Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divnumden2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divnumden2 32529
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. This version extends divnumden 16693 for the negative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
divnumden2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Proof of Theorem divnumden2
StepHypRef Expression
1 zssq 12944 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† β„š
2 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
31, 2sselid 3975 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„š)
4 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
51, 4sselid 3975 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„š)
6 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐡 ∈ β„• β†’ -𝐡 β‰  0)
763ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -𝐡 β‰  0)
8 neg0 11510 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
98neeq2i 3000 . . . . . . . . . . 11 (-𝐡 β‰  -0 ↔ -𝐡 β‰  0)
107, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -𝐡 β‰  -0)
1110neneqd 2939 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ -𝐡 = -0)
124zcnd 12671 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
13 0cnd 11211 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„‚)
1412, 13neg11ad 11571 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐡 = -0 ↔ 𝐡 = 0))
1511, 14mtbid 324 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
1615neqned 2941 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 β‰  0)
17 qdivcl 12958 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐡 ∈ β„š ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
183, 5, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
19 qnumcl 16685 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„€)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„€)
2120zcnd 12671 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„‚)
22 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2322zcnd 12671 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
24233adant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
252, 4gcdcld 16456 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•0)
2625nn0cnd 12538 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
2726negcld 11562 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
2815intnand 488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
29 gcdeq0 16465 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
3029necon3abid 2971 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
31303adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
3326, 32negne0d 11573 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
3424, 27, 33divcld 11994 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„‚)
3524, 12, 16divneg2d 12008 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / 𝐡) = (𝐴 / -𝐡))
3635fveq2d 6889 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)))
37 numdenneg 32528 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∧ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡))))
3837simpld 494 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
3918, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
40 gcdneg 16470 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd -𝐡) = (𝐴 gcd 𝐡))
41403adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd -𝐡) = (𝐴 gcd 𝐡))
4241oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
43 divnumden 16693 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡))))
4443simpld 494 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)))
45443adant2 1128 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)))
4624, 27, 33divnegd 12007 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
4724, 26, 32div2negd 12009 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
4846, 47eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
4942, 45, 483eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5036, 39, 493eqtr3d 2774 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5121, 34, 50neg11d 11587 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5224, 26, 32divneg2d 12008 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5351, 52eqtr4d 2769 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
5435fveq2d 6889 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)))
5537simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
5618, 55syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
5741oveq2d 7421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
5843simprd 495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)))
59583adant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)))
6012, 26, 32divneg2d 12008 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6112, 26, 32divnegd 12007 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6260, 61eqtr3d 2768 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6357, 59, 623eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6454, 56, 633eqtr3d 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6564, 60eqtr4d 2769 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6653, 65jca 511 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„šcq 12936   gcd cgcd 16442  numercnumer 16678  denomcdenom 16679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  33491
  Copyright terms: Public domain W3C validator