Theorem ofdivdiv2 45021

Description: Function analogue of divdiv2 11928. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofdivdiv2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivdiv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3	2	ffnd 6708	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹 Fn 𝐴)
4		simprl 782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
5	4	ffnd 6708	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺 Fn 𝐴)
6		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
7	6	ffnd 6708	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻 Fn 𝐴)
8		inidm 4180	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
9	5, 7, 1, 1, 8	offn 7689	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐺 ∘f / 𝐻) Fn 𝐴)
10	3, 7, 1, 1, 8	offn 7689	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹 ∘f · 𝐻) Fn 𝐴)
11	10, 5, 1, 1, 8	offn 7689	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → ((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
13		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥))
14		ffvelcdm 7078	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
15	2, 14	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
16		ffvelcdm 7078	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17		eldifsn 4754	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
18	16, 17	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
19	4, 18	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
20		ffvelcdm 7078	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21		eldifsn 4754	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐻‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻‘𝑥) ≠ 0))
22	20, 21	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻‘𝑥) ≠ 0))
23	6, 22	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻‘𝑥) ≠ 0))
24		divdiv2 11928	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝐻‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺‘𝑥) / (𝐻‘𝑥))) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) / (𝐺‘𝑥)))
25	15, 19, 23, 24	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺‘𝑥) / (𝐻‘𝑥))) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) / (𝐺‘𝑥)))
26		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
27		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑥))
28	5, 7, 1, 1, 8, 26, 27	ofval 7687	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) / (𝐻‘𝑥)))
29	28	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺‘𝑥) / (𝐻‘𝑥))))
30	3, 7, 1, 1, 8, 12, 27	ofval 7687	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
31	10, 5, 1, 1, 8, 30, 26	ofval 7687	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺)‘𝑥) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) / (𝐺‘𝑥)))
32	25, 29, 31	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)‘𝑥)) = (((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺)‘𝑥))
33	1, 3, 9, 11, 12, 13, 32	offveq 7702	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f · 𝐻) ∘f / 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3903  {csn 4590  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674  ℂcc 11099  0cc0 11101   · cmul 11106   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by: (None)