Theorem omcl2 44043

Description: Closure law for ordinal multiplication. (Contributed by RP, 12-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
omcl2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem omcl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
2		noel 4292	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
3	2	pm2.21i 120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
4	1, 3	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
5	4	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐶 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐶 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
7		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
8		omelon 9616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
9		oecl 8523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
10	8, 9	mpan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ On → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
11	10, 8	jctil 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ On → (ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐷) ∈ On))
12		oecl 8523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐷) ∈ On) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∈ On)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ On → (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∈ On)
14	13	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∈ On)
15	7, 14	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
16		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
17		onelon 6387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
18	15, 16, 17	syl2an2 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
19		on0eqel 6488	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
21		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) = (∅ ·o 𝐵))
22		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
23	22	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
24		onelon 6387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ On)
25	15, 23, 24	syl2an2 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
26		om0r 8525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ·o 𝐵) = ∅)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (∅ ·o 𝐵) = ∅)
28	21, 27	sylan9eqr 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ·o 𝐵) = ∅)
29		peano1 7886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ ω
30		oen0 8573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐷) ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
31	11, 29, 30	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ On → ∅ ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
32	31	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
33	32, 7	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐶)
34	33	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∅ ∈ 𝐶)
35	34	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐶)
36	28, 35	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
37	36	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
38		simp1 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐶)
39	15	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
40		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
41	38	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝐶)
42	40, 41, 17	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
43	42	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
44	39, 43	jcai 525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
45		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∅ ∈ 𝐴)
46		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
47		omordi 8552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)))
48	47	imp 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
49	44, 45, 46, 48	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶))
50		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·o 𝐶) = (𝐴 ·o 𝐶))
51	50	eliuni 4963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ∈ (𝐴 ·o 𝐶)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
52	38, 49, 51	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
53		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
54	53	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 ·o 𝐶) = (∅ ·o 𝐶))
55		om0r 8525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐶 ∈ On → (∅ ·o 𝐶) = ∅)
56	15, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ ·o 𝐶) = ∅)
57	56	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (∅ ·o 𝐶) = ∅)
58	54, 57	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 ·o 𝐶) = ∅)
59		0ss 4358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → ∅ ⊆ 𝐶)
61	58, 60	eqsstrd 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
62		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥))
63	62	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥))
64		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))
65	64	3mix3d 1357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 2o ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)))
66		omabs2 44042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 2o ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
67	63, 65, 66	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
68		ssidd 3961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝐶 ⊆ 𝐶)
69	67, 68	eqsstrd 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
70		onelon 6387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ On)
71	15, 70	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ On)
72		on0eqel 6488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
73	71, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
74	61, 69, 73	mpjaodan 973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
75	74	iunssd 5016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶) ⊆ 𝐶)
76		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐷 ∈ On)
77	76, 8	jctil 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On))
78		oen0 8573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
79	77, 29, 78	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
80	77, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
81		1onn 8627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1o ∈ ω
82		ondif2 8488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
83	8, 81, 82	mpbir2an 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ω ∈ (On ∖ 2o)
84		oeordi 8574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((ω ↑o 𝐷) ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (∅ ∈ (ω ↑o 𝐷) → (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷))))
85	80, 83, 84	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ ∈ (ω ↑o 𝐷) → (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷))))
86	79, 85	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)))
87		oe0 8508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ω ∈ On → (ω ↑o ∅) = 1o)
88	8, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ω ↑o ∅) = 1o
89	88	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1o = (ω ↑o ∅)
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 1o = (ω ↑o ∅))
91	86, 90, 7	3eltr4d 2878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 1o ∈ 𝐶)
92		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 1o → (𝑥 ·o 𝐶) = (1o ·o 𝐶))
93		om1r 8529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ On → (1o ·o 𝐶) = 𝐶)
94	15, 93	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (1o ·o 𝐶) = 𝐶)
95	92, 94	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = 1o) → (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
96	95	sseq2d 3970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = 1o) → (𝐶 ⊆ (𝑥 ·o 𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ 𝐶))
97		ssidd 3961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ 𝐶)
98	91, 96, 97	rspcedvd 3584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 ·o 𝐶))
99		ssiun 5012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 ·o 𝐶) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
100	98, 99	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶))
101	75, 100	eqssd 3955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
102	101	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 ·o 𝐶) = 𝐶)
103	52, 102	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
104	103	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
105	104	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (∅ ∈ 𝐴 → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)))
106	105	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)))
107	106	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
108	37, 107	jaod 872	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
109	20, 108	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)
110	109	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
111	6, 110	jaod 872	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶))
112	111	imp 411	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ∪ ciun 4957  Oncon0 6362  (class class class)co 7412  ωcom 7863  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448   ·_o comu 8452   ↑_o coe 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-oexp 8460

This theorem is referenced by:  omcl3g  44044