MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isosctrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isosctrlem2 26331
Description: Lemma for isosctr 26333. Corresponds to the case where one vertex is at 0, another at 1 and the third lies on the unit circle. (Contributed by Saveliy Skresanov, 31-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isosctrlem2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))

Proof of Theorem isosctrlem2
StepHypRef Expression
1 1cnd 11211 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2negsubd 11579 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 + -๐ด) = (1 โˆ’ ๐ด))
4 1rp 12980 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„+
54a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
6 simpl3 1193 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ยฌ 1 = ๐ด)
7 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (absโ€˜๐ด) = 1)
81, 2, 1sub32d 11605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โˆ’ 1) = ((1 โˆ’ 1) โˆ’ ๐ด))
9 1m1e0 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 โˆ’ 1) = 0
109oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ ๐ด) = (0 โˆ’ ๐ด)
11 df-neg 11449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -๐ด = (0 โˆ’ ๐ด)
1210, 11eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ ๐ด) = -๐ด
138, 12eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โˆ’ 1) = -๐ด)
14 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
15 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1614, 15subcld 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
18 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โˆˆ โ„‚
19 subeq0 11488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
2018, 19mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
2120biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†’ 1 = ๐ด))
2221con3dimp 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ยฌ (1 โˆ’ ๐ด) = 0)
2322neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
24233adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
2617, 25recrecd 11989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 / (1 / (1 โˆ’ ๐ด))) = (1 โˆ’ ๐ด))
2714, 16, 24div2negd 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
2915negcld 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
3029, 16, 24cjdivd 15172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = ((โˆ—โ€˜-๐ด) / (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด))))
3115cjnegd 15160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜-๐ด) = -(โˆ—โ€˜๐ด))
32 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜0))
33 abs0 15234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (absโ€˜0) = 0
3432, 33eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐ด = 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) = 0)
35 eqtr2 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((absโ€˜๐ด) = 1 โˆง (absโ€˜๐ด) = 0) โ†’ 1 = 0)
3634, 35sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด = 0) โ†’ 1 = 0)
37 ax-1ne0 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 โ‰  0
38 neneq 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1 โ‰  0 โ†’ ยฌ 1 = 0)
3937, 38mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด = 0) โ†’ ยฌ 1 = 0)
4036, 39pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ยฌ ๐ด = 0)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ ยฌ ๐ด = 0)
42 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ด โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ด = 0)
43 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (1โ†‘2))
44 sq1 14161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (1โ†‘2) = 1
4543, 44eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = 1)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = 1)
47 absvalsq 15229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
4946, 48eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ 1 = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
50493adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
5150oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) = ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) / ๐ด))
52 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5352cjcld 15145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
54 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
5553, 52, 54divcan3d 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) / ๐ด) = (โˆ—โ€˜๐ด))
5651, 55eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) = (โˆ—โ€˜๐ด))
5742, 56syl3an3br 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ ๐ด = 0) โ†’ (1 / ๐ด) = (โˆ—โ€˜๐ด))
5841, 57mpd3an3 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (1 / ๐ด) = (โˆ—โ€˜๐ด))
5958eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (1 / ๐ด))
60593adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = (1 / ๐ด))
6160negeqd 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -(โˆ—โ€˜๐ด) = -(1 / ๐ด))
6231, 61eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜-๐ด) = -(1 / ๐ด))
6362oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ((โˆ—โ€˜-๐ด) / (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (-(1 / ๐ด) / (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด))))
64 cjsub 15098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜1) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
6518, 64mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = ((โˆ—โ€˜1) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
66 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6766cjred 15175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜1) = 1)
6867oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜1) โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) = (1 โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
6965, 68eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
7159oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (1 โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) = (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))
7270, 71eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))
73723adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))
7473oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-(1 / ๐ด) / (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
7530, 63, 743eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
76403ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ด = 0)
7776neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
78 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
79 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
80 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
8178, 79, 80divnegd 12005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ -(1 / ๐ด) = (-1 / ๐ด))
8281oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = ((-1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
8315, 77, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = ((-1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
8414negcld 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
8584, 15, 77divcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
8615, 77reccld 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
8714, 86subcld 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
8816, 24cjne0d 15152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
8973, 88eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰  0)
9085, 87, 15, 89, 77divcan5d 12018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-1 / ๐ด)) / (๐ด ยท (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))) = ((-1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))))
9184, 15, 77divcan2d 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (-1 / ๐ด)) = -1)
9215, 14, 86subdid 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = ((๐ด ยท 1) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐ด))))
9315mulridd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
9415, 77recidd 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1)
