Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivdiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofdivdiv2 42598
Description: Function analogue of divdiv2 11867. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivdiv2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹f / (𝐺f / 𝐻)) = ((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivdiv2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐴𝑉)
2 simplr 767 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32ffnd 6669 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 simprl 769 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
54ffnd 6669 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺 Fn 𝐴)
6 simprr 771 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
76ffnd 6669 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻 Fn 𝐴)
8 inidm 4178 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
95, 7, 1, 1, 8offn 7630 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐺f / 𝐻) Fn 𝐴)
103, 7, 1, 1, 8offn 7630 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹f · 𝐻) Fn 𝐴)
1110, 5, 1, 1, 8offn 7630 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → ((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12 eqidd 2737 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqidd 2737 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥))
14 ffvelcdm 7032 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
152, 14sylan 580 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
16 ffvelcdm 7032 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17 eldifsn 4747 . . . . . 6 ((𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
1816, 17sylib 217 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
194, 18sylan 580 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
20 ffvelcdm 7032 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21 eldifsn 4747 . . . . . 6 ((𝐻𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0))
2220, 21sylib 217 . . . . 5 ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0))
236, 22sylan 580 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0))
24 divdiv2 11867 . . . 4 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥))) = (((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)) / (𝐺𝑥)))
2515, 19, 23, 24syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥))) = (((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)) / (𝐺𝑥)))
26 eqidd 2737 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
27 eqidd 2737 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑥))
285, 7, 1, 1, 8, 26, 27ofval 7628 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥)))
2928oveq2d 7373 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥))))
303, 7, 1, 1, 8, 12, 27ofval 7628 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)))
3110, 5, 1, 1, 8, 30, 26ofval 7628 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺)‘𝑥) = (((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)) / (𝐺𝑥)))
3225, 29, 313eqtr4d 2786 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥)) = (((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺)‘𝑥))
331, 3, 9, 11, 12, 13, 32offveq 7641 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹f / (𝐺f / 𝐻)) = ((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  {csn 4586  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  0cc0 11051   · cmul 11056   / cdiv 11812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator