Theorem coe1tm 22213

Description: Coefficient vector of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
coe1tm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥, ↑   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥, ·

Proof of Theorem coe1tm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		coe1tm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1tm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
4		coe1tm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		coe1tm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
6		coe1tm.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ply1tmcl 22212	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))
11	9, 7, 2, 10	coe1fval2 22149	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
12	8, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
13		fconst6g 6721	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑥}):1o⟶ℕ0)
14		nn0ex 12405	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		1oex 8405	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
16	14, 15	elmap 8807	. . . . 5 ⊢ ((1o × {𝑥}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑥}):1o⟶ℕ0)
17	13, 16	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑥}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑥}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
19		eqidd 2735	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})))
20		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
21	5, 7	mgpbas 20078	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁))
23		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)) = (mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))
24	2, 7	ply1bas 22133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
25	23, 24	mgpbas 20078	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
27		ssv 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ⊆ V)
29		ovexd 7391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑁)𝑦) ∈ V)
30		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	5, 30	mgpplusg 20077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑁)
32		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
33	2, 32, 30	ply1mulr 22164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
34	23, 33	mgpplusg 20077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
35	31, 34	eqtr3i 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
37	36	oveqdr 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑁)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))𝑦))
38	6, 20, 22, 26, 28, 29, 37	mulgpropd 19044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
39	38	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
40		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 = 𝐷)
41	3	vr1val 22130	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
43	39, 40, 42	oveq123d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅)))
44	43	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐶 · (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅))))
45		psr1baslem 22123	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
46		coe1tm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
47		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
48		1on 8407	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 1o ∈ On)
50		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
51		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
52		0lt1o 8429	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ∅ ∈ 1o)
54		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
55	32, 45, 46, 47, 49, 23, 20, 50, 51, 53, 54	mplcoe3 21991	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r‘𝑅), 0 )) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅)))
56	55	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝐶 · (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅))))
57	2, 32, 4	ply1vsca 22163	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
58		elsni 4595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {∅} → 𝑏 = ∅)
59		df1o2 8402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
60	58, 59	eleq2s 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 1o → 𝑏 = ∅)
61	60	iftrued 4485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 1o → if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0) = 𝐷)
62	61	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 1o) → if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0) = 𝐷)
63	62	mpteq2dva 5189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (𝑏 ∈ 1o ↦ 𝐷))
64		fconstmpt 5684	. . . . . . 7 ⊢ (1o × {𝐷}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ 𝐷)
65	63, 64	eqtr4di 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (1o × {𝐷}))
66		fconst6g 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (1o × {𝐷}):1o⟶ℕ0)
67	14, 15	elmap 8807	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o × {𝐷}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝐷}):1o⟶ℕ0)
68	66, 67	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (1o × {𝐷}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
69	68	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (1o × {𝐷}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
70	65, 69	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
71		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐾)
72	32, 57, 45, 47, 46, 1, 49, 51, 70, 71	mplmon2 22014	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
73	44, 56, 72	3eqtr2d 2775	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
74		eqeq1 2738	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (1o × {𝑥}) → (𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ (1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0))))
75	74	ifbid 4501	. . 3 ⊢ (𝑦 = (1o × {𝑥}) → if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ) = if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ))
76	18, 19, 73, 75	fmptco 7072	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
77	65	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (1o × {𝐷}))
78	77	eqeq2d 2745	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ (1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷})))
79		fveq1 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}) → ((1o × {𝑥})‘∅) = ((1o × {𝐷})‘∅))
80		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
81	80	fvconst2 7148	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 1o → ((1o × {𝑥})‘∅) = 𝑥)
82	52, 81	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥})‘∅) = 𝑥)
83		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
84		fvconst2g 7146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → ((1o × {𝐷})‘∅) = 𝐷)
85	83, 52, 84	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝐷})‘∅) = 𝐷)
86	82, 85	eqeq12d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((1o × {𝑥})‘∅) = ((1o × {𝐷})‘∅) ↔ 𝑥 = 𝐷))
87	79, 86	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}) → 𝑥 = 𝐷))
88		sneq 4588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → {𝑥} = {𝐷})
89	88	xpeq2d 5652	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}))
90	87, 89	impbid1 225	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}) ↔ 𝑥 = 𝐷))
91	78, 90	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ 𝑥 = 𝐷))
92	91	ifbid 4501	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ) = if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
93	92	mpteq2dva 5189	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
94	12, 76, 93	3eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ifcif 4477  {csn 4578   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620   ∘ ccom 5626  Oncon0 6315  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8761  0cc0 11024  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176   ·_𝑠 cvsca 17179  0_gc0g 17357  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20073  1_rcur 20114  Ringcrg 20166   mVar cmvr 21859   mPoly cmpl 21860  var₁cv1 22114  Poly₁cpl1 22115  coe₁cco1 22116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-vr1 22119  df-ply1 22120  df-coe1 22121

This theorem is referenced by:  coe1tmfv1  22214  coe1tmfv2  22215  coe1scl  22227  gsummoncoe1  22250  decpmatid  22712  monmatcollpw  22721  mp2pm2mplem4  22751  coe1mon  33617