knoppndvlem19 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem19 36532

Description: Lemma for knoppndv 36536. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem19.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
knoppndvlem19.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
knoppndvlem19.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem19.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem19.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem19	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑚 𝑚,𝐽 𝑚,𝐻 𝑚,𝑁 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑚) 𝐵(𝑚)

**Proof of Theorem knoppndvlem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem19.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
2		2re 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem19.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	remulcld 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7		2pos 12370	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
9	4	nngt0d 12316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
10	3, 5, 8, 9	mulgt0d 11417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
11	10	gt0ne0d 11828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
12		knoppndvlem19.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
13	12	nn0zd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
14	13	znegcld 12726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
15	6, 11, 14	reexpclzd 14289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
16	3	recnd 11290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17	5	recnd 11290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16, 17, 11	mulne0bad 11919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	15, 3, 18	redivcld 12096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	6, 14, 10	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
21		expgt0 14137	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
23	15, 3, 22, 8	divgt0d 12204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
24	23	gt0ne0d 11828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
25	1, 19, 24	redivcld 12096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ)
26	25	flcld 13839	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℤ)
27		knoppndvlem19.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))
29		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
30	29	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
31	28, 30	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
32	31	breq1d 5152	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐴 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻))
33		knoppndvlem19.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
35	29	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
36	35	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
37	34, 36	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
38	37	breq2d 5154	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐻 ≤ 𝐵 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
39	32, 38	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
40	39	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
41	26	zred 12724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ)
42		0red 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43	42, 19, 23	ltled 11410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
44		flle 13840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
45	25, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
46	41, 25, 19, 43, 45	lemul2ad 12209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
47	1	recnd 11290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
48	19	recnd 11290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
49	47, 48, 24	divcan2d 12046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = 𝐻)
50	46, 49	breqtrd 5168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻)
51	49	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
52		peano2re 11435	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
53	41, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
54		fllep1 13842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
55	25, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
56	25, 53, 19, 43, 55	lemul2ad 12209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
57	51, 56	eqbrtrd 5164	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
58	50, 57	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
59	26, 40, 58	rspcedvd 3623	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ∃wrex 3069 class class class wbr 5142 ‘cfv 6560 (class class class)co 7432 ℝcr 11155 0cc0 11156 1c1 11157 + caddc 11159 · cmul 11161 < clt 11296 ≤ cle 11297 -cneg 11494 / cdiv 11921 ℕcn 12267 2c2 12322 ℕ₀cn0 12528 ℤcz 12615 ⌊cfl 13831 ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233 ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3379 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4907 df-iun 4992 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-om 7889 df-2nd 8016 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-er 8746 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-sup 9483 df-inf 9484 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-div 11922 df-nn 12268 df-2 12330 df-n0 12529 df-z 12616 df-uz 12880 df-rp 13036 df-fl 13833 df-seq 14044 df-exp 14104

This theorem is referenced by: knoppndvlem21 36534

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