Theorem ballotlemi1 34838

Description: The first tie cannot be reached at the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemi1	⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11210	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11208	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	resubcli 11520	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) ∈ ℝ
4		0lt1 11736	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
5		ltsub23 11694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0 − 0) < 1))
6	1, 2, 1, 5	mp3an 1487	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 1) < 0 ↔ (0 − 0) < 1)
7		0m0e0 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 0) = 0
8	7	breq1i 5120	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 0) < 1 ↔ 0 < 1)
9	6, 8	bitr2i 279	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 ↔ (0 − 1) < 0)
10	4, 9	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (0 − 1) < 0
11	3, 10	gtneii 11322	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ (0 − 1)
12	11	nesymi 3021	. . . 4 ⊢ ¬ (0 − 1) = 0
13		ballotth.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
14		ballotth.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
15		ballotth.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
16		ballotth.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
17		ballotth.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
18		eldifi 4093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝐶 ∈ 𝑂)
19		1nn 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℕ)
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 20	ballotlemfp1 34827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
22	21	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
23	22	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
24		1m1e0 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
25	24	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
26	25	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1)
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1))
28	13, 14, 15, 16, 17	ballotlemfval0 34831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
29	18, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
30	29	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
31	30	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘0) − 1) = (0 − 1))
32	23, 27, 31	3eqtrrd 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 − 1) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
33	32	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((0 − 1) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
34	12, 33	mtbii 329	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
35		ballotth.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
36		ballotth.mgtn	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < 𝑀
37		ballotth.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
38	13, 14, 15, 16, 17, 35, 36, 37	ballotlemiex 34837	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
39	38	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
40	39	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
41		fveqeq2 6891	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐶) = 1 → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
42	41	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → (((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0))
43	40, 42	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼‘𝐶) = 1) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = 0)
44	34, 43	mtand 827	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼‘𝐶) = 1)
45	44	neqned 2971	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼‘𝐶) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  infcinf 9401  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   < clt 11243   − cmin 11441   / cdiv 11871  ℕcn 12233  ℤcz 12591  ...cfz 13535  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  ballotlemic  34842