Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivcan4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ofdivcan4 43086
Description: Function analogue of divcan4 11899. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivcan4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∘f / 𝐺) = 𝐹)
Proof of Theorem ofdivcan4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
32ffnd 6719 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
54ffnd 6719 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
6 inidm 4219 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
73, 5, 1, 1, 6offn 7683 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) Fn 𝐴)
8 eqidd 2734 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
9 eqidd 2734 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
103, 5, 1, 1, 6, 8, 9ofval 7681 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
11 ffvelcdm 7084 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
122, 11sylan 581 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
13 ffvelcdm 7084 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
14 eldifsn 4791 . . . . 5 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
1513, 14sylib 217 . . . 4 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
164, 15sylan 581 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
17 divcan4 11899 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
18173expb 1121 . . 3 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
1912, 16, 18syl2anc 585 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
201, 7, 5, 3, 10, 9, 19offveq 7694 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∘f / 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946  {csn 4629  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  0cc0 11110   Β· cmul 11115   / cdiv 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872
This theorem is referenced by:  expgrowth  43094  binomcxplemnotnn0  43115
  Copyright terms: Public domain W3C validator