Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1z 20992
 Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1z.z 0 = (0g𝑃)
coe1z.y 𝑌 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1z (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Proof of Theorem coe1z
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6557 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
21adantl 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
3 nn0ex 11945 . . . . 5 0 ∈ V
4 1oex 8125 . . . . 5 1o ∈ V
53, 4elmap 8458 . . . 4 ((1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0m 1o) ↔ (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
62, 5sylibr 237 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0m 1o))
7 eqidd 2759 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))
8 eqid 2758 . . . . 5 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
9 psr1baslem 20914 . . . . 5 (ℕ0m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10 coe1z.y . . . . 5 𝑌 = (0g𝑅)
11 coe1z.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 coe1z.z . . . . . 6 0 = (0g𝑃)
138, 11, 12ply1mpl0 20984 . . . . 5 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
14 1on 8124 . . . . . 6 1o ∈ On
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
16 ringgrp 19375 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
178, 9, 10, 13, 15, 16mpl0 20776 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 0 = ((ℕ0m 1o) × {𝑌}))
18 fconstmpt 5587 . . . 4 ((ℕ0m 1o) × {𝑌}) = (𝑏 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ 𝑌)
1917, 18eqtrdi 2809 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0 = (𝑏 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ 𝑌))
20 eqidd 2759 . . 3 (𝑏 = (1o × {𝑎}) → 𝑌 = 𝑌)
216, 7, 19, 20fmptco 6887 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = (𝑎 ∈ ℕ0𝑌))
2211ply1ring 20977 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2423, 12ring0cl 19395 . . 3 (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑃))
25 eqid 2758 . . . 4 (coe10 ) = (coe10 )
26 eqid 2758 . . . 4 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
2725, 23, 11, 26coe1fval2 20939 . . 3 ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (coe10 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
2822, 24, 273syl 18 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
29 fconstmpt 5587 . . 3 (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0𝑌)
3029a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0𝑌))
3121, 28, 303eqtr4d 2803 1 (𝑅 ∈ Ring → (coe10 ) = (ℕ0 × {𝑌}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525   ↦ cmpt 5115   × cxp 5525   ∘ ccom 5531  Oncon0 6173  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  1oc1o 8110   ↑m cmap 8421  ℕ0cn0 11939  Basecbs 16546  0gc0g 16776  Ringcrg 19370   mPoly cmpl 20673  Poly1cpl1 20906  coe1cco1 20907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-ofr 7411  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-tset 16647  df-ple 16648  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-subrg 19606  df-psr 20676  df-mpl 20678  df-opsr 20680  df-psr1 20909  df-ply1 20911  df-coe1 20912 This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  21031  decpmatid  21475  pmatcollpwscmatlem1  21494  fta1blem  24873  hbtlem2  40469
 Copyright terms: Public domain W3C validator