Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divnumden2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divnumden2 32821
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. This version extends divnumden 16781 for the negative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
divnumden2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Proof of Theorem divnumden2
StepHypRef Expression
1 zssq 12995 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℚ
2 simp1 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
31, 2sselid 3992 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
4 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
51, 4sselid 3992 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℚ)
6 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐵 ∈ ℕ → -𝐵 ≠ 0)
763ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ 0)
8 neg0 11552 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
98neeq2i 3003 . . . . . . . . . . 11 (-𝐵 ≠ -0 ↔ -𝐵 ≠ 0)
107, 9sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -𝐵 ≠ -0)
1110neneqd 2942 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ -𝐵 = -0)
124zcnd 12720 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13 0cnd 11251 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℂ)
1412, 13neg11ad 11613 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐵 = -0 ↔ 𝐵 = 0))
1511, 14mtbid 324 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
1615neqned 2944 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
17 qdivcl 13009 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
183, 5, 16, 17syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
19 qnumcl 16773 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
2120zcnd 12720 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
22 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2322zcnd 12720 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
24233adant2 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
252, 4gcdcld 16541 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
2625nn0cnd 12586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
2726negcld 11604 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
2815intnand 488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
29 gcdeq0 16550 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3029necon3abid 2974 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
31303adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
3326, 32negne0d 11615 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
3424, 27, 33divcld 12040 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
3524, 12, 16divneg2d 12054 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / -𝐵))
3635fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = (numer‘(𝐴 / -𝐵)))
37 numdenneg 32820 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → ((numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) ∧ (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵))))
3837simpld 494 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
3918, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘-(𝐴 / 𝐵)) = -(numer‘(𝐴 / 𝐵)))
40 gcdneg 16555 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
41403adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd -𝐵) = (𝐴 gcd 𝐵))
4241oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
43 divnumden 16781 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵))))
4443simpld 494 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
45443adant2 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐵)))
4624, 27, 33divnegd 12053 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
4724, 26, 32div2negd 12055 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
4846, 47eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
4942, 45, 483eqtr4d 2784 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / -𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
5036, 39, 493eqtr3d 2782 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
5121, 34, 50neg11d 11629 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
5224, 26, 32divneg2d 12054 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
5351, 52eqtr4d 2777 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
5435fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / -𝐵)))
5537simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
5618, 55syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘-(𝐴 / 𝐵)) = (denom‘(𝐴 / 𝐵)))
5741oveq2d 7446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
5843simprd 495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
59583adant2 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd -𝐵)))
6012, 26, 32divneg2d 12054 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
6112, 26, 32divnegd 12053 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
6260, 61eqtr3d 2776 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)) = (-𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
6357, 59, 623eqtr4d 2784 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / -𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
6454, 56, 633eqtr3d 2782 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / -(𝐴 gcd 𝐵)))
6564, 60eqtr4d 2777 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
6653, 65jca 511 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = -(𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  cz 12610  cq 12987   gcd cgcd 16527  numercnumer 16766  denomcdenom 16767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-numer 16768  df-denom 16769
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  33943
  Copyright terms: Public domain W3C validator