MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem7 26351
Description: Lemma for emcl 26352 and harmonicbnd 26353. Derive bounds on γ as 𝐹(1) and 𝐺(1). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem7 (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ∧ 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem7
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12534 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 emcl.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
4 emcl.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
5 emcl.3 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
6 emcl.4 . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
73, 4, 5, 6emcllem6 26350 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ γ ∧ 𝐺 ⇝ γ)
87simpri 486 . . . . . 6 𝐺 ⇝ γ
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐺 ⇝ γ)
103, 4emcllem1 26345 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℝ)
1110simpri 486 . . . . . . 7 𝐺:ℕ⟶ℝ
1211ffvelcdmi 7034 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1312adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
141, 2, 9, 13climrecl 15465 . . . 4 (⊤ → γ ∈ ℝ)
15 1nn 12164 . . . . 5 1 ∈ ℕ
16 simpr 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
178a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐺 ⇝ γ)
1812adantl 482 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
193, 4emcllem2 26346 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1))))
2019simprd 496 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2120adantl 482 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
221, 16, 17, 18, 21climub 15546 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ≤ γ)
2322ralrimiva 3143 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ≤ γ)
24 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝐺𝑖) = (𝐺‘1))
25 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (1...𝑛) = (1...1))
2625sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...1)(1 / 𝑚))
27 1z 12533 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
28 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
29 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = (1 / 1))
30 1div1e1 11845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
3129, 30eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 1 → (1 / 𝑚) = 1)
3231fsum1 15632 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (1...1)(1 / 𝑚) = 1)
3327, 28, 32mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑚 ∈ (1...1)(1 / 𝑚) = 1
3426, 33eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = 1)
35 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = (1 + 1))
36 df-2 12216 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
3735, 36eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 1) = 2)
3837fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘2))
3934, 38oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (1 − (log‘2)))
40 1re 11155 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
41 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
42 relogcl 25931 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (log‘2) ∈ ℝ
4440, 43resubcli 11463 . . . . . . . . . . 11 (1 − (log‘2)) ∈ ℝ
4544elexi 3464 . . . . . . . . . 10 (1 − (log‘2)) ∈ V
4639, 4, 45fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ → (𝐺‘1) = (1 − (log‘2)))
4715, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘1) = (1 − (log‘2))
4824, 47eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (𝐺𝑖) = (1 − (log‘2)))
4948breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → ((𝐺𝑖) ≤ γ ↔ (1 − (log‘2)) ≤ γ))
5049rspcva 3579 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ≤ γ) → (1 − (log‘2)) ≤ γ)
5115, 23, 50sylancr 587 . . . 4 (⊤ → (1 − (log‘2)) ≤ γ)
52 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑖 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑖))
5352negeqd 11395 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑖))
54 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))
55 negex 11399 . . . . . . . . . . 11 -(𝐹𝑖) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6948 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑖) = -(𝐹𝑖))
5756adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑖) = -(𝐹𝑖))
587simpli 484 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 ⇝ γ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐹 ⇝ γ)
60 0cnd 11148 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
61 nnex 12159 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
6261mptex 7173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ∈ V)
6410simpli 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹:ℕ⟶ℝ
6564ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6766recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
68 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
6968negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑘))
70 negex 11399 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(𝐹𝑘) ∈ V
7169, 54, 70fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
73 df-neg 11388 . . . . . . . . . . . . 13 -(𝐹𝑘) = (0 − (𝐹𝑘))
7472, 73eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) = (0 − (𝐹𝑘)))
751, 2, 59, 60, 63, 67, 74climsubc2 15521 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ⇝ (0 − γ))
7675adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥)) ⇝ (0 − γ))
7766renegcld 11582 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7872, 77eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ∈ ℝ)
7978adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ∈ ℝ)
8019simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
82 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
8464ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8685, 66lenegd 11734 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ -(𝐹𝑘) ≤ -(𝐹‘(𝑘 + 1))))
8781, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑘) ≤ -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
