Theorem divnumden2 33453

Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. This version extends divnumden 16929 for the negative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
divnumden2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Proof of Theorem divnumden2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssq 13086	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
2		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	sselid 3906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
4		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	1, 4	sselid 3906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
6		nnne0 12375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ≠ 0)
7	6	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ 0)
8		neg0 11607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
9	8	neeq2i 3020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -𝐵 ≠ -0 ↔ -𝐵 ≠ 0)
10	7, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ -0)
11	10	neneqd 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ -𝐵 = -0)
12	4	zcnd 12807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13		0cnd 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℂ)
14	12, 13	neg11ad 11668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ( -𝐵 = -0 ↔ 𝐵 = 0))
15	11, 14	mtbid 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
16	15	neqned 2962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
17		qdivcl 13101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
18	3, 5, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
19		qnumcl 16921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12807	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
22		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	23	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	2, 4	gcdcld 16683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 12672	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	negcld 11659	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
28	15	intnand 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
29		gcdeq0 16694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
30	29	necon3abid 2991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
31	30	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
32	28, 31	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
33	26, 32	negne0d 11670	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
34	24, 27, 33	divcld 12096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
35	24, 12, 16	divneg2d 12110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / -𝐵))
36	35	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘ -(𝐴 / 𝐵)) = (numer‘(𝐴 / -𝐵)))
37		numdenneg 33452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → ((numer‘ -(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∧ (denom‘ -(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵))))
38	37	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘ -(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
39	18, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘ -(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
40		gcdneg 16699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
41	40	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
42	41	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
43		divnumden 16929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = ( -𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵))))
44	43	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
45	44	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
46	24, 27, 33	divnegd 12109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = ( -𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
47	24, 26, 32	div2negd 12111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ( -𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
48	46, 47	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
49	42, 45, 48	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
50	36, 39, 49	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
51	21, 34, 50	neg11d 11684	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
52	24, 26, 32	divneg2d 12110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
53	51, 52	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
54	35	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘ -(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / -𝐵)))
55	37	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (denom‘ -(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
56	18, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘ -(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
57	41	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ( -𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)) = ( -𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
58	43	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = ( -𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
59	58	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = ( -𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
60	12, 26, 32	divneg2d 12110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
61	12, 26, 32	divnegd 12109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = ( -𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
62	60, 61	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = ( -𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
63	57, 59, 62	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
64	54, 56, 63	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
65	64, 60	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
66	53, 65	jca 521	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  ℤcz 12696  ℚcq 13078   gcd cgcd 16669  numercnumer 16914  denomcdenom 16915

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-numer 16916  df-denom 16917

This theorem is used by:  qqhval2lem  34659