Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onexomgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onexomgt 42445
Description: For any ordinal, there is always a larger product of omega. (Contributed by RP, 1-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
onexomgt (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem onexomgt
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 9636 . . 3 ฯ‰ โˆˆ On
2 peano1 7872 . . . 4 โˆ… โˆˆ ฯ‰
32ne0ii 4329 . . 3 ฯ‰ โ‰  โˆ…
4 omeu 8580 . . 3 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ฯ‰ โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ!๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ ฯ‰ (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด))
51, 3, 4mp3an13 1448 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ!๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ ฯ‰ (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด))
6 euex 2563 . . 3 (โˆƒ!๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ ฯ‰ (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ ฯ‰ (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด))
7 onsuc 7792 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ On โ†’ suc ๐‘Ž โˆˆ On)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ suc ๐‘Ž โˆˆ On)
9 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ ฯ‰)
11 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ On)
12 omcl 8531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆˆ On)
131, 11, 12sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆˆ On)
14 oaordi 8541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆˆ On) โ†’ (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ฯ‰)))
151, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ฯ‰)))
1610, 15mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) โˆˆ ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ฯ‰))
17 omsuc 8521 . . . . . . . . . . . . 13 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo suc ๐‘Ž) = ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ฯ‰))
181, 11, 17sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo suc ๐‘Ž) = ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ฯ‰))
1916, 18eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ ยทo suc ๐‘Ž))
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ ยทo suc ๐‘Ž))
219, 20eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo suc ๐‘Ž))
22 oveq2 7409 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = suc ๐‘Ž โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) = (ฯ‰ ยทo suc ๐‘Ž))
2322eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = suc ๐‘Ž โ†’ (๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โ†” ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo suc ๐‘Ž)))
2423rspcev 3604 . . . . . . . . 9 ((suc ๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo suc ๐‘Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
258, 21, 24syl2an2r 682 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
2625ex 412 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
2726adantld 490 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
2827a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))))
2928rexlimdvv 3202 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ ฯ‰ (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
3029exlimdv 1928 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ ฯ‰ (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
316, 30syl5 34 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆƒ!๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ ฯ‰ (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) +o ๐‘) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
325, 31mpd 15 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆƒ!weu 2554   โ‰  wne 2932  โˆƒwrex 3062  โˆ…c0 4314  โŸจcop 4626  Oncon0 6354  suc csuc 6356  (class class class)co 7401  ฯ‰com 7848   +o coa 8458   ยทo comu 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466
This theorem is referenced by:  onexlimgt  42447
  Copyright terms: Public domain W3C validator