Theorem itg2monolem3 25787

Description: Lemma for itg2mono 25788. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6	⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
itg2monolem2.9	⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
itg2monolem3	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
2		itg2mono.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
3		itg2mono.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
4		itg2mono.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5		itg2mono.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6		itg2mono.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
7		itg2monolem2.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
8		itg2monolem2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
9		itg2monolem2.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	itg2monolem2 25786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
11	10	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
13	7	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14		itg1cl 25720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℂ)
17		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
18	17	rpred 13027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ)
19	11, 18	readdcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℂ)
21		0red 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
22		0xr 11219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
24		fveq2 6856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
25	24	feq1d 6662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
26		icossicc 13430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
27		fss 6697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
28	3, 26, 27	sylancl 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
29	28	ralrimiva 3148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
30		1nn 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
32	25, 29, 31	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
33		itg2cl 25767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
35		itg2cl 25767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
36	28, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
37	36	fmpttd 7085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
38	37	frnd 6689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ*)
39		supxrcl 13308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
41	6, 40	eqeltrid 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
42		itg2ge0 25770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
44		2fveq3 6861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
45		eqid 2756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))
46		fvex 6869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
47	44, 45, 46	fvmpt 6964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
48	30, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
49	37	ffnd 6681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ)
50		fnfvelrn 7050	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
51	49, 30, 50	sylancl 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
52	48, 51	eqeltrrid 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
53		supxrub 13317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
54	38, 52, 53	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
55	54, 6	breqtrrdi 5136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
56	23, 34, 41, 43, 55	xrletrd 13154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
57	56	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
58	11, 17	ltaddrpd 13060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑡))
59	21, 11, 19, 57, 58	lelttrd 11331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑆 + 𝑡))
60	59	gt0ne0d 11741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ≠ 0)
61	12, 16, 20, 60	div23d 11994	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) = ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)))
62	11, 19, 60	redivcld 12009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ)
63	62, 15	remulcld 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
64		halfre 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
65		ifcl 4520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	sylancl 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
67	66, 15	remulcld 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
68		max2 13180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
69	64, 62, 68	sylancr 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
70	7, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*)
72		xrltnle 11239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
73	41, 71, 72	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
74	9, 73	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
75	74	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
76	21, 11, 15, 57, 75	lelttrd 11331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (∫1‘𝑃))
77		lemul1 12033	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 < (∫1‘𝑃))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
78	62, 66, 15, 76, 77	syl112anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
79	69, 78	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
80	2	adantlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
81	3	adantlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
82	4	adantlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
83	5	adantlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
84	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℝ)
85		halfgt0 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (1 / 2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / 2))
87		max1 13178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
88	64, 62, 87	sylancr 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
89	21, 84, 66, 86, 88	ltletrd 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
90	20	mulridd 11189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + 𝑡) · 1) = (𝑆 + 𝑡))
91	58, 90	breqtrrd 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1))
92		1red 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
93		ltdivmul 12057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
94	11, 92, 19, 59, 93	syl112anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
95	91, 94	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1)
96		halflt1 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
97		breq1 5097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
98		breq1 5097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
99	97, 98	ifboth 4514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ∧ (1 / 2) < 1) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
100	95, 96, 99	sylancl 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
101		1xr 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
102		elioo2 13380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)))
103	22, 101, 102	mp2an 700	. . . . . . . . 9 ⊢ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
104	66, 89, 100, 103	syl3anbrc 1353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1))
105	8	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
106		fveq2 6856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘𝑥))
107	106	oveq2d 7401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) = (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)))
108		fveq2 6856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
109	107, 108	breq12d 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
110	109	cbvrabv 3418	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
111	110	mpteq2i 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)})
112	1, 80, 81, 82, 83, 6, 104, 13, 105, 11, 111	itg2monolem1 25785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
113	63, 67, 11, 79, 112	letrd 11330	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
114	61, 113	eqbrtrd 5116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆)
115	11, 15	remulcld 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
116		ledivmul2 12061	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
117	115, 11, 19, 59, 116	syl112anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
118	114, 117	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡)))
119	66, 15, 89, 76	mulgt0d 11328	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
120	21, 67, 11, 119, 112	ltletrd 11333	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑆)
121		lemul2 12034	. . . . 5 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆)) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
122	15, 19, 11, 120, 121	syl112anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
123	118, 122	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
124	123	ralrimiva 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
125		alrple 13199	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
126	70, 10, 125	syl2anc 592	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
127	124, 126	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  ∃wrex 3080  {crab 3408   ⊆ wss 3899  ifcif 4474   class class class wbr 5094   ↦ cmpt 5175  dom cdm 5640  ran crn 5641   Fn wfn 6505  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ∘_r cofr 7648  supcsup 9376  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068  +∞cpnf 11203  ℝ^*cxr 11205   < clt 11206   ≤ cle 11207   / cdiv 11834  ℕcn 12200  2c2 12262  ℝ⁺crp 12983  (,)cioo 13339  [,)cico 13341  [,]cicc 13342  MblFncmbf 25649  ∫₁citg1 25650  ∫₂citg2 25651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cc 10382  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-disj 5062  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-ofr 7650  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-dju 9849  df-card 9887  df-acn 9890  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ioc 13344  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-rest 17427  df-topgen 17448  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-top 22927  df-topon 22944  df-bases 22979  df-cmp 23420  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656

This theorem is referenced by:  itg2mono  25788