MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem7 26506
Description: Lemma for emcl 26507 and harmonicbnd 26508. Derive bounds on Ξ³ as 𝐹(1) and 𝐺(1). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem7 (Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1) ∧ 𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐻   π‘š,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘š,𝑛)   𝐺(π‘š,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem7
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12865 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12593 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 emcl.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
4 emcl.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
5 emcl.3 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
6 emcl.4 . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
73, 4, 5, 6emcllem6 26505 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
87simpri 487 . . . . . 6 𝐺 ⇝ Ξ³
98a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ Ξ³)
103, 4emcllem1 26500 . . . . . . . 8 (𝐹:β„•βŸΆβ„ ∧ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
1110simpri 487 . . . . . . 7 𝐺:β„•βŸΆβ„
1211ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1312adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
141, 2, 9, 13climrecl 15527 . . . 4 (⊀ β†’ Ξ³ ∈ ℝ)
15 1nn 12223 . . . . 5 1 ∈ β„•
16 simpr 486 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
178a1i 11 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ⇝ Ξ³)
1812adantl 483 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
193, 4emcllem2 26501 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
2019simprd 497 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
2120adantl 483 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
221, 16, 17, 18, 21climub 15608 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³)
2322ralrimiva 3147 . . . . 5 (⊀ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³)
24 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘–) = (πΊβ€˜1))
25 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (1...𝑛) = (1...1))
2625sumeq1d 15647 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (1...1)(1 / π‘š))
27 1z 12592 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„€
28 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
29 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 1 β†’ (1 / π‘š) = (1 / 1))
30 1div1e1 11904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
3129, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 1 β†’ (1 / π‘š) = 1)
3231fsum1 15693 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...1)(1 / π‘š) = 1)
3327, 28, 32mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 Ξ£π‘š ∈ (1...1)(1 / π‘š) = 1
3426, 33eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) = 1)
35 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (𝑛 + 1) = (1 + 1))
36 df-2 12275 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
3735, 36eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (𝑛 + 1) = 2)
3837fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜(𝑛 + 1)) = (logβ€˜2))
3934, 38oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))) = (1 βˆ’ (logβ€˜2)))
40 1re 11214 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
41 2rp 12979 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
42 relogcl 26084 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜2) ∈ ℝ)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (logβ€˜2) ∈ ℝ
4440, 43resubcli 11522 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ∈ ℝ
4544elexi 3494 . . . . . . . . . 10 (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ∈ V
4639, 4, 45fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜1) = (1 βˆ’ (logβ€˜2)))
4715, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 (πΊβ€˜1) = (1 βˆ’ (logβ€˜2))
4824, 47eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘–) = (1 βˆ’ (logβ€˜2)))
4948breq1d 5159 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ ((πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³ ↔ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ Ξ³))
5049rspcva 3611 . . . . 5 ((1 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³) β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ Ξ³)
5115, 23, 50sylancr 588 . . . 4 (⊀ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ Ξ³)
52 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘–))
5352negeqd 11454 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑖 β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘–))
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))
55 negex 11458 . . . . . . . . . . 11 -(πΉβ€˜π‘–) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6999 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘–) = -(πΉβ€˜π‘–))
5756adantl 483 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘–) = -(πΉβ€˜π‘–))
587simpli 485 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 ⇝ Ξ³
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ³)
60 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ 0 ∈ β„‚)
61 nnex 12218 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
6261mptex 7225 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ V)
6410simpli 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹:β„•βŸΆβ„
6564ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6766recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
68 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘˜))
6968negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘˜ β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘˜))
70 negex 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
7169, 54, 70fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
73 df-neg 11447 . . . . . . . . . . . . 13 -(πΉβ€˜π‘˜) = (0 βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜))
7472, 73eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = (0 βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)))
751, 2, 59, 60, 63, 67, 74climsubc2 15583 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ⇝ (0 βˆ’ Ξ³))
7675adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ⇝ (0 βˆ’ Ξ³))
7766renegcld 11641 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7872, 77eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7978adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8019simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
8180adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
82 peano2nn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
8464ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
8685, 66lenegd 11793 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ -(πΉβ€˜π‘˜) ≀ -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
