Theorem divnumden2 32819

Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. This version extends divnumden 16795 for the negative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
divnumden2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Proof of Theorem divnumden2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 13021	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	sselid 4006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
4		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	1, 4	sselid 4006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
6		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ≠ 0)
7	6	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ 0)
8		neg0 11582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
9	8	neeq2i 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐵 ≠ -0 ↔ -𝐵 ≠ 0)
10	7, 9	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ -0)
11	10	neneqd 2951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ -𝐵 = -0)
12	4	zcnd 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		0cnd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℂ)
14	12, 13	neg11ad 11643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐵 = -0 ↔ 𝐵 = 0))
15	11, 14	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
16	15	neqned 2953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
17		qdivcl 13035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
18	3, 5, 16, 17	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
19		qnumcl 16787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
22		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	23	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	2, 4	gcdcld 16554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 12615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	negcld 11634	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
28	15	intnand 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
29		gcdeq0 16563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
30	29	necon3abid 2983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
31	30	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
32	28, 31	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
33	26, 32	negne0d 11645	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
34	24, 27, 33	divcld 12070	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
35	24, 12, 16	divneg2d 12084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / -𝐵))
36	35	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = (numer‘(𝐴 / -𝐵)))
37		numdenneg 32818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → ((numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∧ (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵))))
38	37	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
39	18, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
40		gcdneg 16568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
41	40	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
42	41	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
43		divnumden 16795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵))))
44	43	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
45	44	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
46	24, 27, 33	divnegd 12083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
47	24, 26, 32	div2negd 12085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
48	46, 47	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
49	42, 45, 48	3eqtr4d 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
50	36, 39, 49	3eqtr3d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
51	21, 34, 50	neg11d 11659	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
52	24, 26, 32	divneg2d 12084	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
53	51, 52	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
54	35	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / -𝐵)))
55	37	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
56	18, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
57	41	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
58	43	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
59	58	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
60	12, 26, 32	divneg2d 12084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
61	12, 26, 32	divnegd 12083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
62	60, 61	eqtr3d 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
63	57, 59, 62	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
64	54, 56, 63	3eqtr3d 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
65	64, 60	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
66	53, 65	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  -cneg 11521   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℚcq 13013   gcd cgcd 16540  numercnumer 16780  denomcdenom 16781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-numer 16782  df-denom 16783

This theorem is referenced by:  qqhval2lem  33927