Theorem mulge0b 11775

Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

Proof of Theorem mulge0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 978	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0))
2		0re 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltnle 10985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4	2, 3	mpan 686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
6		ltnle 10985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
7	2, 6	mpan 686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
9	5, 8	orbi12d 915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
11		ltle 10994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
12	2, 11	mpan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
13	12	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14	13	ad2ant2rl 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
15		remulcl 10887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
17		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
18		simpll 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
20		divge0 11774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl22anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
22		recn 10892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24		recn 10892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		gt0ne0 11370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
27	26	ad2ant2rl 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
28	23, 25, 27	divcan3d 11686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = 𝐵)
29	21, 28	breqtrd 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐵)
30	14, 29	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
32	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
33		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
34		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
36		divge0 11774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
37	32, 33, 34, 35, 36	syl22anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
38	24	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	22	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
40		gt0ne0 11370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
41	40	ad2ant2l 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
42	38, 39, 41	divcan4d 11687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
43	37, 42	breqtrd 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
44		ltle 10994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
45	2, 44	mpan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
46	45	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
47	46	ad2ant2l 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
48	43, 47	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
49	48	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
50	31, 49	jaod 855	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
51	10, 50	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
52	1, 51	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
53	52	orrd 859	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
54	53	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))
55		le0neg1 11413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
56		le0neg1 11413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
57	55, 56	bi2anan9 635	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
58		renegcl 11214	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
59		renegcl 11214	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
60		mulge0 11423	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
61	60	an4s 656	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
62	61	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
63	58, 59, 62	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
64		mul2neg 11344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
65	24, 22, 64	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
66	65	breq2d 5082	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (-𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
67	63, 66	sylibd 238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
68	57, 67	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
69		mulge0 11423	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
70	69	an4s 656	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
71	70	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
72	68, 71	jaod 855	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
73	54, 72	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  -cneg 11136   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  mulle0b  11776