Theorem resubcli 11333

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
resubcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
resubcli	⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ

Proof of Theorem resubcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	recni 11039	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		resubcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	3	recni 11039	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		negsub 11319	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
6	2, 4, 5	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
7	3	renegcli 11332	. . 3 ⊢ -𝐵 ∈ ℝ
8	1, 7	readdcli 11040	. 2 ⊢ (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ
9	6, 8	eqeltrri 2834	1 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  ℝcr 10920   + caddc 10924   − cmin 11255  -cneg 11256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-ltxr 11064  df-sub 11257  df-neg 11258

This theorem is referenced by:  0reALT  11368  emcllem7  26200  emre  26204  emgt0  26205  bposlem8  26488  chebbnd1lem3  26668  chebbnd1  26669  norm3adifii  29559  lnophmlem2  30428  dpmul4  31237  ballotlemi1  32518  logdivsqrle  32679  arearect  41242  areaquad  41243  stirlinglem13  43856  fouriersw  44001