Theorem ococss 31321

Description: Inclusion in complement of complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ococss	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem ococss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3988	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ))
2		ocorth 31319	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
3	2	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
4	3	ralrimdv 3149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
5	1, 4	jcad 512	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
6		ocss 31313	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
7		ocel 31309	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
9	5, 8	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
10	9	ssrdv 4000	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058   ⊆ wss 3962  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152   ℋchba 30947   ·_ih csp 30950  ⊥cort 30958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hv0cl 31031  ax-hfvmul 31033  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sh 31235  df-oc 31280

This theorem is referenced by:  shococss  31322  occon3  31325  hsupunss  31371  spanssoc  31377  shunssji  31397  ococin  31436  sshhococi  31574  h1did  31579  spansnpji  31606  pjoccoi  32206