Theorem itg2monolem3 25802

Description: Lemma for itg2mono 25803. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6	⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
itg2monolem2.9	⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
itg2monolem3	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
2		itg2mono.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
3		itg2mono.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
4		itg2mono.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5		itg2mono.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6		itg2mono.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
7		itg2monolem2.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
8		itg2monolem2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
9		itg2monolem2.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	itg2monolem2 25801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
13	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14		itg1cl 25734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℂ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
18	17	rpred 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ)
19	11, 18	readdcld 11288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℂ)
21		0red 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
22		0xr 11306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
24		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
25	24	feq1d 6721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
26		icossicc 13473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
27		fss 6753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
28	3, 26, 27	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
29	28	ralrimiva 3144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
30		1nn 12275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
32	25, 29, 31	rspcdva 3623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
33		itg2cl 25782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
35		itg2cl 25782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
36	28, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
37	36	fmpttd 7135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
38	37	frnd 6745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ*)
39		supxrcl 13354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
41	6, 40	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
42		itg2ge0 25785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
44		2fveq3 6912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
45		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))
46		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
47	44, 45, 46	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
48	30, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
49	37	ffnd 6738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ)
50		fnfvelrn 7100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
51	49, 30, 50	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
52	48, 51	eqeltrrid 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
53		supxrub 13363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
54	38, 52, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
55	54, 6	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
56	23, 34, 41, 43, 55	xrletrd 13201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
58	11, 17	ltaddrpd 13108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑡))
59	21, 11, 19, 57, 58	lelttrd 11417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑆 + 𝑡))
60	59	gt0ne0d 11825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ≠ 0)
61	12, 16, 20, 60	div23d 12078	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) = ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)))
62	11, 19, 60	redivcld 12093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ)
63	62, 15	remulcld 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
64		halfre 12478	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
65		ifcl 4576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
67	66, 15	remulcld 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
68		max2 13226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
69	64, 62, 68	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
70	7, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*)
72		xrltnle 11326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
73	41, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
74	9, 73	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
76	21, 11, 15, 57, 75	lelttrd 11417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (∫1‘𝑃))
77		lemul1 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 < (∫1‘𝑃))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
78	62, 66, 15, 76, 77	syl112anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
79	69, 78	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
80	2	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
81	3	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
82	4	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
83	5	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
84	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℝ)
85		halfgt0 12480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (1 / 2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / 2))
87		max1 13224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
88	64, 62, 87	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
89	21, 84, 66, 86, 88	ltletrd 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
90	20	mulridd 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + 𝑡) · 1) = (𝑆 + 𝑡))
91	58, 90	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1))
92		1red 11260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
93		ltdivmul 12141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
94	11, 92, 19, 59, 93	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
95	91, 94	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1)
96		halflt1 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
97		breq1 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
98		breq1 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
99	97, 98	ifboth 4570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ∧ (1 / 2) < 1) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
100	95, 96, 99	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
101		1xr 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
102		elioo2 13425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)))
103	22, 101, 102	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
104	66, 89, 100, 103	syl3anbrc 1342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1))
105	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
106		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘𝑥))
107	106	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) = (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)))
108		fveq2 6907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
109	107, 108	breq12d 5161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
110	109	cbvrabv 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
111	110	mpteq2i 5253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)})
112	1, 80, 81, 82, 83, 6, 104, 13, 105, 11, 111	itg2monolem1 25800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
113	63, 67, 11, 79, 112	letrd 11416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
114	61, 113	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆)
115	11, 15	remulcld 11289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
116		ledivmul2 12145	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
117	115, 11, 19, 59, 116	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
118	114, 117	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡)))
119	66, 15, 89, 76	mulgt0d 11414	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
120	21, 67, 11, 119, 112	ltletrd 11419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑆)
121		lemul2 12118	. . . . 5 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆)) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
122	15, 19, 11, 120, 121	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
123	118, 122	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
124	123	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
125		alrple 13245	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
126	70, 10, 125	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
127	124, 126	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433   ⊆ wss 3963  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_r cofr 7696  supcsup 9478  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  MblFncmbf 25663  ∫₁citg1 25664  ∫₂citg2 25665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670

This theorem is referenced by:  itg2mono  25803