Theorem spanssoc 31833

Description: The span of a subset of Hilbert space is less than or equal to its closure (double orthogonal complement). (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanssoc	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem spanssoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocss 31769	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2		ocss 31769	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
4		ococss 31777	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
5		spanss 31832	. . 3 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))))
7		ocsh 31767	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ )
8		spanid 31831	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ → (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))) = (⊥‘(⊥‘𝐴)))
9	1, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))) = (⊥‘(⊥‘𝐴)))
10	6, 9	sseqtrd 3967	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533   ℋchba 31403   S_ℋ csh 31412  ⊥cort 31414  spancspn 31416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hv0cl 31487  ax-hfvmul 31489  ax-hvmul0 31494  ax-hfi 31563  ax-his1 31566  ax-his2 31567  ax-his3 31568

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-hlim 31456  df-sh 31691  df-ch 31705  df-oc 31736  df-span 31793

This theorem is used by:  spansni  32041