Theorem stoweidlem49 46477

Description: There exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on 𝑇 ∖ 𝑈, and q_n > 1 - ε on 𝑉. Here y is used to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), 𝑁 represents 𝑛 in the paper, 𝐾 represents 𝑘, 𝐷 represents δ, 𝐸 represents ε, and 𝑃 represents 𝑝. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem49.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑃
stoweidlem49.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem49.3	⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem49.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem49.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
stoweidlem49.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
stoweidlem49.7	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem49.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
stoweidlem49.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
stoweidlem49.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem49.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.14	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem49	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝐷,𝑓,𝑔,𝑡   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑦,𝑡,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝑇   𝑦,𝐸   𝑦,𝑃   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑡)   𝐷(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem49

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < 𝑖))
2	1	cbvrabv 3399	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑖}
3		stoweidlem49.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
4		stoweidlem49.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
5	2, 3, 4	stoweidlem14 46442	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑘 · 𝐷))↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑘 · 𝐷))↑𝑖))
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑖))
8		nnre 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10	3	rpred 12986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
14		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
15	12	rehalfcld 12424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
16		nngt0 12208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
18	3	rpgt0d 12989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐷)
20	9, 11, 17, 19	mulgt0d 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑘 · 𝐷))
21		2re 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		divgt0 12024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 · 𝐷)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝑘 · 𝐷) / 2))
26	12, 20, 24, 25	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑘 · 𝐷) / 2))
27	15, 26	elrpd 12983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ+)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ+)
29		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
30		stoweidlem49.14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
31	30	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
32	6, 7, 13, 14, 28, 29, 31	stoweidlem7 46435	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)))
34	33	reximdva 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)))
35	5, 34	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
36		stoweidlem49.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑃
37		stoweidlem49.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
38		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
39	37, 38	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
40		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)
41	39, 40	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
42		stoweidlem49.3	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
43		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑛))↑(𝑘↑𝑛))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑛))↑(𝑘↑𝑛)))
44		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑛 ∈ ℕ)
45		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑘 ∈ ℕ)
46	3	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
47	4	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐷 < 1)
48		stoweidlem49.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
49	48	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
50		stoweidlem49.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
51	50	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
52		stoweidlem49.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
53	52	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
54		stoweidlem49.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
55	54	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
56		stoweidlem49.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
57	56	ad4ant14 753	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58		simp1ll 1238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝜑)
59		stoweidlem49.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60	58, 59	syld3an1 1413	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
61		stoweidlem49.12	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
62	58, 61	syld3an1 1413	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
63		stoweidlem49.13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
64	63	ad4ant14 753	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
65	30	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
66		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)))
67		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)
68	36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 60, 62, 64, 65, 66, 67	stoweidlem45 46473	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸)))
70	69	rexlimdvva 3194	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸)))
71	35, 70	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ∖ cdif 3886   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℝ⁺crp 12942  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  46480