MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1z Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1z 21785
Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1z.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
coe1z.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
coe1z.y π‘Œ = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
coe1z (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜ 0 ) = (β„•0 Γ— {π‘Œ}))
Proof of Theorem coe1z
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6781 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {π‘Ž}):1oβŸΆβ„•0)
21adantl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {π‘Ž}):1oβŸΆβ„•0)
3 nn0ex 12478 . . . . 5 β„•0 ∈ V
4 1oex 8476 . . . . 5 1o ∈ V
53, 4elmap 8865 . . . 4 ((1o Γ— {π‘Ž}) ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {π‘Ž}):1oβŸΆβ„•0)
62, 5sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {π‘Ž}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
7 eqidd 2734 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž})) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž})))
8 eqid 2733 . . . . 5 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
9 psr1baslem 21709 . . . . 5 (β„•0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (◑𝑐 β€œ β„•) ∈ Fin}
10 coe1z.y . . . . 5 π‘Œ = (0gβ€˜π‘…)
11 coe1z.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
12 coe1z.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
138, 11, 12ply1mpl0 21777 . . . . 5 0 = (0gβ€˜(1o mPoly 𝑅))
14 1on 8478 . . . . . 6 1o ∈ On
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1o ∈ On)
16 ringgrp 20061 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
178, 9, 10, 13, 15, 16mpl0 21565 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 = ((β„•0 ↑m 1o) Γ— {π‘Œ}))
18 fconstmpt 5739 . . . 4 ((β„•0 ↑m 1o) Γ— {π‘Œ}) = (𝑏 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ π‘Œ)
1917, 18eqtrdi 2789 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 = (𝑏 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ π‘Œ))
20 eqidd 2734 . . 3 (𝑏 = (1o Γ— {π‘Ž}) β†’ π‘Œ = π‘Œ)
216, 7, 19, 20fmptco 7127 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( 0 ∘ (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž}))) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ π‘Œ))
2211ply1ring 21770 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
23 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2423, 12ring0cl 20084 . . 3 (𝑃 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
25 eqid 2733 . . . 4 (coe1β€˜ 0 ) = (coe1β€˜ 0 )
26 eqid 2733 . . . 4 (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž})) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž}))
2725, 23, 11, 26coe1fval2 21734 . . 3 ( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜ 0 ) = ( 0 ∘ (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž}))))
2822, 24, 273syl 18 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜ 0 ) = ( 0 ∘ (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘Ž}))))
29 fconstmpt 5739 . . 3 (β„•0 Γ— {π‘Œ}) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ π‘Œ)
3029a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (β„•0 Γ— {π‘Œ}) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ π‘Œ))
3121, 28, 303eqtr4d 2783 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (coe1β€˜ 0 ) = (β„•0 Γ— {π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681  Oncon0 6365  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   ↑m cmap 8820  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Ringcrg 20056   mPoly cmpl 21459  Poly1cpl1 21701  coe1cco1 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-psr 21462  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-ply1 21706  df-coe1 21707
This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  21826  decpmatid  22272  pmatcollpwscmatlem1  22291  fta1blem  25686  ply1gsumz  32669  hbtlem2  41866
  Copyright terms: Public domain W3C validator