Theorem stoweidlem49 46436

Description: There exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on 𝑇 ∖ 𝑈, and q_n > 1 - ε on 𝑉. Here y is used to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), 𝑁 represents 𝑛 in the paper, 𝐾 represents 𝑘, 𝐷 represents δ, 𝐸 represents ε, and 𝑃 represents 𝑝. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem49.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑃
stoweidlem49.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem49.3	⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem49.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem49.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
stoweidlem49.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
stoweidlem49.7	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem49.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
stoweidlem49.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
stoweidlem49.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem49.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem49.14	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem49	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝐷,𝑓,𝑔,𝑡   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥   𝑦,𝑡,𝐴   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝑇   𝑦,𝐸   𝑦,𝑃   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑡)   𝐷(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem49

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5104	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 / 𝐷) < 𝑗 ↔ (1 / 𝐷) < 𝑖))
2	1	cbvrabv 3411	. . . 4 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑗} = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (1 / 𝐷) < 𝑖}
3		stoweidlem49.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
4		stoweidlem49.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 < 1)
5	2, 3, 4	stoweidlem14 46401	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1))
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑘 · 𝐷))↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑘 · 𝐷))↑𝑖))
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑖))
8		nnre 12166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
10	3	rpred 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → (𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ)
14		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → 1 < (𝑘 · 𝐷))
15	12	rehalfcld 12402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ)
16		nngt0 12190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
18	3	rpgt0d 12966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐷)
20	9, 11, 17, 19	mulgt0d 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑘 · 𝐷))
21		2re 12233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		divgt0 12024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 · 𝐷)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝑘 · 𝐷) / 2))
26	12, 20, 24, 25	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑘 · 𝐷) / 2))
27	15, 26	elrpd 12960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ+)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) ∈ ℝ+)
29		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)
30		stoweidlem49.14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
31	30	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
32	6, 7, 13, 14, 28, 29, 31	stoweidlem7 46394	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)))
34	33	reximdva 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 < (𝑘 · 𝐷) ∧ ((𝑘 · 𝐷) / 2) < 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)))
35	5, 34	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
36		stoweidlem49.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑃
37		stoweidlem49.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
38		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
39	37, 38	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
40		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)
41	39, 40	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸))
42		stoweidlem49.3	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝑃‘𝑡) < (𝐷 / 2)}
43		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑛))↑(𝑘↑𝑛))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 − ((𝑃‘𝑡)↑𝑛))↑(𝑘↑𝑛)))
44		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑛 ∈ ℕ)
45		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑘 ∈ ℕ)
46	3	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
47	4	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐷 < 1)
48		stoweidlem49.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
49	48	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
50		stoweidlem49.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
51	50	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
52		stoweidlem49.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
53	52	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑃‘𝑡) ∧ (𝑃‘𝑡) ≤ 1))
54		stoweidlem49.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
55	54	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)𝐷 ≤ (𝑃‘𝑡))
56		stoweidlem49.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
57	56	ad4ant14 753	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58		simp1ll 1238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝜑)
59		stoweidlem49.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60	58, 59	syld3an1 1413	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
61		stoweidlem49.12	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
62	58, 61	syld3an1 1413	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
63		stoweidlem49.13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
64	63	ad4ant14 753	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
65	30	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
66		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → (1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)))
67		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)
68	36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 60, 62, 64, 65, 66, 67	stoweidlem45 46432	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))
69	68	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸)))
70	69	rexlimdvva 3195	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (((𝑘 · 𝐷) / 2)↑𝑛)) ∧ (1 / ((𝑘 · 𝐷)↑𝑛)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸)))
71	35, 70	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑉 (1 − 𝐸) < (𝑦‘𝑡) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(𝑦‘𝑡) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401   ∖ cdif 3900   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378   / cdiv 11808  ℕcn 12159  2c2 12214  ℕ₀cn0 12415  ℝ⁺crp 12919  ↑cexp 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fl 13726  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-rlim 15426

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  46439