MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsneg 27205
Description: The Legendre symbol is either even or odd under negation with respect to the second parameter according to the sign of the first. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsneg ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsneg
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4529 . . . . . . . . 9 (𝐴 < 0 β†’ if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
21adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
32oveq1d 7419 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (-1 Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
4 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (if(𝑁 < 0, -1, 1) = -1 β†’ (-1 Β· if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 Β· -1))
5 neg1mulneg1e1 12426 . . . . . . . . . 10 (-1 Β· -1) = 1
64, 5eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (if(𝑁 < 0, -1, 1) = -1 β†’ (-1 Β· if(𝑁 < 0, -1, 1)) = 1)
7 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (if(𝑁 < 0, -1, 1) = 1 β†’ (-1 Β· if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 Β· 1))
8 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
98mulm1i 11660 . . . . . . . . . 10 (-1 Β· 1) = -1
107, 9eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (if(𝑁 < 0, -1, 1) = 1 β†’ (-1 Β· if(𝑁 < 0, -1, 1)) = -1)
116, 10ifsb 4536 . . . . . . . 8 (-1 Β· if(𝑁 < 0, -1, 1)) = if(𝑁 < 0, 1, -1)
12 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝐴 < 0)
1312biantrud 531 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
1413ifbid 4546 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ if(𝑁 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
1514oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (-1 Β· if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
16 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝑁 β‰  0)
1716necomd 2990 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 0 β‰  𝑁)
18 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1918zred 12667 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
20 0re 11217 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
21 ltlen 11316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 ≀ 0 ∧ 0 β‰  𝑁)))
2219, 20, 21sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 ≀ 0 ∧ 0 β‰  𝑁)))
2317, 22mpbiran2d 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (𝑁 < 0 ↔ 𝑁 ≀ 0))
2419le0neg1d 11786 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (𝑁 ≀ 0 ↔ 0 ≀ -𝑁))
2519renegcld 11642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ -𝑁 ∈ ℝ)
26 lenlt 11293 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ -𝑁 ↔ Β¬ -𝑁 < 0))
2720, 25, 26sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (0 ≀ -𝑁 ↔ Β¬ -𝑁 < 0))
2823, 24, 273bitrd 305 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (𝑁 < 0 ↔ Β¬ -𝑁 < 0))
2928ifbid 4546 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ if(𝑁 < 0, 1, -1) = if(Β¬ -𝑁 < 0, 1, -1))
30 ifnot 4575 . . . . . . . . 9 if(Β¬ -𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1)
3129, 30eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ if(𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
3211, 15, 313eqtr3a 2790 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (-1 Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
3312biantrud 531 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (-𝑁 < 0 ↔ (-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
3433ifbid 4546 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ if(-𝑁 < 0, -1, 1) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
353, 32, 343eqtrd 2770 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝐴 < 0) β†’ (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
36 1t1e1 12375 . . . . . . 7 (1 Β· 1) = 1
37 iffalse 4532 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝐴 < 0 β†’ if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
3837adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ Β¬ 𝐴 < 0) β†’ if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
39 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ Β¬ 𝐴 < 0) β†’ Β¬ 𝐴 < 0)
4039intnand 488 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ Β¬ 𝐴 < 0) β†’ Β¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
4140iffalsed 4534 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ Β¬ 𝐴 < 0) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
4238, 41oveq12d 7422 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ Β¬ 𝐴 < 0) β†’ (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (1 Β· 1))
4339intnand 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ Β¬ 𝐴 < 0) β†’ Β¬ (-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
4443iffalsed 4534 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ Β¬ 𝐴 < 0) β†’ if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
4536, 42, 443eqtr4a 2792 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ Β¬ 𝐴 < 0) β†’ (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
4635, 45pm2.61dan 810 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
4746eqcomd 2732 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
48 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ 𝑛 ∈ β„™)
49 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
50 zq 12939 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„š)
52 pcneg 16814 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (𝑛 pCnt -𝑁) = (𝑛 pCnt 𝑁))
5348, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (𝑛 pCnt -𝑁) = (𝑛 pCnt 𝑁))
5453oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
5554ifeq1da 4554 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1) = if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
5655mpteq2dv 5243 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
5756seqeq3d 13977 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1))) = seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))))
58 zcn 12564 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
59583ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
6059absnegd 15400 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜-𝑁) = (absβ€˜π‘))
6157, 60fveq12d 6891 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜-𝑁)) = (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))
6247, 61oveq12d 7422 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜-𝑁))) = ((if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))))
63 neg1cn 12327 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
6463, 8ifcli 4570 . . . . 5 if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ β„‚
6564a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ β„‚)
6663, 8ifcli 4570 . . . . 5 if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚
6766a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ β„‚)
68 nnabscl 15276 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
69683adant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
70 nnuz 12866 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7169, 70eleqtrdi 2837 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
72 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
7372lgsfcl3 27202 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€)
74 elfznn 13533 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (1...(absβ€˜π‘)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
75 ffvelcdm 7076 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘₯) ∈ β„€)
7673, 74, 75syl2an 595 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ π‘₯ ∈ (1...(absβ€˜π‘))) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))β€˜π‘₯) ∈ β„€)
77 zmulcl 12612 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
7877adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
7971, 76, 78seqcl 13991 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) ∈ β„€)
8079zcnd 12668 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
8165, 67, 80mulassd 11238 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ ((if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
8262, 81eqtrd 2766 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜-𝑁))) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
83 simp1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
84 znegcl 12598 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ -𝑁 ∈ β„€)
85843ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ -𝑁 ∈ β„€)
86 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 𝑁 β‰  0)
8759, 86negne0d 11570 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ -𝑁 β‰  0)
88 eqid 2726 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1))
8988lgsval4 27201 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝑁 ∈ β„€ ∧ -𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L -𝑁) = (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜-𝑁))))
9083, 85, 87, 89syl3anc 1368 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L -𝑁) = (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜-𝑁))))
9172lgsval4 27201 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘))))
9291oveq2d 7420 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· (𝐴 /L 𝑁)) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))β€˜(absβ€˜π‘)))))
9382, 90, 923eqtr4d 2776 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) Β· (𝐴 /L 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250  -cneg 11446  β„•cn 12213  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  β„šcq 12933  ...cfz 13487  seqcseq 13969  β†‘cexp 14030  abscabs 15185  β„™cprime 16613   pCnt cpc 16776   /L clgs 27178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16706  df-pc 16777  df-lgs 27179
This theorem is referenced by:  lgsneg1  27206
  Copyright terms: Public domain W3C validator