MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem3 23810
Description: Lemma for itg2mono 23811. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (𝜑𝑃𝑟𝐺)
itg2monolem2.9 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem3 (𝜑 → (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem3
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
2 itg2mono.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
3 itg2mono.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
4 itg2mono.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5 itg2mono.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6 itg2mono.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
7 itg2monolem2.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
8 itg2monolem2.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑟𝐺)
9 itg2monolem2.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9itg2monolem2 23809 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
1110adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
1211recnd 10322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
137adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14 itg1cl 23743 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
1615recnd 10322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1𝑃) ∈ ℂ)
17 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
1817rpred 12070 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ)
1911, 18readdcld 10323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ)
2019recnd 10322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℂ)
21 0red 10297 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
22 0xr 10340 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
24 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
2524feq1d 6208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
26 icossicc 12463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
27 fss 6236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
283, 26, 27sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
2928ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
30 1nn 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3225, 29, 31rspcdva 3467 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
33 itg2cl 23790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
35 itg2cl 23790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
3628, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
3736fmpttd 6575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
3837frnd 6230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ*)
39 supxrcl 12347 . . . . . . . . . . . . 13 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
416, 40syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
42 itg2ge0 23793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
44 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
45 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))
46 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
4830, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
4937ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ)
50 fnfvelrn 6546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
5149, 30, 50sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
5248, 51syl5eqelr 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
53 supxrub 12356 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
5438, 52, 53syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
5554, 6syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
5623, 34, 41, 43, 55xrletrd 12195 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
5756adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
5811, 17ltaddrpd 12103 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑡))
5921, 11, 19, 57, 58lelttrd 10449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑆 + 𝑡))
6059gt0ne0d 10846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ≠ 0)
6112, 16, 20, 60div23d 11092 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) = ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)))
6211, 19, 60redivcld 11107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ)
6362, 15remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ∈ ℝ)
64 halfre 11492 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
65 ifcl 4287 . . . . . . . . 9 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
6662, 64, 65sylancl 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
6766, 15remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)) ∈ ℝ)
68 max2 12220 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
6964, 62, 68sylancr 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
707, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
7170rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ*)
72 xrltnle 10359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
7341, 71, 72syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
749, 73mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < (∫1𝑃))
7574adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (∫1𝑃))
7621, 11, 15, 57, 75lelttrd 10449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (∫1𝑃))
77 lemul1 11129 . . . . . . . . 9 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((∫1𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 < (∫1𝑃))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃))))
7862, 66, 15, 76, 77syl112anc 1493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃))))
7969, 78mpbid 223 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)))
802adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
813adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
824adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
835adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
8464a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℝ)
85 halfgt0 11494 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / 2))
87 max1 12218 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
8864, 62, 87sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
8921, 84, 66, 86, 88ltletrd 10451 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
9020mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + 𝑡) · 1) = (𝑆 + 𝑡))
9158, 90breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1))
92 1red 10294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
93 ltdivmul 11152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
9411, 92, 19, 59, 93syl112anc 1493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
9591, 94mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1)
96 halflt1 11496 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
97 breq1 4812 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
98 breq1 4812 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
9997, 98ifboth 4281 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ∧ (1 / 2) < 1) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
10095, 96, 99sylancl 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
101 1re 10293 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
102101rexri 10351 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
103 elioo2 12418 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)))
10422, 102, 103mp2an 683 . . . . . . . . 9 (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
10566, 89, 100, 104syl3anbrc 1443 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1))
1068adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃𝑟𝐺)
107 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑃𝑦) = (𝑃𝑥))
108107oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) = (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)))
109 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑛)‘𝑥))
110108, 109breq12d 4822 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑦) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)))
111110cbvrabv 3348 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑦)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
112111mpteq2i 4900 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑦)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)})
1131, 80, 81, 82, 83, 6, 105, 13, 106, 11, 112itg2monolem1 23808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)) ≤ 𝑆)
11463, 67, 11, 79, 113letrd 10448 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ 𝑆)
11561, 114eqbrtrd 4831 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆)
11611, 15remulcld 10324 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1𝑃)) ∈ ℝ)
117 ledivmul2 11156 . . . . . 6 (((𝑆 · (∫1𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → (((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
118116, 11, 19, 59, 117syl112anc 1493 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
119115, 118mpbid 223 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡)))
12066, 15, 89, 76mulgt0d 10446 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)))
12121, 67, 11, 120, 113ltletrd 10451 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑆)
122 lemul2 11130 . . . . 5 (((∫1𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆)) → ((∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
12315, 19, 11, 121, 122syl112anc 1493 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
124119, 123mpbird 248 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
125124ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
126 alrple 12239 . . 3 (((∫1𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((∫1𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
12770, 10, 126syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((∫1𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
128125, 127mpbird 248 1 (𝜑 → (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  ran crn 5278   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑟 cofr 7094  supcsup 8553  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  +crp 12028  (,)cioo 12377  [,)cico 12379  [,]cicc 12380  MblFncmbf 23672  1citg1 23673  2citg2 23674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-rest 16351  df-topgen 16372  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cmp 21470  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679
This theorem is referenced by:  itg2mono  23811
  Copyright terms: Public domain W3C validator