Theorem cosangneg2d 25862

Description: The cosine of the angle between 𝑋 and -𝑌 is the negative of that between 𝑋 and 𝑌. If A, B and C are collinear points, this implies that the cosines of DBA and DBC sum to zero, i.e., that DBA and DBC are supplementary. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
cosangneg2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
cosangneg2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
cosangneg2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
cosangneg2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cosangneg2d	⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cosangneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosangneg2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
2		cosangneg2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3		cosangneg2d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 11681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / 𝑋) ∈ ℂ)
5	4	recld 14833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℂ)
7	4	abscld 15076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 10934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℂ)
9		cosangneg2d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
10	1, 2, 9, 3	divne0d 11697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / 𝑋) ≠ 0)
11	4, 10	absne0d 15087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ≠ 0)
12	6, 8, 11	divnegd 11694	. 2 ⊢ (𝜑 → -((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
13		ang.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
14	13, 2, 3, 1, 9	angvald 25859	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋))))
15	14	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = (cos‘(ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋)))))
16	4, 10	cosargd 25668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋)))) = ((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
17	15, 16	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = ((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
18	17	negeqd 11145	. 2 ⊢ (𝜑 → -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = -((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
19	1	negcld 11249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
20	1, 9	negne0d 11260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ≠ 0)
21	13, 2, 3, 19, 20	angvald 25859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹-𝑌) = (ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋))))
22	21	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = (cos‘(ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋)))))
23	19, 2, 3	divcld 11681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑌 / 𝑋) ∈ ℂ)
24	19, 2, 20, 3	divne0d 11697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑌 / 𝑋) ≠ 0)
25	23, 24	cosargd 25668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋)))) = ((ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(-𝑌 / 𝑋))))
26	1, 2, 3	divnegd 11694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 / 𝑋) = (-𝑌 / 𝑋))
27	26	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-(𝑌 / 𝑋)) = (ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)))
28	4	renegd 14848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-(𝑌 / 𝑋)) = -(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)))
29	27, 28	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) = -(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)))
30	26	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(-𝑌 / 𝑋)))
31	4	absnegd 15089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(𝑌 / 𝑋)))
32	30, 31	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(𝑌 / 𝑋)))
33	29, 32	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(-𝑌 / 𝑋))) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
34	22, 25, 33	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
35	12, 18, 34	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℂcc 10800  0cc0 10802  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℜcre 14736  ℑcim 14737  abscabs 14873  cosccos 15702  logclog 25615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617

This theorem is referenced by:  chordthmlem  25887