Theorem le0neg2 10948

Description: Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 24-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
le0neg2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))

Proof of Theorem le0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10439	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leneg 10942	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -0))
3	1, 2	mpan 678	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -0))
4		neg0 10731	. . 3 ⊢ -0 = 0
5	4	breq2i 4933	. 2 ⊢ (-𝐴 ≤ -0 ↔ -𝐴 ≤ 0)
6	3, 5	syl6bb 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4925  ℝcr 10332  0cc0 10333   ≤ cle 10473  -cneg 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671

This theorem is referenced by:  le0neg2d  11011  mulle0b  11310  max0sub  12404  sqrtneglem  14485  max0add  14529  divalglem1  15603  xrhmeo  23268  dvradcnv  24727  basellem4  25378  tan2h  34362  stoweidlem1  41749