Theorem resubcli 11524

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
resubcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
resubcli	⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ

Proof of Theorem resubcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	recni 11227	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		resubcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	3	recni 11227	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		negsub 11510	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
6	2, 4, 5	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
7	3	renegcli 11523	. . 3 ⊢ -𝐵 ∈ ℝ
8	1, 7	readdcli 11228	. 2 ⊢ (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ
9	6, 8	eqeltrri 2860	1 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103   + caddc 11107   − cmin 11445  -cneg 11446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11447  df-neg 11448

This theorem is used by:  0reALT  11559  emcllem7  27175  emre  27179  emgt0  27180  bposlem8  27464  chebbnd1lem3  27644  chebbnd1  27645  norm3adifii  31509  lnophmlem2  32378  dpmul4  33242  ballotlemi1  34902  logdivsqrle  35046  arearect  43970  areaquad  43971  stirlinglem13  46828  fouriersw  46973  ceil5half3  48111  crosspcle1i  50664  crosspcle2i  50665  crosspcle3i  50666