Theorem lgsneg 27284

Description: The Legendre symbol is either even or odd under negation with respect to the second parameter according to the sign of the first. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsneg

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
2	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
3	2	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (-1 · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
4		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 · -1))
5		neg1mulneg1e1 12389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · -1) = 1
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = 1)
7		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 · 1))
8		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	mulm1i 11595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · 1) = -1
10	7, 9	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = -1)
11	6, 10	ifsb 4480	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = if(𝑁 < 0, 1, -1)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
13	12	biantrud 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
14	13	ifbid 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝑁 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
15	14	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
16		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ≠ 0)
17	16	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝑁)
18		simpl2 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	zred 12633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		0re 11146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		ltlen 11247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≠ 𝑁)))
22	19, 20, 21	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≠ 𝑁)))
23	17, 22	mpbiran2d 709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ 𝑁 ≤ 0))
24	19	le0neg1d 11721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
25	19	renegcld 11577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑁 ∈ ℝ)
26		lenlt 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ ¬ -𝑁 < 0))
27	20, 25, 26	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ ¬ -𝑁 < 0))
28	23, 24, 27	3bitrd 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ ¬ -𝑁 < 0))
29	28	ifbid 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝑁 < 0, 1, -1) = if(¬ -𝑁 < 0, 1, -1))
30		ifnot 4519	. . . . . . . . 9 ⊢ if(¬ -𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1)
31	29, 30	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
32	11, 15, 31	3eqtr3a 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
33	12	biantrud 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑁 < 0 ↔ (-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
34	33	ifbid 4490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(-𝑁 < 0, -1, 1) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
35	3, 32, 34	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
36		1t1e1 12338	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
37		iffalse 4475	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
38	37	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
39		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
40	39	intnand 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
41	40	iffalsed 4477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
42	38, 41	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (1 · 1))
43	39	intnand 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
44	43	iffalsed 4477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
45	36, 42, 44	3eqtr4a 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
46	35, 45	pm2.61dan 813	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
47	46	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
48		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
49		simpl2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		zq 12904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℚ)
52		pcneg 16845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑛 pCnt -𝑁) = (𝑛 pCnt 𝑁))
53	48, 51, 52	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt -𝑁) = (𝑛 pCnt 𝑁))
54	53	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
55	54	ifeq1da 4498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
56	55	mpteq2dv 5179	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
57	56	seqeq3d 13971	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))))
58		zcn 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
59	58	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
60	59	absnegd 15414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘-𝑁) = (abs‘𝑁))
61	57, 60	fveq12d 6847	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))
62	47, 61	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))) = ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
63		neg1cn 12144	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
64	63, 8	ifcli 4514	. . . . 5 ⊢ if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ ℂ
65	64	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
66	63, 8	ifcli 4514	. . . . 5 ⊢ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
68		nnabscl 15288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
69	68	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
70		nnuz 12827	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
71	69, 70	eleqtrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
72		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
73	72	lgsfcl3 27281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
74		elfznn 13507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(abs‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
75		ffvelcdm 7033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑥) ∈ ℤ)
76	73, 74, 75	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑥) ∈ ℤ)
77		zmulcl 12576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
78	77	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
79	71, 76, 78	seqcl 13984	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
80	79	zcnd 12634	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
81	65, 67, 80	mulassd 11168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
82	62, 81	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
83		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
84		znegcl 12562	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → -𝑁 ∈ ℤ)
86		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
87	59, 86	negne0d 11503	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → -𝑁 ≠ 0)
88		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1))
89	88	lgsval4 27280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))))
90	83, 85, 87, 89	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))))
91	72	lgsval4 27280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
92	91	oveq2d 7383	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
93	82, 90, 92	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  -cneg 11378  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℚcq 12898  ...cfz 13461  seqcseq 13963  ↑cexp 14023  abscabs 15196  ℙcprime 16640   pCnt cpc 16807   /_L clgs 27257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-phi 16736  df-pc 16808  df-lgs 27258

This theorem is referenced by:  lgsneg1  27285