MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1baslem 19874
Description: The set of finite bags on 1𝑜 is just the set of all functions from 1𝑜 to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 3299 . 2 ((ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2 df1o2 7811 . . . 4 1𝑜 = {∅}
3 snfi 8279 . . . 4 {∅} ∈ Fin
42, 3eqeltri 2873 . . 3 1𝑜 ∈ Fin
5 cnvimass 5701 . . . 4 (𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6 elmapi 8116 . . . 4 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → 𝑓:1𝑜⟶ℕ0)
75, 6fssdm 6271 . . 3 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜)
8 ssfi 8421 . . 3 ((1𝑜 ∈ Fin ∧ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
94, 7, 8sylancr 582 . 2 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
101, 9mprgbir 3107 1 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3092  wss 3768  c0 4114  {csn 4367  ccnv 5310  cima 5314  (class class class)co 6877  1𝑜c1o 7791  𝑚 cmap 8094  Fincfn 8194  cn 11311  0cn0 11577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-1o 7798  df-er 7981  df-map 8096  df-en 8195  df-fin 8198
This theorem is referenced by:  psr1bas  19880  ply1basf  19891  ply1plusgfvi  19931  coe1z  19952  coe1mul2  19958  coe1tm  19962  ply1coe  19985  deg1ldg  24190  deg1leb  24193  deg1val  24194
  Copyright terms: Public domain W3C validator