Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omcl2 41711
Description: Closure law for ordinal multiplication. (Contributed by RP, 12-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omcl2 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)

Proof of Theorem omcl2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2823 . . . . . 6 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ด โˆˆ โˆ…))
2 noel 4291 . . . . . . 7 ยฌ ๐ด โˆˆ โˆ…
32pm2.21i 119 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
41, 3syl6bi 253 . . . . 5 (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
54com12 32 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
65adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ถ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
7 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ ๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)))
8 omelon 9587 . . . . . . . . . . . 12 ฯ‰ โˆˆ On
9 oecl 8484 . . . . . . . . . . . 12 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐ท) โˆˆ On)
108, 9mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐ท) โˆˆ On)
1110, 8jctil 521 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โ†‘o ๐ท) โˆˆ On))
12 oecl 8484 . . . . . . . . . 10 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โ†‘o ๐ท) โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆˆ On)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆˆ On)
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆˆ On)
157, 14eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
16 simpll 766 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ถ)
17 onelon 6343 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
1815, 16, 17syl2an2 685 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
19 on0eqel 6442 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ด))
2018, 19syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ด))
21 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo ๐ต))
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ถ)
2322adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ถ)
24 onelon 6343 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
2515, 23, 24syl2an2 685 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
26 om0r 8486 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
2821, 27sylan9eqr 2795 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
29 peano1 7826 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ… โˆˆ ฯ‰
30 oen0 8534 . . . . . . . . . . . . 13 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โ†‘o ๐ท) โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)))
3111, 29, 30sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ On โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)))
3231adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)))
3332, 7eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
3433adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
3534adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ถ)
3628, 35eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
3736ex 414 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
38 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ถ)
3915adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
4138ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ถ)
4240, 41, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
4342ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ ๐ด โˆˆ On))
4439, 43jcai 518 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On))
45 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
46 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ถ)
47 omordi 8514 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ)))
4847imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ))
4944, 45, 46, 48syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ))
50 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) = (๐ด ยทo ๐ถ))
5150eliuni 4961 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ))
5238, 49, 51syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ))
53 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ = โˆ…) โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…)
5453oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) = (โˆ… ยทo ๐ถ))
55 om0r 8486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ถ) = โˆ…)
5615, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ถ) = โˆ…)
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ = โˆ…) โ†’ (โˆ… ยทo ๐ถ) = โˆ…)
5854, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) = โˆ…)
59 0ss 4357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โˆ… โŠ† ๐ถ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ = โˆ…) โ†’ โˆ… โŠ† ๐ถ)
6158, 60eqsstrd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ = โˆ…) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) โŠ† ๐ถ)
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
6362adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
64 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))
65643mix3d 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 2o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)))
66 omabs2 41710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โˆง (๐ถ = โˆ… โˆจ ๐ถ = 2o โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) = ๐ถ)
6763, 65, 66syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) = ๐ถ)
68 ssidd 3968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ๐ถ โŠ† ๐ถ)
6967, 68eqsstrd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) โŠ† ๐ถ)
70 onelon 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
7115, 70sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
72 on0eqel 6442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ (๐‘ฅ = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
7461, 69, 73mpjaodan 958 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) โŠ† ๐ถ)
7574iunssd 5011 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) โŠ† ๐ถ)
76 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ ๐ท โˆˆ On)
7776, 8jctil 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On))
78 oen0 8534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ท))
7977, 29, 78sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ท))
8077, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o ๐ท) โˆˆ On)
81 1onn 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1o โˆˆ ฯ‰
82 ondif2 8449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†” (ฯ‰ โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ ฯ‰))
838, 81, 82mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 2o)
84 oeordi 8535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ฯ‰ โ†‘o ๐ท) โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ (On โˆ– 2o)) โ†’ (โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ท) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o โˆ…) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท))))
8580, 83, 84sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ท) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o โˆ…) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท))))
8679, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o โˆ…) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)))
87 oe0 8469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โ†‘o โˆ…) = 1o)
888, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ฯ‰ โ†‘o โˆ…) = 1o
8988eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o = (ฯ‰ โ†‘o โˆ…)
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ 1o = (ฯ‰ โ†‘o โˆ…))
9186, 90, 73eltr4d 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ 1o โˆˆ ๐ถ)
92 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = 1o โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) = (1o ยทo ๐ถ))
93 om1r 8491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (1o ยทo ๐ถ) = ๐ถ)
9415, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (1o ยทo ๐ถ) = ๐ถ)
9592, 94sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ = 1o) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) = ๐ถ)
9695sseq2d 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ = 1o) โ†’ (๐ถ โŠ† (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) โ†” ๐ถ โŠ† ๐ถ))
97 ssidd 3968 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ ๐ถ โŠ† ๐ถ)
9891, 96, 97rspcedvd 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ ๐ถ โŠ† (๐‘ฅ ยทo ๐ถ))
99 ssiun 5007 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ ๐ถ โŠ† (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) โ†’ ๐ถ โŠ† โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ ๐ถ โŠ† โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ))
10175, 100eqssd 3962 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) = ๐ถ)
102101adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ (๐‘ฅ ยทo ๐ถ) = ๐ถ)
10352, 102eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
104103ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
1051043expia 1122 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)))
106105com23 86 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)))
107106imp 408 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
10837, 107jaod 858 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ ((๐ด = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
10920, 108mpd 15 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
110109ex 414 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
1116, 110jaod 858 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ))
112111imp 408 1 (((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ถ) โˆง (๐ถ = โˆ… โˆจ (๐ถ = (ฯ‰ โ†‘o (ฯ‰ โ†‘o ๐ท)) โˆง ๐ท โˆˆ On))) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1087   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3908   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  โˆช ciun 4955  Oncon0 6318  (class class class)co 7358  ฯ‰com 7803  1oc1o 8406  2oc2o 8407   ยทo comu 8411   โ†‘o coe 8412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-reg 9533  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-oexp 8419
This theorem is referenced by:  omcl3g  41712
  Copyright terms: Public domain W3C validator