Theorem ococss 31925

Description: Inclusion in complement of complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ococss	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

Proof of Theorem ococss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3907	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ))
2		ocorth 31923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
3	2	expd 421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
4	3	ralrimdv 3164	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0))
5	1, 4	jcad 522	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
6		ocss 31917	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ)
7		ocel 31913	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐴) ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)(𝑦 ·ih 𝑥) = 0)))
9	5, 8	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐴))))
10	9	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227   ℋchba 31551   ·_ih csp 31554  ⊥cort 31562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hv0cl 31635  ax-hfvmul 31637  ax-hvmul0 31642  ax-hfi 31711  ax-his1 31714  ax-his2 31715  ax-his3 31716

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sh 31839  df-oc 31884

This theorem is used by:  shococss  31926  occon3  31929  hsupunss  31975  spanssoc  31981  shunssji  32001  ococin  32040  sshhococi  32178  h1did  32183  spansnpji  32210  pjoccoi  32810