Theorem spanssoc 29120

Description: The span of a subset of Hilbert space is less than or equal to its closure (double orthogonal complement). (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanssoc	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem spanssoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocss 29056	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2		ocss 29056	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
4		ococss 29064	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
5		spanss 29119	. . 3 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))))
6	3, 4, 5	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))))
7		ocsh 29054	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ )
8		spanid 29118	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ → (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))) = (⊥‘(⊥‘𝐴)))
9	1, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))) = (⊥‘(⊥‘𝐴)))
10	6, 9	sseqtrd 4006	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ‘cfv 6349   ℋchba 28690   S_ℋ csh 28699  ⊥cort 28701  spancspn 28703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-hilex 28770  ax-hfvadd 28771  ax-hv0cl 28774  ax-hfvmul 28776  ax-hvmul0 28781  ax-hfi 28850  ax-his1 28853  ax-his2 28854  ax-his3 28855

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-hlim 28743  df-sh 28978  df-ch 28992  df-oc 29023  df-span 29080

This theorem is referenced by:  spansni  29328