MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isosctrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isosctrlem2 26324
Description: Lemma for isosctr 26326. Corresponds to the case where one vertex is at 0, another at 1 and the third lies on the unit circle. (Contributed by Saveliy Skresanov, 31-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isosctrlem2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))

Proof of Theorem isosctrlem2
StepHypRef Expression
1 1cnd 11209 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2negsubd 11577 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 + -๐ด) = (1 โˆ’ ๐ด))
4 1rp 12978 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„+
54a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
6 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ยฌ 1 = ๐ด)
7 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (absโ€˜๐ด) = 1)
81, 2, 1sub32d 11603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โˆ’ 1) = ((1 โˆ’ 1) โˆ’ ๐ด))
9 1m1e0 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 โˆ’ 1) = 0
109oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ ๐ด) = (0 โˆ’ ๐ด)
11 df-neg 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -๐ด = (0 โˆ’ ๐ด)
1210, 11eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ ๐ด) = -๐ด
138, 12eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โˆ’ 1) = -๐ด)
14 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
15 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1614, 15subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
18 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โˆˆ โ„‚
19 subeq0 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
2018, 19mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
2120biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†’ 1 = ๐ด))
2221con3dimp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ยฌ (1 โˆ’ ๐ด) = 0)
2322neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
24233adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
2617, 25recrecd 11987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 / (1 / (1 โˆ’ ๐ด))) = (1 โˆ’ ๐ด))
2714, 16, 24div2negd 12005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
2915negcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
3029, 16, 24cjdivd 15170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = ((โˆ—โ€˜-๐ด) / (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด))))
3115cjnegd 15158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜-๐ด) = -(โˆ—โ€˜๐ด))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜0))
33 abs0 15232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (absโ€˜0) = 0
3432, 33eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = 0)
35 eqtr2 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((absโ€˜๐ด) = 1 โˆง (absโ€˜๐ด) = 0) โ†’ 1 = 0)
3634, 35sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด = 0) โ†’ 1 = 0)
37 ax-1ne0 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 โ‰  0
38 neneq 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1 โ‰  0 โ†’ ยฌ 1 = 0)
3937, 38mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด = 0) โ†’ ยฌ 1 = 0)
4036, 39pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ยฌ ๐ด = 0)
4140adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ ยฌ ๐ด = 0)
42 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ด โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ด = 0)
43 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (1โ†‘2))
44 sq1 14159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (1โ†‘2) = 1
4543, 44eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = 1)
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = 1)
47 absvalsq 15227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
4946, 48eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ 1 = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
50493adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
5150oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) / ๐ด))
52 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5352cjcld 15143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
54 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
5553, 52, 54divcan3d 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) / ๐ด) = (โˆ—โ€˜๐ด))
5651, 55eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) = (โˆ—โ€˜๐ด))
5742, 56syl3an3br 1409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ ๐ด = 0) โ†’ (1 / ๐ด) = (โˆ—โ€˜๐ด))
5841, 57mpd3an3 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (1 / ๐ด) = (โˆ—โ€˜๐ด))
5958eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (1 / ๐ด))
60593adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (1 / ๐ด))
6160negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -(โˆ—โ€˜๐ด) = -(1 / ๐ด))
6231, 61eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜-๐ด) = -(1 / ๐ด))
6362oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ((โˆ—โ€˜-๐ด) / (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (-(1 / ๐ด) / (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด))))
64 cjsub 15096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜1) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
6518, 64mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜1) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
66 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6766cjred 15173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜1) = 1)
6867oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜1) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) = (1 โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
6965, 68eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
7159oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (1 โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) = (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))
7270, 71eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))
73723adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))
7473oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-(1 / ๐ด) / (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
7530, 63, 743eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
76403ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ด = 0)
7776neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
78 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
79 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
80 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
8178, 79, 80divnegd 12003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ -(1 / ๐ด) = (-1 / ๐ด))
8281oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = ((-1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
8315, 77, 82syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = ((-1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
8414negcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
8584, 15, 77divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
8615, 77reccld 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
8714, 86subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
8816, 24cjne0d 15150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
8973, 88eqnetrrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰  0)
9085, 87, 15, 89, 77divcan5d 12016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-1 / ๐ด)) / (๐ด ยท (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))) = ((-1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
9184, 15, 77divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (-1 / ๐ด)) = -1)
