MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psr1baslem 22112
Description: The set of finite bags on 1o is just the set of all functions from 1o to β„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem (β„•0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 3453 . 2 ((β„•0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ βˆ€π‘“ ∈ (β„•0 ↑m 1o)(◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin)
2 df1o2 8492 . . . 4 1o = {βˆ…}
3 snfi 9067 . . . 4 {βˆ…} ∈ Fin
42, 3eqeltri 2821 . . 3 1o ∈ Fin
5 cnvimass 6080 . . . 4 (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† dom 𝑓
6 elmapi 8866 . . . 4 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑓:1oβŸΆβ„•0)
75, 6fssdm 6737 . . 3 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 1o)
8 ssfi 9196 . . 3 ((1o ∈ Fin ∧ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 1o) β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin)
94, 7, 8sylancr 585 . 2 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin)
101, 9mprgbir 3058 1 (β„•0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  {csn 4624  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  (class class class)co 7416  1oc1o 8478   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-1o 8485  df-map 8845  df-en 8963  df-fin 8966
This theorem is referenced by:  psr1bas  22118  ply1basf  22130  ply1plusgfvi  22169  coe1z  22191  coe1mul2  22197  coe1tm  22201  ply1coe  22226  deg1ldg  26046  deg1leb  26049  deg1val  26050  rhmply1vsca  41850
  Copyright terms: Public domain W3C validator