Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem19 36532
Description: Lemma for knoppndv 36536. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem19.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
knoppndvlem19.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
knoppndvlem19.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem19.h (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem19.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem19 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴𝐻𝐻𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑚   𝑚,𝐽   𝑚,𝐻   𝑚,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)

Proof of Theorem knoppndvlem19
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem19.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
2 2re 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 knoppndvlem19.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnred 12282 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
63, 5remulcld 11292 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7 2pos 12370 . . . . . . . . 9 0 < 2
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 2)
94nngt0d 12316 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑁)
103, 5, 8, 9mulgt0d 11417 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
1110gt0ne0d 11828 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
12 knoppndvlem19.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
1312nn0zd 12641 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
1413znegcld 12726 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
156, 11, 14reexpclzd 14289 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
163recnd 11290 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
175recnd 11290 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1816, 17, 11mulne0bad 11919 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
1915, 3, 18redivcld 12096 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
206, 14, 103jca 1128 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
21 expgt0 14137 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
2315, 3, 22, 8divgt0d 12204 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
2423gt0ne0d 11828 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
251, 19, 24redivcld 12096 . . 3 (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ)
2625flcld 13839 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℤ)
27 knoppndvlem19.a . . . . . . 7 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))
29 id 22 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
3029oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
3128, 30eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
3231breq1d 5152 . . . 4 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐴𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻))
33 knoppndvlem19.b . . . . . . 7 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
3529oveq1d 7447 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
3635oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
3734, 36eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
3837breq2d 5154 . . . 4 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐻𝐵𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
3932, 38anbi12d 632 . . 3 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((𝐴𝐻𝐻𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
4039adantl 481 . 2 ((𝜑𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) → ((𝐴𝐻𝐻𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
4126zred 12724 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ)
42 0red 11265 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4342, 19, 23ltled 11410 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
44 flle 13840 . . . . . 6 ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
4525, 44syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
4641, 25, 19, 43, 45lemul2ad 12209 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
471recnd 11290 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
4819recnd 11290 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4947, 48, 24divcan2d 12046 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = 𝐻)
5046, 49breqtrd 5168 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻)
5149eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑𝐻 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
52 peano2re 11435 . . . . . 6 ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
5341, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
54 fllep1 13842 . . . . . 6 ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
5525, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
5625, 53, 19, 43, 55lemul2ad 12209 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
5751, 56eqbrtrd 5164 . . 3 (𝜑𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
5850, 57jca 511 . 2 (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
5926, 40, 58rspcedvd 3623 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴𝐻𝐻𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  -cneg 11494   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  cz 12615  cfl 13831  cexp 14103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  36534
  Copyright terms: Public domain W3C validator