Theorem ofmulrt 26217

Description: The set of roots of a product is the union of the roots of the terms. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofmulrt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Proof of Theorem ofmulrt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffnd 6652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
4	3	ffnd 6652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 4177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
8		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
9	2, 4, 5, 5, 6, 7, 8	ofval 7621	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
10	9	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0))
11	1	ffvelcdmda 7017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
12	3	ffvelcdmda 7017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 12	mul0ord 11765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
14	10, 13	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
15	14	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
16	2, 4, 5, 5, 6	offn 7623	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴)
17		fniniseg 6993	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
19		fniniseg 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
21		fniniseg 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
23	20, 22	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))))
24		elun 4103	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})))
25		andi 1009	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
26	23, 24, 25	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
27	15, 18, 26	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0}))))
28	27	eqrdv 2729	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3900  {csn 4576  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608  ℂcc 11004  0cc0 11006   · cmul 11011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  plyrem  26241  fta1lem  26243  vieta1lem2  26247