Theorem le0neg1d 11786

Description: Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
le0neg1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))

Proof of Theorem le0neg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		le0neg1 11723	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ℝcr 11108  0cc0 11109   ≤ cle 11250  -cneg 11446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448

This theorem is referenced by:  mulle0b  12086  0mnnnnn0  12505  sqeqd  15116  cnpart  15190  prmirred  21356  xrhmeo  24821  pjthlem1  25315  mbfposr  25531  dvfsumlem2  25911  dvfsumlem2OLD  25912  coseq0negpitopi  26388  tanord  26422  cxpsqrtlem  26586  asinlem3a  26752  atanlogadd  26796  lgsneg  27204  pntpbnd1  27469  pjhthlem1  31148  xrge0iifcnv  33442  fdvnegge  34142  itgaddnclem2  37059  monotoddzzfi  42241  oddcomabszz  42243  jm2.24  42262  acongeq  42282  requad01  46843  eenglngeehlnmlem2  47681