MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1tm 21786
Description: Coefficient vector of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
coe1tm.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
coe1tm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
coe1tm.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
coe1tm.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
coe1tm.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
coe1tm.e ↑ = (.gβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
coe1tm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 𝐷, 𝐢, 0 )))
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐾   π‘₯, ↑   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝑅   π‘₯, Β·
Proof of Theorem coe1tm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tm.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2 coe1tm.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
3 coe1tm.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
4 coe1tm.m . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
5 coe1tm.n . . . 4 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
6 coe1tm.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘)
7 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ply1tmcl 21785 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9 eqid 2732 . . . 4 (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))) = (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))
10 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘₯}))
119, 7, 2, 10coe1fval2 21725 . . 3 ((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))) = ((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘₯}))))
128, 11syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))) = ((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘₯}))))
13 fconst6g 6777 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {π‘₯}):1oβŸΆβ„•0)
14 nn0ex 12474 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
15 1oex 8472 . . . . . 6 1o ∈ V
1614, 15elmap 8861 . . . . 5 ((1o Γ— {π‘₯}) ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {π‘₯}):1oβŸΆβ„•0)
1713, 16sylibr 233 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {π‘₯}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
1817adantl 482 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {π‘₯}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
19 eqidd 2733 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘₯})))
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
215, 7mgpbas 19987 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘)
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)) = (mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅))
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (PwSer1β€˜π‘…) = (PwSer1β€˜π‘…)
252, 24, 7ply1bas 21710 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
2623, 25mgpbas 19987 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅))))
28 ssv 4005 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† V
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† V)
30 ovexd 7440 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ V)
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
325, 31mgpplusg 19985 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘)
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
342, 33, 31ply1mulr 21740 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜(1o mPoly 𝑅))
3523, 34mgpplusg 19985 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
3632, 35eqtr3i 2762 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅))))
3837oveqdr 7433 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)))𝑦))
396, 20, 22, 27, 29, 30, 38mulgpropd 18990 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅))))
40393ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅))))
41 eqidd 2733 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ 𝐷 = 𝐷)
423vr1val 21707 . . . . . . 7 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)β€˜βˆ…)
4342a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)β€˜βˆ…))
4440, 41, 43oveq123d 7426 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝐷 ↑ 𝑋) = (𝐷(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)β€˜βˆ…)))
4544oveq2d 7421 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐢 Β· (𝐷(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)β€˜βˆ…))))
46 psr1baslem 21700 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 1o) = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
47 coe1tm.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
48 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
49 1on 8474 . . . . . . 7 1o ∈ On
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ 1o ∈ On)
51 eqid 2732 . . . . . 6 (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
52 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
53 0lt1o 8500 . . . . . . 7 βˆ… ∈ 1o
5453a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ βˆ… ∈ 1o)
55 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
5633, 46, 47, 48, 50, 23, 20, 51, 52, 54, 55mplcoe3 21584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), (1rβ€˜π‘…), 0 )) = (𝐷(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)β€˜βˆ…)))
