Theorem divnumden2 31034

Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. This version extends divnumden 16380 for the negative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
divnumden2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Proof of Theorem divnumden2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 12625	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		simp1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	sselid 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
4		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	1, 4	sselid 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
6		nnne0 11937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ≠ 0)
7	6	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ 0)
8		neg0 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
9	8	neeq2i 3008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐵 ≠ -0 ↔ -𝐵 ≠ 0)
10	7, 9	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ -0)
11	10	neneqd 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ -𝐵 = -0)
12	4	zcnd 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		0cnd 10899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℂ)
14	12, 13	neg11ad 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐵 = -0 ↔ 𝐵 = 0))
15	11, 14	mtbid 323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
16	15	neqned 2949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
17		qdivcl 12639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
18	3, 5, 16, 17	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
19		qnumcl 16372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12356	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
22		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12356	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	23	3adant2 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	2, 4	gcdcld 16143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 12225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	negcld 11249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
28	15	intnand 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
29		gcdeq0 16152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
30	29	necon3abid 2979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
31	30	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
32	28, 31	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
33	26, 32	negne0d 11260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
34	24, 27, 33	divcld 11681	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
35	24, 12, 16	divneg2d 11695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / -𝐵))
36	35	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = (numer‘(𝐴 / -𝐵)))
37		numdenneg 31033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → ((numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∧ (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵))))
38	37	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
39	18, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
40		gcdneg 16157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
41	40	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
42	41	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
43		divnumden 16380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵))))
44	43	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
45	44	3adant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
46	24, 27, 33	divnegd 11694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
47	24, 26, 32	div2negd 11696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
48	46, 47	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
49	42, 45, 48	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
50	36, 39, 49	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
51	21, 34, 50	neg11d 11274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
52	24, 26, 32	divneg2d 11695	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
53	51, 52	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
54	35	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / -𝐵)))
55	37	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
56	18, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
57	41	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
58	43	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
59	58	3adant2 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
60	12, 26, 32	divneg2d 11695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
61	12, 26, 32	divnegd 11694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
62	60, 61	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
63	57, 59, 62	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
64	54, 56, 63	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
65	64, 60	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
66	53, 65	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℚcq 12617   gcd cgcd 16129  numercnumer 16365  denomcdenom 16366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-numer 16367  df-denom 16368

This theorem is referenced by:  qqhval2lem  31831