Theorem itg2monolem3 24822

Description: Lemma for itg2mono 24823. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6	⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
itg2monolem2.9	⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
itg2monolem3	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
2		itg2mono.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
3		itg2mono.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
4		itg2mono.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5		itg2mono.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6		itg2mono.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
7		itg2monolem2.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
8		itg2monolem2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
9		itg2monolem2.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	itg2monolem2 24821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	11	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
13	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14		itg1cl 24754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℂ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ)
19	11, 18	readdcld 10935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ)
20	19	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℂ)
21		0red 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
22		0xr 10953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
24		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
25	24	feq1d 6569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
26		icossicc 13097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
27		fss 6601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
28	3, 26, 27	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
29	28	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
30		1nn 11914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
32	25, 29, 31	rspcdva 3554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
33		itg2cl 24802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
35		itg2cl 24802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
36	28, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
37	36	fmpttd 6971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
38	37	frnd 6592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ*)
39		supxrcl 12978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
41	6, 40	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
42		itg2ge0 24805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
44		2fveq3 6761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
45		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))
46		fvex 6769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
47	44, 45, 46	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
48	30, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
49	37	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ)
50		fnfvelrn 6940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
51	49, 30, 50	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
52	48, 51	eqeltrrid 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
53		supxrub 12987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
54	38, 52, 53	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
55	54, 6	breqtrrdi 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
56	23, 34, 41, 43, 55	xrletrd 12825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
58	11, 17	ltaddrpd 12734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑡))
59	21, 11, 19, 57, 58	lelttrd 11063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑆 + 𝑡))
60	59	gt0ne0d 11469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ≠ 0)
61	12, 16, 20, 60	div23d 11718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) = ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)))
62	11, 19, 60	redivcld 11733	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ)
63	62, 15	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
64		halfre 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
65		ifcl 4501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
67	66, 15	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
68		max2 12850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
69	64, 62, 68	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
70	7, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*)
72		xrltnle 10973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
73	41, 71, 72	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
74	9, 73	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
76	21, 11, 15, 57, 75	lelttrd 11063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (∫1‘𝑃))
77		lemul1 11757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 < (∫1‘𝑃))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
78	62, 66, 15, 76, 77	syl112anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
79	69, 78	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
80	2	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
81	3	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
82	4	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
83	5	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
84	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℝ)
85		halfgt0 12119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (1 / 2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / 2))
87		max1 12848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
88	64, 62, 87	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
89	21, 84, 66, 86, 88	ltletrd 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
90	20	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + 𝑡) · 1) = (𝑆 + 𝑡))
91	58, 90	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1))
92		1red 10907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
93		ltdivmul 11780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
94	11, 92, 19, 59, 93	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
95	91, 94	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1)
96		halflt1 12121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
97		breq1 5073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
98		breq1 5073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
99	97, 98	ifboth 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ∧ (1 / 2) < 1) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
100	95, 96, 99	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
101		1xr 10965	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
102		elioo2 13049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)))
103	22, 101, 102	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
104	66, 89, 100, 103	syl3anbrc 1341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1))
105	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
106		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘𝑥))
107	106	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) = (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)))
108		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
109	107, 108	breq12d 5083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
110	109	cbvrabv 3416	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
111	110	mpteq2i 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)})
112	1, 80, 81, 82, 83, 6, 104, 13, 105, 11, 111	itg2monolem1 24820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
113	63, 67, 11, 79, 112	letrd 11062	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
114	61, 113	eqbrtrd 5092	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆)
115	11, 15	remulcld 10936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
116		ledivmul2 11784	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
117	115, 11, 19, 59, 116	syl112anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
118	114, 117	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡)))
119	66, 15, 89, 76	mulgt0d 11060	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
120	21, 67, 11, 119, 112	ltletrd 11065	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑆)
121		lemul2 11758	. . . . 5 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆)) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
122	15, 19, 11, 120, 121	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
123	118, 122	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
124	123	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
125		alrple 12869	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
126	70, 10, 125	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
127	124, 126	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_r cofr 7510  supcsup 9129  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008  [,)cico 13010  [,]cicc 13011  MblFncmbf 24683  ∫₁citg1 24684  ∫₂citg2 24685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690

This theorem is referenced by:  itg2mono  24823