9215, 14, 86subdid 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = ((๐ด ยท 1) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐ด))))
9315mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
9415, 77recidd 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1)
9593, 94oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท 1) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐ด))) = (๐ด โˆ’ 1))
9692, 95eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = (๐ด โˆ’ 1))
9791, 96oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-1 / ๐ด)) / (๐ด ยท (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))) = (-1 / (๐ด โˆ’ 1)))
9883, 90, 973eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = (-1 / (๐ด โˆ’ 1)))
99 subcl 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
10099negnegd 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ --(๐ด โˆ’ 1) = (๐ด โˆ’ 1))
101 negsubdi2 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ด โˆ’ 1) = (1 โˆ’ ๐ด))
102101negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ --(๐ด โˆ’ 1) = -(1 โˆ’ ๐ด))
103100, 102eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) = -(1 โˆ’ ๐ด))
10415, 14, 103syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) = -(1 โˆ’ ๐ด))
105104oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-1 / (๐ด โˆ’ 1)) = (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)))
10675, 98, 1053eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)))
107106adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)))
10829, 16, 24divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
109108adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
110 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0)
111109, 110reim0bd 15147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
112111cjred 15173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
113112, 111eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
114107, 113eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
11528, 114eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
11616, 24recne0d 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
117116adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
118115, 117rereccld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 / (1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
11926, 118eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
120 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
121119, 120resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
12213, 121eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
1232, 122negrebd 11570 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
124123absord 15362 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) = ๐ด โˆจ (absโ€˜๐ด) = -๐ด))
125 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด) = ๐ด โ†” 1 = ๐ด))
126125biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด) = ๐ด โ†’ 1 = ๐ด))
127 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด) = -๐ด โ†” 1 = -๐ด))
128127biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด) = -๐ด โ†’ 1 = -๐ด))
129126, 128orim12d 964 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ (((absโ€˜๐ด) = ๐ด โˆจ (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ (1 = ๐ด โˆจ 1 = -๐ด)))
1307, 124, 129sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 = ๐ด โˆจ 1 = -๐ด))
131130ord 863 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (ยฌ 1 = ๐ด โ†’ 1 = -๐ด))
1326, 131mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ 1 = -๐ด)
133132, 5eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„+)
1345, 133rpaddcld 13031 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 + -๐ด) โˆˆ โ„+)
1353, 134eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)
136135relogcld 26131 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
137136reim0d 15172 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = 0)
138133, 135rpdivcld 13033 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„+)
139138relogcld 26131 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
140139reim0d 15172 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = 0)
141137, 140eqtr4d 2776 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
14216, 24logcld 26079 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
143142adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
144143imcld 15142 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
145144recnd 11242 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
146108adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
14715, 77negne0d 11569 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -๐ด โ‰  0)
14829, 16, 147, 24divne0d 12006 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
149148adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
150146, 149logcld 26079 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
151150imcld 15142 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) โˆˆ โ„)
152151recnd 11242 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
153106fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))))
154153adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))))
155 logcj 26114 . . . . . . 7 (((-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
156108, 155sylan 581 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
15716, 24reccld 11983 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
158157, 116logcld 26079 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
159158negnegd 11562 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ --(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) = (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
160 isosctrlem1 26323 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  ฯ€)
161 logrec 26268 . . . . . . . . . 10 (((1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0 โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  ฯ€) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = -(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
16216, 24, 160, 161syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = -(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
163162negeqd 11454 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = --(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
16427fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))) = (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
165159, 163, 1643eqtr4rd 2784 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))) = -(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)))
166165adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))) = -(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)))
167154, 156, 1663eqtr3rd 2782 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ -(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
168167fveq2d 6896 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜-(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))))))
169143imnegd 15157 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜-(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))))
170150imcjd 15152 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
171168, 169, 1703eqtr3d 2781 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ -(โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
172145, 152, 171neg11d 11583 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
173141, 172pm2.61dane 3030 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„+crp 12974  โ†‘cexp 14027  โˆ—ccj 15043  โ„‘cim 15045  abscabs 15181  ฯ€cpi 16010  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  isosctrlem3  26325
  Copyright terms: Public domain W3C validator