MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosangneg2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosangneg2d 24757
Description: The cosine of the angle between 𝑋 and -𝑌 is the negative of that between 𝑋 and 𝑌. If A, B and C are collinear points, this implies that the cosines of DBA and DBC sum to zero, i.e., that DBA and DBC are supplementary. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ang.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
cosangneg2d.1 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
cosangneg2d.2 (𝜑𝑋 ≠ 0)
cosangneg2d.3 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
cosangneg2d.4 (𝜑𝑌 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
cosangneg2d (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cosangneg2d
StepHypRef Expression
1 cosangneg2d.3 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
2 cosangneg2d.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3 cosangneg2d.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≠ 0)
41, 2, 3divcld 11006 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 / 𝑋) ∈ ℂ)
54recld 14141 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℝ)
65recnd 10273 . . 3 (𝜑 → (ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℂ)
74abscld 14382 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℝ)
87recnd 10273 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℂ)
9 cosangneg2d.4 . . . . 5 (𝜑𝑌 ≠ 0)
101, 2, 9, 3divne0d 11022 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 / 𝑋) ≠ 0)
114, 10absne0d 14393 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ≠ 0)
126, 8, 11divnegd 11019 . 2 (𝜑 → -((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
13 ang.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
1413, 2, 3, 1, 9angvald 24754 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋))))
1514fveq2d 6337 . . . 4 (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = (cos‘(ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋)))))
164, 10cosargd 24574 . . . 4 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋)))) = ((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
1715, 16eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = ((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
1817negeqd 10480 . 2 (𝜑 → -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = -((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
191negcld 10584 . . . . 5 (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
201, 9negne0d 10595 . . . . 5 (𝜑 → -𝑌 ≠ 0)
2113, 2, 3, 19, 20angvald 24754 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹-𝑌) = (ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋))))
2221fveq2d 6337 . . 3 (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = (cos‘(ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋)))))
2319, 2, 3divcld 11006 . . . 4 (𝜑 → (-𝑌 / 𝑋) ∈ ℂ)
2419, 2, 20, 3divne0d 11022 . . . 4 (𝜑 → (-𝑌 / 𝑋) ≠ 0)
2523, 24cosargd 24574 . . 3 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋)))) = ((ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(-𝑌 / 𝑋))))
261, 2, 3divnegd 11019 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑌 / 𝑋) = (-𝑌 / 𝑋))
2726fveq2d 6337 . . . . 5 (𝜑 → (ℜ‘-(𝑌 / 𝑋)) = (ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)))
284renegd 14156 . . . . 5 (𝜑 → (ℜ‘-(𝑌 / 𝑋)) = -(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)))
2927, 28eqtr3d 2807 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) = -(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)))
3026fveq2d 6337 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘-(𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(-𝑌 / 𝑋)))
314absnegd 14395 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘-(𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(𝑌 / 𝑋)))
3230, 31eqtr3d 2807 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(-𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(𝑌 / 𝑋)))
3329, 32oveq12d 6813 . . 3 (𝜑 → ((ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(-𝑌 / 𝑋))) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
3422, 25, 333eqtrd 2809 . 2 (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
3512, 18, 343eqtr4rd 2816 1 (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4317  cfv 6030  (class class class)co 6795  cmpt2 6797  cc 10139  0cc0 10141  -cneg 10472   / cdiv 10889  cre 14044  cim 14045  abscabs 14181  cosccos 15000  logclog 24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523
This theorem is referenced by:  chordthmlem  24779
  Copyright terms: Public domain W3C validator