MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psr1baslem 22059
Description: The set of finite bags on 1o is just the set of all functions from 1o to β„•0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem (β„•0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 3458 . 2 ((β„•0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ βˆ€π‘“ ∈ (β„•0 ↑m 1o)(◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin)
2 df1o2 8474 . . . 4 1o = {βˆ…}
3 snfi 9046 . . . 4 {βˆ…} ∈ Fin
42, 3eqeltri 2823 . . 3 1o ∈ Fin
5 cnvimass 6074 . . . 4 (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† dom 𝑓
6 elmapi 8845 . . . 4 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑓:1oβŸΆβ„•0)
75, 6fssdm 6731 . . 3 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 1o)
8 ssfi 9175 . . 3 ((1o ∈ Fin ∧ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 1o) β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin)
94, 7, 8sylancr 586 . 2 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin)
101, 9mprgbir 3062 1 (β„•0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  (class class class)co 7405  1oc1o 8460   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  psr1bas  22065  ply1basf  22076  ply1plusgfvi  22115  coe1z  22137  coe1mul2  22143  coe1tm  22147  ply1coe  22172  deg1ldg  25983  deg1leb  25986  deg1val  25987
  Copyright terms: Public domain W3C validator