HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ococss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ococss 28998
Description: Inclusion in complement of complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ococss (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem ococss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3960 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ))
2 ocorth 28996 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝑦𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
32expd 416 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
43ralrimdv 3188 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴 → ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
51, 4jcad 513 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴 → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
6 ocss 28990 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
7 ocel 28986 . . . 4 ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
86, 7syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
95, 8sylibrd 260 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
109ssrdv 3972 1 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  wss 3935  cfv 6349  (class class class)co 7145  0cc0 10526  chba 28624   ·ih csp 28627  cort 28635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-hilex 28704  ax-hfvadd 28705  ax-hv0cl 28708  ax-hfvmul 28710  ax-hvmul0 28715  ax-hfi 28784  ax-his1 28787  ax-his2 28788  ax-his3 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11689  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sh 28912  df-oc 28957
This theorem is referenced by:  shococss  28999  occon3  29002  hsupunss  29048  spanssoc  29054  shunssji  29074  ococin  29113  sshhococi  29251  h1did  29256  spansnpji  29283  pjoccoi  29883
  Copyright terms: Public domain W3C validator