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Theorem omcl2 43346
Description: Closure law for ordinal multiplication. (Contributed by RP, 12-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omcl2 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem omcl2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2830 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ → (𝐴𝐶𝐴 ∈ ∅))
2 noel 4338 . . . . . . 7 ¬ 𝐴 ∈ ∅
32pm2.21i 119 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
41, 3biimtrdi 253 . . . . 5 (𝐶 = ∅ → (𝐴𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
54com12 32 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐶 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
65adantr 480 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐶 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
7 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
8 omelon 9686 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
9 oecl 8575 . . . . . . . . . . . 12 ((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
108, 9mpan 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ On → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
1110, 8jctil 519 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ On → (ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐷) ∈ On))
12 oecl 8575 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐷) ∈ On) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∈ On)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ On → (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∈ On)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∈ On)
157, 14eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
16 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐴𝐶)
17 onelon 6409 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ On)
1815, 16, 17syl2an2 686 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
19 on0eqel 6508 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
2018, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
21 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) = (∅ ·o 𝐵))
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵𝐶)
24 onelon 6409 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ On)
2515, 23, 24syl2an2 686 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
26 om0r 8577 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ On → (∅ ·o 𝐵) = ∅)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (∅ ·o 𝐵) = ∅)
2821, 27sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ·o 𝐵) = ∅)
29 peano1 7910 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ ω
30 oen0 8624 . . . . . . . . . . . . 13 (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐷) ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
3111, 29, 30sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ On → ∅ ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
3231adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
3332, 7eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐶)
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∅ ∈ 𝐶)
3534adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
3628, 35eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
3736ex 412 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
38 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴𝐶)
3915adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
4138ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴𝐶)
4240, 41, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
4342ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
4439, 43jcai 516 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
45 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∅ ∈ 𝐴)
46 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵𝐶)
47 omordi 8604 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))
4847imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
4944, 45, 46, 48syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
50 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·o 𝐶) = (𝐴 ·o 𝐶))
5150eliuni 4997 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶 ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝑥𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
5238, 49, 51syl2an2r 685 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝑥𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
5453oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 ·o 𝐶) = (∅ ·o 𝐶))
55 om0r 8577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐶 ∈ On → (∅ ·o 𝐶) = ∅)
5615, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ ·o 𝐶) = ∅)
5756ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (∅ ·o 𝐶) = ∅)
5854, 57eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 ·o 𝐶) = ∅)
59 0ss 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ∅ ⊆ 𝐶
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∅ ⊆ 𝐶)
6158, 60eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥))
6362adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥))
64 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))
65643mix3d 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 2o ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)))
66 omabs2 43345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 2o ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
6763, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
68 ssidd 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝐶𝐶)
6967, 68eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
70 onelon 6409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ On)
7115, 70sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ On)
72 on0eqel 6508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ On → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
7461, 69, 73mpjaodan 961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
7574iunssd 5050 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝑥𝐶 (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
76 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐷 ∈ On)
7776, 8jctil 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On))
78 oen0 8624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
7977, 29, 78sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
8077, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
81 1onn 8678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1o ∈ ω
82 ondif2 8540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
838, 81, 82mpbir2an 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ω ∈ (On ∖ 2o)
84 oeordi 8625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ω ↑o 𝐷) ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (∅ ∈ (ω ↑o 𝐷) → (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷))))
8580, 83, 84sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ ∈ (ω ↑o 𝐷) → (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷))))
8679, 85mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
87 oe0 8560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ω ∈ On → (ω ↑o ∅) = 1o)
888, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ω ↑o ∅) = 1o
8988eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o = (ω ↑o ∅)
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 1o = (ω ↑o ∅))
9186, 90, 73eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 1o𝐶)
92 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 1o → (𝑥 ·o 𝐶) = (1o ·o 𝐶))
93 om1r 8581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∈ On → (1o ·o 𝐶) = 𝐶)
9415, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (1o ·o 𝐶) = 𝐶)
9592, 94sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = 1o) → (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
9695sseq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = 1o) → (𝐶 ⊆ (𝑥 ·o 𝐶) ↔ 𝐶𝐶))
97 ssidd 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶𝐶)
9891, 96, 97rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∃𝑥𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 ·o 𝐶))
99 ssiun 5046 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 ·o 𝐶) → 𝐶 𝑥𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 𝑥𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
10175, 100eqssd 4001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝑥𝐶 (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
102101adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝑥𝐶 (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
10352, 102eleqtrd 2843 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
104103ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
1051043expia 1122 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (∅ ∈ 𝐴 → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)))
106105com23 86 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)))
107106imp 406 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
10837, 107jaod 860 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
10920, 108mpd 15 . . . 4 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
110109ex 412 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
1116, 110jaod 860 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ((𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
112111imp 406 1 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cdif 3948  wss 3951  c0 4333   ciun 4991  Oncon0 6384  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1oc1o 8499  2oc2o 8500   ·o comu 8504  o coe 8505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512
This theorem is referenced by:  omcl3g  43347
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