dcubic2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dcubic2 25994

Description: Reverse direction of dcubic 25996. Given a solution 𝑈 to the "substitution" quadratic equation 𝑋 = 𝑈 − 𝑀 / 𝑈, show that 𝑋 is in the desired form. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
dcubic2.x	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
dcubic2	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))

Distinct variable groups: 𝑀,𝑟 𝑃,𝑟 𝜑,𝑟 𝑄,𝑟 𝑇,𝑟 𝑈,𝑟 𝑋,𝑟 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑟) 𝑁(𝑟)

**Proof of Theorem dcubic2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic2.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
2		dcubic.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
3		dcubic.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 11751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
6		3nn0 12251	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
8	1, 2, 3, 7	expdivd 13878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
10		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ ((𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺 − 𝑁) / (𝑇↑3)))
11		dcubic.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
12	11	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺 − 𝑁) / (𝑇↑3)))
13		expcl 13800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
14	2, 6, 13	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
15		3z 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
17	2, 3, 16	expne0d 13870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) ≠ 0)
18	14, 17	dividd 11749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
19	12, 18	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝑁) / (𝑇↑3)) = 1)
20	10, 19	sylan9eqr 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
21	9, 20	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1)
22		dcubic2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
23	1, 2, 3	divcan1d 11752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
24	23	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / 𝑈))
25	23, 24	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
26	22, 25	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
27	26	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
28		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((𝑈 / 𝑇)↑3))
29	28	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1))
30		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
31	30	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
32	30, 31	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
33	32	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))))
34	29, 33	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))))
35	34	rspcev 3561	. . 3 ⊢ (((𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
36	5, 21, 27, 35	syl12anc 834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
37		dcubic.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
38		dcubic.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
39		3cn 12054	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
41		3ne0 12079	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
43	38, 40, 42	divcld 11751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
44	37, 43	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45		dcubic2.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
46	44, 1, 45	divcld 11751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
47	46	negcld 11319	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
48	47, 2, 3	divcld 11751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
49	48	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
50	47, 2, 3, 7	expdivd 13878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)))
51	44, 1, 45	divnegd 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (-𝑀 / 𝑈))
52	51	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀 / 𝑈)↑3))
53	44	negcld 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
54	53, 1, 45, 7	expdivd 13878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
55	11	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺 − 𝑁)))
56		dcubic.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
57		dcubic.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
58		dcubic.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
59	58	halfcld 12218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
60	57, 59	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
61		subsq 13926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺 − 𝑁)))
62	56, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺 − 𝑁)))
63	55, 62	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)))
64		dcubic.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
65	64	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)))
66	60	sqcld 13862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
67		expcl 13800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
68	44, 6, 67	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
69	66, 68	pncan2d 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)) = (𝑀↑3))
70	63, 65, 69	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (𝑀↑3))
71	70	negeqd 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
72	56, 60	addcld 10994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
73	72, 14	mulneg1d 11428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)))
74		3nn 12052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
76		n2dvds3 16080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
78		oexpneg 16054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
79	44, 75, 77, 78	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
80	71, 73, 79	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (-𝑀↑3))
81	80	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
82	72	negcld 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
83		expcl 13800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
84	1, 6, 83	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
85	1, 45, 16	expne0d 13870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
86	82, 14, 84, 85	div23d 11788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
87	81, 86	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
88	52, 54, 87	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
89	88	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)) = (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)))
90	82, 84, 85	divcld 11751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
91	90, 14, 17	divcan4d 11757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
92	50, 89, 91	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
93	92	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
94		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
95	94	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)))
96	84, 85	dividd 11749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = 1)
97	95, 96	sylan9eqr 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = 1)
98	93, 97	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1)
99	46, 1	neg2subd 11349	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
100	22, 99	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
101	100	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
102	47, 2, 3	divcan1d 11752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
103	102	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
104	44, 1, 45	divneg2d 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (𝑀 / -𝑈))
105	102, 104	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
106	105	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
107	106	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)))
108	44	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
109	1	negcld 11319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
110	109	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ∈ ℂ)
111	73, 71	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
112	111	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
113	82	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
114	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
115		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))
116	85	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) ≠ 0)
117	115, 116	eqnetrrd 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ≠ 0)
118	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ≠ 0)
119	113, 114, 117, 118	mulne0d 11627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) ≠ 0)
120	112, 119	eqnetrrd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝑀↑3) ≠ 0)
121		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = (0↑3))
122		0exp 13818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
