MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulge0b 12033
Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulge0b ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))))

Proof of Theorem mulge0b
StepHypRef Expression
1 ianor 981 . . . . 5 (ยฌ (๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โ†” (ยฌ ๐ด โ‰ค 0 โˆจ ยฌ ๐ต โ‰ค 0))
2 0re 11165 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
3 ltnle 11242 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” ยฌ ๐ด โ‰ค 0))
42, 3mpan 689 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†” ยฌ ๐ด โ‰ค 0))
54adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” ยฌ ๐ด โ‰ค 0))
6 ltnle 11242 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โ‰ค 0))
72, 6mpan 689 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โ‰ค 0))
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” ยฌ ๐ต โ‰ค 0))
95, 8orbi12d 918 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆจ 0 < ๐ต) โ†” (ยฌ ๐ด โ‰ค 0 โˆจ ยฌ ๐ต โ‰ค 0)))
109adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ ((0 < ๐ด โˆจ 0 < ๐ต) โ†” (ยฌ ๐ด โ‰ค 0 โˆจ ยฌ ๐ต โ‰ค 0)))
11 ltle 11251 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
122, 11mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
1312imp 408 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
1413ad2ant2rl 748 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
15 remulcl 11144 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
17 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
18 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
19 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด)
20 divge0 12032 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด))
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด))
22 recn 11149 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
24 recn 11149 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
26 gt0ne0 11628 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
2726ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
2823, 25, 27divcan3d 11944 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ด) = ๐ต)
2921, 28breqtrd 5135 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
3014, 29jca 513 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
3130expr 458 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
3215adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
33 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
34 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
35 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
36 divge0 12032 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต))
3732, 33, 34, 35, 36syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต))
3824ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3922ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
40 gt0ne0 11628 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰  0)
4140ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
4238, 39, 41divcan4d 11945 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
4337, 42breqtrd 5135 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
44 ltle 11251 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
452, 44mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ต โ†’ 0 โ‰ค ๐ต))
4645imp 408 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
4746ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
4843, 47jca 513 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
4948expr 458 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (0 < ๐ต โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
5031, 49jaod 858 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ ((0 < ๐ด โˆจ 0 < ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
5110, 50sylbird 260 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ ((ยฌ ๐ด โ‰ค 0 โˆจ ยฌ ๐ต โ‰ค 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
521, 51biimtrid 241 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (ยฌ (๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
5352orrd 862 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)))
5453ex 414 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))))
55 le0neg1 11671 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ด))
56 le0neg1 11671 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ต))
5755, 56bi2anan9 638 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โ†” (0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต)))
58 renegcl 11472 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
59 renegcl 11472 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
60 mulge0 11681 . . . . . . . 8 (((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ด) โˆง (-๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต))
6160an4s 659 . . . . . . 7 (((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต))
6261ex 414 . . . . . 6 ((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง -๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต)))
6358, 59, 62syl2an 597 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต)))
64 mul2neg 11602 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
6524, 22, 64syl2an 597 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
6665breq2d 5121 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (-๐ด ยท -๐ต) โ†” 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
6763, 66sylibd 238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค -๐ด โˆง 0 โ‰ค -๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
6857, 67sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
69 mulge0 11681 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
7069an4s 659 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
7170ex 414 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
7268, 71jaod 858 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
7354, 72impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง ๐ต โ‰ค 0) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198  -cneg 11394   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  mulle0b  12034
  Copyright terms: Public domain W3C validator