MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcubic2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dcubic2 26197
Description: Reverse direction of dcubic 26199. Given a solution ๐‘ˆ to the "substitution" quadratic equation ๐‘‹ = ๐‘ˆ โˆ’ ๐‘€ / ๐‘ˆ, show that ๐‘‹ is in the desired form. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
dcubic.d (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
dcubic.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dcubic.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
dcubic.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
dcubic.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
dcubic.2 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
dcubic.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
dcubic.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
dcubic.0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
dcubic2.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
dcubic2.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰  0)
dcubic2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = (๐‘ˆ โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ˆ)))
dcubic2.x (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dcubic2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))))
Distinct variable groups:   ๐‘€,๐‘Ÿ   ๐‘ƒ,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘Ÿ   ๐‘„,๐‘Ÿ   ๐‘‡,๐‘Ÿ   ๐‘ˆ,๐‘Ÿ   ๐‘‹,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘Ÿ)   ๐‘(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem dcubic2
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
2 dcubic.t . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
3 dcubic.0 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
41, 2, 3divcld 11932 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ / ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
54adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘)) โ†’ (๐‘ˆ / ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
6 3nn0 12432 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„•0
76a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
81, 2, 3, 7expdivd 14066 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ / ๐‘‡)โ†‘3) = ((๐‘ˆโ†‘3) / (๐‘‡โ†‘3)))
98adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ˆ / ๐‘‡)โ†‘3) = ((๐‘ˆโ†‘3) / (๐‘‡โ†‘3)))
10 oveq1 7365 . . . . 5 ((๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘) โ†’ ((๐‘ˆโ†‘3) / (๐‘‡โ†‘3)) = ((๐บ โˆ’ ๐‘) / (๐‘‡โ†‘3)))
11 dcubic.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
1211oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ†‘3) / (๐‘‡โ†‘3)) = ((๐บ โˆ’ ๐‘) / (๐‘‡โ†‘3)))
13 expcl 13986 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
142, 6, 13sylancl 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
15 3z 12537 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„ค
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
172, 3, 16expne0d 14058 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โ‰  0)
1814, 17dividd 11930 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ†‘3) / (๐‘‡โ†‘3)) = 1)
1912, 18eqtr3d 2779 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐‘) / (๐‘‡โ†‘3)) = 1)
2010, 19sylan9eqr 2799 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ˆโ†‘3) / (๐‘‡โ†‘3)) = 1)
219, 20eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ˆ / ๐‘‡)โ†‘3) = 1)
22 dcubic2.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = (๐‘ˆ โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ˆ)))
231, 2, 3divcan1d 11933 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) = ๐‘ˆ)
2423oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡)) = (๐‘€ / ๐‘ˆ))
2523, 24oveq12d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))) = (๐‘ˆ โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ˆ)))
2622, 25eqtr4d 2780 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = (((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))))
2726adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))))
28 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = (๐‘ˆ / ๐‘‡) โ†’ (๐‘Ÿโ†‘3) = ((๐‘ˆ / ๐‘‡)โ†‘3))
2928eqeq1d 2739 . . . . 5 (๐‘Ÿ = (๐‘ˆ / ๐‘‡) โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โ†” ((๐‘ˆ / ๐‘‡)โ†‘3) = 1))
30 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = (๐‘ˆ / ๐‘‡) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) = ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))
3130oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = (๐‘ˆ / ๐‘‡) โ†’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) = (๐‘€ / ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡)))
3230, 31oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = (๐‘ˆ / ๐‘‡) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) = (((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))))
3332eqeq2d 2748 . . . . 5 (๐‘Ÿ = (๐‘ˆ / ๐‘‡) โ†’ (๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) โ†” ๐‘‹ = (((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡)))))
3429, 33anbi12d 632 . . . 4 (๐‘Ÿ = (๐‘ˆ / ๐‘‡) โ†’ (((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))) โ†” (((๐‘ˆ / ๐‘‡)โ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = (((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))))))
3534rspcev 3582 . . 3 (((๐‘ˆ / ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘ˆ / ๐‘‡)โ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = (((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((๐‘ˆ / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))))) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))))
