Theorem omcl2 43034

Description: Closure law for ordinal multiplication. (Contributed by RP, 12-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
omcl2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem omcl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
2		noel 4331	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
3	2	pm2.21i 119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
4	1, 3	biimtrdi 252	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
5	4	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐶 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
6	5	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐶 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
7		simpl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
8		omelon 9680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
9		oecl 8557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
10	8, 9	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ On → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
11	10, 8	jctil 518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ On → (ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐷) ∈ On))
12		oecl 8557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐷) ∈ On) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∈ On)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ On → (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∈ On)
14	13	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∈ On)
15	7, 14	eqeltrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
16		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
17		onelon 6391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
18	15, 16, 17	syl2an2 684	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
19		on0eqel 6490	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
21		oveq1 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) = (∅ ·o 𝐵))
22		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
23	22	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
24		onelon 6391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
25	15, 23, 24	syl2an2 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
26		om0r 8559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ·o 𝐵) = ∅)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (∅ ·o 𝐵) = ∅)
28	21, 27	sylan9eqr 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ·o 𝐵) = ∅)
29		peano1 7890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ ω
30		oen0 8606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐷) ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
31	11, 29, 30	sylancl 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ On → ∅ ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
32	31	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
33	32, 7	eleqtrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐶)
34	33	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∅ ∈ 𝐶)
35	34	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
36	28, 35	eqeltrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
37	36	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
38		simp1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐶)
39	15	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
40		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
41	38	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝐶)
42	40, 41, 17	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
43	42	ex 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
44	39, 43	jcai 515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
45		simpl3 1190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∅ ∈ 𝐴)
46		simpl2 1189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
47		omordi 8586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))
48	47	imp 405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
49	44, 45, 46, 48	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
50		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·o 𝐶) = (𝐴 ·o 𝐶))
51	50	eliuni 5000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
52	38, 49, 51	syl2an2r 683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
53		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
54	53	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 ·o 𝐶) = (∅ ·o 𝐶))
55		om0r 8559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ On → (∅ ·o 𝐶) = ∅)
56	15, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ ·o 𝐶) = ∅)
57	56	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (∅ ·o 𝐶) = ∅)
58	54, 57	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 ·o 𝐶) = ∅)
59		0ss 4395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∅ ⊆ 𝐶)
61	58, 60	eqsstrd 4018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
62		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥))
63	62	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥))
64		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))
65	64	3mix3d 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 2o ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)))
66		omabs2 43033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 2o ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
67	63, 65, 66	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
68		ssidd 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝐶 ⊆ 𝐶)
69	67, 68	eqsstrd 4018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
70		onelon 6391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ On)
71	15, 70	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ On)
72		on0eqel 6490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
74	61, 69, 73	mpjaodan 956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
75	74	iunssd 5051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
76		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐷 ∈ On)
77	76, 8	jctil 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On))
78		oen0 8606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
79	77, 29, 78	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
80	77, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
81		1onn 8660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1o ∈ ω
82		ondif2 8522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
83	8, 81, 82	mpbir2an 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ω ∈ (On ∖ 2o)
84		oeordi 8607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((ω ↑o 𝐷) ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (∅ ∈ (ω ↑o 𝐷) → (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷))))
85	80, 83, 84	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ ∈ (ω ↑o 𝐷) → (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷))))
86	79, 85	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
87		oe0 8542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ω ∈ On → (ω ↑o ∅) = 1o)
88	8, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ω ↑o ∅) = 1o
89	88	eqcomi 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1o = (ω ↑o ∅)
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 1o = (ω ↑o ∅))
91	86, 90, 7	3eltr4d 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 1o ∈ 𝐶)
92		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 1o → (𝑥 ·o 𝐶) = (1o ·o 𝐶))
93		om1r 8563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ On → (1o ·o 𝐶) = 𝐶)
94	15, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (1o ·o 𝐶) = 𝐶)
95	92, 94	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = 1o) → (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
96	95	sseq2d 4012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = 1o) → (𝐶 ⊆ (𝑥 ·o 𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ 𝐶))
97		ssidd 4003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ 𝐶)
98	91, 96, 97	rspcedvd 3610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 ·o 𝐶))
99		ssiun 5047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 ·o 𝐶) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
101	75, 100	eqssd 3997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
102	101	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
103	52, 102	eleqtrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
104	103	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
105	104	3expia 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (∅ ∈ 𝐴 → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)))
106	105	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)))
107	106	imp 405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
108	37, 107	jaod 857	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
109	20, 108	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
110	109	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
111	6, 110	jaod 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
112	111	imp 405	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  ∪ ciun 4994  Oncon0 6366  (class class class)co 7414  ωcom 7866  1_oc1o 8479  2_oc2o 8480   ·_o comu 8484   ↑_o coe 8485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-reg 9626  ax-inf2 9675

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-oexp 8492

This theorem is referenced by:  omcl3g  43035