Theorem ballotlemi1 34667

Description: The first tie cannot be reached at the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemi1	⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11141	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11139	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	resubcli 11451	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) ∈ ℝ
4		0lt1 11667	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
5		ltsub23 11625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0 − 0) < 1))
6	1, 2, 1, 5	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 1) < 0 ↔ (0 − 0) < 1)
7		0m0e0 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 0) = 0
8	7	breq1i 5093	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 0) < 1 ↔ 0 < 1)
9	6, 8	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 ↔ (0 − 1) < 0)
10	4, 9	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) < 0
11	3, 10	gtneii 11253	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ (0 − 1)
12	11	nesymi 2990	. . . 4 ⊢ ¬ (0 − 1) = 0
13		ballotth.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
14		ballotth.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
15		ballotth.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
16		ballotth.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
17		ballotth.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
18		eldifi 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝐶 ∈ 𝑂)
19		1nn 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℕ)
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 20	ballotlemfp1 34656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
22	21	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
23	22	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
24		1m1e0 12248	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
25	24	fveq2i 6839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
26	25	oveq1i 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1)
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1))
28	13, 14, 15, 16, 17	ballotlemfval0 34660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
29	18, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
31	30	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1) = (0 − 1))
32	23, 27, 31	3eqtrrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 − 1) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
33	32	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((0 − 1) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
34	12, 33	mtbii 326	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
35		ballotth.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
36		ballotth.mgtn	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < 𝑀
37		ballotth.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
38	13, 14, 15, 16, 17, 35, 36, 37	ballotlemiex 34666	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
39	38	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
40	39	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
41		fveqeq2 6845	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐶) = 1 → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
42	41	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
43	40, 42	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
44	34, 43	mtand 816	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼‘𝐶) = 1)
45	44	neqned 2940	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  infcinf 9349  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  ℤcz 12519  ...cfz 13456  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  ballotlemic  34671