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Theorem mulge0b 11845

Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulge0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

**Proof of Theorem mulge0b**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 979	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0))
2		0re 10977	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltnle 11054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4	2, 3	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
6		ltnle 11054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
7	2, 6	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
9	5, 8	orbi12d 916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
11		ltle 11063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
12	2, 11	mpan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
13	12	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14	13	ad2ant2rl 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
15		remulcl 10956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
17		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
18		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
20		divge0 11844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl22anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
22		recn 10961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24		recn 10961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		gt0ne0 11440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
27	26	ad2ant2rl 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
28	23, 25, 27	divcan3d 11756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = 𝐵)
29	21, 28	breqtrd 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐵)
30	14, 29	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
32	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
33		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
34		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
36		divge0 11844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
37	32, 33, 34, 35, 36	syl22anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
38	24	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	22	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
40		gt0ne0 11440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
41	40	ad2ant2l 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
42	38, 39, 41	divcan4d 11757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
43	37, 42	breqtrd 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
44		ltle 11063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
45	2, 44	mpan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
46	45	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
47	46	ad2ant2l 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
48	43, 47	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
49	48	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
50	31, 49	jaod 856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
51	10, 50	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
52	1, 51	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
53	52	orrd 860	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
54	53	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))
55		le0neg1 11483	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
56		le0neg1 11483	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
57	55, 56	bi2anan9 636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
58		renegcl 11284	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
59		renegcl 11284	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
60		mulge0 11493	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
61	60	an4s 657	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
62	61	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
63	58, 59, 62	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
64		mul2neg 11414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
65	24, 22, 64	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
66	65	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (-𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
67	63, 66	sylibd 238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
68	57, 67	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
69		mulge0 11493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
70	69	an4s 657	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
71	70	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
72	68, 71	jaod 856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
73	54, 72	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 844 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 class class class wbr 5074 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 · cmul 10876 < clt 11009 ≤ cle 11010 -cneg 11206 / cdiv 11632

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-id 5489 df-po 5503 df-so 5504 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633

This theorem is referenced by: mulle0b 11846

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