MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem3 25117
Description: Lemma for itg2mono 25118. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (𝜑𝑃r𝐺)
itg2monolem2.9 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem3 (𝜑 → (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem3
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
2 itg2mono.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
3 itg2mono.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
4 itg2mono.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5 itg2mono.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6 itg2mono.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < )
7 itg2monolem2.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ dom ∫1)
8 itg2monolem2.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃r𝐺)
9 itg2monolem2.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9itg2monolem2 25116 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
1211recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
137adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14 itg1cl 25049 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
1615recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1𝑃) ∈ ℂ)
17 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
1817rpred 12957 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ)
1911, 18readdcld 11184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ)
2019recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℂ)
21 0red 11158 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
22 0xr 11202 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
24 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
2524feq1d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
26 icossicc 13353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
27 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
283, 26, 27sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
2928ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
30 1nn 12164 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3225, 29, 31rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
33 itg2cl 25097 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
35 itg2cl 25097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
3628, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ*)
3736fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
3837frnd 6676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ*)
39 supxrcl 13234 . . . . . . . . . . . . 13 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
416, 40eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
42 itg2ge0 25100 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
44 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
45 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))
46 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
4830, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
4937ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ)
50 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
5149, 30, 50sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
5248, 51eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))))
53 supxrub 13243 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
5438, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹𝑛))), ℝ*, < ))
5554, 6breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
5623, 34, 41, 43, 55xrletrd 13081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
5811, 17ltaddrpd 12990 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑡))
5921, 11, 19, 57, 58lelttrd 11313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑆 + 𝑡))
6059gt0ne0d 11719 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ≠ 0)
6112, 16, 20, 60div23d 11968 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) = ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)))
6211, 19, 60redivcld 11983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ)
6362, 15remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ∈ ℝ)
64 halfre 12367 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
65 ifcl 4531 . . . . . . . . 9 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
6662, 64, 65sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
6766, 15remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)) ∈ ℝ)
68 max2 13106 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
6964, 62, 68sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
707, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ)
7170rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∫1𝑃) ∈ ℝ*)
72 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
7341, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 < (∫1𝑃) ↔ ¬ (∫1𝑃) ≤ 𝑆))
749, 73mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 < (∫1𝑃))
7574adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (∫1𝑃))
7621, 11, 15, 57, 75lelttrd 11313 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (∫1𝑃))
77 lemul1 12007 . . . . . . . . 9 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((∫1𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 < (∫1𝑃))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃))))
7862, 66, 15, 76, 77syl112anc 1374 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃))))
7969, 78mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)))
802adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ MblFn)
813adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
824adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
835adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
8464a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℝ)
85 halfgt0 12369 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / 2))
87 max1 13104 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
8864, 62, 87sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
8921, 84, 66, 86, 88ltletrd 11315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
9020mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + 𝑡) · 1) = (𝑆 + 𝑡))
9158, 90breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1))
92 1red 11156 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
93 ltdivmul 12030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
9411, 92, 19, 59, 93syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
9591, 94mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1)
96 halflt1 12371 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
97 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
98 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
9997, 98ifboth 4525 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ∧ (1 / 2) < 1) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
10095, 96, 99sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
101 1xr 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
102 elioo2 13305 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)))
10322, 101, 102mp2an 690 . . . . . . . . 9 (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
10466, 89, 100, 103syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1))
1058adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃r𝐺)
106 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑃𝑦) = (𝑃𝑥))
107106oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) = (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)))
108 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑛)‘𝑥))
109107, 108breq12d 5118 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑦) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)))
110109cbvrabv 3417 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑦)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
111110mpteq2i 5210 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑦)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑦)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃𝑥)) ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)})
1121, 80, 81, 82, 83, 6, 104, 13, 105, 11, 111itg2monolem1 25115 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)) ≤ 𝑆)
11363, 67, 11, 79, 112letrd 11312 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1𝑃)) ≤ 𝑆)
11461, 113eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆)
11511, 15remulcld 11185 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1𝑃)) ∈ ℝ)
116 ledivmul2 12034 . . . . . 6 (((𝑆 · (∫1𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → (((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
117115, 11, 19, 59, 116syl112anc 1374 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝑆 · (∫1𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
118114, 117mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡)))
11966, 15, 89, 76mulgt0d 11310 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1𝑃)))
12021, 67, 11, 119, 112ltletrd 11315 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑆)
121 lemul2 12008 . . . . 5 (((∫1𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆)) → ((∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
12215, 19, 11, 120, 121syl112anc 1374 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
123118, 122mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
124123ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
125 alrple 13125 . . 3 (((∫1𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((∫1𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
12670, 10, 125syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((∫1𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
127124, 126mpbird 256 1 (𝜑 → (∫1𝑃) ≤ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  r cofr 7616  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  MblFncmbf 24978  1citg1 24979  2citg2 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985
This theorem is referenced by:  itg2mono  25118
  Copyright terms: Public domain W3C validator