HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ococss 28703
Description: Inclusion in complement of complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococss (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem ococss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3821 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ))
2 ocorth 28701 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝑦𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
32expd 406 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
43ralrimdv 3177 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴 → ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
51, 4jcad 508 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴 → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
6 ocss 28695 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
7 ocel 28691 . . . 4 ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
86, 7syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
95, 8sylibrd 251 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
109ssrdv 3833 1 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  wss 3798  cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  chba 28327   ·ih csp 28330  cort 28338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hv0cl 28411  ax-hfvmul 28413  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-2 11421  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sh 28615  df-oc 28660
This theorem is referenced by:  shococss  28704  occon3  28707  hsupunss  28753  spanssoc  28759  shunssji  28779  ococin  28818  sshhococi  28956  h1did  28961  spansnpji  28988  pjoccoi  29588
  Copyright terms: Public domain W3C validator