Theorem mulge0b 12086

Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

Proof of Theorem mulge0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 997	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0))
2		0re 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltnle 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4	2, 3	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
6		ltnle 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
7	2, 6	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
8	7	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
9	5, 8	orbi12d 931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
11		ltle 11299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
12	2, 11	mpan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
13	12	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14	13	ad2ant2rl 761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
15		remulcl 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
17		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
18		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simprr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
20		divge0 12085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl22anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
22		recn 11191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24		recn 11191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		gt0ne0 11680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
27	26	ad2ant2rl 761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
28	23, 25, 27	divcan3d 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = 𝐵)
29	21, 28	breqtrd 5138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐵)
30	14, 29	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	expr 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
32	15	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
33		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
34		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simprr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
36		divge0 12085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
37	32, 33, 34, 35, 36	syl22anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
38	24	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	22	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
40		gt0ne0 11680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
41	40	ad2ant2l 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
42	38, 39, 41	divcan4d 11998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
43	37, 42	breqtrd 5138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
44		ltle 11299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
45	2, 44	mpan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
46	45	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
47	46	ad2ant2l 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
48	43, 47	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
49	48	expr 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
50	31, 49	jaod 872	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
51	10, 50	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
52	1, 51	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
53	52	orrd 876	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
54	53	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))
55		le0neg1 11723	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
56		le0neg1 11723	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
57	55, 56	bi2anan9 649	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
58		renegcl 11522	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
59		renegcl 11522	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
60		mulge0 11733	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
61	60	an4s 672	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
62	61	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
63	58, 59, 62	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
64		mul2neg 11654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
65	24, 22, 64	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
66	65	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (-𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
67	63, 66	sylibd 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
68	57, 67	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
69		mulge0 11733	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
70	69	an4s 672	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
71	70	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
72	68, 71	jaod 872	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
73	54, 72	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245  -cneg 11443   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  mulle0b  12087