Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk9bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk9bN 38022
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: is this needed? If so, shorten with cdlemk9 38021 if that one is also needed. (Contributed by NM, 28-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk9bN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊) = (𝑅‘(𝐺𝑋)))

Proof of Theorem cdlemk9bN
StepHypRef Expression
1 cdlemk.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemk.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemk.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdlemk8 38020 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
109oveq1d 7145 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊) = (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊))
11 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
122, 4, 5, 6ltrnel 37321 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
13123adant2r 1176 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
14 eqid 2821 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
152, 8, 14, 4, 5lhpmat 37212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → ((𝐺𝑃) 𝑊) = (0.‘𝐾))
1611, 13, 15syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) 𝑊) = (0.‘𝐾))
1716oveq1d 7145 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) 𝑊) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))))
18 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
20 simp3l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
212, 4, 5, 6ltrnat 37322 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
2211, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
23 simp2r 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋𝑇)
245, 6ltrncnv 37328 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
2511, 19, 24syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
265, 6ltrnco 37901 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐺𝑇) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
2711, 23, 25, 26syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝐺) ∈ 𝑇)
281, 5, 6, 7trlcl 37346 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵)
2911, 27, 28syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵)
30 simp1r 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
311, 5lhpbase 37180 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3230, 31syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐵)
332, 5, 6, 7trlle 37366 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
3411, 27, 33syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊)
351, 2, 3, 8, 4atmod4i2 37049 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) 𝑊) → (((𝐺𝑃) 𝑊) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊))
3618, 22, 29, 32, 34, 35syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) 𝑊) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊))
37 hlol 36543 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
3818, 37syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
391, 3, 14olj02 36408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅‘(𝑋𝐺)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
4038, 29, 39syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
415, 6, 7trlcocnv 37902 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑋𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝑋)) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
4211, 19, 23, 41syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝑋)) = (𝑅‘(𝑋𝐺)))
4340, 42eqtr4d 2859 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((0.‘𝐾) (𝑅‘(𝑋𝐺))) = (𝑅‘(𝐺𝑋)))
4417, 36, 433eqtr3d 2864 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐺))) 𝑊) = (𝑅‘(𝐺𝑋)))
4510, 44eqtrd 2856 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊) = (𝑅‘(𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  ccnv 5527  ccom 5532  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  lecple 16551  joincjn 17533  meetcmee 17534  0.cp0 17626  OLcol 36356  Atomscatm 36445  HLchlt 36532  LHypclh 37166  LTrncltrn 37283  trLctrl 37340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-riotaBAD 36135
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-undef 7914  df-map 8383  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36358  df-ol 36360  df-oml 36361  df-covers 36448  df-ats 36449  df-atl 36480  df-cvlat 36504  df-hlat 36533  df-llines 36680  df-lplanes 36681  df-lvols 36682  df-lines 36683  df-psubsp 36685  df-pmap 36686  df-padd 36978  df-lhyp 37170  df-laut 37171  df-ldil 37286  df-ltrn 37287  df-trl 37341
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator