MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2monolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2monolem3 25502
Description: Lemma for itg2mono 25503. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∘r ≀ 𝐺)
itg2monolem2.9 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
itg2monolem3 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem3
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
2 itg2mono.2 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ MblFn)
3 itg2mono.3 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
4 itg2mono.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
5 itg2mono.5 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
6 itg2mono.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
7 itg2monolem2.7 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
8 itg2monolem2.8 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∘r ≀ 𝐺)
9 itg2monolem2.9 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9itg2monolem2 25501 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
1211recnd 11246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
137adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ dom ∫1)
14 itg1cl 25434 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
1615recnd 11246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ β„‚)
17 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
1817rpred 13020 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
1911, 18readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 + 𝑑) ∈ ℝ)
2019recnd 11246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 + 𝑑) ∈ β„‚)
21 0red 11221 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ ℝ)
22 0xr 11265 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
24 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜1))
2524feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞)))
26 icossicc 13417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
27 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
283, 26, 27sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
2928ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
30 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
3225, 29, 31rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞))
33 itg2cl 25482 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ℝ*)
35 itg2cl 25482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
3628, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
3736fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))):β„•βŸΆβ„*)
3837frnd 6724 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ*)
39 supxrcl 13298 . . . . . . . . . . . . 13 (ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
416, 40eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
42 itg2ge0 25485 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜1):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
44 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
45 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
46 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1)))
4830, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) = (∫2β€˜(πΉβ€˜1))
4937ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„•)
50 fnfvelrn 7081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5149, 30, 50sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜1) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
5248, 51eqeltrrid 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
53 supxrub 13307 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
5438, 52, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
5554, 6breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜1)) ≀ 𝑆)
5623, 34, 41, 43, 55xrletrd 13145 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑆)
5756adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ 𝑆)
5811, 17ltaddrpd 13053 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 < (𝑆 + 𝑑))
5921, 11, 19, 57, 58lelttrd 11376 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 0 < (𝑆 + 𝑑))
6059gt0ne0d 11782 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 + 𝑑) β‰  0)
6112, 16, 20, 60div23d 12031 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) / (𝑆 + 𝑑)) = ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)))
6211, 19, 60redivcld 12046 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) ∈ ℝ)
6362, 15remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
64 halfre 12430 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
65 ifcl 4572 . . . . . . . . 9 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
6662, 64, 65sylancl 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
6766, 15remulcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
68 max2 13170 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) ∈ ℝ) β†’ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) ≀ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)))
6964, 62, 68sylancr 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) ≀ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)))
707, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
7170rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*)
72 xrltnle 11285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
7341, 71, 72syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ) ↔ Β¬ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆))
749, 73mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ))
7574adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 < (∫1β€˜π‘ƒ))
7621, 11, 15, 57, 75lelttrd 11376 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 0 < (∫1β€˜π‘ƒ))
77 lemul1 12070 . . . . . . . . 9 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) ∈ ℝ ∧ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ ∧ 0 < (∫1β€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) ≀ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ))))
7862, 66, 15, 76, 77syl112anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) ≀ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ))))
7969, 78mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)))
802adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ MblFn)
813adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
824adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
835adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
8464a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
85 halfgt0 12432 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
8685a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 0 < (1 / 2))
87 max1 13168 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) ∈ ℝ) β†’ (1 / 2) ≀ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)))
8864, 62, 87sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 2) ≀ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)))
8921, 84, 66, 86, 88ltletrd 11378 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 0 < if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)))
9020mulridd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆 + 𝑑) Β· 1) = (𝑆 + 𝑑))
9158, 90breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑑) Β· 1))
92 1red 11219 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ)
93 ltdivmul 12093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑑))) β†’ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑑) Β· 1)))
9411, 92, 19, 59, 93syl112anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑑) Β· 1)))
9591, 94mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) < 1)
96 halflt1 12434 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
97 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) = if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) β†’ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) < 1 ↔ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) < 1))
98 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) β†’ ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) < 1))
9997, 98ifboth 4566 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) < 1 ∧ (1 / 2) < 1) β†’ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) < 1)
10095, 96, 99sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) < 1)
101 1xr 11277 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
102 elioo2 13369 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) < 1)))
10322, 101, 102mp2an 688 . . . . . . . . 9 (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) < 1))
10466, 89, 100, 103syl3anbrc 1341 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1))
1058adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∘r ≀ 𝐺)
106 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘¦) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
107106oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (π‘ƒβ€˜π‘¦)) = (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
108 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
109107, 108breq12d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (π‘ƒβ€˜π‘¦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) ↔ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
110109cbvrabv 3440 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (π‘ƒβ€˜π‘¦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)}
111110mpteq2i 5252 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (π‘ƒβ€˜π‘¦)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (π‘ƒβ€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
1121, 80, 81, 82, 83, 6, 104, 13, 105, 11, 111itg2monolem1 25500 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑆)
11363, 67, 11, 79, 112letrd 11375 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑑)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ 𝑆)
11461, 113eqbrtrd 5169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) / (𝑆 + 𝑑)) ≀ 𝑆)
11511, 15remulcld 11248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
116 ledivmul2 12097 . . . . . 6 (((𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑑) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑑))) β†’ (((𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) / (𝑆 + 𝑑)) ≀ 𝑆 ↔ (𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑆 Β· (𝑆 + 𝑑))))
117115, 11, 19, 59, 116syl112anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) / (𝑆 + 𝑑)) ≀ 𝑆 ↔ (𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑆 Β· (𝑆 + 𝑑))))
118114, 117mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑆 Β· (𝑆 + 𝑑)))
11966, 15, 89, 76mulgt0d 11373 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 0 < (if((1 / 2) ≀ (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑑)), (1 / 2)) Β· (∫1β€˜π‘ƒ)))
12021, 67, 11, 119, 112ltletrd 11378 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 0 < 𝑆)
121 lemul2 12071 . . . . 5 (((∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆)) β†’ ((∫1β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑆 + 𝑑) ↔ (𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑆 Β· (𝑆 + 𝑑))))
12215, 19, 11, 120, 121syl112anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((∫1β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑆 + 𝑑) ↔ (𝑆 Β· (∫1β€˜π‘ƒ)) ≀ (𝑆 Β· (𝑆 + 𝑑))))
123118, 122mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑆 + 𝑑))
124123ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑆 + 𝑑))
125 alrple 13189 . . 3 (((∫1β€˜π‘ƒ) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑆 + 𝑑)))
12670, 10, 125syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑆 + 𝑑)))
127124, 126mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘r cofr 7671  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  MblFncmbf 25363  βˆ«1citg1 25364  βˆ«2citg2 25365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370
This theorem is referenced by:  itg2mono  25503
  Copyright terms: Public domain W3C validator