Theorem ofmulrt 26219

Description: The set of roots of a product is the union of the roots of the terms. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofmulrt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Proof of Theorem ofmulrt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffnd 6659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
4	3	ffnd 6659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 4176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
8		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
9	2, 4, 5, 5, 6, 7, 8	ofval 7629	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
10	9	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0))
11	1	ffvelcdmda 7025	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
12	3	ffvelcdmda 7025	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 12	mul0ord 11774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
14	10, 13	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
15	14	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
16	2, 4, 5, 5, 6	offn 7631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴)
17		fniniseg 7001	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
19		fniniseg 7001	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
21		fniniseg 7001	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
23	20, 22	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))))
24		elun 4102	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})))
25		andi 1009	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
26	23, 24, 25	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
27	15, 18, 26	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0}))))
28	27	eqrdv 2731	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3896  {csn 4577  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ∘_f cof 7616  ℂcc 11013  0cc0 11015   · cmul 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356

This theorem is referenced by:  plyrem  26243  fta1lem  26245  vieta1lem2  26249