Theorem psr1baslem 22125

Description: The set of finite bags on 1_o is just the set of all functions from 1_o to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
psr1baslem	⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3432	. 2 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2		df1o2 8404	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
3		snfi 8980	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
4	2, 3	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ 1o ∈ Fin
5		cnvimass 6041	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6		elmapi 8786	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
7	5, 6	fssdm 6681	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o)
8		ssfi 9097	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
10	1, 9	mprgbir 3058	1 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  (class class class)co 7358  1_oc1o 8390   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8397  df-map 8765  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  psr1bas  22131  ply1basf  22143  ply1plusgfvi  22182  coe1z  22205  coe1mul2  22211  coe1tm  22215  ply1coe  22242  rhmply1vsca  22332  deg1ldg  26053  deg1leb  26056  deg1val  26057