123	74, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑3) = 0
124	121, 123	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = 0)
125	124	negeqd 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = -0)
126		neg0 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ -0 = 0
127	125, 126	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = 0)
128	127	necon3i 2976	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝑀↑3) ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)
129	120, 128	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ≠ 0)
130	1, 45	negne0d 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ≠ 0)
131	130	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ≠ 0)
132	108, 110, 129, 131	ddcand 11771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)) = -𝑈)
133	107, 132	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = -𝑈)
134	103, 133	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))) = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
135	101, 134	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
136		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3))
137	136	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1))
138		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))
139	138	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))
140	138, 139	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
141	140	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))))
142	137, 141	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))))
143	142	rspcev 3561	. . 3 ⊢ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
144	49, 98, 135, 143	syl12anc 834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
145	84	sqcld 13862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
146	145	mulid2d 10993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · ((𝑈↑3)↑2)) = ((𝑈↑3)↑2))
147	58, 84	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
148	147, 68	negsubd 11338	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3)) = ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)))
149	146, 148	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))))
150		dcubic2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
151		dcubic.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
152	38, 58, 151, 2, 11, 56, 64, 37, 57, 3, 1, 45, 22	dcubic1lem 25993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
153	150, 152	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
154	149, 153	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0)
155		1cnd 10970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
156		ax-1ne0 10940	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
157	156	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0)
158	68	negcld 11319	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑀↑3) ∈ ℂ)
159		2cn 12048	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
160		mulcl 10955	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
161	159, 56, 160	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
162		sqmul 13839	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
163	159, 56, 162	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
164	64	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝐺↑2)) = ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))))
165	159	sqcli 13898	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
166		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
167	165, 66, 166	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
168		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
169	165, 68, 168	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
170	167, 169	subnegd 11339	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
171	57	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
172	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
173		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
175	58, 172, 174	divcan2d 11753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
176	171, 175	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
177	176	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = (𝑄↑2))
178		sqmul 13839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
179	159, 60, 178	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
180	177, 179	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
181	158	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 · -(𝑀↑3)) = -(𝑀↑3))
182	181	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = (4 · -(𝑀↑3)))
183		4cn 12058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
184		mulneg2 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
185	183, 68, 184	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
186	182, 185	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -(4 · (𝑀↑3)))
187		sq2 13914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
188	187	oveq1i 7285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑2) · (𝑀↑3)) = (4 · (𝑀↑3))
189	188	negeqi 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ -((2↑2) · (𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3))
190	186, 189	eqtr4di 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -((2↑2) · (𝑀↑3)))
191	180, 190	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))))
192	165	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
193	192, 66, 68	adddid 10999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
194	170, 191, 193	3eqtr4rd 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
195	163, 164, 194	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
196	155, 157, 58, 158, 84, 161, 195	quad2 25989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0 ↔ ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)))))
197	154, 196	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))))
198		2t1e2 12136	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
199	198	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2)
200	58	negcld 11319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑄 ∈ ℂ)
201	200, 161, 172, 174	divdird 11789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)))
202	57	negeqd 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑁 = -(𝑄 / 2))
203	58, 172, 174	divnegd 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑄 / 2) = (-𝑄 / 2))
204	202, 203	eqtr2d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑄 / 2) = -𝑁)
205	56, 172, 174	divcan3d 11756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐺) / 2) = 𝐺)
206	204, 205	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁 + 𝐺))
207	60	negcld 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
208	207, 56	addcomd 11177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺 + -𝑁))
209	56, 60	negsubd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + -𝑁) = (𝐺 − 𝑁))
210	208, 209	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺 − 𝑁))
211	201, 206, 210	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = (𝐺 − 𝑁))
212	199, 211	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = (𝐺 − 𝑁))
213	212	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁)))
214	198	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2)
215	204, 205	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁 − 𝐺))
216	200, 161, 172, 174	divsubdird 11790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)))
217	56, 60	addcomd 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐺))
218	217	negeqd 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = -(𝑁 + 𝐺))
219	60, 56	negdi2d 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 + 𝐺) = (-𝑁 − 𝐺))
220	218, 219	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = (-𝑁 − 𝐺))
221	215, 216, 220	3eqtr4d 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = -(𝐺 + 𝑁))
222	214, 221	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = -(𝐺 + 𝑁))
223	222	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
224	213, 223	orbi12d 916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))) ↔ ((𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))))
225	197, 224	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) = (𝐺 − 𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
226	36, 144, 225	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 ∨ wo 844 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∃wrex 3065 class class class wbr 5074 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 − cmin 11205 -cneg 11206 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 3c3 12029 4c4 12030 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ↑cexp 13782 ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-seq 13722 df-exp 13783 df-dvds 15964

This theorem is referenced by: dcubic 25996

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