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Theorem ptcldmpt 23473
Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcldmpt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ptcldmpt.j ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ Top)
ptcldmpt.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Assertion
Ref Expression
ptcldmpt (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   𝐴,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘˜)   𝐽(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem ptcldmpt
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2897 . . 3 Ⅎ𝑙𝐢
2 nfcsb1v 3913 . . 3 β„²π‘˜β¦‹π‘™ / π‘˜β¦ŒπΆ
3 csbeq1a 3902 . . 3 (π‘˜ = 𝑙 β†’ 𝐢 = ⦋𝑙 / π‘˜β¦ŒπΆ)
41, 2, 3cbvixp 8910 . 2 Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = X𝑙 ∈ 𝐴 ⦋𝑙 / π‘˜β¦ŒπΆ
5 ptcldmpt.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 ptcldmpt.j . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ Top)
76fmpttd 7110 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽):𝐴⟢Top)
8 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴)
9 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘˜Clsd
10 nffvmpt1 6896 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘™)
119, 10nffv 6895 . . . . . 6 β„²π‘˜(Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘™))
122, 11nfel 2911 . . . . 5 β„²π‘˜β¦‹π‘™ / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘™))
138, 12nfim 1891 . . . 4 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘™)))
14 eleq1w 2810 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ 𝑙 ∈ 𝐴))
1514anbi2d 628 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴)))
16 2fveq3 6890 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘˜)) = (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘™)))
173, 16eleq12d 2821 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝐢 ∈ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘˜)) ↔ ⦋𝑙 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘™))))
1815, 17imbi12d 344 . . . 4 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘˜))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘™)))))
19 ptcldmpt.c . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜π½))
20 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
21 eqid 2726 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)
2221fvmpt2 7003 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐽 ∈ Top) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘˜) = 𝐽)
2320, 6, 22syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘˜) = 𝐽)
2423fveq2d 6889 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘˜)) = (Clsdβ€˜π½))
2519, 24eleqtrrd 2830 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘˜)))
2613, 18, 25chvarfv 2225 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ ⦋𝑙 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽)β€˜π‘™)))
275, 7, 26ptcld 23472 . 2 (πœ‘ β†’ X𝑙 ∈ 𝐴 ⦋𝑙 / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽))))
284, 27eqeltrid 2831 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 ∈ (Clsdβ€˜(∏tβ€˜(π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β¦‹csb 3888   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  Xcixp 8893  βˆtcpt 17393  Topctop 22750  Clsdccld 22875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-er 8705  df-ixp 8894  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-top 22751  df-bases 22804  df-cld 22878
This theorem is referenced by:  ptclsg  23474  kelac1  42380
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