MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofmulrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofmulrt 26338
Description: The set of roots of a product is the union of the roots of the terms. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofmulrt ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) = ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})))

Proof of Theorem ofmulrt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffnd 6738 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
43ffnd 6738 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴𝑉)
6 inidm 4235 . . . . . . 7 (𝐴𝐴) = 𝐴
7 eqidd 2736 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
8 eqidd 2736 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
92, 4, 5, 5, 6, 7, 8ofval 7708 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
109eqeq1d 2737 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = 0))
111ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
123ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1311, 12mul0ord 11911 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = 0 ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0)))
1410, 13bitrd 279 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0)))
1514pm5.32da 579 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0))))
162, 4, 5, 5, 6offn 7710 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹f · 𝐺) Fn 𝐴)
17 fniniseg 7080 . . . 4 ((𝐹f · 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
19 fniniseg 7080 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)))
202, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)))
21 fniniseg 7080 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
224, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
2320, 22orbi12d 918 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (𝐺 “ {0})) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∨ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0))))
24 elun 4163 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (𝐺 “ {0})))
25 andi 1009 . . . 4 ((𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0)) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∨ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
2623, 24, 253bitr4g 314 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0))))
2715, 18, 263bitr4d 311 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0}))))
2827eqrdv 2733 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) = ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  {csn 4631  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  plyrem  26362  fta1lem  26364  vieta1lem2  26368
  Copyright terms: Public domain W3C validator