Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divnumden2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem divnumden2 32624
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. This version extends divnumden 16717 for the negative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
divnumden2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Proof of Theorem divnumden2
StepHypRef Expression
1 zssq 12968 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† β„š
2 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
31, 2sselid 3970 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„š)
4 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
51, 4sselid 3970 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„š)
6 nnne0 12274 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐡 ∈ β„• β†’ -𝐡 β‰  0)
763ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -𝐡 β‰  0)
8 neg0 11534 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
98neeq2i 2996 . . . . . . . . . . 11 (-𝐡 β‰  -0 ↔ -𝐡 β‰  0)
107, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -𝐡 β‰  -0)
1110neneqd 2935 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ -𝐡 = -0)
124zcnd 12695 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
13 0cnd 11235 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„‚)
1412, 13neg11ad 11595 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐡 = -0 ↔ 𝐡 = 0))
1511, 14mtbid 323 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
1615neqned 2937 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 β‰  0)
17 qdivcl 12982 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐡 ∈ β„š ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
183, 5, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
19 qnumcl 16709 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„€)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„€)
2120zcnd 12695 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„‚)
22 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2322zcnd 12695 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
24233adant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
252, 4gcdcld 16480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•0)
2625nn0cnd 12562 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
2726negcld 11586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
2815intnand 487 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
29 gcdeq0 16489 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
3029necon3abid 2967 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
31303adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
3228, 31mpbird 256 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
3326, 32negne0d 11597 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
3424, 27, 33divcld 12018 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„‚)
3524, 12, 16divneg2d 12032 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / 𝐡) = (𝐴 / -𝐡))
3635fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)))
37 numdenneg 32623 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∧ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡))))
3837simpld 493 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
3918, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
40 gcdneg 16494 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd -𝐡) = (𝐴 gcd 𝐡))
41403adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd -𝐡) = (𝐴 gcd 𝐡))
4241oveq2d 7431 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
43 divnumden 16717 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡))))
4443simpld 493 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)))
45443adant2 1128 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)))
4624, 27, 33divnegd 12031 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
4724, 26, 32div2negd 12033 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
4846, 47eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
4942, 45, 483eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5036, 39, 493eqtr3d 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5121, 34, 50neg11d 11611 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5224, 26, 32divneg2d 12032 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5351, 52eqtr4d 2768 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
5435fveq2d 6895 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)))
5537simprd 494 . . . . 5 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
5618, 55syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
5741oveq2d 7431 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
5843simprd 494 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)))
59583adant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)))
6012, 26, 32divneg2d 12032 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6112, 26, 32divnegd 12031 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6260, 61eqtr3d 2767 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6357, 59, 623eqtr4d 2775 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6454, 56, 633eqtr3d 2773 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6564, 60eqtr4d 2768 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6653, 65jca 510 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  0cc0 11136  -cneg 11473   / cdiv 11899  β„•cn 12240  β„€cz 12586  β„šcq 12960   gcd cgcd 16466  numercnumer 16702  denomcdenom 16703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-numer 16704  df-denom 16705
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  33638
  Copyright terms: Public domain W3C validator