Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivdiv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ofdivdiv2 43072
Description: Function analogue of divdiv2 11922. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivdiv2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺))
Proof of Theorem ofdivdiv2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2 simplr 767 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
32ffnd 6715 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
4 simprl 769 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
54ffnd 6715 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
6 simprr 771 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))
76ffnd 6715 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ 𝐻 Fn 𝐴)
8 inidm 4217 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
95, 7, 1, 1, 8offn 7679 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐺 ∘f / 𝐻) Fn 𝐴)
103, 7, 1, 1, 8offn 7679 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐻) Fn 𝐴)
1110, 5, 1, 1, 8offn 7679 . 2 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12 eqidd 2733 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
13 eqidd 2733 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯) = ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯))
14 ffvelcdm 7080 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
152, 14sylan 580 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
16 ffvelcdm 7080 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
17 eldifsn 4789 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
1816, 17sylib 217 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
194, 18sylan 580 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0))
20 ffvelcdm 7080 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
21 eldifsn 4789 . . . . . 6 ((π»β€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0))
2220, 21sylib 217 . . . . 5 ((𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0))
236, 22sylan 580 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0))
24 divdiv2 11922 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ ((π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π»β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯))) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)))
2515, 19, 23, 24syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯))) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)))
26 eqidd 2733 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
27 eqidd 2733 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
285, 7, 1, 1, 8, 26, 27ofval 7677 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯)))
2928oveq2d 7421 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) / ((πΊβ€˜π‘₯) / (π»β€˜π‘₯))))
303, 7, 1, 1, 8, 12, 27ofval 7677 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐻)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)))
3110, 5, 1, 1, 8, 30, 26ofval 7677 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) / (πΊβ€˜π‘₯)))
3225, 29, 313eqtr4d 2782 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / ((𝐺 ∘f / 𝐻)β€˜π‘₯)) = (((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺)β€˜π‘₯))
331, 3, 9, 11, 12, 13, 32offveq 7690 1 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐺:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟢(β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝐹 ∘f / (𝐺 ∘f / 𝐻)) = ((𝐹 ∘f Β· 𝐻) ∘f / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  0cc0 11106   Β· cmul 11111   / cdiv 11867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator