MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fta1lem 25820
Description: Lemma for fta1 25821. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1.1 𝑅 = (◑𝐹 β€œ {0})
fta1.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
fta1.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„‚) βˆ– {0𝑝}))
fta1.4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) = (𝐷 + 1))
fta1.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}))
fta1.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘” ∈ ((Polyβ€˜β„‚) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘”) = 𝐷 β†’ ((◑𝑔 β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(◑𝑔 β€œ {0})) ≀ (degβ€˜π‘”))))
Assertion
Ref Expression
fta1lem (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ Fin ∧ (β™―β€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΉ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔)   𝑅(𝑔)
Proof of Theorem fta1lem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fta1.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„‚) βˆ– {0𝑝}))
2 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„‚) βˆ– {0𝑝}) ↔ (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝))
31, 2sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝))
43simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5 fta1.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}))
6 plyf 25712 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
7 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn β„‚)
8 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn β„‚ β†’ (𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0)))
94, 6, 7, 84syl 19 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {0}) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0)))
105, 9mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0))
1110simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1210simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
13 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))
1413facth 25819 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐹 = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))))
154, 11, 12, 14syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))))
1615cnveqd 5876 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 = β—‘((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))))
1716imaeq1d 6059 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {0}) = (β—‘((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) β€œ {0}))
18 cnex 11191 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
20 ssid 4005 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† β„‚
21 ax-1cn 11168 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
22 plyid 25723 . . . . . . . . 9 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚))
2320, 21, 22mp2an 691 . . . . . . . 8 Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚)
24 plyconst 25720 . . . . . . . . 9 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
2520, 11, 24sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
26 plysubcl 25736 . . . . . . . 8 ((Xp ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
2723, 25, 26sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
28 plyf 25712 . . . . . . 7 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})):β„‚βŸΆβ„‚)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})):β„‚βŸΆβ„‚)
3013plyremlem 25817 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β€œ {0}) = {𝐴}))
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β€œ {0}) = {𝐴}))
3231simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) = 1)
33 ax-1ne0 11179 . . . . . . . . . . 11 1 β‰  0
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 β‰  0)
3532, 34eqnetrd 3009 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β‰  0)
36 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) = (degβ€˜0𝑝))
37 dgr0 25776 . . . . . . . . . . 11 (degβ€˜0𝑝) = 0
3836, 37eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) = 0𝑝 β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) = 0)
3938necon3i 2974 . . . . . . . . 9 ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β‰  0 β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β‰  0𝑝)
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β‰  0𝑝)
41 quotcl2 25815 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β‰  0𝑝) β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
424, 27, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
43 plyf 25712 . . . . . . 7 ((𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))):β„‚βŸΆβ„‚)
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))):β„‚βŸΆβ„‚)
45 ofmulrt 25795 . . . . . 6 ((β„‚ ∈ V ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})):β„‚βŸΆβ„‚ ∧ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))):β„‚βŸΆβ„‚) β†’ (β—‘((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) β€œ {0}) = ((β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})))
4619, 29, 44, 45syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) β€œ {0}) = ((β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})))
4731simp3d 1145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β€œ {0}) = {𝐴})
4847uneq1d 4163 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) = ({𝐴} βˆͺ (β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})))
4917, 46, 483eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {0}) = ({𝐴} βˆͺ (β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})))
50 fta1.1 . . . 4 𝑅 = (◑𝐹 β€œ {0})
51 uncom 4154 . . . 4 ((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴}) = ({𝐴} βˆͺ (β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}))
5249, 50, 513eqtr4g 2798 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = ((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴}))
5321a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
54 dgrcl 25747 . . . . . . . . 9 ((𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) ∈ β„•0)
5542, 54syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) ∈ β„•0)
5655nn0cnd 12534 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) ∈ β„‚)
57 fta1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
5857nn0cnd 12534 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
59 addcom 11400 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚) β†’ (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
6021, 58, 59sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐷) = (𝐷 + 1))
6115fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))))
62 fta1.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) = (𝐷 + 1))
633simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
6415eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) = 𝐹)
65 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
66 mul01 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
6819, 29, 65, 65, 67caofid1 7703 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (β„‚ Γ— {0})) = (β„‚ Γ— {0}))
69 df-0p 25187 . . . . . . . . . . . . . 14 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
7069oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· 0𝑝) = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (β„‚ Γ— {0}))
7168, 70, 693eqtr4g 2798 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· 0𝑝) = 0𝑝)
7263, 64, 713netr4d 3019 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) β‰  ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· 0𝑝))
73 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) = 0𝑝 β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) = ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· 0𝑝))