5756oveq2d 7421 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 Β· (𝑦 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), (1rβ€˜π‘…), 0 ))) = (𝐢 Β· (𝐷(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)β€˜βˆ…))))
582, 33, 4ply1vsca 21739 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜(1o mPoly 𝑅))
59 elsni 4644 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑏 = βˆ…)
60 df1o2 8469 . . . . . . . . . . 11 1o = {βˆ…}
6159, 60eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ 1o β†’ 𝑏 = βˆ…)
6261iftrued 4535 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 1o β†’ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0) = 𝐷)
6362adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ 𝑏 ∈ 1o) β†’ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0) = 𝐷)
6463mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)) = (𝑏 ∈ 1o ↦ 𝐷))
65 fconstmpt 5736 . . . . . . 7 (1o Γ— {𝐷}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ 𝐷)
6664, 65eqtr4di 2790 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)) = (1o Γ— {𝐷}))
67 fconst6g 6777 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {𝐷}):1oβŸΆβ„•0)
6814, 15elmap 8861 . . . . . . . 8 ((1o Γ— {𝐷}) ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝐷}):1oβŸΆβ„•0)
6967, 68sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {𝐷}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
70693ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {𝐷}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
7166, 70eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
72 simp2 1137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
7333, 58, 46, 48, 47, 1, 50, 52, 71, 72mplmon2 21613 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 Β· (𝑦 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), (1rβ€˜π‘…), 0 ))) = (𝑦 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), 𝐢, 0 )))
7445, 57, 733eqtr2d 2778 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝑦 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), 𝐢, 0 )))
75 eqeq1 2736 . . . 4 (𝑦 = (1o Γ— {π‘₯}) β†’ (𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)) ↔ (1o Γ— {π‘₯}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0))))
7675ifbid 4550 . . 3 (𝑦 = (1o Γ— {π‘₯}) β†’ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), 𝐢, 0 ) = if((1o Γ— {π‘₯}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), 𝐢, 0 ))
7718, 19, 74, 76fmptco 7123 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘₯}))) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if((1o Γ— {π‘₯}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), 𝐢, 0 )))
7866adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)) = (1o Γ— {𝐷}))
7978eqeq2d 2743 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((1o Γ— {π‘₯}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)) ↔ (1o Γ— {π‘₯}) = (1o Γ— {𝐷})))
80 fveq1 6887 . . . . . . 7 ((1o Γ— {π‘₯}) = (1o Γ— {𝐷}) β†’ ((1o Γ— {π‘₯})β€˜βˆ…) = ((1o Γ— {𝐷})β€˜βˆ…))
81 vex 3478 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
8281fvconst2 7201 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∈ 1o β†’ ((1o Γ— {π‘₯})β€˜βˆ…) = π‘₯)
8353, 82mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((1o Γ— {π‘₯})β€˜βˆ…) = π‘₯)
84 simpl3 1193 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
85 fvconst2g 7199 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ β„•0 ∧ βˆ… ∈ 1o) β†’ ((1o Γ— {𝐷})β€˜βˆ…) = 𝐷)
8684, 53, 85sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((1o Γ— {𝐷})β€˜βˆ…) = 𝐷)
8783, 86eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (((1o Γ— {π‘₯})β€˜βˆ…) = ((1o Γ— {𝐷})β€˜βˆ…) ↔ π‘₯ = 𝐷))
8880, 87imbitrid 243 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((1o Γ— {π‘₯}) = (1o Γ— {𝐷}) β†’ π‘₯ = 𝐷))
89 sneq 4637 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐷 β†’ {π‘₯} = {𝐷})
9089xpeq2d 5705 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐷 β†’ (1o Γ— {π‘₯}) = (1o Γ— {𝐷}))
9188, 90impbid1 224 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((1o Γ— {π‘₯}) = (1o Γ— {𝐷}) ↔ π‘₯ = 𝐷))
9279, 91bitrd 278 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((1o Γ— {π‘₯}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)) ↔ π‘₯ = 𝐷))
9392ifbid 4550 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ if((1o Γ— {π‘₯}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), 𝐢, 0 ) = if(π‘₯ = 𝐷, 𝐢, 0 ))
9493mpteq2dva 5247 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if((1o Γ— {π‘₯}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = βˆ…, 𝐷, 0)), 𝐢, 0 )) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 𝐷, 𝐢, 0 )))
9512, 77, 943eqtrd 2776 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 𝐷, 𝐢, 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  Oncon0 6361  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1oc1o 8455   ↑m cmap 8816  0cc0 11106  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049   mVar cmvr 21449   mPoly cmpl 21450  PwSer1cps1 21690  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698
This theorem is referenced by:  coe1tmfv1  21787  coe1tmfv2  21788  coe1scl  21800  gsummoncoe1  21819  decpmatid  22263  monmatcollpw  22272  mp2pm2mplem4  22302  coe1mon  32652
  Copyright terms: Public domain W3C validator