88 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
8988negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑘 + 1) → -(𝐹𝑥) = -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
90 negex 11399 . . . . . . . . . . . . . 14 -(𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ V
9189, 54, 90fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)) = -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
9283, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)) = -(𝐹‘(𝑘 + 1)))
9387, 72, 923brtr4d 5137 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ≤ ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)))
9493adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑘) ≤ ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘(𝑘 + 1)))
951, 16, 76, 79, 94climub 15546 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ -(𝐹𝑥))‘𝑖) ≤ (0 − γ))
9657, 95eqbrtrrd 5129 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑖) ≤ (0 − γ))
97 df-neg 11388 . . . . . . . 8 -γ = (0 − γ)
9896, 97breqtrrdi 5147 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → -(𝐹𝑖) ≤ -γ)
9914mptru 1548 . . . . . . . 8 γ ∈ ℝ
10064ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
101100adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
102 leneg 11658 . . . . . . . 8 ((γ ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑖) ∈ ℝ) → (γ ≤ (𝐹𝑖) ↔ -(𝐹𝑖) ≤ -γ))
10399, 101, 102sylancr 587 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (γ ≤ (𝐹𝑖) ↔ -(𝐹𝑖) ≤ -γ))
10498, 103mpbird 256 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → γ ≤ (𝐹𝑖))
105104ralrimiva 3143 . . . . 5 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ γ ≤ (𝐹𝑖))
106 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝐹𝑖) = (𝐹‘1))
107 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = (log‘1))
108 log1 25941 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘1) = 0
109107, 108eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = 0)
11034, 109oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (1 − 0))
111 1m0e1 12274 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
112110, 111eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = 1)
11340elexi 3464 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
114112, 3, 113fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
11515, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘1) = 1
116106, 115eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (𝐹𝑖) = 1)
117116breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (γ ≤ (𝐹𝑖) ↔ γ ≤ 1))
118117rspcva 3579 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ γ ≤ (𝐹𝑖)) → γ ≤ 1)
11915, 105, 118sylancr 587 . . . 4 (⊤ → γ ≤ 1)
12044, 40elicc2i 13330 . . . 4 (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ↔ (γ ∈ ℝ ∧ (1 − (log‘2)) ≤ γ ∧ γ ≤ 1))
12114, 51, 119, 120syl3anbrc 1343 . . 3 (⊤ → γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1))
122 ffn 6668 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
12364, 122mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
12416, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
125 elfznn 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ)
126125adantl 482 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ)
127126, 65syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
128 elfznn 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
129128adantl 482 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
130129, 80syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
131124, 127, 130monoord2 13939 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ≤ (𝐹‘1))
132131, 115breqtrdi 5146 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ≤ 1)
13399, 40elicc2i 13330 . . . . . 6 ((𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1) ↔ ((𝐹𝑖) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (𝐹𝑖) ∧ (𝐹𝑖) ≤ 1))
134101, 104, 132, 133syl3anbrc 1343 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1))
135134ralrimiva 3143 . . . 4 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1))
136 ffnfv 7066 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐹𝑖) ∈ (γ[,]1)))
137123, 135, 136sylanbrc 583 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1))
138 ffn 6668 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℕ)
13911, 138mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
14011ffvelcdmi 7034 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
141140adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ ℝ)
142126, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
143129, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑖 − 1))) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑘 + 1)))
144124, 142, 143monoord 13938 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺‘1) ≤ (𝐺𝑖))
14547, 144eqbrtrrid 5141 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 − (log‘2)) ≤ (𝐺𝑖))
14644, 99elicc2i 13330 . . . . . 6 ((𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ ((𝐺𝑖) ∈ ℝ ∧ (1 − (log‘2)) ≤ (𝐺𝑖) ∧ (𝐺𝑖) ≤ γ))
147141, 145, 22, 146syl3anbrc 1343 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
148147ralrimiva 3143 . . . 4 (⊤ → ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))
149 ffnfv 7066 . . . 4 (𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ (𝐺 Fn ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ (𝐺𝑖) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ)))
150139, 148, 149sylanbrc 583 . . 3 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
151121, 137, 1503jca 1128 . 2 (⊤ → (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ∧ 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ)))
152151mptru 1548 1 (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ 𝐹:ℕ⟶(γ[,]1) ∧ 𝐺:ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cli 15366  Σcsu 15570  logclog 25910  γcem 26341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-em 26342
This theorem is referenced by:  emcl  26352  harmonicbnd  26353  harmonicbnd2  26354
  Copyright terms: Public domain W3C validator