MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulge0b 12085
Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulge0b ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))))

Proof of Theorem mulge0b
StepHypRef Expression
1 ianor 978 . . . . 5 (ยฌ (๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โ†” (ยฌ ๐ด โ‰ค 0 โˆจ ยฌ ๐ต โ‰ค 0))
2 0re 11217 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
3 ltnle 11294 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” ยฌ ๐ด โ‰ค 0))
42, 3mpan 687 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†” ยฌ ๐ด โ‰ค 0))
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” ยฌ ๐ด โ‰ค 0))
6 ltnle 11294 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โ‰ค 0))
72, 6mpan 687 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โ‰ค 0))
87adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โ‰ค 0))
95, 8orbi12d 915 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆจ 0 < ๐ต) โ†” (ยฌ ๐ด โ‰ค 0 โˆจ ยฌ ๐ต โ‰ค 0)))
109adantr 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ ((0 < ๐ด โˆจ 0 < ๐ต) โ†” (ยฌ ๐ด โ‰ค 0 โˆจ ยฌ ๐ต โ‰ค 0)))
11 ltle 11303 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
122, 11mpan 687 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
1312imp 406 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
1413ad2ant2rl 746 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
15 remulcl 11194 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
17 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
18 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
19 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด)
20 divge0 12084 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด))
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด))
22 recn 11199 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2322ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
24 recn 11199 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26 gt0ne0 11680 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
2726ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
2823, 25, 27divcan3d 11996 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด) = ๐ต)
2921, 28breqtrd 5167 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3014, 29jca 511 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
3130expr 456 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
3215adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
33 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
34 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
35 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
36 divge0 12084 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต))
3732, 33, 34, 35, 36syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต))
3824ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3922ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
40 gt0ne0 11680 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰  0)
4140ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
4238, 39, 41divcan4d 11997 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
4337, 42breqtrd 5167 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
44 ltle 11303 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
452, 44mpan 687 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
4645imp 406 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
4746ad2ant2l 743 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
4843, 47jca 511 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
4948expr 456 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (0 < ๐ต โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
5031, 49jaod 856 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ ((0 < ๐ด โˆจ 0 < ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
5110, 50sylbird 260 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ ((ยฌ ๐ด โ‰ค 0 โˆจ ยฌ ๐ต โ‰ค 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
521, 51biimtrid 241 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (ยฌ (๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
5352orrd 860 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
5453ex 412 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))))
55 le0neg1 11723 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ด))
56 le0neg1 11723 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ต))
5755, 56bi2anan9 636 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โ†” (0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต)))
58 renegcl 11524 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
59 renegcl 11524 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
60 mulge0 11733 . . . . . . . 8 (((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ด) โˆง (-๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต))
6160an4s 657 . . . . . . 7 (((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต))
6261ex 412 . . . . . 6 ((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต)))
6358, 59, 62syl2an 595 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต)))
64 mul2neg 11654 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
6524, 22, 64syl2an 595 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
6665breq2d 5153 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต) โ†” 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
6763, 66sylibd 238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
6857, 67sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
69 mulge0 11733 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
7069an4s 657 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
7170ex 412 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
7268, 71jaod 856 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
7354, 72impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250  -cneg 11446   / cdiv 11872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by:  mulle0b  12086
  Copyright terms: Public domain W3C validator