Theorem cosangneg2d 26655

Description: The cosine of the angle between 𝑋 and -𝑌 is the negative of that between 𝑋 and 𝑌. If A, B and C are collinear points, this implies that the cosines of DBA and DBC sum to zero, i.e., that DBA and DBC are supplementary. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
cosangneg2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
cosangneg2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
cosangneg2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
cosangneg2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cosangneg2d	⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cosangneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosangneg2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
2		cosangneg2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3		cosangneg2d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 11987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / 𝑋) ∈ ℂ)
5	4	recld 15138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℂ)
7	4	abscld 15380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℂ)
9		cosangneg2d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
10	1, 2, 9, 3	divne0d 12003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / 𝑋) ≠ 0)
11	4, 10	absne0d 15391	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ≠ 0)
12	6, 8, 11	divnegd 12000	. 2 ⊢ (𝜑 → -((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
13		ang.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
14	13, 2, 3, 1, 9	angvald 26652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋))))
15	14	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = (cos‘(ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋)))))
16	4, 10	cosargd 26458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋)))) = ((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
17	15, 16	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = ((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
18	17	negeqd 11451	. 2 ⊢ (𝜑 → -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = -((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
19	1	negcld 11555	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
20	1, 9	negne0d 11566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ≠ 0)
21	13, 2, 3, 19, 20	angvald 26652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹-𝑌) = (ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋))))
22	21	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = (cos‘(ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋)))))
23	19, 2, 3	divcld 11987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑌 / 𝑋) ∈ ℂ)
24	19, 2, 20, 3	divne0d 12003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑌 / 𝑋) ≠ 0)
25	23, 24	cosargd 26458	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋)))) = ((ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(-𝑌 / 𝑋))))
26	1, 2, 3	divnegd 12000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 / 𝑋) = (-𝑌 / 𝑋))
27	26	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-(𝑌 / 𝑋)) = (ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)))
28	4	renegd 15153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-(𝑌 / 𝑋)) = -(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)))
29	27, 28	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) = -(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)))
30	26	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(-𝑌 / 𝑋)))
31	4	absnegd 15393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(𝑌 / 𝑋)))
32	30, 31	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(𝑌 / 𝑋)))
33	29, 32	oveq12d 7419	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(-𝑌 / 𝑋))) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
34	22, 25, 33	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
35	12, 18, 34	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3937  {csn 4620  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  ℂcc 11104  0cc0 11106  -cneg 11442   / cdiv 11868  ℜcre 15041  ℑcim 15042  abscabs 15178  cosccos 16005  logclog 26405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407

This theorem is referenced by:  chordthmlem  26680