Theorem cosangneg2d 24985

Description: The cosine of the angle between 𝑋 and -𝑌 is the negative of that between 𝑋 and 𝑌. If A, B and C are collinear points, this implies that the cosines of DBA and DBC sum to zero, i.e., that DBA and DBC are supplementary. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
cosangneg2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
cosangneg2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
cosangneg2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
cosangneg2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cosangneg2d	⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cosangneg2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosangneg2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
2		cosangneg2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3		cosangneg2d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 11151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / 𝑋) ∈ ℂ)
5	4	recld 14341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℂ)
7	4	abscld 14583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 10405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ∈ ℂ)
9		cosangneg2d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0)
10	1, 2, 9, 3	divne0d 11167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / 𝑋) ≠ 0)
11	4, 10	absne0d 14594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 / 𝑋)) ≠ 0)
12	6, 8, 11	divnegd 11164	. 2 ⊢ (𝜑 → -((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
13		ang.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
14	13, 2, 3, 1, 9	angvald 24982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋))))
15	14	fveq2d 6450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = (cos‘(ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋)))))
16	4, 10	cosargd 24791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝑌 / 𝑋)))) = ((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
17	15, 16	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = ((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
18	17	negeqd 10616	. 2 ⊢ (𝜑 → -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)) = -((ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
19	1	negcld 10721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
20	1, 9	negne0d 10732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ≠ 0)
21	13, 2, 3, 19, 20	angvald 24982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹-𝑌) = (ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋))))
22	21	fveq2d 6450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = (cos‘(ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋)))))
23	19, 2, 3	divcld 11151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑌 / 𝑋) ∈ ℂ)
24	19, 2, 20, 3	divne0d 11167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝑌 / 𝑋) ≠ 0)
25	23, 24	cosargd 24791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(-𝑌 / 𝑋)))) = ((ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(-𝑌 / 𝑋))))
26	1, 2, 3	divnegd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 / 𝑋) = (-𝑌 / 𝑋))
27	26	fveq2d 6450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-(𝑌 / 𝑋)) = (ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)))
28	4	renegd 14356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-(𝑌 / 𝑋)) = -(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)))
29	27, 28	eqtr3d 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) = -(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)))
30	26	fveq2d 6450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(-𝑌 / 𝑋)))
31	4	absnegd 14596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(𝑌 / 𝑋)))
32	30, 31	eqtr3d 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(-𝑌 / 𝑋)) = (abs‘(𝑌 / 𝑋)))
33	29, 32	oveq12d 6940	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(-𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(-𝑌 / 𝑋))) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
34	22, 25, 33	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = (-(ℜ‘(𝑌 / 𝑋)) / (abs‘(𝑌 / 𝑋))))
35	12, 18, 34	3eqtr4rd 2825	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝑋𝐹-𝑌)) = -(cos‘(𝑋𝐹𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ∖ cdif 3789  {csn 4398  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  ℂcc 10270  0cc0 10272  -cneg 10607   / cdiv 11032  ℜcre 14244  ℑcim 14245  abscabs 14381  cosccos 15197  logclog 24738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740

This theorem is referenced by:  chordthmlem  25010