knoppndvlem19 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem19 36513

Description: Lemma for knoppndv 36517. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem19.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
knoppndvlem19.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
knoppndvlem19.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem19.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem19.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem19	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑚 𝑚,𝐽 𝑚,𝐻 𝑚,𝑁 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑚) 𝐵(𝑚)

**Proof of Theorem knoppndvlem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem19.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
2		2re 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem19.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	remulcld 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7		2pos 12367	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
9	4	nngt0d 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
10	3, 5, 8, 9	mulgt0d 11414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
11	10	gt0ne0d 11825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
12		knoppndvlem19.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
13	12	nn0zd 12637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
14	13	znegcld 12722	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
15	6, 11, 14	reexpclzd 14285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
16	3	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17	5	recnd 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16, 17, 11	mulne0bad 11916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	15, 3, 18	redivcld 12093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	6, 14, 10	3jca 1127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
21		expgt0 14133	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
23	15, 3, 22, 8	divgt0d 12201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
24	23	gt0ne0d 11825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
25	1, 19, 24	redivcld 12093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ)
26	25	flcld 13835	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℤ)
27		knoppndvlem19.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))
29		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
30	29	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
31	28, 30	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
32	31	breq1d 5158	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐴 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻))
33		knoppndvlem19.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
35	29	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
36	35	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
37	34, 36	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
38	37	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐻 ≤ 𝐵 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
39	32, 38	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
40	39	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
41	26	zred 12720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ)
42		0red 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43	42, 19, 23	ltled 11407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
44		flle 13836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
45	25, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
46	41, 25, 19, 43, 45	lemul2ad 12206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
47	1	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
48	19	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
49	47, 48, 24	divcan2d 12043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = 𝐻)
50	46, 49	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻)
51	49	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
52		peano2re 11432	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
53	41, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
54		fllep1 13838	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
55	25, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
56	25, 53, 19, 43, 55	lemul2ad 12206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
57	51, 56	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
58	50, 57	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
59	26, 40, 58	rspcedvd 3624	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ∃wrex 3068 class class class wbr 5148 ‘cfv 6563 (class class class)co 7431 ℝcr 11152 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 < clt 11293 ≤ cle 11294 -cneg 11491 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ⌊cfl 13827 ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-op 4638 df-uni 4913 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-2nd 8014 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-er 8744 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-sup 9480 df-inf 9481 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-n0 12525 df-z 12612 df-uz 12877 df-rp 13033 df-fl 13829 df-seq 14040 df-exp 14100

This theorem is referenced by: knoppndvlem21 36515

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