Theorem psr1bas 22159

Description: The base set of the ring of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psr1val.1	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
psr1bas2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psr1bas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
psr1bas	⊢ 𝐵 = (𝐾 ↑m (ℕ0 ↑m 1o))

Proof of Theorem psr1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		psr1bas.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		psr1baslem 22153	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psr1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
5		psr1bas2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6	4, 5, 1	psr1bas2 22158	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
7		1on 8501	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1o ∈ On)
9	1, 2, 3, 6, 8	psrbas 21920	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐵 = (𝐾 ↑m (ℕ0 ↑m 1o)))
10	9	mptru 1546	1 ⊢ 𝐵 = (𝐾 ↑m (ℕ0 ↑m 1o))

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  Oncon0 6365  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1_oc1o 8482   ↑_m cmap 8849  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17230   mPwSer cmps 21891  PwSer₁cps1 22143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-fz 13531  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-tset 17296  df-ple 17297  df-psr 21896  df-opsr 21900  df-psr1 22148

This theorem is referenced by:  psr1basf  22170