9593, 94oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท 1) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐ด))) = (๐ด โˆ’ 1))
9692, 95eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = (๐ด โˆ’ 1))
9791, 96oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท (-1 / ๐ด)) / (๐ด ยท (1 โˆ’ (1 / ๐ด)))) = (-1 / (๐ด โˆ’ 1)))
9883, 90, 973eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-(1 / ๐ด) / (1 โˆ’ (1 / ๐ด))) = (-1 / (๐ด โˆ’ 1)))
99 subcl 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
10099negnegd 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ --(๐ด โˆ’ 1) = (๐ด โˆ’ 1))
101 negsubdi2 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ด โˆ’ 1) = (1 โˆ’ ๐ด))
102101negeqd 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ --(๐ด โˆ’ 1) = -(1 โˆ’ ๐ด))
103100, 102eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) = -(1 โˆ’ ๐ด))
10415, 14, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) = -(1 โˆ’ ๐ด))
105104oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-1 / (๐ด โˆ’ 1)) = (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)))
10675, 98, 1053eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)))
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)))
10829, 16, 24divcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
110 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0)
111109, 110reim0bd 15149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
112111cjred 15175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
113112, 111eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
114107, 113eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-1 / -(1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
11528, 114eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
11616, 24recne0d 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
117116adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
118115, 117rereccld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 / (1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
11926, 118eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
120 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
121119, 120resubcld 11644 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
12213, 121eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
1232, 122negrebd 11572 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
124123absord 15364 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) = ๐ด โˆจ (absโ€˜๐ด) = -๐ด))
125 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด) = ๐ด โ†” 1 = ๐ด))
126125biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด) = ๐ด โ†’ 1 = ๐ด))
127 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด) = -๐ด โ†” 1 = -๐ด))
128127biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((absโ€˜๐ด) = -๐ด โ†’ 1 = -๐ด))
129126, 128orim12d 963 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐ด) = 1 โ†’ (((absโ€˜๐ด) = ๐ด โˆจ (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ (1 = ๐ด โˆจ 1 = -๐ด)))
1307, 124, 129sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 = ๐ด โˆจ 1 = -๐ด))
131130ord 862 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (ยฌ 1 = ๐ด โ†’ 1 = -๐ด))
1326, 131mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ 1 = -๐ด)
133132, 5eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„+)
1345, 133rpaddcld 13033 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 + -๐ด) โˆˆ โ„+)
1353, 134eqeltrrd 2834 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)
136135relogcld 26138 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
137136reim0d 15174 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = 0)
138133, 135rpdivcld 13035 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„+)
139138relogcld 26138 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
140139reim0d 15174 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = 0)
141137, 140eqtr4d 2775 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) = 0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
14216, 24logcld 26086 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
143142adantr 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
144143imcld 15144 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„)
145144recnd 11244 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
146108adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
14715, 77negne0d 11571 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -๐ด โ‰  0)
14829, 16, 147, 24divne0d 12008 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
149148adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โ‰  0)
150146, 149logcld 26086 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
151150imcld 15144 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) โˆˆ โ„)
152151recnd 11244 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
153106fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))))
154153adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))))
155 logcj 26121 . . . . . . 7 (((-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
156108, 155sylan 580 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(โˆ—โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))) = (โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
15716, 24reccld 11985 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
158157, 116logcld 26086 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
159158negnegd 11564 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ --(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))) = (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
160 isosctrlem1 26330 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  ฯ€)
161 logrec 26275 . . . . . . . . . 10 (((1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0 โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  ฯ€) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = -(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
16216, 24, 160, 161syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = -(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
163162negeqd 11456 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ -(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = --(logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
16427fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))) = (logโ€˜(1 / (1 โˆ’ ๐ด))))
165159, 163, 1643eqtr4rd 2783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))) = -(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)))
166165adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(-1 / -(1 โˆ’ ๐ด))) = -(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)))
167154, 156, 1663eqtr3rd 2781 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ -(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) = (โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
168167fveq2d 6895 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜-(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))))))
169143imnegd 15159 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜-(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))))
170150imcjd 15154 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
171168, 169, 1703eqtr3d 2780 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ -(โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
172145, 152, 171neg11d 11585 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โˆง (โ„‘โ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด))) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
173141, 172pm2.61dane 3029 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = 1 โˆง ยฌ 1 = ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  โ„+crp 12976  โ†‘cexp 14029  โˆ—ccj 15045  โ„‘cim 15047  abscabs 15183  ฯ€cpi 16012  logclog 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072
This theorem is referenced by:  isosctrlem3  26332
  Copyright terms: Public domain W3C validator