Theorem ofmulrt 25347

Description: The set of roots of a product is the union of the roots of the terms. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofmulrt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Proof of Theorem ofmulrt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffnd 6585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
4	3	ffnd 6585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
5		simp1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 4149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
8		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
9	2, 4, 5, 5, 6, 7, 8	ofval 7522	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
10	9	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0))
11	1	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
12	3	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	11, 12	mul0ord 11555	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
14	10, 13	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)))
15	14	pm5.32da 578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
16	2, 4, 5, 5, 6	offn 7524	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴)
17		fniniseg 6919	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘f · 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
19		fniniseg 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0)))
21		fniniseg 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
22	4, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
23	20, 22	orbi12d 915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0))))
24		elun 4079	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ {0})))
25		andi 1004	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) = 0) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) = 0)))
26	23, 24, 25	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) = 0 ∨ (𝐺‘𝑥) = 0))))
27	15, 18, 26	3bitr4d 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0}))))
28	27	eqrdv 2736	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (◡(𝐹 ∘f · 𝐺) “ {0}) = ((◡𝐹 “ {0}) ∪ (◡𝐺 “ {0})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881  {csn 4558  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  plyrem  25370  fta1lem  25372  vieta1lem2  25376