Theorem psr1baslem 22227

Description: The set of finite bags on 1_o is just the set of all functions from 1_o to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
psr1baslem	⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3446	. 2 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2		df1o2 8439	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
3		snfi 9020	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
4	2, 3	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ 1o ∈ Fin
5		cnvimass 6068	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6		elmapi 8826	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
7	5, 6	fssdm 6707	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o)
8		ssfi 9137	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
10	1, 9	mprgbir 3082	1 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4581  ^◡ccnv 5644   “ cima 5648  (class class class)co 7392  1_oc1o 8425   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8923  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-1o 8432  df-map 8805  df-en 8924  df-fin 8927

This theorem is referenced by:  psr1bas  22233  ply1basf  22244  ply1plusgfvi  22283  coe1z  22306  coe1mul2  22312  coe1tm  22316  ply1coe  22341  rhmply1vsca  22428  deg1ldg  26132  deg1leb  26135  deg1val  26136  selvply1rhmlema  33776  selvply1rhmlemb  33777  selvply1rhmlem1  33778  selvply1rhmlem2  33779  selvply1rhm0  33784