Theorem coe1z 22384

Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
coe1z.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1z	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Proof of Theorem coe1z

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6757	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
2	1	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
3		nn0ex 12501	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4		1oex 8451	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
5	3, 4	elmap 8857	. . . 4 ⊢ ((1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
6	2, 5	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
7		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
9		psr1baslem 22305	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10		coe1z.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
11		coe1z.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		coe1z.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
13	8, 11, 12	ply1mpl0 22376	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
14		1on 8454	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
16		ringgrp 20311	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	8, 9, 10, 13, 15, 16	mpl0 22115	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = ((ℕ0 ↑m 1o) × {𝑌}))
18		fconstmpt 5714	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) × {𝑌}) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ 𝑌)
19	17, 18	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ 𝑌))
20		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝑏 = (1o × {𝑎}) → 𝑌 = 𝑌)
21	6, 7, 19, 20	fmptco 7115	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
22	11	ply1ring 22367	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
24	23, 12	ring0cl 20341	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (coe1‘ 0 ) = (coe1‘ 0 )
26		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
27	25, 23, 11, 26	coe1fval2 22330	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
28	22, 24, 27	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
29		fconstmpt 5714	. . 3 ⊢ (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
31	21, 28, 30	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650   ∘ ccom 5656  Oncon0 6350  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1_oc1o 8434   ↑_m cmap 8812  ℕ₀cn0 12495  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  Ringcrg 20306   mPoly cmpl 22016  Poly₁cpl1 22297  coe₁cco1 22298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-psr 22019  df-mpl 22021  df-opsr 22023  df-psr1 22300  df-ply1 22302  df-coe1 22303

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  22425  decpmatid  22888  pmatcollpwscmatlem1  22907  fta1blem  26289  coe1zfv  33797  ply1gsumz  33806  hbtlem2  43713