Theorem cdlemk9bN 41245

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: is this needed? If so, shorten with cdlemk9 41244 if that one is also needed. (Contributed by NM, 28-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemk9bN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊) = (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑋)))

Proof of Theorem cdlemk9bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemk.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemk.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemk.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdlemk.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdlemk.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		cdlemk.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		cdlemk.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cdlemk8 41243	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))))
10	9	oveq1d 7385	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∧ 𝑊))
11		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	2, 4, 5, 6	ltrnel 40544	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
13	12	3adant2r 1181	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
15	2, 8, 14, 4, 5	lhpmat 40435	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) = (0.‘𝐾))
16	11, 13, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) = (0.‘𝐾))
17	16	oveq1d 7385	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = ((0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))))
18		simp1l 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp2l 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
20		simp3l 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
21	2, 4, 5, 6	ltrnat 40545	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
22	11, 19, 20, 21	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
23		simp2r 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑇)
24	5, 6	ltrncnv 40551	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
25	11, 19, 24	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
26	5, 6	ltrnco 41124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
27	11, 23, 25, 26	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇)
28	1, 5, 6, 7	trlcl 40569	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵)
29	11, 27, 28	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵)
30		simp1r 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
31	1, 5	lhpbase 40403	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
33	2, 5, 6, 7	trlle 40589	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◡𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ≤ 𝑊)
34	11, 27, 33	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ≤ 𝑊)
35	1, 2, 3, 8, 4	atmod4i2 40272	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ≤ 𝑊) → (((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∧ 𝑊))
36	18, 22, 29, 32, 34, 35	syl131anc 1386	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∧ 𝑊) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∧ 𝑊))
37		hlol 39766	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
38	18, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
39	1, 3, 14	olj02 39631	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))
40	38, 29, 39	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))
41	5, 6, 7	trlcocnv 41125	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑋)) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))
42	11, 19, 23, 41	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑋)) = (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))
43	40, 42	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((0.‘𝐾) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) = (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑋)))
44	17, 36, 43	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺))) ∧ 𝑊) = (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑋)))
45	10, 44	eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ 𝑊) = (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5633   ∘ ccom 5638  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  lecple 17198  joincjn 18248  meetcmee 18249  0.cp0 18358  OLcol 39579  Atomscatm 39668  HLchlt 39755  LHypclh 40389  LTrncltrn 40506  trLctrl 40563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-riotaBAD 39358

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-undef 8227  df-map 8779  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18369  df-clat 18436  df-oposet 39581  df-ol 39583  df-oml 39584  df-covers 39671  df-ats 39672  df-atl 39703  df-cvlat 39727  df-hlat 39756  df-llines 39903  df-lplanes 39904  df-lvols 39905  df-lines 39906  df-psubsp 39908  df-pmap 39909  df-padd 40201  df-lhyp 40393  df-laut 40394  df-ldil 40509  df-ltrn 40510  df-trl 40564

This theorem is referenced by: (None)