365, 21, 27, 35syl12anc 836 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))))
37 dcubic.m . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
38 dcubic.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
39 3cn 12235 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„‚
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
41 3ne0 12260 . . . . . . . . . 10 3 โ‰  0
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰  0)
4338, 40, 42divcld 11932 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 3) โˆˆ โ„‚)
4437, 43eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
45 dcubic2.z . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰  0)
4644, 1, 45divcld 11932 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„‚)
4746negcld 11500 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘€ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„‚)
4847, 2, 3divcld 11932 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
4948adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
5047, 2, 3, 7expdivd 14066 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡)โ†‘3) = ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ)โ†‘3) / (๐‘‡โ†‘3)))
5144, 1, 45divnegd 11945 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘€ / ๐‘ˆ) = (-๐‘€ / ๐‘ˆ))
5251oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘€ / ๐‘ˆ)โ†‘3) = ((-๐‘€ / ๐‘ˆ)โ†‘3))
5344negcld 11500 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5453, 1, 45, 7expdivd 14066 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘€ / ๐‘ˆ)โ†‘3) = ((-๐‘€โ†‘3) / (๐‘ˆโ†‘3)))
5511oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) = ((๐บ + ๐‘) ยท (๐บ โˆ’ ๐‘)))
56 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
57 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
58 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
5958halfcld 12399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ / 2) โˆˆ โ„‚)
6057, 59eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
61 subsq 14115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐บ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐บโ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)) = ((๐บ + ๐‘) ยท (๐บ โˆ’ ๐‘)))
6256, 60, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)) = ((๐บ + ๐‘) ยท (๐บ โˆ’ ๐‘)))
6355, 62eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) = ((๐บโ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
64 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
6564oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) โˆ’ (๐‘โ†‘2)) = (((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘โ†‘2)))
6660sqcld 14050 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
67 expcl 13986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
6844, 6, 67sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
6966, 68pncan2d 11515 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘3))
7063, 65, 693eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) = (๐‘€โ†‘3))
7170negeqd 11396 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ -((๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) = -(๐‘€โ†‘3))
7256, 60addcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐บ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7372, 14mulneg1d 11609 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (-(๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) = -((๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)))
74 3nn 12233 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„•
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„•)
76 n2dvds3 16254 . . . . . . . . . . . . 13 ยฌ 2 โˆฅ 3
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ 3)
78 oexpneg 16228 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ 3) โ†’ (-๐‘€โ†‘3) = -(๐‘€โ†‘3))
7944, 75, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘€โ†‘3) = -(๐‘€โ†‘3))
8071, 73, 793eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) = (-๐‘€โ†‘3))
8180oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) / (๐‘ˆโ†‘3)) = ((-๐‘€โ†‘3) / (๐‘ˆโ†‘3)))
8272negcld 11500 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -(๐บ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
83 expcl 13986 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ˆ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
841, 6, 83sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
851, 45, 16expne0d 14058 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โ‰  0)
8682, 14, 84, 85div23d 11969 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) / (๐‘ˆโ†‘3)) = ((-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)) ยท (๐‘‡โ†‘3)))
8781, 86eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘€โ†‘3) / (๐‘ˆโ†‘3)) = ((-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)) ยท (๐‘‡โ†‘3)))
8852, 54, 873eqtrd 2781 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘€ / ๐‘ˆ)โ†‘3) = ((-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)) ยท (๐‘‡โ†‘3)))
8988oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ)โ†‘3) / (๐‘‡โ†‘3)) = (((-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)) ยท (๐‘‡โ†‘3)) / (๐‘‡โ†‘3)))
9082, 84, 85divcld 11932 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
9190, 14, 17divcan4d 11938 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)) ยท (๐‘‡โ†‘3)) / (๐‘‡โ†‘3)) = (-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)))
