Theorem coe1tm 21444

Description: Coefficient vector of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
coe1tm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥, ↑   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥, ·

Proof of Theorem coe1tm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		coe1tm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1tm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
4		coe1tm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		coe1tm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
6		coe1tm.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ply1tmcl 21443	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))
11	9, 7, 2, 10	coe1fval2 21381	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
12	8, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
13		fconst6g 6663	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑥}):1o⟶ℕ0)
14		nn0ex 12239	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		1oex 8307	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
16	14, 15	elmap 8659	. . . . 5 ⊢ ((1o × {𝑥}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑥}):1o⟶ℕ0)
17	13, 16	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑥}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
18	17	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑥}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
19		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})))
20		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
21	5, 7	mgpbas 19726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁))
23		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)) = (mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))
24		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
25	2, 24, 7	ply1bas 21366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
26	23, 25	mgpbas 19726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
28		ssv 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ V
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ⊆ V)
30		ovexd 7310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑁)𝑦) ∈ V)
31		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
32	5, 31	mgpplusg 19724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑁)
33		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
34	2, 33, 31	ply1mulr 21398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
35	23, 34	mgpplusg 19724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
36	32, 35	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
38	37	oveqdr 7303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑁)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))𝑦))
39	6, 20, 22, 27, 29, 30, 38	mulgpropd 18745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
40	39	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
41		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 = 𝐷)
42	3	vr1val 21363	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
44	40, 41, 43	oveq123d 7296	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅)))
45	44	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐶 · (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅))))
46		psr1baslem 21356	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
47		coe1tm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
48		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
49		1on 8309	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 1o ∈ On)
51		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
52		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
53		0lt1o 8334	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ∅ ∈ 1o)
55		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
56	33, 46, 47, 48, 50, 23, 20, 51, 52, 54, 55	mplcoe3 21239	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r‘𝑅), 0 )) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅)))
57	56	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝐶 · (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅))))
58	2, 33, 4	ply1vsca 21397	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
59		elsni 4578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {∅} → 𝑏 = ∅)
60		df1o2 8304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
61	59, 60	eleq2s 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 1o → 𝑏 = ∅)
62	61	iftrued 4467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 1o → if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0) = 𝐷)
63	62	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 1o) → if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0) = 𝐷)
64	63	mpteq2dva 5174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (𝑏 ∈ 1o ↦ 𝐷))
65		fconstmpt 5649	. . . . . . 7 ⊢ (1o × {𝐷}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ 𝐷)
66	64, 65	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (1o × {𝐷}))
67		fconst6g 6663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (1o × {𝐷}):1o⟶ℕ0)
68	14, 15	elmap 8659	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o × {𝐷}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝐷}):1o⟶ℕ0)
69	67, 68	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (1o × {𝐷}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
70	69	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (1o × {𝐷}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
71	66, 70	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
72		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐾)
73	33, 58, 46, 48, 47, 1, 50, 52, 71, 72	mplmon2 21269	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
74	45, 57, 73	3eqtr2d 2784	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
75		eqeq1 2742	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (1o × {𝑥}) → (𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ (1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0))))
76	75	ifbid 4482	. . 3 ⊢ (𝑦 = (1o × {𝑥}) → if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ) = if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ))
77	18, 19, 74, 76	fmptco 7001	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
78	66	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (1o × {𝐷}))
79	78	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ (1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷})))
80		fveq1 6773	. . . . . . 7 ⊢ ((1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}) → ((1o × {𝑥})‘∅) = ((1o × {𝐷})‘∅))
81		vex 3436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
82	81	fvconst2 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 1o → ((1o × {𝑥})‘∅) = 𝑥)
83	53, 82	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥})‘∅) = 𝑥)
84		simpl3 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
85		fvconst2g 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → ((1o × {𝐷})‘∅) = 𝐷)
86	84, 53, 85	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝐷})‘∅) = 𝐷)
87	83, 86	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((1o × {𝑥})‘∅) = ((1o × {𝐷})‘∅) ↔ 𝑥 = 𝐷))
88	80, 87	syl5ib 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}) → 𝑥 = 𝐷))
89		sneq 4571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → {𝑥} = {𝐷})
90	89	xpeq2d 5619	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}))
91	88, 90	impbid1 224	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}) ↔ 𝑥 = 𝐷))
92	79, 91	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ 𝑥 = 𝐷))
93	92	ifbid 4482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ) = if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
94	93	mpteq2dva 5174	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
95	12, 77, 94	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587   ∘ ccom 5593  Oncon0 6266  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1_oc1o 8290   ↑_m cmap 8615  0cc0 10871  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  ._gcmg 18700  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  Ringcrg 19783   mVar cmvr 21108   mPoly cmpl 21109  PwSer₁cps1 21346  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348  coe₁cco1 21349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-coe1 21354

This theorem is referenced by:  coe1tmfv1  21445  coe1tmfv2  21446  coe1scl  21458  gsummoncoe1  21475  decpmatid  21919  monmatcollpw  21928  mp2pm2mplem4  21958