Theorem coe1tm 22500

Description: Coefficient vector of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
coe1tm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥, ↑   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥, ·

Proof of Theorem coe1tm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		coe1tm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		coe1tm.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
4		coe1tm.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		coe1tm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
6		coe1tm.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ply1tmcl 22499	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))
11	9, 7, 2, 10	coe1fval2 22436	. . 3 ⊢ ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
12	8, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))))
13		fconst6g 6765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑥}):1o⟶ℕ0)
14		nn0ex 12535	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15		1oex 8466	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
16	14, 15	elmap 8879	. . . . 5 ⊢ ((1o × {𝑥}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑥}):1o⟶ℕ0)
17	13, 16	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑥}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
18	17	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑥}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
19		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥})))
20		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
21	5, 7	mgpbas 20279	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁))
23		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)) = (mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))
24	2, 7	ply1bas 22421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
25	23, 24	mgpbas 20279	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
27		ssv 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) ⊆ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ⊆ V)
29		ovexd 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑁)𝑦) ∈ V)
30		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	5, 30	mgpplusg 20278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑁)
32		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
33	2, 32, 30	ply1mulr 22451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
34	23, 33	mgpplusg 20278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
35	31, 34	eqtr3i 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
37	36	oveqdr 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑁)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))𝑦))
38	6, 20, 22, 26, 28, 29, 37	mulgpropd 19240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
39	38	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅))))
40		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 = 𝐷)
41	3	vr1val 22418	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅))
43	39, 40, 42	oveq123d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅)))
44	43	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐶 · (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅))))
45		psr1baslem 22411	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
46		coe1tm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
47		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
48		1on 8469	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 1o ∈ On)
50		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
51		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
52		0lt1o 8492	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ∅ ∈ 1o)
54		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
55	32, 45, 46, 47, 49, 23, 20, 50, 51, 53, 54	mplcoe3 22255	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r‘𝑅), 0 )) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅)))
56	55	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝐶 · (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1o mPoly 𝑅)))((1o mVar 𝑅)‘∅))))
57	2, 32, 4	ply1vsca 22450	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
58		elsni 4601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {∅} → 𝑏 = ∅)
59		df1o2 8463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
60	58, 59	eleq2s 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 1o → 𝑏 = ∅)
61	60	iftrued 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 1o → if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0) = 𝐷)
62	61	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 1o) → if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0) = 𝐷)
63	62	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (𝑏 ∈ 1o ↦ 𝐷))
64		fconstmpt 5717	. . . . . . 7 ⊢ (1o × {𝐷}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ 𝐷)
65	63, 64	eqtr4di 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (1o × {𝐷}))
66		fconst6g 6765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (1o × {𝐷}):1o⟶ℕ0)
67	14, 15	elmap 8879	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o × {𝐷}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝐷}):1o⟶ℕ0)
68	66, 67	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (1o × {𝐷}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
69	68	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (1o × {𝐷}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
70	65, 69	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
71		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐾)
72	32, 57, 45, 47, 46, 1, 49, 51, 70, 71	mplmon2 22278	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
73	44, 56, 72	3eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
74		eqeq1 2764	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (1o × {𝑥}) → (𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ (1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0))))
75	74	ifbid 4506	. . 3 ⊢ (𝑦 = (1o × {𝑥}) → if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ) = if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ))
76	18, 19, 73, 75	fmptco 7124	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑥}))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
77	65	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (1o × {𝐷}))
78	77	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ (1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷})))
79		fveq1 6878	. . . . . . 7 ⊢ ((1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}) → ((1o × {𝑥})‘∅) = ((1o × {𝐷})‘∅))
80		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
81	80	fvconst2 7204	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 1o → ((1o × {𝑥})‘∅) = 𝑥)
82	52, 81	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥})‘∅) = 𝑥)
83		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
84		fvconst2g 7202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → ((1o × {𝐷})‘∅) = 𝐷)
85	83, 52, 84	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝐷})‘∅) = 𝐷)
86	82, 85	eqeq12d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((1o × {𝑥})‘∅) = ((1o × {𝐷})‘∅) ↔ 𝑥 = 𝐷))
87	79, 86	imbitrid 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}) → 𝑥 = 𝐷))
88		sneq 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → {𝑥} = {𝐷})
89	88	xpeq2d 5685	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}))
90	87, 89	impbid1 228	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (1o × {𝐷}) ↔ 𝑥 = 𝐷))
91	78, 90	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ 𝑥 = 𝐷))
92	91	ifbid 4506	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ) = if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
93	92	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if((1o × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1o ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
94	12, 76, 93	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653   ∘ ccom 5659  Oncon0 6357  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1_oc1o 8449   ↑_m cmap 8827  0cc0 11125  ℕ₀cn0 12529  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  ._rcmulr 17344   ·_𝑠 cvsca 17347  0_gc0g 17525  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  1_rcur 20321  Ringcrg 20373   mVar cmvr 22121   mPoly cmpl 22122  var₁cv1 22402  Poly₁cpl1 22403  coe₁cco1 22404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409

This theorem is used by:  coe1tmfv1  22501  coe1tmfv2  22502  coe1scl  22514  gsummoncoe1  22534  decpmatid  22996  monmatcollpw  23005  mp2pm2mplem4  23035  coe1mon  33998