Theorem ofmulrt 26171

Description: The set of roots of a product is the union of the roots of the terms. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofmulrt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Proof of Theorem ofmulrt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffnd 6712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
4	3	ffnd 6712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 4213	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		eqidd 2727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
8		eqidd 2727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
9	2, 4, 5, 5, 6, 7, 8	ofval 7678	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
10	9	eqeq1d 2728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0))
11	1	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
12	3	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 12	mul0ord 11868	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
14	10, 13	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
15	14	pm5.32da 578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
16	2, 4, 5, 5, 6	offn 7680	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴)
17		fniniseg 7055	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
19		fniniseg 7055	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
21		fniniseg 7055	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
23	20, 22	orbi12d 915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))))
24		elun 4143	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})))
25		andi 1004	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
26	23, 24, 25	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
27	15, 18, 26	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0}))))
28	27	eqrdv 2724	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3941  {csn 4623  ^◡ccnv 5668   “ cima 5672   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7665  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  plyrem  26195  fta1lem  26197  vieta1lem2  26201