knoppndvlem19 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem19 37492

Description: Lemma for knoppndv 37496. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem19.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)
knoppndvlem19.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
knoppndvlem19.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem19.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem19.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem19	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑚 𝑚,𝐽 𝑚,𝐻 𝑚,𝑁 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑚) 𝐵(𝑚)

**Proof of Theorem knoppndvlem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem19.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
2		2re 12424	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem19.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	remulcld 11346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7		2pos 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
9	4	nngt0d 12394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
10	3, 5, 8, 9	mulgt0d 11472	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
11	10	gt0ne0d 11887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
12		knoppndvlem19.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
13	12	nn0zd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
14	13	znegcld 12812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
15	6, 11, 14	reexpclzd 14400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑ -𝐽) ∈ ℝ)
16	3	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17	5	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16, 17, 11	mulne0bad 11978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	15, 3, 18	redivcld 12152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	6, 14, 10	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
21		expgt0 14245	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑ -𝐽))
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑ -𝐽))
23	15, 3, 22, 8	divgt0d 12259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
24	23	gt0ne0d 11887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ≠ 0)
25	1, 19, 24	redivcld 12152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ∈ ℝ)
26	25	flcld 13945	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ∈ ℤ)
27		knoppndvlem19.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚))
29		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))))
30	29	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))))
31	28, 30	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))))
32	31	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → (𝐴 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻))
33		knoppndvlem19.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
35	29	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))
36	35	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))
37	34, 36	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))
38	37	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → (𝐻 ≤ 𝐵 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))))
39	32, 38	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))))
40	39	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))))
41	26	zred 12810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ∈ ℝ)
42		0red 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43	42, 19, 23	ltled 11465	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
44		flle 13946	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))
45	25, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))
46	41, 25, 19, 43, 45	lemul2ad 12264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))))
47	1	recnd 11344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
48	19	recnd 11344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℂ)
49	47, 48, 24	divcan2d 12102	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) = 𝐻)
50	46, 49	breqtrd 5130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻)
51	49	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))))
52		peano2re 11490	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
53	41, 52	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
54		fllep1 13948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))
55	25, 54	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))
56	25, 53, 19, 43, 55	lemul2ad 12264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))
57	51, 56	eqbrtrd 5126	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1)))
58	50, 57	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))) + 1))))
59	26, 40, 58	rspcedvd 3578	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ∃wrex 3086 class class class wbr 5102 ‘cfv 6543 (class class class)co 7424 ℝcr 11206 0cc0 11207 1c1 11208 + caddc 11210 · cmul 11212 < clt 11350 ≤ cle 11351 -cneg 11549 / cdiv 11980 ℕcn 12342 2c2 12404 ℕ₀cn0 12613 ℤcz 12700 ⌊cfl 13937 ↑cexp 14211

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7755 ax-cnex 11263 ax-resscn 11264 ax-1cn 11265 ax-icn 11266 ax-addcl 11267 ax-addrcl 11268 ax-mulcl 11269 ax-mulrcl 11270 ax-mulcom 11271 ax-addass 11272 ax-mulass 11273 ax-distr 11274 ax-i2m1 11275 ax-1ne0 11276 ax-1rid 11277 ax-rnegex 11278 ax-rrecex 11279 ax-cnre 11280 ax-pre-lttri 11281 ax-pre-lttrn 11282 ax-pre-ltadd 11283 ax-pre-mulgt0 11284 ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-ss 3897 df-pss 4013 df-dif 4046 df-in 4090 df-un 4150 df-nul 4278 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6307 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6497 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7381 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-om 7882 df-2nd 8006 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-er 8724 df-en 8981 df-dom 8982 df-sdom 8983 df-sup 9441 df-inf 9442 df-pnf 11352 df-mnf 11353 df-xr 11354 df-ltxr 11355 df-le 11356 df-sub 11550 df-neg 11551 df-div 11981 df-nn 12343 df-2 12412 df-n0 12614 df-z 12701 df-uz 12973 df-rp 13128 df-fl 13939 df-seq 14152 df-exp 14212

This theorem is used by: knoppndvlem21 37494

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