Theorem mulge0b 12120

Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

Proof of Theorem mulge0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 979	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0))
2		0re 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltnle 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4	2, 3	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5	4	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
6		ltnle 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
7	2, 6	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
8	7	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
9	5, 8	orbi12d 916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
10	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
11		ltle 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
12	2, 11	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
13	12	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14	13	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
15		remulcl 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
17		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
18		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
20		divge0 12119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
22		recn 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24		recn 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		gt0ne0 11715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
27	26	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
28	23, 25, 27	divcan3d 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = 𝐵)
29	21, 28	breqtrd 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐵)
30	14, 29	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	expr 455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
32	15	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
33		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
34		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
36		divge0 12119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
37	32, 33, 34, 35, 36	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
38	24	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	22	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
40		gt0ne0 11715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
41	40	ad2ant2l 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
42	38, 39, 41	divcan4d 12032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
43	37, 42	breqtrd 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
44		ltle 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
45	2, 44	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
46	45	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
47	46	ad2ant2l 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
48	43, 47	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
49	48	expr 455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
50	31, 49	jaod 857	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
51	10, 50	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
52	1, 51	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
53	52	orrd 861	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
54	53	ex 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))
55		le0neg1 11758	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
56		le0neg1 11758	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
57	55, 56	bi2anan9 636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
58		renegcl 11559	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
59		renegcl 11559	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
60		mulge0 11768	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
61	60	an4s 658	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
62	61	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
63	58, 59, 62	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
64		mul2neg 11689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
65	24, 22, 64	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
66	65	breq2d 5162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (-𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
67	63, 66	sylibd 238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
68	57, 67	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
69		mulge0 11768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
70	69	an4s 658	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
71	70	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
72	68, 71	jaod 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
73	54, 72	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  ℝcr 11143  0cc0 11144   · cmul 11149   < clt 11284   ≤ cle 11285  -cneg 11481   / cdiv 11907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908

This theorem is referenced by:  mulle0b  12121