9250, 89, 913eqtrd 2781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡)โ†‘3) = (-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)))
9392adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡)โ†‘3) = (-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)))
94 oveq1 7365 . . . . . 6 ((๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘) โ†’ ((๐‘ˆโ†‘3) / (๐‘ˆโ†‘3)) = (-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)))
9594eqcomd 2743 . . . . 5 ((๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘) โ†’ (-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)) = ((๐‘ˆโ†‘3) / (๐‘ˆโ†‘3)))
9684, 85dividd 11930 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆโ†‘3) / (๐‘ˆโ†‘3)) = 1)
9795, 96sylan9eqr 2799 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (-(๐บ + ๐‘) / (๐‘ˆโ†‘3)) = 1)
9893, 97eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡)โ†‘3) = 1)
9946, 1neg2subd 11530 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) โˆ’ -๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โˆ’ (๐‘€ / ๐‘ˆ)))
10022, 99eqtr4d 2780 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) โˆ’ -๐‘ˆ))
101100adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ ๐‘‹ = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) โˆ’ -๐‘ˆ))
10247, 2, 3divcan1d 11933 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) = -(๐‘€ / ๐‘ˆ))
103102adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) = -(๐‘€ / ๐‘ˆ))
10444, 1, 45divneg2d 11946 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘€ / ๐‘ˆ) = (๐‘€ / -๐‘ˆ))
105102, 104eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) = (๐‘€ / -๐‘ˆ))
106105adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) = (๐‘€ / -๐‘ˆ))
107106oveq2d 7374 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (๐‘€ / ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡)) = (๐‘€ / (๐‘€ / -๐‘ˆ)))
10844adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1091negcld 11500 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
110109adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ -๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
11173, 71eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) = -(๐‘€โ†‘3))
112111adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (-(๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) = -(๐‘€โ†‘3))
11382adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ -(๐บ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
11414adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
115 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘))
11685adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (๐‘ˆโ†‘3) โ‰  0)
117115, 116eqnetrrd 3013 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ -(๐บ + ๐‘) โ‰  0)
11817adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (๐‘‡โ†‘3) โ‰  0)
119113, 114, 117, 118mulne0d 11808 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (-(๐บ + ๐‘) ยท (๐‘‡โ†‘3)) โ‰  0)
120112, 119eqnetrrd 3013 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ -(๐‘€โ†‘3) โ‰  0)
121 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘3) = (0โ†‘3))
122 0exp 14004 . . . . . . . . . . . . 13 (3 โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘3) = 0)
12374, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0โ†‘3) = 0
124121, 123eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘3) = 0)
125124negeqd 11396 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ = 0 โ†’ -(๐‘€โ†‘3) = -0)
126 neg0 11448 . . . . . . . . . 10 -0 = 0
127125, 126eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (๐‘€ = 0 โ†’ -(๐‘€โ†‘3) = 0)
128127necon3i 2977 . . . . . . . 8 (-(๐‘€โ†‘3) โ‰  0 โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
129120, 128syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
1301, 45negne0d 11511 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐‘ˆ โ‰  0)
131130adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ -๐‘ˆ โ‰  0)
132108, 110, 129, 131ddcand 11952 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (๐‘€ / (๐‘€ / -๐‘ˆ)) = -๐‘ˆ)
133107, 132eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (๐‘€ / ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡)) = -๐‘ˆ)
134103, 133oveq12d 7376 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ (((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))) = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) โˆ’ -๐‘ˆ))
135101, 134eqtr4d 2780 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ ๐‘‹ = (((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))))
136 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โ†’ (๐‘Ÿโ†‘3) = ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡)โ†‘3))
137136eqeq1d 2739 . . . . 5 (๐‘Ÿ = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โ†” ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡)โ†‘3) = 1))
138 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โ†’ (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) = ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))
139138oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โ†’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)) = (๐‘€ / ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡)))
140138, 139oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โ†’ ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) = (((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))))
