Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivdiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofdivdiv2 44324
Description: Function analogue of divdiv2 11977. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivdiv2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹f / (𝐺f / 𝐻)) = ((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivdiv2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐴𝑉)
2 simplr 769 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32ffnd 6738 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 simprl 771 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
54ffnd 6738 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺 Fn 𝐴)
6 simprr 773 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
76ffnd 6738 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻 Fn 𝐴)
8 inidm 4235 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
95, 7, 1, 1, 8offn 7710 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐺f / 𝐻) Fn 𝐴)
103, 7, 1, 1, 8offn 7710 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹f · 𝐻) Fn 𝐴)
1110, 5, 1, 1, 8offn 7710 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → ((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺) Fn 𝐴)
12 eqidd 2736 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 eqidd 2736 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥))
14 ffvelcdm 7101 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
152, 14sylan 580 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
16 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17 eldifsn 4791 . . . . . 6 ((𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
1816, 17sylib 218 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
194, 18sylan 580 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
20 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21 eldifsn 4791 . . . . . 6 ((𝐻𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0))
2220, 21sylib 218 . . . . 5 ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0))
236, 22sylan 580 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0))
24 divdiv2 11977 . . . 4 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥))) = (((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)) / (𝐺𝑥)))
2515, 19, 23, 24syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥))) = (((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)) / (𝐺𝑥)))
26 eqidd 2736 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
27 eqidd 2736 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑥))
285, 7, 1, 1, 8, 26, 27ofval 7708 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥)))
2928oveq2d 7447 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥))))
303, 7, 1, 1, 8, 12, 27ofval 7708 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)))
3110, 5, 1, 1, 8, 30, 26ofval 7708 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺)‘𝑥) = (((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)) / (𝐺𝑥)))
3225, 29, 313eqtr4d 2785 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺f / 𝐻)‘𝑥)) = (((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺)‘𝑥))
331, 3, 9, 11, 12, 13, 32offveq 7723 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹f / (𝐺f / 𝐻)) = ((𝐹f · 𝐻) ∘f / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator