Theorem itg2monolem3 25252

Description: Lemma for itg2mono 25253. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6	⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
itg2monolem2.9	⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
itg2monolem3	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
2		itg2mono.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
3		itg2mono.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
4		itg2mono.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5		itg2mono.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6		itg2mono.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
7		itg2monolem2.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
8		itg2monolem2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
9		itg2monolem2.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	itg2monolem2 25251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
11	10	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
13	7	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14		itg1cl 25184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℂ)
17		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
18	17	rpred 13012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ)
19	11, 18	readdcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℂ)
21		0red 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
22		0xr 11257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
24		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
25	24	feq1d 6699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
26		icossicc 13409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
27		fss 6731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
28	3, 26, 27	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
29	28	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
30		1nn 12219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
32	25, 29, 31	rspcdva 3613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
33		itg2cl 25232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
35		itg2cl 25232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
36	28, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
37	36	fmpttd 7110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
38	37	frnd 6722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ*)
39		supxrcl 13290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
41	6, 40	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
42		itg2ge0 25235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
44		2fveq3 6893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
45		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))
46		fvex 6901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
47	44, 45, 46	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
48	30, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
49	37	ffnd 6715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ)
50		fnfvelrn 7078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
51	49, 30, 50	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
52	48, 51	eqeltrrid 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
53		supxrub 13299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
54	38, 52, 53	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
55	54, 6	breqtrrdi 5189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
56	23, 34, 41, 43, 55	xrletrd 13137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
57	56	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
58	11, 17	ltaddrpd 13045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑡))
59	21, 11, 19, 57, 58	lelttrd 11368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑆 + 𝑡))
60	59	gt0ne0d 11774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ≠ 0)
61	12, 16, 20, 60	div23d 12023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) = ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)))
62	11, 19, 60	redivcld 12038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ)
63	62, 15	remulcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
64		halfre 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
65		ifcl 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
67	66, 15	remulcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
68		max2 13162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
69	64, 62, 68	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
70	7, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*)
72		xrltnle 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
73	41, 71, 72	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
74	9, 73	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
75	74	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
76	21, 11, 15, 57, 75	lelttrd 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (∫1‘𝑃))
77		lemul1 12062	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 < (∫1‘𝑃))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
78	62, 66, 15, 76, 77	syl112anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
79	69, 78	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
80	2	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
81	3	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
82	4	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
83	5	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
84	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℝ)
85		halfgt0 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (1 / 2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / 2))
87		max1 13160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
88	64, 62, 87	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
89	21, 84, 66, 86, 88	ltletrd 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
90	20	mulridd 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + 𝑡) · 1) = (𝑆 + 𝑡))
91	58, 90	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1))
92		1red 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
93		ltdivmul 12085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
94	11, 92, 19, 59, 93	syl112anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
95	91, 94	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1)
96		halflt1 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
97		breq1 5150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
98		breq1 5150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
99	97, 98	ifboth 4566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ∧ (1 / 2) < 1) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
100	95, 96, 99	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
101		1xr 11269	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
102		elioo2 13361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)))
103	22, 101, 102	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
104	66, 89, 100, 103	syl3anbrc 1344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1))
105	8	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
106		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘𝑥))
107	106	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) = (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)))
108		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
109	107, 108	breq12d 5160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
110	109	cbvrabv 3443	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
111	110	mpteq2i 5252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)})
112	1, 80, 81, 82, 83, 6, 104, 13, 105, 11, 111	itg2monolem1 25250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
113	63, 67, 11, 79, 112	letrd 11367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
114	61, 113	eqbrtrd 5169	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆)
115	11, 15	remulcld 11240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
116		ledivmul2 12089	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
117	115, 11, 19, 59, 116	syl112anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
118	114, 117	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡)))
119	66, 15, 89, 76	mulgt0d 11365	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
120	21, 67, 11, 119, 112	ltletrd 11370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑆)
121		lemul2 12063	. . . . 5 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆)) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
122	15, 19, 11, 120, 121	syl112anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
123	118, 122	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
124	123	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
125		alrple 13181	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
126	70, 10, 125	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
127	124, 126	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ⊆ wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ∘_r cofr 7664  supcsup 9431  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970  (,)cioo 13320  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  MblFncmbf 25113  ∫₁citg1 25114  ∫₂citg2 25115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cmp 22873  df-ovol 24963  df-vol 24964  df-mbf 25118  df-itg1 25119  df-itg2 25120

This theorem is referenced by:  itg2mono  25253