Theorem ococss 30979

Description: Inclusion in complement of complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ococss	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem ococss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3975	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ))
2		ocorth 30977	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
3	2	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
4	3	ralrimdv 3151	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
5	1, 4	jcad 512	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
6		ocss 30971	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
7		ocel 30967	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
9	5, 8	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
10	9	ssrdv 3988	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116   ℋchba 30605   ·_ih csp 30608  ⊥cort 30616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-hilex 30685  ax-hfvadd 30686  ax-hv0cl 30689  ax-hfvmul 30691  ax-hvmul0 30696  ax-hfi 30765  ax-his1 30768  ax-his2 30769  ax-his3 30770

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-2 12282  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sh 30893  df-oc 30938

This theorem is referenced by:  shococss  30980  occon3  30983  hsupunss  31029  spanssoc  31035  shunssji  31055  ococin  31094  sshhococi  31232  h1did  31237  spansnpji  31264  pjoccoi  31864