MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1z 21650
Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1z.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
coe1z.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
coe1z.y π‘Œ = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
coe1z (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜ 0 ) = (β„•0 Γ— {π‘Œ}))

Proof of Theorem coe1z
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6732 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {π‘Ž}):1oβŸΆβ„•0)
21adantl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {π‘Ž}):1oβŸΆβ„•0)
3 nn0ex 12424 . . . . 5 β„•0 ∈ V
4 1oex 8423 . . . . 5 1o ∈ V
53, 4elmap 8812 . . . 4 ((1o Γ— {π‘Ž}) ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {π‘Ž}):1oβŸΆβ„•0)
62, 5sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {π‘Ž}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
7 eqidd 2734 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž})) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž})))
8 eqid 2733 . . . . 5 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
9 psr1baslem 21572 . . . . 5 (β„•0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑐 β€œ β„•) ∈ Fin}
10 coe1z.y . . . . 5 π‘Œ = (0gβ€˜π‘…)
11 coe1z.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
12 coe1z.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
138, 11, 12ply1mpl0 21642 . . . . 5 0 = (0gβ€˜(1o mPoly 𝑅))
14 1on 8425 . . . . . 6 1o ∈ On
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1o ∈ On)
16 ringgrp 19974 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
178, 9, 10, 13, 15, 16mpl0 21428 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 = ((β„•0 ↑m 1o) Γ— {π‘Œ}))
18 fconstmpt 5695 . . . 4 ((β„•0 ↑m 1o) Γ— {π‘Œ}) = (𝑏 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ π‘Œ)
1917, 18eqtrdi 2789 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 = (𝑏 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ π‘Œ))
20 eqidd 2734 . . 3 (𝑏 = (1o Γ— {π‘Ž}) β†’ π‘Œ = π‘Œ)
216, 7, 19, 20fmptco 7076 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 ∘ (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž}))) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ π‘Œ))
2211ply1ring 21635 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
23 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2423, 12ring0cl 19995 . . 3 (𝑃 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
25 eqid 2733 . . . 4 (coe1β€˜ 0 ) = (coe1β€˜ 0 )
26 eqid 2733 . . . 4 (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž})) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž}))
2725, 23, 11, 26coe1fval2 21597 . . 3 ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜ 0 ) = ( 0 ∘ (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž}))))
2822, 24, 273syl 18 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜ 0 ) = ( 0 ∘ (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž}))))
29 fconstmpt 5695 . . 3 (β„•0 Γ— {π‘Œ}) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ π‘Œ)
3029a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (β„•0 Γ— {π‘Œ}) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ π‘Œ))
3121, 28, 303eqtr4d 2783 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜ 0 ) = (β„•0 Γ— {π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632   ∘ ccom 5638  Oncon0 6318  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1oc1o 8406   ↑m cmap 8768  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  0gc0g 17326  Ringcrg 19969   mPoly cmpl 21324  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-psr 21327  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-coe1 21570
This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  21689  decpmatid  22135  pmatcollpwscmatlem1  22154  fta1blem  25549  ply1gsumz  32339  hbtlem2  41494
  Copyright terms: Public domain W3C validator