Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divnumden2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divnumden2 32011
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. This version extends divnumden 16680 for the negative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
divnumden2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Proof of Theorem divnumden2
StepHypRef Expression
1 zssq 12936 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† β„š
2 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
31, 2sselid 3979 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„š)
4 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
51, 4sselid 3979 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„š)
6 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐡 ∈ β„• β†’ -𝐡 β‰  0)
763ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -𝐡 β‰  0)
8 neg0 11502 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
98neeq2i 3006 . . . . . . . . . . 11 (-𝐡 β‰  -0 ↔ -𝐡 β‰  0)
107, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -𝐡 β‰  -0)
1110neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ -𝐡 = -0)
124zcnd 12663 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
13 0cnd 11203 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„‚)
1412, 13neg11ad 11563 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐡 = -0 ↔ 𝐡 = 0))
1511, 14mtbid 323 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
1615neqned 2947 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 β‰  0)
17 qdivcl 12950 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐡 ∈ β„š ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
183, 5, 16, 17syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
19 qnumcl 16672 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„€)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„€)
2120zcnd 12663 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„‚)
22 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2322zcnd 12663 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
24233adant2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
252, 4gcdcld 16445 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•0)
2625nn0cnd 12530 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
2726negcld 11554 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
2815intnand 489 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
29 gcdeq0 16454 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
3029necon3abid 2977 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
31303adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
3228, 31mpbird 256 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
3326, 32negne0d 11565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
3424, 27, 33divcld 11986 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„‚)
3524, 12, 16divneg2d 12000 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / 𝐡) = (𝐴 / -𝐡))
3635fveq2d 6892 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)))
37 numdenneg 32010 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∧ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡))))
3837simpld 495 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
3918, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
40 gcdneg 16459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd -𝐡) = (𝐴 gcd 𝐡))
41403adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd -𝐡) = (𝐴 gcd 𝐡))
4241oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
43 divnumden 16680 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡))))
4443simpld 495 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)))
45443adant2 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)))
4624, 27, 33divnegd 11999 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
4724, 26, 32div2negd 12001 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
4846, 47eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
4942, 45, 483eqtr4d 2782 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5036, 39, 493eqtr3d 2780 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5121, 34, 50neg11d 11579 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5224, 26, 32divneg2d 12000 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5351, 52eqtr4d 2775 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
5435fveq2d 6892 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)))
5537simprd 496 . . . . 5 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
5618, 55syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
5741oveq2d 7421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
5843simprd 496 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)))
59583adant2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)))
6012, 26, 32divneg2d 12000 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6112, 26, 32divnegd 11999 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6260, 61eqtr3d 2774 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6357, 59, 623eqtr4d 2782 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6454, 56, 633eqtr3d 2780 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6564, 60eqtr4d 2775 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6653, 65jca 512 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  β„šcq 12928   gcd cgcd 16431  numercnumer 16665  denomcdenom 16666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  32949
  Copyright terms: Public domain W3C validator