Theorem cdlemk9 40828

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 29-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemk9	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))

Proof of Theorem cdlemk9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemk.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemk.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemk.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdlemk.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdlemk.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		cdlemk.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		cdlemk.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cdlemk8 40827	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))))
10	9	oveq1d 7404	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∧ 𝑊))
11		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	2, 4, 5, 6	ltrnel 40128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
13	12	3adant2r 1180	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
15	2, 8, 14, 4, 5	lhpmat 40019	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) = (0.‘𝐾))
16	11, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) = (0.‘𝐾))
17	16	oveq1d 7404	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = ((0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))))
18		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp2l 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
20		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
21	2, 4, 5, 6	ltrnat 40129	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
22	11, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
23		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑇)
24	5, 6	ltrncnv 40135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
25	11, 19, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
26	5, 6	ltrnco 40708	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
27	11, 23, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
28	1, 5, 6, 7	trlcl 40153	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵)
29	11, 27, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵)
30		simp1r 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
31	1, 5	lhpbase 39987	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
33	2, 5, 6, 7	trlle 40173	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ≤ 𝑊)
34	11, 27, 33	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ≤ 𝑊)
35	1, 2, 3, 8, 4	atmod4i2 39856	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ≤ 𝑊) → (((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∧ 𝑊))
36	18, 22, 29, 32, 34, 35	syl131anc 1385	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∧ 𝑊))
37		hlol 39349	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
38	18, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
39	1, 3, 14	olj02 39214	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))
40	38, 29, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))
41	17, 36, 40	3eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∧ 𝑊) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))
42	10, 41	eqtrd 2765	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  ^◡ccnv 5639   ∘ ccom 5644  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  lecple 17233  joincjn 18278  meetcmee 18279  0.cp0 18388  OLcol 39162  Atomscatm 39251  HLchlt 39338  LHypclh 39973  LTrncltrn 40090  trLctrl 40147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-riotaBAD 38941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-undef 8254  df-map 8803  df-proset 18261  df-poset 18280  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 39164  df-ol 39166  df-oml 39167  df-covers 39254  df-ats 39255  df-atl 39286  df-cvlat 39310  df-hlat 39339  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148

This theorem is referenced by:  cdlemk10  40832