8781, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) ≀ -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
88 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
8988negeqd 11454 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
90 negex 11458 . . . . . . . . . . . . . 14 -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ V
9189, 54, 90fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜(π‘˜ + 1)) = -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
9283, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜(π‘˜ + 1)) = -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
9387, 72, 923brtr4d 5181 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ≀ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜(π‘˜ + 1)))
9493adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ≀ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜(π‘˜ + 1)))
951, 16, 76, 79, 94climub 15608 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘–) ≀ (0 βˆ’ Ξ³))
9657, 95eqbrtrrd 5173 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ -(πΉβ€˜π‘–) ≀ (0 βˆ’ Ξ³))
97 df-neg 11447 . . . . . . . 8 -Ξ³ = (0 βˆ’ Ξ³)
9896, 97breqtrrdi 5191 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ -(πΉβ€˜π‘–) ≀ -Ξ³)
9914mptru 1549 . . . . . . . 8 Ξ³ ∈ ℝ
10064ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
101100adantl 483 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
102 leneg 11717 . . . . . . . 8 ((Ξ³ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ) β†’ (Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–) ↔ -(πΉβ€˜π‘–) ≀ -Ξ³))
10399, 101, 102sylancr 588 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–) ↔ -(πΉβ€˜π‘–) ≀ -Ξ³))
10498, 103mpbird 257 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–))
105104ralrimiva 3147 . . . . 5 (⊀ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–))
106 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜1))
107 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜π‘›) = (logβ€˜1))
108 log1 26094 . . . . . . . . . . . . 13 (logβ€˜1) = 0
109107, 108eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜π‘›) = 0)
11034, 109oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)) = (1 βˆ’ 0))
111 1m0e1 12333 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ 0) = 1
112110, 111eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)) = 1)
11340elexi 3494 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
114112, 3, 113fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
11515, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜1) = 1
116106, 115eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘–) = 1)
117116breq2d 5161 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ (Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–) ↔ Ξ³ ≀ 1))
118117rspcva 3611 . . . . 5 ((1 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–)) β†’ Ξ³ ≀ 1)
11915, 105, 118sylancr 588 . . . 4 (⊀ β†’ Ξ³ ≀ 1)
12044, 40elicc2i 13390 . . . 4 (Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1) ↔ (Ξ³ ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ Ξ³ ∧ Ξ³ ≀ 1))
12114, 51, 119, 120syl3anbrc 1344 . . 3 (⊀ β†’ Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1))
122 ffn 6718 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn β„•)
12364, 122mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐹 Fn β„•)
12416, 1eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
125 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
126125adantl 483 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
127126, 65syl 17 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
128 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...(𝑖 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
129128adantl 483 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
130129, 80syl 17 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
131124, 127, 130monoord2 13999 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΉβ€˜1))
132131, 115breqtrdi 5190 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 1)
13399, 40elicc2i 13390 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘–) ∈ (Ξ³[,]1) ↔ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–) ∧ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 1))
134101, 104, 132, 133syl3anbrc 1344 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ (Ξ³[,]1))
135134ralrimiva 3147 . . . 4 (⊀ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΉβ€˜π‘–) ∈ (Ξ³[,]1))
136 ffnfv 7118 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1) ↔ (𝐹 Fn β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΉβ€˜π‘–) ∈ (Ξ³[,]1)))
137123, 135, 136sylanbrc 584 . . 3 (⊀ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1))
138 ffn 6718 . . . . 5 (𝐺:β„•βŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn β„•)
13911, 138mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐺 Fn β„•)
14011ffvelcdmi 7086 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
141140adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
142126, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑖)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
143129, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
144124, 142, 143monoord 13998 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜1) ≀ (πΊβ€˜π‘–))
14547, 144eqbrtrrid 5185 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ (πΊβ€˜π‘–))
14644, 99elicc2i 13390 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³) ↔ ((πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ (πΊβ€˜π‘–) ∧ (πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³))
147141, 145, 22, 146syl3anbrc 1344 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
148147ralrimiva 3147 . . . 4 (⊀ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΊβ€˜π‘–) ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
149 ffnfv 7118 . . . 4 (𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³) ↔ (𝐺 Fn β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΊβ€˜π‘–) ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³)))
150139, 148, 149sylanbrc 584 . . 3 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
151121, 137, 1503jca 1129 . 2 (⊀ β†’ (Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1) ∧ 𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³)))
152151mptru 1549 1 (Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1) ∧ 𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  [,]cicc 13327  ...cfz 13484   ⇝ cli 15428  Ξ£csu 15632  logclog 26063  Ξ³cem 26496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-em 26497
This theorem is referenced by:  emcl  26507  harmonicbnd  26508  harmonicbnd2  26509
  Copyright terms: Public domain W3C validator