Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem19 35709
Description: Lemma for knoppndv 35713. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem19.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘š)
knoppndvlem19.b ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘š + 1))
knoppndvlem19.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem19.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„)
knoppndvlem19.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem19 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘š   ๐‘š,๐ฝ   ๐‘š,๐ป   ๐‘š,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘š)   ๐ต(๐‘š)

Proof of Theorem knoppndvlem19
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem19.h . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„)
2 2re 12290 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4 knoppndvlem19.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54nnred 12231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
63, 5remulcld 11248 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
7 2pos 12319 . . . . . . . . 9 0 < 2
87a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
94nngt0d 12265 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
103, 5, 8, 9mulgt0d 11373 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘))
1110gt0ne0d 11782 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰  0)
12 knoppndvlem19.j . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
1312nn0zd 12588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
1413znegcld 12672 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -๐ฝ โˆˆ โ„ค)
156, 11, 14reexpclzd 14216 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) โˆˆ โ„)
163recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
175recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1816, 17, 11mulne0bad 11873 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
1915, 3, 18redivcld 12046 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„)
206, 14, 103jca 1126 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง -๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (2 ยท ๐‘)))
21 expgt0 14065 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง -๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (2 ยท ๐‘)) โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ))
2315, 3, 22, 8divgt0d 12153 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))
2423gt0ne0d 11782 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โ‰  0)
251, 19, 24redivcld 12046 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โˆˆ โ„)
2625flcld 13767 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โˆˆ โ„ค)
27 knoppndvlem19.a . . . . . . 7 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘š)
2827a1i 11 . . . . . 6 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘š))
29 id 22 . . . . . . 7 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))))
3029oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘š) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))))
3128, 30eqtrd 2770 . . . . 5 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))))
3231breq1d 5157 . . . 4 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ป โ†” ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป))
33 knoppndvlem19.b . . . . . . 7 ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘š + 1))
3433a1i 11 . . . . . 6 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘š + 1)))
3529oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ (๐‘š + 1) = ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))
3635oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘š + 1)) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))
3734, 36eqtrd 2770 . . . . 5 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))
3837breq2d 5159 . . . 4 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ (๐ป โ‰ค ๐ต โ†” ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))))
3932, 38anbi12d 629 . . 3 (๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐ต) โ†” (((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))))
4039adantl 480 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š = (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐ต) โ†” (((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))))
4126zred 12670 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โˆˆ โ„)
42 0red 11221 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
4342, 19, 23ltled 11366 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))
44 flle 13768 . . . . . 6 ((๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ‰ค (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
4525, 44syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ‰ค (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))
4641, 25, 19, 43, 45lemul2ad 12158 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))))
471recnd 11246 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
4819recnd 11246 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
4947, 48, 24divcan2d 11996 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) = ๐ป)
5046, 49breqtrd 5173 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป)
5149eqcomd 2736 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))))
52 peano2re 11391 . . . . . 6 ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1) โˆˆ โ„)
5341, 52syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1) โˆˆ โ„)
54 fllep1 13770 . . . . . 6 ((๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โˆˆ โ„ โ†’ (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))
5525, 54syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))
5625, 53, 19, 43, 55lemul2ad 12158 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))
5751, 56eqbrtrd 5169 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1)))
5850, 57jca 510 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2)))) โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ((โŒŠโ€˜(๐ป / (((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2))) + 1))))
5926, 40, 58rspcedvd 3613 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โ‰ค ๐ป โˆง ๐ป โ‰ค ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โŒŠcfl 13759  โ†‘cexp 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  35711
  Copyright terms: Public domain W3C validator