MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul0or Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plymul0or 26030
Description: Polynomial multiplication has no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plymul0or ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝)))
Proof of Theorem plymul0or
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcl 25982 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
2 dgrcl 25982 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
3 nn0addcl 12511 . . . . . . 7 (((degβ€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ)) ∈ β„•0)
41, 2, 3syl2an 594 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ)) ∈ β„•0)
5 c0ex 11212 . . . . . . 7 0 ∈ V
65fvconst2 7206 . . . . . 6 (((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ)) ∈ β„•0 β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0)
74, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0)
8 fveq2 6890 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (coeffβ€˜0𝑝))
9 coe0 26005 . . . . . . . 8 (coeffβ€˜0𝑝) = (β„•0 Γ— {0})
108, 9eqtrdi 2786 . . . . . . 7 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (β„•0 Γ— {0}))
1110fveq1d 6892 . . . . . 6 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = ((β„•0 Γ— {0})β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))))
1211eqeq1d 2732 . . . . 5 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0 ↔ ((β„•0 Γ— {0})β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0))
137, 12syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0))
14 eqid 2730 . . . . . . 7 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
15 eqid 2730 . . . . . . 7 (coeffβ€˜πΊ) = (coeffβ€˜πΊ)
16 eqid 2730 . . . . . . 7 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
17 eqid 2730 . . . . . . 7 (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜πΊ)
1814, 15, 16, 17coemulhi 26003 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ))))
1918eqeq1d 2732 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0 ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ))) = 0))
2014coef3 25981 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
2120adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
221adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
2321, 22ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) ∈ β„‚)
2415coef3 25981 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
2524adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜πΊ):β„•0βŸΆβ„‚)
262adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
2725, 26ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) ∈ β„‚)
2823, 27mul0ord 11868 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) Β· ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ))) = 0 ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0 ∨ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
2919, 28bitrd 278 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (((coeffβ€˜(𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜((degβ€˜πΉ) + (degβ€˜πΊ))) = 0 ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0 ∨ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3013, 29sylibd 238 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0 ∨ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3116, 14dgreq0 26015 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0))
3231adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0))
3317, 15dgreq0 26015 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
3433adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐺 = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
3532, 34orbi12d 915 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝) ↔ (((coeffβ€˜πΉ)β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0 ∨ ((coeffβ€˜πΊ)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3630, 35sylibrd 258 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 β†’ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝)))
37 cnex 11193 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
3837a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ β„‚ ∈ V)
39 plyf 25947 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
4039adantl 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
41 0cnd 11211 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 0 ∈ β„‚)
42 mul02 11396 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
4342adantl 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
4438, 40, 41, 41, 43caofid2 7706 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ Γ— {0}) ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0}))
45 id 22 . . . . . . . 8 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝐹 = 0𝑝)
46 df-0p 25419 . . . . . . . 8 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
4745, 46eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝐹 = (β„‚ Γ— {0}))
4847oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = ((β„‚ Γ— {0}) ∘f Β· 𝐺))
4948eqeq1d 2732 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝 β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ ((β„‚ Γ— {0}) ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0})))
5044, 49syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 = 0𝑝 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0})))
51 plyf 25947 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
5251adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
53 mul01 11397 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
5453adantl 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
5538, 52, 41, 41, 54caofid1 7705 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f Β· (β„‚ Γ— {0})) = (β„‚ Γ— {0}))
56 id 22 . . . . . . . 8 (𝐺 = 0𝑝 β†’ 𝐺 = 0𝑝)
5756, 46eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (𝐺 = 0𝑝 β†’ 𝐺 = (β„‚ Γ— {0}))
5857oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝐺 = 0𝑝 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (𝐹 ∘f Β· (β„‚ Γ— {0})))
5958eqeq1d 2732 . . . . 5 (𝐺 = 0𝑝 β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ (𝐹 ∘f Β· (β„‚ Γ— {0})) = (β„‚ Γ— {0})))
6055, 59syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐺 = 0𝑝 β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0})))
6150, 60jaod 855 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0})))
6246eqeq2i 2743 . . 3 ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 ↔ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (β„‚ Γ— {0}))
6361, 62imbitrrdi 251 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝))
6436, 63impbid 211 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺) = 0𝑝 ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ 𝐺 = 0𝑝)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  {csn 4627   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„•0cn0 12476  0𝑝c0p 25418  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by:  plydiveu  26047  quotcan  26058  vieta1lem1  26059  vieta1lem2  26060
  Copyright terms: Public domain W3C validator