141140eqeq2d 2748 . . . . 5 (๐‘Ÿ = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โ†’ (๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡))) โ†” ๐‘‹ = (((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡)))))
142137, 141anbi12d 632 . . . 4 (๐‘Ÿ = (-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โ†’ (((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))) โ†” (((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡)โ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = (((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))))))
143142rspcev 3582 . . 3 (((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡)โ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = (((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / ((-(๐‘€ / ๐‘ˆ) / ๐‘‡) ยท ๐‘‡))))) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))))
14449, 98, 135, 143syl12anc 836 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))))
14584sqcld 14050 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆโ†‘3)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
146145mulid2d 11174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ((๐‘ˆโ†‘3)โ†‘2)) = ((๐‘ˆโ†‘3)โ†‘2))
14758, 84mulcld 11176 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
148147, 68negsubd 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘ˆโ†‘3)) + -(๐‘€โ†‘3)) = ((๐‘„ ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3)))
149146, 148oveq12d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท ((๐‘ˆโ†‘3)โ†‘2)) + ((๐‘„ ยท (๐‘ˆโ†‘3)) + -(๐‘€โ†‘3))) = (((๐‘ˆโ†‘3)โ†‘2) + ((๐‘„ ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3))))
150 dcubic2.x . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0)
151 dcubic.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
15238, 58, 151, 2, 11, 56, 64, 37, 57, 3, 1, 45, 22dcubic1lem 26196 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0 โ†” (((๐‘ˆโ†‘3)โ†‘2) + ((๐‘„ ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3))) = 0))
153150, 152mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆโ†‘3)โ†‘2) + ((๐‘„ ยท (๐‘ˆโ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3))) = 0)
154149, 153eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท ((๐‘ˆโ†‘3)โ†‘2)) + ((๐‘„ ยท (๐‘ˆโ†‘3)) + -(๐‘€โ†‘3))) = 0)
155 1cnd 11151 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
156 ax-1ne0 11121 . . . . . 6 1 โ‰  0
157156a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  0)
15868negcld 11500 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
159 2cn 12229 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
160 mulcl 11136 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚)
161159, 56, 160sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚)
162 sqmul 14025 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐บ)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐บโ†‘2)))
163159, 56, 162sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐บ)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐บโ†‘2)))
16464oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘2) ยท (๐บโ†‘2)) = ((2โ†‘2) ยท ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3))))
165159sqcli 14086 . . . . . . . . 9 (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚
166 mulcl 11136 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
167165, 66, 166sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
168 mulcl 11136 . . . . . . . . 9 (((2โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘2) ยท (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
169165, 68, 168sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘2) ยท (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
170167, 169subnegd 11520 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) โˆ’ -((2โ†‘2) ยท (๐‘€โ†‘3))) = (((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) + ((2โ†‘2) ยท (๐‘€โ†‘3))))
17157oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) = (2 ยท (๐‘„ / 2)))
172159a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
173 2ne0 12258 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
17558, 172, 174divcan2d 11934 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘„ / 2)) = ๐‘„)
176171, 175eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) = ๐‘„)
177176oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘2) = (๐‘„โ†‘2))
178 sqmul 14025 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)))
179159, 60, 178sylancr 588 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)))
180177, 179eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)))
181158mulid2d 11174 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท -(๐‘€โ†‘3)) = -(๐‘€โ†‘3))
182181oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (1 ยท -(๐‘€โ†‘3))) = (4 ยท -(๐‘€โ†‘3)))
183 4cn 12239 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„‚
184 mulneg2 11593 . . . . . . . . . . 11 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท -(๐‘€โ†‘3)) = -(4 ยท (๐‘€โ†‘3)))
185183, 68, 184sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท -(๐‘€โ†‘3)) = -(4 ยท (๐‘€โ†‘3)))
186182, 185eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (1 ยท -(๐‘€โ†‘3))) = -(4 ยท (๐‘€โ†‘3)))
187 sq2 14102 . . . . . . . . . . 11 (2โ†‘2) = 4
188187oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((2โ†‘2) ยท (๐‘€โ†‘3)) = (4 ยท (๐‘€โ†‘3))
189188negeqi 11395 . . . . . . . . 9 -((2โ†‘2) ยท (๐‘€โ†‘3)) = -(4 ยท (๐‘€โ†‘3))
190186, 189eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (1 ยท -(๐‘€โ†‘3))) = -((2โ†‘2) ยท (๐‘€โ†‘3)))
