Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divnumden2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divnumden2 31763
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. This version extends divnumden 16628 for the negative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
divnumden2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))

Proof of Theorem divnumden2
StepHypRef Expression
1 zssq 12886 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† β„š
2 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
31, 2sselid 3943 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„š)
4 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
51, 4sselid 3943 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„š)
6 nnne0 12192 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐡 ∈ β„• β†’ -𝐡 β‰  0)
763ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -𝐡 β‰  0)
8 neg0 11452 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
98neeq2i 3006 . . . . . . . . . . 11 (-𝐡 β‰  -0 ↔ -𝐡 β‰  0)
107, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -𝐡 β‰  -0)
1110neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ -𝐡 = -0)
124zcnd 12613 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
13 0cnd 11153 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„‚)
1412, 13neg11ad 11513 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐡 = -0 ↔ 𝐡 = 0))
1511, 14mtbid 324 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
1615neqned 2947 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 β‰  0)
17 qdivcl 12900 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„š ∧ 𝐡 ∈ β„š ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
183, 5, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
19 qnumcl 16620 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„€)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„€)
2120zcnd 12613 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∈ β„‚)
22 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2322zcnd 12613 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
24233adant2 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
252, 4gcdcld 16393 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•0)
2625nn0cnd 12480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
2726negcld 11504 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
2815intnand 490 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
29 gcdeq0 16402 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
3029necon3abid 2977 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
31303adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
3326, 32negne0d 11515 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
3424, 27, 33divcld 11936 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„‚)
3524, 12, 16divneg2d 11950 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / 𝐡) = (𝐴 / -𝐡))
3635fveq2d 6847 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)))
37 numdenneg 31762 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ ((numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ∧ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡))))
3837simpld 496 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
3918, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
40 gcdneg 16407 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd -𝐡) = (𝐴 gcd 𝐡))
41403adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd -𝐡) = (𝐴 gcd 𝐡))
4241oveq2d 7374 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
43 divnumden 16628 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡))))
4443simpld 496 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)))
45443adant2 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd -𝐡)))
4624, 27, 33divnegd 11949 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
4724, 26, 32div2negd 11951 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
4846, 47eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
4942, 45, 483eqtr4d 2783 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5036, 39, 493eqtr3d 2781 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5121, 34, 50neg11d 11529 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5224, 26, 32divneg2d 11950 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐴 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
5351, 52eqtr4d 2776 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)))
5435fveq2d 6847 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)))
5537simprd 497 . . . . 5 ((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
5618, 55syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜-(𝐴 / 𝐡)) = (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)))
5741oveq2d 7374 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
5843simprd 497 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)))
59583adant2 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd -𝐡)))
6012, 26, 32divneg2d 11950 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6112, 26, 32divnegd 11949 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6260, 61eqtr3d 2775 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)) = (-𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6357, 59, 623eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / -𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6454, 56, 633eqtr3d 2781 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / -(𝐴 gcd 𝐡)))
6564, 60eqtr4d 2776 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
6653, 65jca 513 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ -𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = -(𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056  -cneg 11391   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„€cz 12504  β„šcq 12878   gcd cgcd 16379  numercnumer 16613  denomcdenom 16614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-numer 16615  df-denom 16616
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  32619
  Copyright terms: Public domain W3C validator