MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1baslem 21356
Description: The set of finite bags on 1o is just the set of all functions from 1o to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem (ℕ0m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 3314 . 2 ((ℕ0m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 1o)(𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2 df1o2 8304 . . . 4 1o = {∅}
3 snfi 8834 . . . 4 {∅} ∈ Fin
42, 3eqeltri 2835 . . 3 1o ∈ Fin
5 cnvimass 5989 . . . 4 (𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6 elmapi 8637 . . . 4 (𝑓 ∈ (ℕ0m 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
75, 6fssdm 6620 . . 3 (𝑓 ∈ (ℕ0m 1o) → (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o)
8 ssfi 8956 . . 3 ((1o ∈ Fin ∧ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
94, 7, 8sylancr 587 . 2 (𝑓 ∈ (ℕ0m 1o) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
101, 9mprgbir 3079 1 (ℕ0m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  wss 3887  c0 4256  {csn 4561  ccnv 5588  cima 5592  (class class class)co 7275  1oc1o 8290  m cmap 8615  Fincfn 8733  cn 11973  0cn0 12233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-1o 8297  df-map 8617  df-en 8734  df-fin 8737
This theorem is referenced by:  psr1bas  21362  ply1basf  21373  ply1plusgfvi  21413  coe1z  21434  coe1mul2  21440  coe1tm  21444  ply1coe  21467  deg1ldg  25257  deg1leb  25260  deg1val  25261
  Copyright terms: Public domain W3C validator