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Theorem dcubic2 25434
Description: Reverse direction of dcubic 25436. Given a solution 𝑈 to the "substitution" quadratic equation 𝑋 = 𝑈𝑀 / 𝑈, show that 𝑋 is in the desired form. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
dcubic.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z (𝜑𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
dcubic2.x (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dcubic2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑟   𝑃,𝑟   𝜑,𝑟   𝑄,𝑟   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem dcubic2
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2 dcubic.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3 dcubic.0 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
41, 2, 3divcld 11409 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
54adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
6 3nn0 11907 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
81, 2, 3, 7expdivd 13524 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
10 oveq1 7146 . . . . 5 ((𝑈↑3) = (𝐺𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺𝑁) / (𝑇↑3)))
11 dcubic.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
1211oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺𝑁) / (𝑇↑3)))
13 expcl 13447 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
142, 6, 13sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
15 3z 12007 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
172, 3, 16expne0d 13516 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇↑3) ≠ 0)
1814, 17dividd 11407 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
1912, 18eqtr3d 2838 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑁) / (𝑇↑3)) = 1)
2010, 19sylan9eqr 2858 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
219, 20eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1)
22 dcubic2.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
231, 2, 3divcan1d 11410 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
2423oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / 𝑈))
2523, 24oveq12d 7157 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
2622, 25eqtr4d 2839 . . . 4 (𝜑𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
2726adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
28 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((𝑈 / 𝑇)↑3))
2928eqeq1d 2803 . . . . 5 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1))
30 oveq1 7146 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
3130oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
3230, 31oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
3332eqeq2d 2812 . . . . 5 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))))
3429, 33anbi12d 633 . . . 4 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))))
3534rspcev 3574 . . 3 (((𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
365, 21, 27, 35syl12anc 835 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
37 dcubic.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
38 dcubic.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
39 3cn 11710 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
41 3ne0 11735 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ≠ 0)
4338, 40, 42divcld 11409 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
4437, 43eqeltrd 2893 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
45 dcubic2.z . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ≠ 0)
4644, 1, 45divcld 11409 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
4746negcld 10977 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
4847, 2, 3divcld 11409 . . . 4 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
4948adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
5047, 2, 3, 7expdivd 13524 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)))
5144, 1, 45divnegd 11422 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (-𝑀 / 𝑈))
5251oveq1d 7154 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀 / 𝑈)↑3))
5344negcld 10977 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
5453, 1, 45, 7expdivd 13524 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
5511oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺𝑁)))
56 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
57 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
58 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
5958halfcld 11874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
6057, 59eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
61 subsq 13572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺𝑁)))
6256, 60, 61syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺𝑁)))
6355, 62eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)))
64 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
6564oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)))
6660sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
67 expcl 13447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
6844, 6, 67sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
6966, 68pncan2d 10992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)) = (𝑀↑3))
7063, 65, 693eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (𝑀↑3))
7170negeqd 10873 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
7256, 60addcld 10653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
7372, 14mulneg1d 11086 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)))
74 3nn 11708 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
76 n2dvds3 15716 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 ∥ 3
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
78 oexpneg 15690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
7944, 75, 77, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
8071, 73, 793eqtr4d 2846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (-𝑀↑3))
8180oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
8272negcld 10977 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
83 expcl 13447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
841, 6, 83sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
851, 45, 16expne0d 13516 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
8682, 14, 84, 85div23d 11446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
8781, 86eqtr3d 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
8852, 54, 873eqtrd 2840 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
8988oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)) = (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)))
9082, 84, 85divcld 11409 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
9190, 14, 17divcan4d 11415 . . . . . 6 (𝜑 → (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
9250, 89, 913eqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
9392adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
94 oveq1 7146 . . . . . 6 ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
9594eqcomd 2807 . . . . 5 ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)))
9684, 85dividd 11407 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = 1)
9795, 96sylan9eqr 2858 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = 1)
9893, 97eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1)
9946, 1neg2subd 11007 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
10022, 99eqtr4d 2839 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
101100adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
10247, 2, 3divcan1d 11410 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
103102adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
10444, 1, 45divneg2d 11423 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (𝑀 / -𝑈))
105102, 104eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
106105adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
107106oveq2d 7155 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)))
10844adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1091negcld 10977 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
110109adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ∈ ℂ)
11173, 71eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
112111adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
11382adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
11414adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
115 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))
11685adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) ≠ 0)
117115, 116eqnetrrd 3058 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ≠ 0)
11817adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ≠ 0)
119113, 114, 117, 118mulne0d 11285 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) ≠ 0)
