Theorem spanssoc 29612

Description: The span of a subset of Hilbert space is less than or equal to its closure (double orthogonal complement). (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanssoc	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem spanssoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocss 29548	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
2		ocss 29548	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ)
4		ococss 29556	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
5		spanss 29611	. . 3 ⊢ (((⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴))) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))))
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))))
7		ocsh 29546	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ )
8		spanid 29610	. . 3 ⊢ ((⊥‘(⊥‘𝐴)) ∈ Sℋ → (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))) = (⊥‘(⊥‘𝐴)))
9	1, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘(⊥‘(⊥‘𝐴))) = (⊥‘(⊥‘𝐴)))
10	6, 9	sseqtrd 3957	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418   ℋchba 29182   S_ℋ csh 29191  ⊥cort 29193  spancspn 29195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hv0cl 29266  ax-hfvmul 29268  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-hlim 29235  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-span 29572

This theorem is referenced by:  spansni  29820