Theorem divnumden2 32896

Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. This version extends divnumden 16675 for the negative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
divnumden2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Proof of Theorem divnumden2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	sselid 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
4		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	1, 4	sselid 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
6		nnne0 12179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ≠ 0)
7	6	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ 0)
8		neg0 11427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
9	8	neeq2i 2997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐵 ≠ -0 ↔ -𝐵 ≠ 0)
10	7, 9	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ -0)
11	10	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ -𝐵 = -0)
12	4	zcnd 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		0cnd 11125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℂ)
14	12, 13	neg11ad 11488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐵 = -0 ↔ 𝐵 = 0))
15	11, 14	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
16	15	neqned 2939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
17		qdivcl 12883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
18	3, 5, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
19		qnumcl 16667	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
22		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	23	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	2, 4	gcdcld 16435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 12464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	negcld 11479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
28	15	intnand 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
29		gcdeq0 16444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
30	29	necon3abid 2968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
31	30	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
32	28, 31	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
33	26, 32	negne0d 11490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
34	24, 27, 33	divcld 11917	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
35	24, 12, 16	divneg2d 11931	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / -𝐵))
36	35	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = (numer‘(𝐴 / -𝐵)))
37		numdenneg 32895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → ((numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∧ (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵))))
38	37	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
39	18, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
40		gcdneg 16449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
41	40	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
42	41	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
43		divnumden 16675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵))))
44	43	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
45	44	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
46	24, 27, 33	divnegd 11930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
47	24, 26, 32	div2negd 11932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
48	46, 47	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
49	42, 45, 48	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
50	36, 39, 49	3eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
51	21, 34, 50	neg11d 11504	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
52	24, 26, 32	divneg2d 11931	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
53	51, 52	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
54	35	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / -𝐵)))
55	37	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
56	18, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
57	41	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
58	43	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
59	58	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
60	12, 26, 32	divneg2d 11931	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
61	12, 26, 32	divnegd 11930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
62	60, 61	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
63	57, 59, 62	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
64	54, 56, 63	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
65	64, 60	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
66	53, 65	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  -cneg 11365   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ℚcq 12861   gcd cgcd 16421  numercnumer 16660  denomcdenom 16661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-numer 16662  df-denom 16663

This theorem is referenced by:  qqhval2lem  34138