MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofmulrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofmulrt 26324
Description: The set of roots of a product is the union of the roots of the terms. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofmulrt ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) = ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})))

Proof of Theorem ofmulrt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffnd 6736 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
43ffnd 6736 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴𝑉)
6 inidm 4226 . . . . . . 7 (𝐴𝐴) = 𝐴
7 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
8 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
92, 4, 5, 5, 6, 7, 8ofval 7709 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
109eqeq1d 2738 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = 0))
111ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
123ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1311, 12mul0ord 11914 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = 0 ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0)))
1410, 13bitrd 279 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0)))
1514pm5.32da 579 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0))))
162, 4, 5, 5, 6offn 7711 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹f · 𝐺) Fn 𝐴)
17 fniniseg 7079 . . . 4 ((𝐹f · 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
19 fniniseg 7079 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)))
202, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)))
21 fniniseg 7079 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
224, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
2320, 22orbi12d 918 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (𝐺 “ {0})) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∨ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0))))
24 elun 4152 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (𝐺 “ {0})))
25 andi 1009 . . . 4 ((𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0)) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∨ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
2623, 24, 253bitr4g 314 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0))))
2715, 18, 263bitr4d 311 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0}))))
2827eqrdv 2734 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹f · 𝐺) “ {0}) = ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3948  {csn 4625  ccnv 5683  cima 5687   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  f cof 7696  cc 11154  0cc0 11156   · cmul 11161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496
This theorem is referenced by:  plyrem  26348  fta1lem  26350  vieta1lem2  26354
  Copyright terms: Public domain W3C validator