Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivdiv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ofdivdiv2 43830
Description: Function analogue of divdiv2 11956. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivdiv2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺))
Proof of Theorem ofdivdiv2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 simplr 767 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
32ffnd 6718 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4 simprl 769 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
54ffnd 6718 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
6 simprr 771 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
76ffnd 6718 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐻 Fn 𝐴)
8 inidm 4213 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
95, 7, 1, 1, 8offn 7695 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐺 ∘f / 𝐻) Fn 𝐴)
103, 7, 1, 1, 8offn 7695 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐻) Fn 𝐴)
1110, 5, 1, 1, 8offn 7695 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12 eqidd 2726 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
13 eqidd 2726 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯) = ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯))
14 ffvelcdm 7086 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
152, 14sylan 578 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
16 ffvelcdm 7086 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
17 eldifsn 4786 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
1816, 17sylib 217 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
194, 18sylan 578 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
20 ffvelcdm 7086 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
21 eldifsn 4786 . . . . . 6 ((π»β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0))
2220, 21sylib 217 . . . . 5 ((𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0))
236, 22sylan 578 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0))
24 divdiv2 11956 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯))) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)))
2515, 19, 23, 24syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯))) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)))
26 eqidd 2726 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
27 eqidd 2726 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
285, 7, 1, 1, 8, 26, 27ofval 7693 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯)))
2928oveq2d 7432 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) / ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯))))
303, 7, 1, 1, 8, 12, 27ofval 7693 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐻)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)))
3110, 5, 1, 1, 8, 30, 26ofval 7693 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)))
3225, 29, 313eqtr4d 2775 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯)) = (((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯))
331, 3, 9, 11, 12, 13, 32offveq 7707 1 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3936  {csn 4624  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  β„‚cc 11136  0cc0 11138   Β· cmul 11143   / cdiv 11901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator