Theorem lgsneg 27385

Description: The Legendre symbol is either even or odd under negation with respect to the second parameter according to the sign of the first. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsneg

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
2	1	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
3	2	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (-1 · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
4		oveq2 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 · -1))
5		neg1mulneg1e1 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · -1) = 1
6	4, 5	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = 1)
7		oveq2 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 · 1))
8		ax-1cn 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	mulm1i 11632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · 1) = -1
10	7, 9	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑁 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = -1)
11	6, 10	ifsb 4494	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = if(𝑁 < 0, 1, -1)
12		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
13	12	biantrud 539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
14	13	ifbid 4504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝑁 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
15	14	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · if(𝑁 < 0, -1, 1)) = (-1 · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
16		simpl3 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ≠ 0)
17	16	necomd 3012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝑁)
18		simpl2 1206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	zred 12677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
20		0re 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
21		ltlen 11284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≠ 𝑁)))
22	19, 20, 21	sylancl 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≠ 𝑁)))
23	17, 22	mpbiran2d 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ 𝑁 ≤ 0))
24	19	le0neg1d 11758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
25	19	renegcld 11614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑁 ∈ ℝ)
26		lenlt 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ -𝑁 ↔ ¬ -𝑁 < 0))
27	20, 25, 26	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (0 ≤ -𝑁 ↔ ¬ -𝑁 < 0))
28	23, 24, 27	3bitrd 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁 < 0 ↔ ¬ -𝑁 < 0))
29	28	ifbid 4504	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝑁 < 0, 1, -1) = if(¬ -𝑁 < 0, 1, -1))
30		ifnot 4533	. . . . . . . . 9 ⊢ if(¬ -𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1)
31	29, 30	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝑁 < 0, 1, -1) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
32	11, 15, 31	3eqtr3a 2821	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-1 · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if(-𝑁 < 0, -1, 1))
33	12	biantrud 539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑁 < 0 ↔ (-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
34	33	ifbid 4504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → if(-𝑁 < 0, -1, 1) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
35	3, 32, 34	3eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
36		1t1e1 12379	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
37		iffalse 4489	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
38	37	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
39		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
40	39	intnand 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
41	40	iffalsed 4491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
42	38, 41	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (1 · 1))
43	39	intnand 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
44	43	iffalsed 4491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
45	36, 42, 44	3eqtr4a 2823	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
46	35, 45	pm2.61dan 822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
47	46	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
48		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
49		simpl2 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		zq 12955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℚ)
52		pcneg 16910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑛 pCnt -𝑁) = (𝑛 pCnt 𝑁))
53	48, 51, 52	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt -𝑁) = (𝑛 pCnt 𝑁))
54	53	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)))
55	54	ifeq1da 4512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1) = if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
56	55	mpteq2dv 5194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))
57	56	seqeq3d 14022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1))) = seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))))
58		zcn 12573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
59	58	3ad2ant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
60	59	absnegd 15479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘-𝑁) = (abs‘𝑁))
61	57, 60	fveq12d 6874	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))
62	47, 61	oveq12d 7414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))) = ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
63		neg1cn 12180	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
64	63, 8	ifcli 4528	. . . . 5 ⊢ if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ ℂ
65	64	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
66	63, 8	ifcli 4528	. . . . 5 ⊢ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
68		nnabscl 15353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
69	68	3adant1 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
70		nnuz 12878	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
71	69, 70	eleqtrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
72		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
73	72	lgsfcl3 27382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
74		elfznn 13558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(abs‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
75		ffvelcdm 7062	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑥) ∈ ℤ)
76	73, 74, 75	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ (1...(abs‘𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑥) ∈ ℤ)
77		zmulcl 12620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
78	77	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
79	71, 76, 78	seqcl 14035	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
80	79	zcnd 12678	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
81	65, 67, 80	mulassd 11205	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
82	62, 81	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
83		simp1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
84		znegcl 12606	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → -𝑁 ∈ ℤ)
86		simp3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
87	59, 86	negne0d 11540	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → -𝑁 ≠ 0)
88		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1))
89	88	lgsval4 27381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))))
90	83, 85, 87, 89	syl3anc 1390	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if((-𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt -𝑁)), 1)))‘(abs‘-𝑁))))
91	72	lgsval4 27381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
92	91	oveq2d 7412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
93	82, 90, 92	3eqtr4d 2807	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ifcif 4480   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078   < clt 11216   ≤ cle 11217  -cneg 11415  ℕcn 12210  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ℚcq 12949  ...cfz 13512  seqcseq 14014  ↑cexp 14074  abscabs 15261  ℙcprime 16705   pCnt cpc 16872   /_L clgs 27358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16801  df-pc 16873  df-lgs 27359

This theorem is referenced by:  lgsneg1  27386