Proof of Theorem knoppndvlem19
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | knoppndvlem19.h |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ) |
2 | | 2re 11733 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ |
3 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
4 | | knoppndvlem19.n |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
5 | 4 | nnred 11674 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
6 | 3, 5 | remulcld 10694 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ) |
7 | | 2pos 11762 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 <
2 |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 < 2) |
9 | 4 | nngt0d 11708 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁) |
10 | 3, 5, 8, 9 | mulgt0d 10818 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁)) |
11 | 10 | gt0ne0d 11227 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0) |
12 | | knoppndvlem19.j |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈
ℕ0) |
13 | 12 | nn0zd 12109 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ) |
14 | 13 | znegcld 12113 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ) |
15 | 6, 11, 14 | reexpclzd 13645 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ) |
16 | 3 | recnd 10692 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
17 | 5 | recnd 10692 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
18 | 16, 17, 11 | mulne0bad 11318 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0) |
19 | 15, 3, 18 | redivcld 11491 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ) |
20 | 6, 14, 10 | 3jca 1126 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2
· 𝑁))) |
21 | | expgt0 13497 |
. . . . . . 7
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ -𝐽 ∈ ℤ
∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) |
23 | 15, 3, 22, 8 | divgt0d 11598 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) |
24 | 23 | gt0ne0d 11227 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0) |
25 | 1, 19, 24 | redivcld 11491 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ) |
26 | 25 | flcld 13202 |
. 2
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℤ) |
27 | | knoppndvlem19.a |
. . . . . . 7
⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) |
28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) |
29 | | id 22 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) |
30 | 29 | oveq2d 7159 |
. . . . . 6
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))) |
31 | 28, 30 | eqtrd 2794 |
. . . . 5
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))) |
32 | 31 | breq1d 5035 |
. . . 4
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐴 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻)) |
33 | | knoppndvlem19.b |
. . . . . . 7
⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) |
35 | 29 | oveq1d 7158 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)) |
36 | 35 | oveq2d 7159 |
. . . . . 6
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))) |
37 | 34, 36 | eqtrd 2794 |
. . . . 5
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))) |
38 | 37 | breq2d 5037 |
. . . 4
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐻 ≤ 𝐵 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))) |
39 | 32, 38 | anbi12d 634 |
. . 3
⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))) |
40 | 39 | adantl 486 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))) |
41 | 26 | zred 12111 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ) |
42 | | 0red 10667 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
43 | 42, 19, 23 | ltled 10811 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) |
44 | | flle 13203 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ →
(⌊‘(𝐻 / (((2
· 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) |
45 | 25, 44 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) |
46 | 41, 25, 19, 43, 45 | lemul2ad 11603 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) |
47 | 1 | recnd 10692 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ) |
48 | 19 | recnd 10692 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ) |
49 | 47, 48, 24 | divcan2d 11441 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = 𝐻) |
50 | 46, 49 | breqtrd 5051 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻) |
51 | 49 | eqcomd 2765 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) |
52 | | peano2re 10836 |
. . . . . 6
⊢
((⌊‘(𝐻 /
(((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ →
((⌊‘(𝐻 / (((2
· 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈
ℝ) |
53 | 41, 52 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈
ℝ) |
54 | | fllep1 13205 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)) |
55 | 25, 54 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)) |
56 | 25, 53, 19, 43, 55 | lemul2ad 11603 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))) |
57 | 51, 56 | eqbrtrd 5047 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))) |
58 | 50, 57 | jca 516 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))) |
59 | 26, 40, 58 | rspcedvd 3542 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵)) |