Theorem itg2monolem3 26103

Description: Lemma for itg2mono 26104. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6	⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
itg2monolem2.9	⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
itg2monolem3	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
2		itg2mono.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
3		itg2mono.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
4		itg2mono.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5		itg2mono.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
6		itg2mono.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
7		itg2monolem2.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
8		itg2monolem2.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
9		itg2monolem2.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	itg2monolem2 26102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
13	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14		itg1cl 26036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ∈ ℂ)
17		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
18	17	rpred 13191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ)
19	11, 18	readdcld 11365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ∈ ℂ)
21		0red 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
22		0xr 11383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
24		fveq2 6908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
25	24	feq1d 6713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
26		icossicc 13594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
27		fss 6748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
28	3, 26, 27	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
29	28	ralrimiva 3158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
30		1nn 12373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
32	25, 29, 31	rspcdva 3581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
33		itg2cl 26083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
35		itg2cl 26083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
36	28, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
37	36	fmpttd 7139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
38	37	frnd 6740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ*)
39		supxrcl 13472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
41	6, 40	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
42		itg2ge0 26086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
43	32, 42	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
44		2fveq3 6913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
45		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))
46		fvex 6921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
47	44, 45, 46	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
48	30, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
49	37	ffnd 6732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ)
50		fnfvelrn 7104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
51	49, 30, 50	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
52	48, 51	eqeltrrid 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
53		supxrub 13481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
54	38, 52, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
55	54, 6	breqtrrdi 5150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
56	23, 34, 41, 43, 55	xrletrd 13318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
57	56	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
58	11, 17	ltaddrpd 13224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑡))
59	21, 11, 19, 57, 58	lelttrd 11495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑆 + 𝑡))
60	59	gt0ne0d 11907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 + 𝑡) ≠ 0)
61	12, 16, 20, 60	div23d 12157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) = ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)))
62	11, 19, 60	redivcld 12172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ)
63	62, 15	remulcld 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
64		halfre 12586	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
65		ifcl 4531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ)
67	66, 15	remulcld 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
68		max2 13344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
69	64, 62, 68	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
70	7, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*)
72		xrltnle 11403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
73	41, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
74	9, 73	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
76	21, 11, 15, 57, 75	lelttrd 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (∫1‘𝑃))
77		lemul1 12196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ ((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 < (∫1‘𝑃))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
78	62, 66, 15, 76, 77	syl112anc 1402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ↔ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃))))
79	69, 78	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
80	2	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
81	3	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
82	4	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
83	5	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
84	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ∈ ℝ)
85		halfgt0 12588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (1 / 2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / 2))
87		max1 13342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) ∈ ℝ) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
88	64, 62, 87	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 2) ≤ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
89	21, 84, 66, 86, 88	ltletrd 11497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)))
90	20	mulridd 11353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + 𝑡) · 1) = (𝑆 + 𝑡))
91	58, 90	breqtrrd 5136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1))
92		1red 11336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
93		ltdivmul 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
94	11, 92, 19, 59, 93	syl112anc 1402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ 𝑆 < ((𝑆 + 𝑡) · 1)))
95	91, 94	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1)
96		halflt1 12590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) < 1
97		breq1 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
98		breq1 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) → ((1 / 2) < 1 ↔ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
99	97, 98	ifboth 4525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) < 1 ∧ (1 / 2) < 1) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
100	95, 96, 99	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)
101		1xr 11395	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
102		elioo2 13544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1)))
103	22, 101, 102	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∧ if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) < 1))
104	66, 89, 100, 103	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) ∈ (0(,)1))
105	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
106		fveq2 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑃‘𝑦) = (𝑃‘𝑥))
107	106	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) = (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)))
108		fveq2 6908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
109	107, 108	breq12d 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦) ↔ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
110	109	cbvrabv 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
111	110	mpteq2i 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑦 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑦)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (𝑃‘𝑥)) ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)})
112	1, 80, 81, 82, 83, 6, 104, 13, 105, 11, 111	itg2monolem1 26101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
113	63, 67, 11, 79, 112	letrd 11494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 / (𝑆 + 𝑡)) · (∫1‘𝑃)) ≤ 𝑆)
114	61, 113	eqbrtrd 5130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆)
115	11, 15	remulcld 11366	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ)
116		ledivmul2 12223	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 + 𝑡))) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
117	115, 11, 19, 59, 116	syl112anc 1402	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝑆 · (∫1‘𝑃)) / (𝑆 + 𝑡)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
118	114, 117	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡)))
119	66, 15, 89, 76	mulgt0d 11492	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < (if((1 / 2) ≤ (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (𝑆 / (𝑆 + 𝑡)), (1 / 2)) · (∫1‘𝑃)))
120	21, 67, 11, 119, 112	ltletrd 11497	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑆)
121		lemul2 12197	. . . . 5 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆)) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
122	15, 19, 11, 120, 121	syl112anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡) ↔ (𝑆 · (∫1‘𝑃)) ≤ (𝑆 · (𝑆 + 𝑡))))
123	118, 122	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
124	123	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡))
125		alrple 13363	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
126	70, 10, 125	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∫1‘𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ+ (∫1‘𝑃) ≤ (𝑆 + 𝑡)))
127	124, 126	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ran crn 5656   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_r cofr 7716  supcsup 9459  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232  +∞cpnf 11367  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  ℝ⁺crp 13147  (,)cioo 13503  [,)cico 13505  [,]cicc 13506  MblFncmbf 25965  ∫₁citg1 25966  ∫₂citg2 25967

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-rest 17622  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294  df-cmp 23735  df-ovol 25815  df-vol 25816  df-mbf 25970  df-itg1 25971  df-itg2 25972

This theorem is used by:  itg2mono  26104