlem21.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	knoppndvlem19 33982	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
7		2re 11699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
9	5	nnred 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
11		2pos 11728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
13	5	nngt0d 11674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
14	8, 9, 12, 13	mulgt0d 10784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
15	14	gt0ne0d 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
16	3	nn0zd 12073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
17	16	znegcld 12077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
18	10, 15, 17	reexpclzd 13606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 11872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	19	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
21		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
22	21	zred 12075	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
23	20, 22	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
24	23	adantrr 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
25		peano2re 10802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
26	22, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
27	20, 26	jca 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ))
28		remulcl 10611	. . . . . 6 ⊢ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
30	29	adantrr 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
31		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
32	3	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ₀)
33	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	1, 2, 32, 21, 33	knoppndvlem16 33979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
35		knoppndvlem21.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
36	35	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
37	34, 36	eqbrtrd 5052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷)
38	10, 17, 14	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
39		expgt0 13458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
41	18, 8, 40, 12	divgt0d 11564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
42	41	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
43	34	eqcomd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
44	42, 43	breqtrd 5056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
45	23, 29	posdifd 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ↔ 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
46	44, 45	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
47	23, 46	ltned 10765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
48	37, 47	jca 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
49	48	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
50		knoppndvlem21.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
51	50	rpred 12419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
52	51	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℝ)
53		knoppndvlem21.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
54	53	knoppndvlem3 33966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
55	54	simpld 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
56	55	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
57	56	abscld 14788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
58	10, 57	remulcld 10660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
59	58, 3	reexpcld 13523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
60		knoppndvlem21.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
62		knoppndvlem21.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
63	53, 5, 62	knoppndvlem20 33983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ⁺)
64	63	rpred 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
65	61, 64	eqeltrd 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
66	59, 65	remulcld 10660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
67	66	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
68		knoppndvlem21.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
69		knoppndvlem21.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
70		knoppndvlem21.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
71	55	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
72	54	simprd 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
73	72	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘𝐶) < 1)
74	68, 69, 70, 29, 33, 71, 73	knoppcld 33957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
75	68, 69, 70, 23, 33, 71, 73	knoppcld 33957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 10986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℂ)
77	76	abscld 14788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ∈ ℝ)
78	34, 20	eqeltrd 2890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℝ)
79	44	gt0ne0d 11193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ≠ 0)
80	77, 78, 79	redivcld 11457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℝ)
81		knoppndvlem21.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
82	81	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
83	60	oveq2i 7146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
84	83	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
85	53	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
86	62	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
87	68, 69, 70, 1, 2, 85, 32, 21, 33, 86	knoppndvlem17 33980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
88	84, 87	eqbrtrd 5052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
89	52, 67, 80, 82, 88	letrd 10786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
90	89	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
91	31, 49, 90	3jca 1125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
92	24, 30, 91	3jca 1125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
93		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻))
94	93	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏)))
95		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
96	95	breq1d 5040	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ↔ (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
97		neeq1 3049	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏))
98	96, 97	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏)))
99		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑊‘𝑎) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
100	99	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎)) = ((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
101	100	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) = (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
102	101, 95	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) = ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
103	102	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎)) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
104	94, 98, 103	3anbi123d 1433	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
105		breq2 5034	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐻 ≤ 𝑏 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
106	105	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
107		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
108	107	breq1d 5040	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
109		neeq2 3050	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
110	108, 109	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
111		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑊‘𝑏) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
112	111	fvoveq1d 7157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) = (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
113	112, 107	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) = ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
114	113	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
115	106, 110, 114	3anbi123d 1433	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
116	104, 115	rspc2ev 3583	. . 3 ⊢ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
117	92, 116	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
118	6, 117	rexlimddv 3250	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝐷 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 ∃wrex 3107 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 -cneg 10860 / cdiv 11286 ℕcn 11625 2c2 11680 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 ℝ⁺crp 12377 (,)cioo 12726 ⌊cfl 13155 ↑cexp 13425 abscabs 14585 Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604 ax-addf 10605 ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-iin 4884 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-se 5479 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-isom 6333 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-of 7389 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-supp 7814 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-2o 8086 df-oadd 8089 df-er 8272 df-map 8391 df-pm 8392 df-ixp 8445 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-fsupp 8818 df-fi 8859 df-sup 8890 df-inf 8891 df-oi 8958 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-5 11691 df-6 11692 df-7 11693 df-8 11694 df-9 11695 df-n0 11886 df-z 11970 df-dec 12087 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-xneg 12495 df-xadd 12496 df-xmul 12497 df-ioo 12730 df-ico 12732 df-icc 12733 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-fl 13157 df-seq 13365 df-exp 13426 df-hash 13687 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-limsup 14820 df-clim 14837 df-rlim 14838 df-sum 15035 df-dvds 15600 df-struct 16477 df-ndx 16478 df-slot 16479 df-base 16481 df-sets 16482 df-ress 16483 df-plusg 16570 df-mulr 16571 df-starv 16572 df-sca 16573 df-vsca 16574 df-ip 16575 df-tset 16576 df-ple 16577 df-ds 16579 df-unif 16580 df-hom 16581 df-cco 16582 df-rest 16688 df-topn 16689 df-0g 16707 df-gsum 16708 df-topgen 16709 df-pt 16710 df-prds 16713 df-xrs 16767 df-qtop 16772 df-imas 16773 df-xps 16775 df-mre 16849 df-mrc 16850 df-acs 16852 df-mgm 17844 df-sgrp 17893 df-mnd 17904 df-submnd 17949 df-mulg 18217 df-cntz 18439 df-cmn 18900 df-psmet 20083 df-xmet 20084 df-met 20085 df-bl 20086 df-mopn 20087 df-cnfld 20092 df-top 21499 df-topon 21516 df-topsp 21538 df-bases 21551 df-cn 21832 df-cnp 21833 df-tx 22167 df-hmeo 22360 df-xms 22927 df-ms 22928 df-tms 22929 df-cncf 23483 df-ulm 24972

This theorem is referenced by: knoppndvlem22 33985

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