191180, 190oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (1 ยท -(๐‘€โ†‘3)))) = (((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) โˆ’ -((2โ†‘2) ยท (๐‘€โ†‘3))))
192165a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
193192, 66, 68adddid 11180 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘2) ยท ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3))) = (((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) + ((2โ†‘2) ยท (๐‘€โ†‘3))))
194170, 191, 1933eqtr4rd 2788 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘2) ยท ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3))) = ((๐‘„โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (1 ยท -(๐‘€โ†‘3)))))
195163, 164, 1943eqtrd 2781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐บ)โ†‘2) = ((๐‘„โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (1 ยท -(๐‘€โ†‘3)))))
196155, 157, 58, 158, 84, 161, 195quad2 26192 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 ยท ((๐‘ˆโ†‘3)โ†‘2)) + ((๐‘„ ยท (๐‘ˆโ†‘3)) + -(๐‘€โ†‘3))) = 0 โ†” ((๐‘ˆโ†‘3) = ((-๐‘„ + (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)) โˆจ (๐‘ˆโ†‘3) = ((-๐‘„ โˆ’ (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)))))
197154, 196mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆโ†‘3) = ((-๐‘„ + (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)) โˆจ (๐‘ˆโ†‘3) = ((-๐‘„ โˆ’ (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1))))
198 2t1e2 12317 . . . . . . 7 (2 ยท 1) = 2
199198oveq2i 7369 . . . . . 6 ((-๐‘„ + (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)) = ((-๐‘„ + (2 ยท ๐บ)) / 2)
20058negcld 11500 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐‘„ โˆˆ โ„‚)
201200, 161, 172, 174divdird 11970 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘„ + (2 ยท ๐บ)) / 2) = ((-๐‘„ / 2) + ((2 ยท ๐บ) / 2)))
20257negeqd 11396 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -๐‘ = -(๐‘„ / 2))
20358, 172, 174divnegd 11945 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘„ / 2) = (-๐‘„ / 2))
204202, 203eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘„ / 2) = -๐‘)
20556, 172, 174divcan3d 11937 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐บ) / 2) = ๐บ)
206204, 205oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘„ / 2) + ((2 ยท ๐บ) / 2)) = (-๐‘ + ๐บ))
20760negcld 11500 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„‚)
208207, 56addcomd 11358 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘ + ๐บ) = (๐บ + -๐‘))
20956, 60negsubd 11519 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐บ + -๐‘) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
210208, 209eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘ + ๐บ) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
211201, 206, 2103eqtrd 2781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘„ + (2 ยท ๐บ)) / 2) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
212199, 211eqtrid 2789 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘„ + (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
213212eqeq2d 2748 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆโ†‘3) = ((-๐‘„ + (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)) โ†” (๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘)))
214198oveq2i 7369 . . . . . 6 ((-๐‘„ โˆ’ (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)) = ((-๐‘„ โˆ’ (2 ยท ๐บ)) / 2)
215204, 205oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘„ / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐บ) / 2)) = (-๐‘ โˆ’ ๐บ))
216200, 161, 172, 174divsubdird 11971 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘„ โˆ’ (2 ยท ๐บ)) / 2) = ((-๐‘„ / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐บ) / 2)))
21756, 60addcomd 11358 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ + ๐‘) = (๐‘ + ๐บ))
218217negeqd 11396 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(๐บ + ๐‘) = -(๐‘ + ๐บ))
21960, 56negdi2d 11527 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘ + ๐บ) = (-๐‘ โˆ’ ๐บ))
220218, 219eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(๐บ + ๐‘) = (-๐‘ โˆ’ ๐บ))
221215, 216, 2203eqtr4d 2787 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘„ โˆ’ (2 ยท ๐บ)) / 2) = -(๐บ + ๐‘))
222214, 221eqtrid 2789 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐‘„ โˆ’ (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)) = -(๐บ + ๐‘))
223222eqeq2d 2748 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆโ†‘3) = ((-๐‘„ โˆ’ (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)) โ†” (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)))
224213, 223orbi12d 918 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ˆโ†‘3) = ((-๐‘„ + (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1)) โˆจ (๐‘ˆโ†‘3) = ((-๐‘„ โˆ’ (2 ยท ๐บ)) / (2 ยท 1))) โ†” ((๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘) โˆจ (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘))))
225197, 224mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆโ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘) โˆจ (๐‘ˆโ†‘3) = -(๐บ + ๐‘)))
22636, 144, 225mpjaodan 958 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ÿโ†‘3) = 1 โˆง ๐‘‹ = ((๐‘Ÿ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐‘€ / (๐‘Ÿ ยท ๐‘‡)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  3c3 12210  4c4 12211  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โ†‘cexp 13968   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-dvds 16138
This theorem is referenced by:  dcubic  26199
  Copyright terms: Public domain W3C validator