120112, 119eqnetrrd 3058 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝑀↑3) ≠ 0)
121 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = (0↑3))
122 0exp 13464 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
12374, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0↑3) = 0
124121, 123eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = 0)
125124negeqd 10873 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = -0)
126 neg0 10925 . . . . . . . . . 10 -0 = 0
127125, 126eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = 0)
128127necon3i 3022 . . . . . . . 8 (-(𝑀↑3) ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)
129120, 128syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ≠ 0)
1301, 45negne0d 10988 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑈 ≠ 0)
131130adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ≠ 0)
132108, 110, 129, 131ddcand 11429 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)) = -𝑈)
133107, 132eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = -𝑈)
134103, 133oveq12d 7157 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))) = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
135101, 134eqtr4d 2839 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
136 oveq1 7146 . . . . . 6 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3))
137136eqeq1d 2803 . . . . 5 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1))
138 oveq1 7146 . . . . . . 7 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))
139138oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))
140138, 139oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
141140eqeq2d 2812 . . . . 5 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))))
142137, 141anbi12d 633 . . . 4 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))))
143142rspcev 3574 . . 3 (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
14449, 98, 135, 143syl12anc 835 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
14584sqcld 13508 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
146145mulid2d 10652 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · ((𝑈↑3)↑2)) = ((𝑈↑3)↑2))
14758, 84mulcld 10654 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
148147, 68negsubd 10996 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3)) = ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)))
149146, 148oveq12d 7157 . . . . 5 (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))))
150 dcubic2.x . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
151 dcubic.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
15238, 58, 151, 2, 11, 56, 64, 37, 57, 3, 1, 45, 22dcubic1lem 25433 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
153150, 152mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
154149, 153eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0)
155 1cnd 10629 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
156 ax-1ne0 10599 . . . . . 6 1 ≠ 0
157156a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≠ 0)
15868negcld 10977 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑀↑3) ∈ ℂ)
159 2cn 11704 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
160 mulcl 10614 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
161159, 56, 160sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
162 sqmul 13485 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
163159, 56, 162sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
16464oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑2) · (𝐺↑2)) = ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))))
165159sqcli 13544 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
166 mulcl 10614 . . . . . . . . 9 (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
167165, 66, 166sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
168 mulcl 10614 . . . . . . . . 9 (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
169165, 68, 168sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
170167, 169subnegd 10997 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
17157oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
172159a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
173 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
17558, 172, 174divcan2d 11411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
176171, 175eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
177176oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = (𝑄↑2))
178 sqmul 13485 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
179159, 60, 178sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
180177, 179eqtr3d 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
181158mulid2d 10652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · -(𝑀↑3)) = -(𝑀↑3))
182181oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = (4 · -(𝑀↑3)))
183 4cn 11714 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
184 mulneg2 11070 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
185183, 68, 184sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
186182, 185eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -(4 · (𝑀↑3)))
187 sq2 13560 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
188187oveq1i 7149 . . . . . . . . . 10 ((2↑2) · (𝑀↑3)) = (4 · (𝑀↑3))
189188negeqi 10872 . . . . . . . . 9 -((2↑2) · (𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3))
190186, 189eqtr4di 2854 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -((2↑2) · (𝑀↑3)))
191180, 190oveq12d 7157 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))))
192165a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
193192, 66, 68adddid 10658 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
194170, 191, 1933eqtr4rd 2847 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
195163, 164, 1943eqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
196155, 157, 58, 158, 84, 161, 195quad2 25429 . . . 4 (𝜑 → (((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0 ↔ ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)))))
197154, 196mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))))
198 2t1e2 11792 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
199198oveq2i 7150 . . . . . 6 ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2)
20058negcld 10977 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑄 ∈ ℂ)
201200, 161, 172, 174divdird 11447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)))
20257negeqd 10873 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑁 = -(𝑄 / 2))
20358, 172, 174divnegd 11422 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑄 / 2) = (-𝑄 / 2))
204202, 203eqtr2d 2837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-𝑄 / 2) = -𝑁)
20556, 172, 174divcan3d 11414 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐺) / 2) = 𝐺)
206204, 205oveq12d 7157 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁 + 𝐺))
20760negcld 10977 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
208207, 56addcomd 10835 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺 + -𝑁))
20956, 60negsubd 10996 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 + -𝑁) = (𝐺𝑁))
210208, 209eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺𝑁))
211201, 206, 2103eqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = (𝐺𝑁))
212199, 211syl5eq 2848 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = (𝐺𝑁))
213212eqeq2d 2812 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)))
214198oveq2i 7150 . . . . . 6 ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2)
215204, 205oveq12d 7157 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁𝐺))
216200, 161, 172, 174divsubdird 11448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)))
21756, 60addcomd 10835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐺))
218217negeqd 10873 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = -(𝑁 + 𝐺))
21960, 56negdi2d 11004 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑁 + 𝐺) = (-𝑁𝐺))
220218, 219eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = (-𝑁𝐺))
221215, 216, 2203eqtr4d 2846 . . . . . 6 (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = -(𝐺 + 𝑁))
222214, 221syl5eq 2848 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = -(𝐺 + 𝑁))
223222eqeq2d 2812 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
224213, 223orbi12d 916 . . 3 (𝜑 → (((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))) ↔ ((𝑈↑3) = (𝐺𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))))
225197, 224mpbid 235 . 2 (𝜑 → ((𝑈↑3) = (𝐺𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
22636, 144, 225mpjaodan 956 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  0cn0 11889  cz 11973  cexp 13429  cdvds 15603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-dvds 15604
This theorem is referenced by:  dcubic  25436
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