Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem3 24452
 Description: Lemma for itg2mono 24453. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (𝜑𝑃r𝐺)
itg2monolem2.9 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem3 (𝜑 → (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem3
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
2 itg2mono.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
3 itg2mono.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
4 itg2mono.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5 itg2mono.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6 itg2mono.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
7 itg2monolem2.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
8 itg2monolem2.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃r𝐺)
9 itg2monolem2.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9itg2monolem2 24451 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
1110adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
1211recnd 10707 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
137adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14 itg1cl 24385 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
1615recnd 10707 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1𝑃) ∈ ℂ)
17 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
1817rpred 12472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ)
1911, 18readdcld 10708 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ)
2019recnd 10707 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℂ)
21 0red 10682 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
22 0xr 10726 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
24 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
2524feq1d 6483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
26 icossicc 12868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
27 fss 6512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
283, 26, 27sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
2928ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
30 1nn 11685 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3225, 29, 31rspcdva 3543 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
33 itg2cl 24432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
35 itg2cl 24432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
3628, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
3736fmpttd 6870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
3837frnd 6505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ*)
39 supxrcl 12749 . . . . . . . . . . . . 13 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
416, 40eqeltrid 2856 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
42 itg2ge0 24435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
44 2fveq3 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
45 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))
46 fvex 6671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
4830, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
4937ffnd 6499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ)
50 fnfvelrn 6839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
5149, 30, 50sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
5248, 51eqeltrrid 2857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
53 supxrub 12758 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
5438, 52, 53syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
5554, 6breqtrrdi 5074 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
5623, 34, 41, 43, 55xrletrd 12596 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
5756adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
5811, 17ltaddrpd 12505 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑡))
5921, 11, 19, 57, 58lelttrd 10836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑆 + 𝑡))
6059gt0ne0d 11242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ≠ 0)
6112, 16, 20, 60div23d 11491 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) = ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)))
6211, 19, 60redivcld 11506 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ)
6362, 15remulcld 10709 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ∈ ℝ)
64 halfre 11888 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
65 ifcl 4465 . . . . . . . . 9 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
6662, 64, 65sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
6766, 15remulcld 10709 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)) ∈ ℝ)
68 max2 12621 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
6964, 62, 68sylancr 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
707, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
7170rexrd 10729 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ*)
72 xrltnle 10746 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
7341, 71, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
749, 73mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < (∫1𝑃))
7574adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (∫1𝑃))
7621, 11, 15, 57, 75lelttrd 10836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (∫1𝑃))
77 lemul1 11530 . . . . . . . . 9 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((∫1𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 < (∫1𝑃))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃))))
7862, 66, 15, 76, 77syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃))))
7969, 78mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)))
802adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
813adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
824adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
835adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
8464a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℝ)
85 halfgt0 11890 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / 2))
87 max1 12619 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
8864, 62, 87sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
8921, 84, 66, 86, 88ltletrd 10838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
9020mulid1d 10696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + 𝑡) · 1) = (𝑆 + 𝑡))
9158, 90breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1))
92 1red 10680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
93 ltdivmul 11553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
9411, 92, 19, 59, 93syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
9591, 94mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1)
96 halflt1 11892 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
97 breq1 5035 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
98 breq1 5035 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
9997, 98ifboth 4459 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ∧ (1 / 2) < 1) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
10095, 96, 99sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
101 1xr 10738 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
102 elioo2 12820 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)))
10322, 101, 102mp2an 691 . . . . . . . . 9 (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
10466, 89, 100, 103syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1))
1058adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃r𝐺)
106 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑃𝑦) = (𝑃𝑥))
107106oveq2d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) = (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)))
108 fveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑛)‘𝑥))
109107, 108breq12d 5045 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑦) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)))
110109cbvrabv 3404 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑦)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
111110mpteq2i 5124 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑦)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)})
1121, 80, 81, 82, 83, 6, 104, 13, 105, 11, 111itg2monolem1 24450 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)) ≤ 𝑆)
11363, 67, 11, 79, 112letrd 10835 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ 𝑆)
11461, 113eqbrtrd 5054 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆)
11511, 15remulcld 10709 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1𝑃)) ∈ ℝ)
116 ledivmul2 11557 . . . . . 6 (((𝑆 · (∫1𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → (((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
117115, 11, 19, 59, 116syl112anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
118114, 117mpbid 235 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡)))
11966, 15, 89, 76mulgt0d 10833 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)))
12021, 67, 11, 119, 112ltletrd 10838 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑆)
121 lemul2 11531 . . . . 5 (((∫1𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆)) → ((∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
12215, 19, 11, 120, 121syl112anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
123118, 122mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
124123ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
125 alrple 12640 . . 3 (((∫1𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((∫1𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
12670, 10, 125syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((∫1𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
127124, 126mpbird 260 1 (𝜑 → (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3858  ifcif 4420   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  dom cdm 5524  ran crn 5525   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘r cofr 7404  supcsup 8937  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  +∞cpnf 10710  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714   / cdiv 11335  ℕcn 11674  2c2 11729  ℝ+crp 12430  (,)cioo 12779  [,)cico 12781  [,]cicc 12782  MblFncmbf 24314  ∫1citg1 24315  ∫2citg2 24316 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cc 9895  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-disj 4998  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-omul 8117  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-acn 9404  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-rest 16754  df-topgen 16775  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-top 21594  df-topon 21611  df-bases 21646  df-cmp 22087  df-ovol 24164  df-vol 24165  df-mbf 24319  df-itg1 24320  df-itg2 24321 This theorem is referenced by:  itg2mono  24453
 Copyright terms: Public domain W3C validator