Theorem stoweidlem49 43590

Description: There exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on 𝑇 ∖ 𝑈, and q_n > 1 - ε on 𝑉. Here y is used to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), 𝑁 represents 𝑛 in the paper, 𝐾 represents 𝑘, 𝐷 represents δ, 𝐸 represents ε, and 𝑃 represents 𝑝. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem49.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑃
stoweidlem49.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem49.3	⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem49.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem49.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
stoweidlem49.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
stoweidlem49.7	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem49.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
stoweidlem49.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
stoweidlem49.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem49.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.14	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem49	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝐷,𝑓,𝑔,𝑡   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑦,𝑡,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝑇   𝑦,𝐸   𝑦,𝑃   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑡)   𝐷(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem49

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < 𝑖))
2	1	cbvrabv 3426	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑖}
3		stoweidlem49.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
4		stoweidlem49.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
5	2, 3, 4	stoweidlem14 43555	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑘 · 𝐷))↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑘 · 𝐷))↑𝑖))
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑖))
8		nnre 11980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10	3	rpred 12772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
14		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
15	12	rehalfcld 12220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
16		nngt0 12004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
18	3	rpgt0d 12775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐷)
20	9, 11, 17, 19	mulgt0d 11130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑘 · 𝐷))
21		2re 12047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		divgt0 11843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 · 𝐷)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝑘 · 𝐷) / 2))
26	12, 20, 24, 25	syl21anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑘 · 𝐷) / 2))
27	15, 26	elrpd 12769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ+)
28	27	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ+)
29		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
30		stoweidlem49.14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
31	30	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
32	6, 7, 13, 14, 28, 29, 31	stoweidlem7 43548	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
33	32	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)))
34	33	reximdva 3203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)))
35	5, 34	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
36		stoweidlem49.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑃
37		stoweidlem49.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
38		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
39	37, 38	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
40		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)
41	39, 40	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
42		stoweidlem49.3	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
43		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑛))↑(𝑘↑𝑛))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑛))↑(𝑘↑𝑛)))
44		simplrr 775	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑛 ∈ ℕ)
45		simplrl 774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑘 ∈ ℕ)
46	3	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
47	4	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐷 < 1)
48		stoweidlem49.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
49	48	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
50		stoweidlem49.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
51	50	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
52		stoweidlem49.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
53	52	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
54		stoweidlem49.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
55	54	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
56		stoweidlem49.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
57	56	ad4ant14 749	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58		simp1ll 1235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝜑)
59		stoweidlem49.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60	58, 59	syld3an1 1409	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
61		stoweidlem49.12	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
62	58, 61	syld3an1 1409	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
63		stoweidlem49.13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
64	63	ad4ant14 749	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
65	30	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
66		simprl 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)))
67		simprr 770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)
68	36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 60, 62, 64, 65, 66, 67	stoweidlem45 43586	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))
69	68	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸)))
70	69	rexlimdvva 3223	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸)))
71	35, 70	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ∖ cdif 3884   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  43593