Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivdiv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ofdivdiv2 43169
Description: Function analogue of divdiv2 11928. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivdiv2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺))
Proof of Theorem ofdivdiv2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 simplr 767 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
32ffnd 6718 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4 simprl 769 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
54ffnd 6718 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
6 simprr 771 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
76ffnd 6718 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐻 Fn 𝐴)
8 inidm 4218 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
95, 7, 1, 1, 8offn 7685 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐺 ∘f / 𝐻) Fn 𝐴)
103, 7, 1, 1, 8offn 7685 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐻) Fn 𝐴)
1110, 5, 1, 1, 8offn 7685 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12 eqidd 2733 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
13 eqidd 2733 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯) = ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯))
14 ffvelcdm 7083 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
152, 14sylan 580 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
16 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
17 eldifsn 4790 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
1816, 17sylib 217 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
194, 18sylan 580 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
20 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
21 eldifsn 4790 . . . . . 6 ((π»β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0))
2220, 21sylib 217 . . . . 5 ((𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0))
236, 22sylan 580 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0))
24 divdiv2 11928 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯))) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)))
2515, 19, 23, 24syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯))) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)))
26 eqidd 2733 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
27 eqidd 2733 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
285, 7, 1, 1, 8, 26, 27ofval 7683 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯)))
2928oveq2d 7427 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) / ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯))))
303, 7, 1, 1, 8, 12, 27ofval 7683 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐻)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)))
3110, 5, 1, 1, 8, 30, 26ofval 7683 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)))
3225, 29, 313eqtr4d 2782 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯)) = (((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯))
331, 3, 9, 11, 12, 13, 32offveq 7696 1 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945  {csn 4628  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  0cc0 11112   Β· cmul 11117   / cdiv 11873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator