Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem19 35710
Description: Lemma for knoppndv 35714. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem19.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘š)
knoppndvlem19.b ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘š + 1))
knoppndvlem19.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem19.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„)
knoppndvlem19.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem19 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘š   ๐‘š,๐ฝ   ๐‘š,๐ป   ๐‘š,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘š)   ๐ต(๐‘š)

Proof of Theorem knoppndvlem19
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem19.h . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„)
2 2re 12291 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4 knoppndvlem19.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54nnred 12232 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
63, 5remulcld 11249 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
7 2pos 12320 . . . . . . . . 9 0 < 2
87a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
94nngt0d 12266 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
103, 5, 8, 9mulgt0d 11374 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘))
1110gt0ne0d 11783 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
12 knoppndvlem19.j . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
1312nn0zd 12589 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
1413znegcld 12673 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -๐ฝ โˆˆ โ„ค)
156, 11, 14reexpclzd 14217 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โˆˆ โ„)
163recnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
175recnd 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1816, 17, 11mulne0bad 11874 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
1915, 3, 18redivcld 12047 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„)
206, 14, 103jca 1127 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง -๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (2 ยท ๐‘)))
21 expgt0 14066 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง -๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (2 ยท ๐‘)) โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ))
2315, 3, 22, 8divgt0d 12154 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))
2423gt0ne0d 11783 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โ‰  0)
251, 19, 24redivcld 12047 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โˆˆ โ„)
2625flcld 13768 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โˆˆ โ„ค)
27 knoppndvlem19.a . . . . . . 7 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘š)
2827a1i 11 . . . . . 6 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘š))
29 id 22 . . . . . . 7 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))))
3029oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘š) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))))
3128, 30eqtrd 2771 . . . . 5 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))))
3231breq1d 5159 . . . 4 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ป โ†” ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป))
33 knoppndvlem19.b . . . . . . 7 ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘š + 1))
3433a1i 11 . . . . . 6 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘š + 1)))
3529oveq1d 7427 . . . . . . 7 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ (๐‘š + 1) = ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))
3635oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘š + 1)) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))
3734, 36eqtrd 2771 . . . . 5 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))
3837breq2d 5161 . . . 4 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ (๐ป โ‰ค ๐ต โ†” ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))))
3932, 38anbi12d 630 . . 3 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐ต) โ†” (((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))))
4039adantl 481 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐ต) โ†” (((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))))
4126zred 12671 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โˆˆ โ„)
42 0red 11222 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
4342, 19, 23ltled 11367 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))
44 flle 13769 . . . . . 6 ((๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ‰ค (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
4525, 44syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ‰ค (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
4641, 25, 19, 43, 45lemul2ad 12159 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))))
471recnd 11247 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
4819recnd 11247 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
4947, 48, 24divcan2d 11997 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) = ๐ป)
5046, 49breqtrd 5175 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป)
5149eqcomd 2737 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))))
52 peano2re 11392 . . . . . 6 ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1) โˆˆ โ„)
5341, 52syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1) โˆˆ โ„)
54 fllep1 13771 . . . . . 6 ((๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))
5525, 54syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))
5625, 53, 19, 43, 55lemul2ad 12159 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))
5751, 56eqbrtrd 5171 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))
5850, 57jca 511 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))))
5926, 40, 58rspcedvd 3615 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3069   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โŒŠcfl 13760  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  35712
  Copyright terms: Public domain W3C validator