Theorem coe1z 22217

Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
coe1z.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1z	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Proof of Theorem coe1z

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6731	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
3		nn0ex 12419	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4		1oex 8417	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
5	3, 4	elmap 8821	. . . 4 ⊢ ((1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
6	2, 5	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
7		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
9		psr1baslem 22137	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10		coe1z.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
11		coe1z.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		coe1z.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
13	8, 11, 12	ply1mpl0 22209	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
14		1on 8419	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
16		ringgrp 20185	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	8, 9, 10, 13, 15, 16	mpl0 21973	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = ((ℕ0 ↑m 1o) × {𝑌}))
18		fconstmpt 5694	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) × {𝑌}) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ 𝑌)
19	17, 18	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ 𝑌))
20		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝑏 = (1o × {𝑎}) → 𝑌 = 𝑌)
21	6, 7, 19, 20	fmptco 7084	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
22	11	ply1ring 22200	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
24	23, 12	ring0cl 20214	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (coe1‘ 0 ) = (coe1‘ 0 )
26		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
27	25, 23, 11, 26	coe1fval2 22163	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
28	22, 24, 27	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
29		fconstmpt 5694	. . 3 ⊢ (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
31	21, 28, 30	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630   ∘ ccom 5636  Oncon0 6325  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1_oc1o 8400   ↑_m cmap 8775  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  Ringcrg 20180   mPoly cmpl 21874  Poly₁cpl1 22129  coe₁cco1 22130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-psr 21877  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-ply1 22134  df-coe1 22135

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  22260  decpmatid  22726  pmatcollpwscmatlem1  22745  fta1blem  26144  coe1zfv  33682  ply1gsumz  33691  hbtlem2  43475