Theorem spanssoc 31963

Description: The span of a subset of Hilbert space is less than or equal to its closure (double orthogonal complement). (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanssoc	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem spanssoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocss 31899	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2		ocss 31899	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
4		ococss 31907	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
5		spanss 31962	. . 3 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))))
7		ocsh 31897	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ )
8		spanid 31961	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ → (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))) = (⊥‘(⊥‘𝐴)))
9	1, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))) = (⊥‘(⊥‘𝐴)))
10	6, 9	sseqtrd 3948	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6546   ℋchba 31533   S_ℋ csh 31542  ⊥cort 31544  spancspn 31546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-hilex 31613  ax-hfvadd 31614  ax-hv0cl 31617  ax-hfvmul 31619  ax-hvmul0 31624  ax-hfi 31693  ax-his1 31696  ax-his2 31697  ax-his3 31698

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-hlim 31586  df-sh 31821  df-ch 31835  df-oc 31866  df-span 31923

This theorem is used by:  spansni  32171