Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivcan4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofdivcan4 43072
Description: Function analogue of divcan4 11896. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivcan4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝐹f · 𝐺) ∘f / 𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem ofdivcan4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐴𝑉)
2 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32ffnd 6716 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
54ffnd 6716 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺 Fn 𝐴)
6 inidm 4218 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
73, 5, 1, 1, 6offn 7680 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹f · 𝐺) Fn 𝐴)
8 eqidd 2734 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
9 eqidd 2734 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
103, 5, 1, 1, 6, 8, 9ofval 7678 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
11 ffvelcdm 7081 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
122, 11sylan 581 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
13 ffvelcdm 7081 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
14 eldifsn 4790 . . . . 5 ((𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
1513, 14sylib 217 . . . 4 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
164, 15sylan 581 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
17 divcan4 11896 . . . 4 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0) → (((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) / (𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
18173expb 1121 . . 3 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)) → (((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) / (𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
1912, 16, 18syl2anc 585 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) / (𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
201, 7, 5, 3, 10, 9, 19offveq 7691 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝐹f · 𝐺) ∘f / 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3945  {csn 4628  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  f cof 7665  cc 11105  0cc0 11107   · cmul 11112   / cdiv 11868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869
This theorem is referenced by:  expgrowth  43080  binomcxplemnotnn0  43101
  Copyright terms: Public domain W3C validator