Theorem stoweidlem49 46005

Description: There exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on 𝑇 ∖ 𝑈, and q_n > 1 - ε on 𝑉. Here y is used to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), 𝑁 represents 𝑛 in the paper, 𝐾 represents 𝑘, 𝐷 represents δ, 𝐸 represents ε, and 𝑃 represents 𝑝. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem49.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑃
stoweidlem49.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem49.3	⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem49.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem49.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
stoweidlem49.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
stoweidlem49.7	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem49.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
stoweidlem49.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
stoweidlem49.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem49.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.14	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem49	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝐷,𝑓,𝑔,𝑡   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑦,𝑡,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝑇   𝑦,𝐸   𝑦,𝑃   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑡)   𝐷(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem49

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < 𝑖))
2	1	cbvrabv 3444	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑖}
3		stoweidlem49.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
4		stoweidlem49.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
5	2, 3, 4	stoweidlem14 45970	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑘 · 𝐷))↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑘 · 𝐷))↑𝑖))
7		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑖))
8		nnre 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10	3	rpred 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
14		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
15	12	rehalfcld 12511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
16		nngt0 12295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
18	3	rpgt0d 13078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐷)
20	9, 11, 17, 19	mulgt0d 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑘 · 𝐷))
21		2re 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		divgt0 12134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 · 𝐷)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝑘 · 𝐷) / 2))
26	12, 20, 24, 25	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑘 · 𝐷) / 2))
27	15, 26	elrpd 13072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ+)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ+)
29		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
30		stoweidlem49.14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
32	6, 7, 13, 14, 28, 29, 31	stoweidlem7 45963	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)))
34	33	reximdva 3166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)))
35	5, 34	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
36		stoweidlem49.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑃
37		stoweidlem49.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
38		nfv 1912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
39	37, 38	nfan 1897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
40		nfv 1912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)
41	39, 40	nfan 1897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
42		stoweidlem49.3	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
43		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑛))↑(𝑘↑𝑛))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑛))↑(𝑘↑𝑛)))
44		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑛 ∈ ℕ)
45		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑘 ∈ ℕ)
46	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
47	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐷 < 1)
48		stoweidlem49.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
49	48	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
50		stoweidlem49.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
51	50	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
52		stoweidlem49.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
53	52	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
54		stoweidlem49.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
55	54	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
56		stoweidlem49.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
57	56	ad4ant14 752	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58		simp1ll 1235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝜑)
59		stoweidlem49.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60	58, 59	syld3an1 1409	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
61		stoweidlem49.12	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
62	58, 61	syld3an1 1409	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
63		stoweidlem49.13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
64	63	ad4ant14 752	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
65	30	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
66		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)))
67		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)
68	36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 60, 62, 64, 65, 66, 67	stoweidlem45 46001	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸)))
70	69	rexlimdvva 3211	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸)))
71	35, 70	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433   ∖ cdif 3960   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  46008