Theorem uz2mulcl 12073

Description: Closure of multiplication of integers greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
uz2mulcl	⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))

Proof of Theorem uz2mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12002	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12002	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zmulcl 11778	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 589	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5		eluz2b1 12066	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀))
6		zre 11732	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	anim1i 608	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
8	5, 7	sylbi 209	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀))
9		eluz2b1 12066	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
10		zre 11732	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	anim1i 608	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
12	9, 11	sylbi 209	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
13		mulgt1 11236	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝑀 ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
14	13	an4s 650	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
15	8, 12, 14	syl2an 589	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < (𝑀 · 𝑁))
16		eluz2b1 12066	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑀 · 𝑁)))
17	4, 15, 16	sylanbrc 578	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  1c1 10273   · cmul 10277   < clt 10411  2c2 11430  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993

This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  38543