MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uz2mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz2mulcl 12950
Description: Closure of multiplication of integers greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
uz2mulcl ((๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))

Proof of Theorem uz2mulcl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12872 . . 3 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
2 eluzelz 12872 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 zmulcl 12651 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
41, 2, 3syl2an 594 . 2 ((๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5 eluz2b1 12943 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐‘€))
6 zre 12602 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
76anim1i 613 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐‘€) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘€))
85, 7sylbi 216 . . 3 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘€))
9 eluz2b1 12943 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐‘))
10 zre 12602 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1110anim1i 613 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘))
129, 11sylbi 216 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘))
13 mulgt1 12113 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง (1 < ๐‘€ โˆง 1 < ๐‘)) โ†’ 1 < (๐‘€ ยท ๐‘))
1413an4s 658 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘€) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘)) โ†’ 1 < (๐‘€ ยท ๐‘))
158, 12, 14syl2an 594 . 2 ((๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < (๐‘€ ยท ๐‘))
16 eluz2b1 12943 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (๐‘€ ยท ๐‘)))
174, 15, 16sylanbrc 581 1 ((๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11147  1c1 11149   ยท cmul 11153   < clt 11288  2c2 12307  โ„คcz 12598  โ„คโ‰ฅcuz 12862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  42487
  Copyright terms: Public domain W3C validator