Theorem uz2mulcl 12861

Description: Closure of multiplication of integers greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
uz2mulcl	⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))

Proof of Theorem uz2mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12779	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12779	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zmulcl 12558	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5		eluz2b1 12854	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀))
6		zre 12509	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
8	5, 7	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
9		eluz2b1 12854	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
10		zre 12509	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
12	9, 11	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
13		mulgt1 12020	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝑀 ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
14	13	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
15	8, 12, 14	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
16		eluz2b1 12854	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑀 · 𝑁)))
17	4, 15, 16	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184  2c2 12217  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  42999