Theorem psr1baslem 22483

Description: The set of finite bags on 1_o is just the set of all functions from 1_o to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
psr1baslem	⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3445	. 2 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2		df1o2 8467	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
3		snfi 9055	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
4	2, 3	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ 1o ∈ Fin
5		cnvimass 6076	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6		elmapi 8853	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
7	5, 6	fssdm 6721	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o)
8		ssfi 9172	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
10	1, 9	mprgbir 3084	1 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  (class class class)co 7412  1_oc1o 8453   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8460  df-map 8833  df-en 8958  df-fin 8961

This theorem is used by:  psr1bas  22489  ply1basf  22500  ply1plusgfvi  22539  coe1z  22562  coe1mul2  22568  coe1tm  22572  ply1coe  22596  rhmply1vsca  22683  deg1ldg  26390  deg1leb  26393  deg1val  26394  selvply1rhmlema  34132  selvply1rhmlemb  34133  selvply1rhmlem1  34134  selvply1rhmlem2  34135  selvply1rhm0  34140