knoppndvlem19 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem19 37611

Description: Lemma for knoppndv 37615. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem19.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)
knoppndvlem19.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
knoppndvlem19.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem19.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem19.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem19	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑚 𝑚,𝐽 𝑚,𝐻 𝑚,𝑁 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑚) 𝐵(𝑚)

**Proof of Theorem knoppndvlem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem19.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
2		2re 12457	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem19.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12390	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	remulcld 11378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7		2pos 12487	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
9	4	nngt0d 12427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
10	3, 5, 8, 9	mulgt0d 11504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
11	10	gt0ne0d 11920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
12		knoppndvlem19.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
13	12	nn0zd 12758	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
14	13	znegcld 12845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
15	6, 11, 14	reexpclzd 14434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑ -𝐽) ∈ ℝ)
16	3	recnd 11376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17	5	recnd 11376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16, 17, 11	mulne0bad 12011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	15, 3, 18	redivcld 12185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	6, 14, 10	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
21		expgt0 14278	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑ -𝐽))
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑ -𝐽))
23	15, 3, 22, 8	divgt0d 12292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
24	23	gt0ne0d 11920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ≠ 0)
25	1, 19, 24	redivcld 12185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ∈ ℝ)
26	25	flcld 13978	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ∈ ℤ)
27		knoppndvlem19.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))
29		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))))
30	29	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))))
31	28, 30	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))))
32	31	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → (𝐴 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻))
33		knoppndvlem19.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
35	29	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))
36	35	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))
37	34, 36	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))
38	37	breq2d 5120	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → (𝐻 ≤ 𝐵 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))))
39	32, 38	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))))
40	39	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))))
41	26	zred 12843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ∈ ℝ)
42		0red 11350	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43	42, 19, 23	ltled 11497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
44		flle 13979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))
45	25, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))
46	41, 25, 19, 43, 45	lemul2ad 12297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))))
47	1	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
48	19	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℂ)
49	47, 48, 24	divcan2d 12135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) = 𝐻)
50	46, 49	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻)
51	49	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))))
52		peano2re 11522	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
53	41, 52	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
54		fllep1 13981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))
55	25, 54	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))
56	25, 53, 19, 43, 55	lemul2ad 12297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))
57	51, 56	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))
58	50, 57	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))))
59	26, 40, 58	rspcedvd 3582	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ∃wrex 3090 class class class wbr 5108 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ℝcr 11238 0cc0 11239 1c1 11240 + caddc 11242 · cmul 11244 < clt 11382 ≤ cle 11383 -cneg 11581 / cdiv 12013 ℕcn 12375 2c2 12437 ℕ₀cn0 12646 ℤcz 12733 ⌊cfl 13970 ↑cexp 14244

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4841 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7912 df-2nd 8036 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-er 8755 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-sup 9471 df-inf 9472 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-n0 12647 df-z 12734 df-uz 13006 df-rp 13161 df-fl 13972 df-seq 14185 df-exp 14245

This theorem is used by: knoppndvlem21 37613

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