Theorem ofdivdiv2 41835

Description: Function analogue of divdiv2 11617. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofdivdiv2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivdiv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 763	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simplr 765	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	ffnd 6585	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		simprl 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
5	4	ffnd 6585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺 Fn 𝐴)
6		simprr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
7	6	ffnd 6585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻 Fn 𝐴)
8		inidm 4149	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
9	5, 7, 1, 1, 8	offn 7524	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐺 ∘f / 𝐻) Fn 𝐴)
10	3, 7, 1, 1, 8	offn 7524	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹 ∘f · 𝐻) Fn 𝐴)
11	10, 5, 1, 1, 8	offn 7524	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → ((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12		eqidd 2739	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqidd 2739	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥))
14		ffvelrn 6941	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
15	2, 14	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
16		ffvelrn 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		eldifsn 4717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
18	16, 17	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
19	4, 18	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
20		ffvelrn 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21		eldifsn 4717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐻‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻‘𝑥) ≠ 0))
22	20, 21	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻‘𝑥) ≠ 0))
23	6, 22	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻‘𝑥) ≠ 0))
24		divdiv2 11617	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝐻‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺‘𝑥) / (𝐻‘𝑥))) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) / (𝐺‘𝑥)))
25	15, 19, 23, 24	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺‘𝑥) / (𝐻‘𝑥))) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) / (𝐺‘𝑥)))
26		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
27		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
28	5, 7, 1, 1, 8, 26, 27	ofval 7522	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) / (𝐻‘𝑥)))
29	28	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺‘𝑥) / (𝐻‘𝑥))))
30	3, 7, 1, 1, 8, 12, 27	ofval 7522	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
31	10, 5, 1, 1, 8, 30, 26	ofval 7522	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺)‘𝑥) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) / (𝐺‘𝑥)))
32	25, 29, 31	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥)) = (((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺)‘𝑥))
33	1, 3, 9, 11, 12, 13, 32	offveq 7535	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by: (None)