Theorem ofmulrt 26236

Description: The set of roots of a product is the union of the roots of the terms. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofmulrt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Proof of Theorem ofmulrt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffnd 6728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
4	3	ffnd 6728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 4221	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		eqidd 2729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
8		eqidd 2729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
9	2, 4, 5, 5, 6, 7, 8	ofval 7702	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
10	9	eqeq1d 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0))
11	1	ffvelcdmda 7099	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
12	3	ffvelcdmda 7099	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 12	mul0ord 11902	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
14	10, 13	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
15	14	pm5.32da 577	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
16	2, 4, 5, 5, 6	offn 7704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴)
17		fniniseg 7074	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
19		fniniseg 7074	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
21		fniniseg 7074	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
23	20, 22	orbi12d 916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))))
24		elun 4149	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})))
25		andi 1005	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
26	23, 24, 25	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
27	15, 18, 26	3bitr4d 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0}))))
28	27	eqrdv 2726	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3947  {csn 4632  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685   Fn wfn 6548  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7689  ℂcc 11144  0cc0 11146   · cmul 11151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485

This theorem is referenced by:  plyrem  26260  fta1lem  26262  vieta1lem2  26266