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Theorem mulge0b 12024

Description: A condition for multiplication to be nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulge0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

**Proof of Theorem mulge0b**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 989	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0))
2		0re 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		ltnle 11223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
4	2, 3	mpan 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
6		ltnle 11223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
7	2, 6	mpan 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
9	5, 8	orbi12d 924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0)))
11		ltle 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
12	2, 11	mpan 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
13	12	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
14	13	ad2ant2rl 755	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
15		remulcl 11121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
17		simprl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
18		simpll 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simprr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
20		divge0 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl22anc 844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴))
22		recn 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24		recn 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		gt0ne0 11613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
27	26	ad2ant2rl 755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ≠ 0)
28	23, 25, 27	divcan3d 11934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐴) = 𝐵)
29	21, 28	breqtrd 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 ≤ 𝐵)
30	14, 29	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐴)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
31	30	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐴 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
32	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
33		simprl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
34		simplr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simprr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
36		divge0 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
37	32, 33, 34, 35, 36	syl22anc 844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵))
38	24	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	22	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
40		gt0ne0 11613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
41	40	ad2ant2l 752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
42	38, 39, 41	divcan4d 11935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
43	37, 42	breqtrd 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
44		ltle 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
45	2, 44	mpan 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵))
46	45	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
47	46	ad2ant2l 752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
48	43, 47	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
49	48	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
50	31, 49	jaod 865	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
51	10, 50	sylbird 261	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((¬ 𝐴 ≤ 0 ∨ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
52	1, 51	biimtrid 243	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (¬ (𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
53	52	orrd 869	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
54	53	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))
55		le0neg1 11656	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
56		le0neg1 11656	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
57	55, 56	bi2anan9 644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ↔ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)))
58		renegcl 11455	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
59		renegcl 11455	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
60		mulge0 11666	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
61	60	an4s 666	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵)) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵))
62	61	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
63	58, 59, 62	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (-𝐴 · -𝐵)))
64		mul2neg 11587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
65	24, 22, 64	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
66	65	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (-𝐴 · -𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
67	63, 66	sylibd 240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ -𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
68	57, 67	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
69		mulge0 11666	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
70	69	an4s 666	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
71	70	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
72	68, 71	jaod 865	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
73	54, 72	impbid 213	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∨ wo 853 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2935 class class class wbr 5079 (class class class)co 7363 ℂcc 11034 ℝcr 11035 0cc0 11036 · cmul 11041 < clt 11177 ≤ cle 11178 -cneg 11376 / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-op 4569 df-uni 4846 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-id 5520 df-po 5533 df-so 5534 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-er 8640 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806

This theorem is referenced by: mulle0b 12025

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