Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem19 36235
Description: Lemma for knoppndv 36239. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem19.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
knoppndvlem19.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
knoppndvlem19.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem19.h (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem19.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem19 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴𝐻𝐻𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑚   𝑚,𝐽   𝑚,𝐻   𝑚,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)

Proof of Theorem knoppndvlem19
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem19.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
2 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 knoppndvlem19.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnred 12281 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
63, 5remulcld 11296 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7 2pos 12369 . . . . . . . . 9 0 < 2
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 2)
94nngt0d 12315 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑁)
103, 5, 8, 9mulgt0d 11421 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
1110gt0ne0d 11830 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
12 knoppndvlem19.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
1312nn0zd 12638 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
1413znegcld 12722 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
156, 11, 14reexpclzd 14268 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
163recnd 11294 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
175recnd 11294 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1816, 17, 11mulne0bad 11921 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
1915, 3, 18redivcld 12095 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
206, 14, 103jca 1125 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
21 expgt0 14117 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
2315, 3, 22, 8divgt0d 12203 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
2423gt0ne0d 11830 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
251, 19, 24redivcld 12095 . . 3 (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ)
2625flcld 13820 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℤ)
27 knoppndvlem19.a . . . . . . 7 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))
29 id 22 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
3029oveq2d 7442 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
3128, 30eqtrd 2766 . . . . 5 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
3231breq1d 5165 . . . 4 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐴𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻))
33 knoppndvlem19.b . . . . . . 7 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
3529oveq1d 7441 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
3635oveq2d 7442 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
3734, 36eqtrd 2766 . . . . 5 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
3837breq2d 5167 . . . 4 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐻𝐵𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
3932, 38anbi12d 630 . . 3 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((𝐴𝐻𝐻𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
4039adantl 480 . 2 ((𝜑𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) → ((𝐴𝐻𝐻𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
4126zred 12720 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ)
42 0red 11269 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4342, 19, 23ltled 11414 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
44 flle 13821 . . . . . 6 ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
4525, 44syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
4641, 25, 19, 43, 45lemul2ad 12208 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
471recnd 11294 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
4819recnd 11294 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4947, 48, 24divcan2d 12045 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = 𝐻)
5046, 49breqtrd 5181 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻)
5149eqcomd 2732 . . . 4 (𝜑𝐻 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
52 peano2re 11439 . . . . . 6 ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
5341, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
54 fllep1 13823 . . . . . 6 ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
5525, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
5625, 53, 19, 43, 55lemul2ad 12208 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
5751, 56eqbrtrd 5177 . . 3 (𝜑𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
5850, 57jca 510 . 2 (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
5926, 40, 58rspcedvd 3610 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴𝐻𝐻𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060   class class class wbr 5155  cfv 6556  (class class class)co 7426  cr 11159  0cc0 11160  1c1 11161   + caddc 11163   · cmul 11165   < clt 11300  cle 11301  -cneg 11497   / cdiv 11923  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12612  cfl 13812  cexp 14083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9487  df-inf 9488  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-rp 13031  df-fl 13814  df-seq 14024  df-exp 14084
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  36237
  Copyright terms: Public domain W3C validator