Theorem psr1baslem 19874

Description: The set of finite bags on 1_𝑜 is just the set of all functions from 1_𝑜 to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
psr1baslem	⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3299	. 2 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2		df1o2 7811	. . . 4 ⊢ 1𝑜 = {∅}
3		snfi 8279	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
4	2, 3	eqeltri 2873	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ Fin
5		cnvimass 5701	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6		elmapi 8116	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → 𝑓:1𝑜⟶ℕ0)
7	5, 6	fssdm 6271	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜)
8		ssfi 8421	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	sylancr 582	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
10	1, 9	mprgbir 3107	1 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {crab 3092   ⊆ wss 3768  ∅c0 4114  {csn 4367  ^◡ccnv 5310   “ cima 5314  (class class class)co 6877  1_𝑜c1o 7791   ↑_𝑚 cmap 8094  Fincfn 8194  ℕcn 11311  ℕ₀cn0 11577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-1o 7798  df-er 7981  df-map 8096  df-en 8195  df-fin 8198

This theorem is referenced by:  psr1bas  19880  ply1basf  19891  ply1plusgfvi  19931  coe1z  19952  coe1mul2  19958  coe1tm  19962  ply1coe  19985  deg1ldg  24190  deg1leb  24193  deg1val  24194