MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul0or Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plymul0or 26031
Description: Polynomial multiplication has no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plymul0or ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝)))
Proof of Theorem plymul0or
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcl 25983 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
2 dgrcl 25983 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
3 nn0addcl 12512 . . . . . . 7 (((degβ€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ)) ∈ β„•0)
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ)) ∈ β„•0)
5 c0ex 11213 . . . . . . 7 0 ∈ V
65fvconst2 7207 . . . . . 6 (((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ)) ∈ β„•0 β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0)
74, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0)
8 fveq2 6891 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (coeffβ€˜0𝑝))
9 coe0 26006 . . . . . . . 8 (coeffβ€˜0𝑝) = (β„•0 Γ— {0})
108, 9eqtrdi 2787 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (β„•0 Γ— {0}))
1110fveq1d 6893 . . . . . 6 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = ((β„•0 Γ— {0})β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))))
1211eqeq1d 2733 . . . . 5 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0 ↔ ((β„•0 Γ— {0})β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0))
137, 12syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0))
14 eqid 2731 . . . . . . 7 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
15 eqid 2731 . . . . . . 7 (coeffβ€˜πΊ) = (coeffβ€˜πΊ)
16 eqid 2731 . . . . . . 7 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
17 eqid 2731 . . . . . . 7 (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜πΊ)
1814, 15, 16, 17coemulhi 26004 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ))))
1918eqeq1d 2733 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0 ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ))) = 0))
2014coef3 25982 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
2321, 22ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) ∈ β„‚)
2415coef3 25982 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
262adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
2725, 26ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) ∈ β„‚)
2823, 27mul0ord 11869 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ))) = 0 ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0 ∨ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
2919, 28bitrd 279 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0 ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0 ∨ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3013, 29sylibd 238 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0 ∨ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3116, 14dgreq0 26016 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0))
3231adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0))
3317, 15dgreq0 26016 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
3433adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
3532, 34orbi12d 916 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝) ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0 ∨ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3630, 35sylibrd 259 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝)))
37 cnex 11195 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
3837a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ β„‚ ∈ V)
39 plyf 25948 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
4039adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
41 0cnd 11212 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 0 ∈ β„‚)
42 mul02 11397 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
4342adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
4438, 40, 41, 41, 43caofid2 7708 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ Γ— {0}) ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0}))
45 id 22 . . . . . . . 8 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝐹 = 0𝑝)
46 df-0p 25420 . . . . . . . 8 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
4745, 46eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝐹 = (β„‚ Γ— {0}))
4847oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = ((β„‚ Γ— {0}) ∘f Β· 𝐺))
4948eqeq1d 2733 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝 β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ ((β„‚ Γ— {0}) ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0})))
5044, 49syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 = 0𝑝 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0})))
51 plyf 25948 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
5251adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
53 mul01 11398 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
5453adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
5538, 52, 41, 41, 54caofid1 7707 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f Β· (β„‚ Γ— {0})) = (β„‚ Γ— {0}))
56 id 22 . . . . . . . 8 (𝐺 = 0𝑝 β†’ 𝐺 = 0𝑝)
5756, 46eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝐺 = 0𝑝 β†’ 𝐺 = (β„‚ Γ— {0}))
5857oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝐺 = 0𝑝 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (𝐹 ∘f Β· (β„‚ Γ— {0})))
5958eqeq1d 2733 . . . . 5 (𝐺 = 0𝑝 β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ (𝐹 ∘f Β· (β„‚ Γ— {0})) = (β„‚ Γ— {0})))
6055, 59syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐺 = 0𝑝 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0})))
6150, 60jaod 856 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0})))
6246eqeq2i 2744 . . 3 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0}))
6361, 62imbitrrdi 251 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝))
6436, 63impbid 211 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  {csn 4628   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672  β„‚cc 11112  0cc0 11114   + caddc 11117   Β· cmul 11119  β„•0cn0 12477  0𝑝c0p 25419  Polycply 25934  coeffccoe 25936  degcdgr 25937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-0p 25420  df-ply 25938  df-coe 25940  df-dgr 25941
This theorem is referenced by:  plydiveu  26048  quotcan  26059  vieta1lem1  26060  vieta1lem2  26061
  Copyright terms: Public domain W3C validator