Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oexpnegnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oexpnegnz 46023
Description: The exponential of the negative of a number not being 0, when the exponent is odd. (Contributed by AV, 19-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
oexpnegnz ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem oexpnegnz
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 45976 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ Odd โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 odd2np1ALTV 46019 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ Odd โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
31, 2syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Odd โ†’ (๐‘ โˆˆ Odd โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
43biimpd 228 . . . 4 (๐‘ โˆˆ Odd โ†’ (๐‘ โˆˆ Odd โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
54pm2.43i 52 . . 3 (๐‘ โˆˆ Odd โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
653ad2ant3 1135 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
7 simpl1 1191 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 simpl2 1192 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
9 2z 12559 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
10 simprl 769 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
11 zmulcl 12576 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
129, 10, 11sylancr 587 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
137, 8, 12expclzd 14081 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
1413, 7mulneg2d 11633 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = -((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด))
15 sqneg 14046 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
167, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
1716oveq1d 7392 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
187negcld 11523 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
197, 8negne0d 11534 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -๐ด โ‰  0)
209a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
21 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2220, 21jca 512 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค))
2322adantl 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค))
2418, 19, 23jca31 515 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)))
25 expmulz 14039 . . . . . . . 8 (((-๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = ((-๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = ((-๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
277, 8, 23jca31 515 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)))
28 expmulz 14039 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘๐‘›))
3017, 26, 293eqtr4d 2781 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) = (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)))
3130oveq1d 7392 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด))
3218, 19, 12expp1zd 14085 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด))
33 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
3433oveq2d 7393 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (-๐ดโ†‘๐‘))
3532, 34eqtr3d 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((-๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = (-๐ดโ†‘๐‘))
3631, 35eqtr3d 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -๐ด) = (-๐ดโ†‘๐‘))
3714, 36eqtr3d 2773 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด) = (-๐ดโ†‘๐‘))
387, 8, 12expp1zd 14085 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด))
3933oveq2d 7393 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = (๐ดโ†‘๐‘))
4038, 39eqtr3d 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘๐‘))
4140negeqd 11419 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ -((๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท ๐ด) = -(๐ดโ†‘๐‘))
4237, 41eqtr3d 2773 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))
436, 42rexlimddv 3160 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ Odd ) โ†’ (-๐ดโ†‘๐‘) = -(๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2939  โˆƒwrex 3069  (class class class)co 7377  โ„‚cc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ยท cmul 11080  -cneg 11410  2c2 12232  โ„คcz 12523  โ†‘cexp 13992   Odd codd 45970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-seq 13932  df-exp 13993  df-odd 45972
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator