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Theorem dcubic2 24865
 Description: Reverse direction of dcubic 24867. Given a solution 𝑈 to the "substitution" quadratic equation 𝑋 = 𝑈 − 𝑀 / 𝑈, show that 𝑋 is in the desired form. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
dcubic.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z (𝜑𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
dcubic2.x (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dcubic2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑟   𝑃,𝑟   𝜑,𝑟   𝑄,𝑟   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem dcubic2
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2 dcubic.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3 dcubic.0 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
41, 2, 3divcld 11057 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
54adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
6 3nn0 11560 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
81, 2, 3, 7expdivd 13232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
98adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)))
10 oveq1 6851 . . . . 5 ((𝑈↑3) = (𝐺𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺𝑁) / (𝑇↑3)))
11 dcubic.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
1211oveq1d 6859 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = ((𝐺𝑁) / (𝑇↑3)))
13 expcl 13088 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
142, 6, 13sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
15 3z 11660 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
172, 3, 16expne0d 13224 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇↑3) ≠ 0)
1814, 17dividd 11055 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
1912, 18eqtr3d 2801 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑁) / (𝑇↑3)) = 1)
2010, 19sylan9eqr 2821 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → ((𝑈↑3) / (𝑇↑3)) = 1)
219, 20eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1)
22 dcubic2.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
231, 2, 3divcan1d 11058 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
2423oveq2d 6860 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / 𝑈))
2523, 24oveq12d 6862 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
2622, 25eqtr4d 2802 . . . 4 (𝜑𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
2726adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
28 oveq1 6851 . . . . . 6 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((𝑈 / 𝑇)↑3))
2928eqeq1d 2767 . . . . 5 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1))
30 oveq1 6851 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
3130oveq2d 6860 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
3230, 31oveq12d 6862 . . . . . 6 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
3332eqeq2d 2775 . . . . 5 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))))
3429, 33anbi12d 624 . . . 4 (𝑟 = (𝑈 / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))))
3534rspcev 3462 . . 3 (((𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((𝑈 / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
365, 21, 27, 35syl12anc 865 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
37 dcubic.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
38 dcubic.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
39 3cn 11355 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
41 3ne0 11387 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ≠ 0)
4338, 40, 42divcld 11057 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
4437, 43eqeltrd 2844 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
45 dcubic2.z . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ≠ 0)
4644, 1, 45divcld 11057 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
4746negcld 10635 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
4847, 2, 3divcld 11057 . . . 4 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
4948adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ)
5047, 2, 3, 7expdivd 13232 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)))
5144, 1, 45divnegd 11070 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (-𝑀 / 𝑈))
5251oveq1d 6859 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀 / 𝑈)↑3))
5344negcld 10635 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℂ)
5453, 1, 45, 7expdivd 13232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
5511oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺𝑁)))
56 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
57 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
58 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
5958halfcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
6057, 59eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
61 subsq 13182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺𝑁)))
6256, 60, 61syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = ((𝐺 + 𝑁) · (𝐺𝑁)))
6355, 62eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)))
64 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
6564oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐺↑2) − (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)))
6660sqcld 13216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
67 expcl 13088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
6844, 6, 67sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
6966, 68pncan2d 10650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑁↑2)) = (𝑀↑3))
7063, 65, 693eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (𝑀↑3))
7170negeqd 10531 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
7256, 60addcld 10315 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
7372, 14mulneg1d 10739 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -((𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)))
74 3nn 11353 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
76 2nn 11347 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
77 1nn0 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
78 1nn 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
79 2t1e2 11443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = 2
8079oveq1i 6854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
81 2p1e3 11423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 1) = 3
8280, 81eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) + 1) = 3
83 1lt2 11451 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
8476, 77, 78, 82, 83ndvdsi 15420 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 ∥ 3
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
86 oexpneg 15354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
8744, 75, 85, 86syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-𝑀↑3) = -(𝑀↑3))
8871, 73, 873eqtr4d 2809 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = (-𝑀↑3))
8988oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
9072negcld 10635 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
91 expcl 13088 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
921, 6, 91sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
931, 45, 16expne0d 13224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
9490, 14, 92, 93div23d 11094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
9589, 94eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-𝑀↑3) / (𝑈↑3)) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
9652, 54, 953eqtrd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = ((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)))
9796oveq1d 6859 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈)↑3) / (𝑇↑3)) = (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)))
9890, 92, 93divcld 11057 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
9998, 14, 17divcan4d 11063 . . . . . 6 (𝜑 → (((-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) · (𝑇↑3)) / (𝑇↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
10050, 97, 993eqtrd 2803 . . . . 5 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
101100adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
102 oveq1 6851 . . . . . 6 ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)))
103102eqcomd 2771 . . . . 5 ((𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)))
10492, 93dividd 11055 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈↑3) / (𝑈↑3)) = 1)
105103, 104sylan9eqr 2821 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) / (𝑈↑3)) = 1)
106101, 105eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1)
10746, 1neg2subd 10665 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
10822, 107eqtr4d 2802 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
109108adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
11047, 2, 3divcan1d 11058 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
111110adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = -(𝑀 / 𝑈))
11244, 1, 45divneg2d 11071 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) = (𝑀 / -𝑈))
113110, 112eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
114113adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) = (𝑀 / -𝑈))
115114oveq2d 6860 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)))
11644adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1171negcld 10635 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
118117adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ∈ ℂ)
11973, 71eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
120119adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) = -(𝑀↑3))
12190adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ∈ ℂ)
12214adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ∈ ℂ)
123 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))
12493adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑈↑3) ≠ 0)
125123, 124eqnetrrd 3005 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝐺 + 𝑁) ≠ 0)
12617adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑇↑3) ≠ 0)
127121, 122, 125, 126mulne0d 10935 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (-(𝐺 + 𝑁) · (𝑇↑3)) ≠ 0)
128120, 127eqnetrrd 3005 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -(𝑀↑3) ≠ 0)
129 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = (0↑3))
130 0exp 13105 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
13174, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0↑3) = 0
132129, 131syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝑀↑3) = 0)
133132negeqd 10531 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = -0)
134 neg0 10583 . . . . . . . . . 10 -0 = 0
135133, 134syl6eq 2815 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → -(𝑀↑3) = 0)
136135necon3i 2969 . . . . . . . 8 (-(𝑀↑3) ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)
137128, 136syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑀 ≠ 0)
1381, 45negne0d 10646 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑈 ≠ 0)
139138adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → -𝑈 ≠ 0)
140116, 118, 137, 139ddcand 11077 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / (𝑀 / -𝑈)) = -𝑈)
141115, 140eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)) = -𝑈)
142111, 141oveq12d 6862 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))) = (-(𝑀 / 𝑈) − -𝑈))
143109, 142eqtr4d 2802 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
144 oveq1 6851 . . . . . 6 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟↑3) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3))
145144eqeq1d 2767 . . . . 5 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟↑3) = 1 ↔ ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1))
146 oveq1 6851 . . . . . . 7 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑟 · 𝑇) = ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))
147146oveq2d 6860 . . . . . . 7 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) = (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))
148146, 147oveq12d 6862 . . . . . 6 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))
149148eqeq2d 2775 . . . . 5 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ↔ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇)))))
150145, 149anbi12d 624 . . . 4 (𝑟 = (-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) ↔ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))))
151150rspcev 3462 . . 3 (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) ∈ ℂ ∧ (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇)↑3) = 1 ∧ 𝑋 = (((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇) − (𝑀 / ((-(𝑀 / 𝑈) / 𝑇) · 𝑇))))) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
15249, 106, 143, 151syl12anc 865 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
15392sqcld 13216 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
154153mulid2d 10314 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · ((𝑈↑3)↑2)) = ((𝑈↑3)↑2))
15558, 92mulcld 10316 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
156155, 68negsubd 10654 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3)) = ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)))
157154, 156oveq12d 6862 . . . . 5 (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))))
158 dcubic2.x . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
159 dcubic.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
16038, 58, 159, 2, 11, 56, 64, 37, 57, 3, 1, 45, 22dcubic1lem 24864 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
161158, 160mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
162157, 161eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → ((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0)
163 1cnd 10290 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
164 ax-1ne0 10260 . . . . . 6 1 ≠ 0
165164a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≠ 0)
16668negcld 10635 . . . . 5 (𝜑 → -(𝑀↑3) ∈ ℂ)
167 2cn 11349 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
168 mulcl 10275 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
169167, 56, 168sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐺) ∈ ℂ)
170 sqmul 13136 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
171167, 56, 170sylancr 581 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((2↑2) · (𝐺↑2)))
17264oveq2d 6860 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑2) · (𝐺↑2)) = ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))))
173167sqcli 13154 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
174 mulcl 10275 . . . . . . . . 9 (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
175173, 66, 174sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑2) · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
176 mulcl 10275 . . . . . . . . 9 (((2↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
177173, 68, 176sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑2) · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
178175, 177subnegd 10655 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
17957oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
180167a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
181 2ne0 11385 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
18358, 180, 182divcan2d 11059 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
184179, 183eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
185184oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = (𝑄↑2))
186 sqmul 13136 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
187167, 60, 186sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
188185, 187eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
189166mulid2d 10314 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · -(𝑀↑3)) = -(𝑀↑3))
190189oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = (4 · -(𝑀↑3)))
191 4cn 11360 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
192 mulneg2 10723 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
193191, 68, 192sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · -(𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3)))
194190, 193eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -(4 · (𝑀↑3)))
195 sq2 13170 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
196195oveq1i 6854 . . . . . . . . . 10 ((2↑2) · (𝑀↑3)) = (4 · (𝑀↑3))
197196negeqi 10530 . . . . . . . . 9 -((2↑2) · (𝑀↑3)) = -(4 · (𝑀↑3))
198194, 197syl6eqr 2817 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (1 · -(𝑀↑3))) = -((2↑2) · (𝑀↑3)))
199188, 198oveq12d 6862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) − -((2↑2) · (𝑀↑3))))
200173a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑2) ∈ ℂ)
201200, 66, 68adddid 10320 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = (((2↑2) · (𝑁↑2)) + ((2↑2) · (𝑀↑3))))
202178, 199, 2013eqtr4rd 2810 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑁↑2) + (𝑀↑3))) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
203171, 172, 2023eqtrd 2803 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐺)↑2) = ((𝑄↑2) − (4 · (1 · -(𝑀↑3)))))
204163, 165, 58, 166, 92, 169, 203quad2 24860 . . . 4 (𝜑 → (((1 · ((𝑈↑3)↑2)) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) + -(𝑀↑3))) = 0 ↔ ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)))))
205162, 204mpbid 223 . . 3 (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))))
20679oveq2i 6855 . . . . . 6 ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2)
20758negcld 10635 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑄 ∈ ℂ)
208207, 169, 180, 182divdird 11095 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)))
20957negeqd 10531 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑁 = -(𝑄 / 2))
21058, 180, 182divnegd 11070 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑄 / 2) = (-𝑄 / 2))
211209, 210eqtr2d 2800 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-𝑄 / 2) = -𝑁)
21256, 180, 182divcan3d 11062 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐺) / 2) = 𝐺)
213211, 212oveq12d 6862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝑄 / 2) + ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁 + 𝐺))
21460negcld 10635 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑁 ∈ ℂ)
215214, 56addcomd 10494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺 + -𝑁))
21656, 60negsubd 10654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 + -𝑁) = (𝐺𝑁))
217215, 216eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (-𝑁 + 𝐺) = (𝐺𝑁))
218208, 213, 2173eqtrd 2803 . . . . . 6 (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / 2) = (𝐺𝑁))
219206, 218syl5eq 2811 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = (𝐺𝑁))
220219eqeq2d 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = (𝐺𝑁)))
22179oveq2i 6855 . . . . . 6 ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2)
222211, 212oveq12d 6862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)) = (-𝑁𝐺))
223207, 169, 180, 182divsubdird 11096 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = ((-𝑄 / 2) − ((2 · 𝐺) / 2)))
22456, 60addcomd 10494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐺))
225224negeqd 10531 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = -(𝑁 + 𝐺))
22660, 56negdi2d 10662 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑁 + 𝐺) = (-𝑁𝐺))
227225, 226eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝐺 + 𝑁) = (-𝑁𝐺))
228222, 223, 2273eqtr4d 2809 . . . . . 6 (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / 2) = -(𝐺 + 𝑁))
229221, 228syl5eq 2811 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) = -(𝐺 + 𝑁))
230229eqeq2d 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ↔ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
231220, 230orbi12d 942 . . 3 (𝜑 → (((𝑈↑3) = ((-𝑄 + (2 · 𝐺)) / (2 · 1)) ∨ (𝑈↑3) = ((-𝑄 − (2 · 𝐺)) / (2 · 1))) ↔ ((𝑈↑3) = (𝐺𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁))))
232205, 231mpbid 223 . 2 (𝜑 → ((𝑈↑3) = (𝐺𝑁) ∨ (𝑈↑3) = -(𝐺 + 𝑁)))
23336, 152, 232mpjaodan 981 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = ((𝑟 · 𝑇) − (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ wo 873   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  ∃wrex 3056   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  ℂcc 10189  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   − cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  ℕcn 11276  2c2 11329  3c3 11330  4c4 11331  ℕ0cn0 11540  ℤcz 11626  ↑cexp 13070   ∥ cdvds 15268 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-seq 13012  df-exp 13071  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-dvds 15269 This theorem is referenced by:  dcubic  24867
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