Theorem coe1z 22461

Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
coe1z.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1z	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Proof of Theorem coe1z

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
3		nn0ex 12528	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4		1oex 8472	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
5	3, 4	elmap 8878	. . . 4 ⊢ ((1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
6	2, 5	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
7		eqidd 2767	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))
8		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
9		psr1baslem 22382	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10		coe1z.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
11		coe1z.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		coe1z.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
13	8, 11, 12	ply1mpl0 22453	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
14		1on 8475	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
16		ringgrp 20351	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	8, 9, 10, 13, 15, 16	mpl0 22192	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = ((ℕ0 ↑m 1o) × {𝑌}))
18		fconstmpt 5728	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) × {𝑌}) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ 𝑌)
19	17, 18	eqtrdi 2817	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ 𝑌))
20		eqidd 2767	. . 3 ⊢ (𝑏 = (1o × {𝑎}) → 𝑌 = 𝑌)
21	6, 7, 19, 20	fmptco 7132	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
22	11	ply1ring 22444	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
24	23, 12	ring0cl 20382	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (coe1‘ 0 ) = (coe1‘ 0 )
26		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
27	25, 23, 11, 26	coe1fval2 22407	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
28	22, 24, 27	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
29		fconstmpt 5728	. . 3 ⊢ (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
31	21, 28, 30	3eqtr4d 2811	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4594   ↦ cmpt 5197   × cxp 5664   ∘ ccom 5670  Oncon0 6367  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1_oc1o 8455   ↑_m cmap 8833  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  Ringcrg 20346   mPoly cmpl 22093  Poly₁cpl1 22374  coe₁cco1 22375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-psr 22096  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-ply1 22379  df-coe1 22380

This theorem is used by:  coe1fzgsumd  22501  decpmatid  22964  pmatcollpwscmatlem1  22983  fta1blem  26365  coe1zfv  33911  ply1gsumz  33920  hbtlem2  43892