Theorem coe1z 22587

Description: The coefficient vector of 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
coe1z.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1z	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

Proof of Theorem coe1z

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 6771	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
3		nn0ex 12615	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4		1oex 8489	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
5	3, 4	elmap 8902	. . . 4 ⊢ ((1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑎}):1o⟶ℕ0)
6	2, 5	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑎}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
7		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})))
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
9		psr1baslem 22508	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑐 “ ℕ) ∈ Fin}
10		coe1z.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
11		coe1z.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		coe1z.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
13	8, 11, 12	ply1mpl0 22579	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
14		1on 8492	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
16		ringgrp 20469	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	8, 9, 10, 13, 15, 16	mpl0 22318	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = ((ℕ0 ↑m 1o) × {𝑌}))
18		fconstmpt 5712	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) × {𝑌}) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ 𝑌)
19	17, 18	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ 𝑌))
20		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝑏 = (1o × {𝑎}) → 𝑌 = 𝑌)
21	6, 7, 19, 20	fmptco 7130	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
22	11	ply1ring 22570	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
24	23, 12	ring0cl 20501	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (coe1‘ 0 ) = (coe1‘ 0 )
26		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))
27	25, 23, 11, 26	coe1fval2 22533	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
28	22, 24, 27	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = ( 0 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑎}))))
29		fconstmpt 5712	. . 3 ⊢ (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℕ0 × {𝑌}) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ 𝑌))
31	21, 28, 30	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑌}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   ∘ ccom 5654  Oncon0 6362  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8472   ↑_m cmap 8850  ℕ₀cn0 12609  Basecbs 17392  0_gc0g 17615  Ringcrg 20464   mPoly cmpl 22219  Poly₁cpl1 22500  coe₁cco1 22501

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-psr 22222  df-mpl 22224  df-opsr 22226  df-psr1 22503  df-ply1 22505  df-coe1 22506

This theorem is used by:  coe1fzgsumd  22627  decpmatid  23093  pmatcollpwscmatlem1  23112  fta1blem  26494  coe1zfv  34168  ply1gsumz  34177  hbtlem2  44219