Theorem ballotlemi1 34484

Description: The first tie cannot be reached at the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemi1	⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11261	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11259	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	resubcli 11569	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) ∈ ℝ
4		0lt1 11783	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
5		ltsub23 11741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0 − 0) < 1))
6	1, 2, 1, 5	mp3an 1460	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 1) < 0 ↔ (0 − 0) < 1)
7		0m0e0 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 0) = 0
8	7	breq1i 5155	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 0) < 1 ↔ 0 < 1)
9	6, 8	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 ↔ (0 − 1) < 0)
10	4, 9	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) < 0
11	3, 10	gtneii 11371	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ (0 − 1)
12	11	nesymi 2996	. . . 4 ⊢ ¬ (0 − 1) = 0
13		ballotth.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
14		ballotth.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
15		ballotth.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
16		ballotth.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
17		ballotth.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
18		eldifi 4141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝐶 ∈ 𝑂)
19		1nn 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℕ)
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 20	ballotlemfp1 34473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
22	21	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
24		1m1e0 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
25	24	fveq2i 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
26	25	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1)
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1))
28	13, 14, 15, 16, 17	ballotlemfval0 34477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
29	18, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
31	30	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1) = (0 − 1))
32	23, 27, 31	3eqtrrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 − 1) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
33	32	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((0 − 1) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
34	12, 33	mtbii 326	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
35		ballotth.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
36		ballotth.mgtn	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < 𝑀
37		ballotth.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
38	13, 14, 15, 16, 17, 35, 36, 37	ballotlemiex 34483	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
39	38	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
40	39	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
41		fveqeq2 6916	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐶) = 1 → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
42	41	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
43	40, 42	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
44	34, 43	mtand 816	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼‘𝐶) = 1)
45	44	neqned 2945	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  {crab 3433   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ...cfz 13544  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  ballotlemic  34488