7473necon3i 2974 . . . . . . . . . . 11 (((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) β‰  ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· 0𝑝) β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β‰  0𝑝)
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β‰  0𝑝)
76 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) = (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))
77 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) = (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))
7876, 77dgrmul 25784 . . . . . . . . . 10 ((((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) β‰  0𝑝) ∧ ((𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))) = ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) + (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))))
7927, 40, 42, 75, 78syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (degβ€˜((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})) ∘f Β· (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))) = ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) + (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))))
8061, 62, 793eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 1) = ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) + (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))))
8132oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) + (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))) = (1 + (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))))
8260, 80, 813eqtrrd 2778 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 + (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))) = (1 + 𝐷))
8353, 56, 58, 82addcanad 11419 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) = 𝐷)
84 fveqeq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β†’ ((degβ€˜π‘”) = 𝐷 ↔ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) = 𝐷))
85 cnveq 5874 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β†’ ◑𝑔 = β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))
8685imaeq1d 6059 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β†’ (◑𝑔 β€œ {0}) = (β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}))
8786eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β†’ ((◑𝑔 β€œ {0}) ∈ Fin ↔ (β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) ∈ Fin))
8886fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β†’ (β™―β€˜(◑𝑔 β€œ {0})) = (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})))
89 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β†’ (degβ€˜π‘”) = (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))))
9088, 89breq12d 5162 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β†’ ((β™―β€˜(◑𝑔 β€œ {0})) ≀ (degβ€˜π‘”) ↔ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))))
9187, 90anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β†’ (((◑𝑔 β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(◑𝑔 β€œ {0})) ≀ (degβ€˜π‘”)) ↔ ((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))))))
9284, 91imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β†’ (((degβ€˜π‘”) = 𝐷 β†’ ((◑𝑔 β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(◑𝑔 β€œ {0})) ≀ (degβ€˜π‘”))) ↔ ((degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) = 𝐷 β†’ ((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))))))
93 fta1.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘” ∈ ((Polyβ€˜β„‚) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘”) = 𝐷 β†’ ((◑𝑔 β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(◑𝑔 β€œ {0})) ≀ (degβ€˜π‘”))))
94 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 ((𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) ∈ ((Polyβ€˜β„‚) βˆ– {0𝑝}) ↔ ((𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β‰  0𝑝))
9542, 75, 94sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) ∈ ((Polyβ€˜β„‚) βˆ– {0𝑝}))
9692, 93, 95rspcdva 3614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))) = 𝐷 β†’ ((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))))))
9783, 96mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))))))
9897simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) ∈ Fin)
99 snfi 9044 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
100 unfi 9172 . . . 4 (((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) β†’ ((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴}) ∈ Fin)
10198, 99, 100sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴}) ∈ Fin)
10252, 101eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
10352fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘…) = (β™―β€˜((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴})))
104 hashcl 14316 . . . . . 6 (((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴}) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴})) ∈ β„•0)
105101, 104syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴})) ∈ β„•0)
106105nn0red 12533 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴})) ∈ ℝ)
107 hashcl 14316 . . . . . . 7 ((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ∈ β„•0)
10898, 107syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ∈ β„•0)
109108nn0red 12533 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ∈ ℝ)
110 peano2re 11387 . . . . 5 ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ∈ ℝ β†’ ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) + 1) ∈ ℝ)
111109, 110syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) + 1) ∈ ℝ)
112 dgrcl 25747 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
1134, 112syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
114113nn0red 12533 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
115 hashun2 14343 . . . . . 6 (((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴})) ≀ ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) + (β™―β€˜{𝐴})))
11698, 99, 115sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴})) ≀ ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) + (β™―β€˜{𝐴})))
117 hashsng 14329 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β™―β€˜{𝐴}) = 1)
11811, 117syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝐴}) = 1)
119118oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) + (β™―β€˜{𝐴})) = ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) + 1))
120116, 119breqtrd 5175 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴})) ≀ ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) + 1))
12157nn0red 12533 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
122 1red 11215 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
12397simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴})))))
124123, 83breqtrd 5175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) ≀ 𝐷)
125109, 121, 122, 124leadd1dd 11828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) + 1) ≀ (𝐷 + 1))
126125, 62breqtrrd 5177 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0})) + 1) ≀ (degβ€˜πΉ))
127106, 111, 114, 120, 126letrd 11371 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((β—‘(𝐹 quot (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))) β€œ {0}) βˆͺ {𝐴})) ≀ (degβ€˜πΉ))
128103, 127eqbrtrd 5171 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΉ))
129102, 128jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ Fin ∧ (β™―β€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  β™―chash 14290  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  Xpcidp 25699  degcdgr 25701   quot cquot 25803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-quot 25804
This theorem is referenced by:  fta1  25821
  Copyright terms: Public domain W3C validator