MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem7 26335
Description: Lemma for emcl 26336 and harmonicbnd 26337. Derive bounds on Ξ³ as 𝐹(1) and 𝐺(1). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem7 (Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1) ∧ 𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐻   π‘š,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘š,𝑛)   𝐺(π‘š,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem7
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12798 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12530 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 emcl.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)))
4 emcl.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))))
5 emcl.3 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛))))
6 emcl.4 . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑛) βˆ’ (logβ€˜(1 + (1 / 𝑛)))))
73, 4, 5, 6emcllem6 26334 . . . . . . 7 (𝐹 ⇝ Ξ³ ∧ 𝐺 ⇝ Ξ³)
87simpri 486 . . . . . 6 𝐺 ⇝ Ξ³
98a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺 ⇝ Ξ³)
103, 4emcllem1 26329 . . . . . . . 8 (𝐹:β„•βŸΆβ„ ∧ 𝐺:β„•βŸΆβ„)
1110simpri 486 . . . . . . 7 𝐺:β„•βŸΆβ„
1211ffvelcdmi 7030 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1312adantl 482 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
141, 2, 9, 13climrecl 15457 . . . 4 (⊀ β†’ Ξ³ ∈ ℝ)
15 1nn 12160 . . . . 5 1 ∈ β„•
16 simpr 485 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
178a1i 11 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ⇝ Ξ³)
1812adantl 482 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
193, 4emcllem2 26330 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
2019simprd 496 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
2120adantl 482 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
221, 16, 17, 18, 21climub 15538 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³)
2322ralrimiva 3141 . . . . 5 (⊀ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³)
24 fveq2 6839 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘–) = (πΊβ€˜1))
25 oveq2 7361 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (1...𝑛) = (1...1))
2625sumeq1d 15578 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (1...1)(1 / π‘š))
27 1z 12529 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„€
28 ax-1cn 11105 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
29 oveq2 7361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 1 β†’ (1 / π‘š) = (1 / 1))
30 1div1e1 11841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
3129, 30eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 1 β†’ (1 / π‘š) = 1)
3231fsum1 15624 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...1)(1 / π‘š) = 1)
3327, 28, 32mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 Ξ£π‘š ∈ (1...1)(1 / π‘š) = 1
3426, 33eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) = 1)
35 oveq1 7360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (𝑛 + 1) = (1 + 1))
36 df-2 12212 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
3735, 36eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (𝑛 + 1) = 2)
3837fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜(𝑛 + 1)) = (logβ€˜2))
3934, 38oveq12d 7371 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(𝑛 + 1))) = (1 βˆ’ (logβ€˜2)))
40 1re 11151 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
41 2rp 12912 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
42 relogcl 25915 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜2) ∈ ℝ)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (logβ€˜2) ∈ ℝ
4440, 43resubcli 11459 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ∈ ℝ
4544elexi 3462 . . . . . . . . . 10 (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ∈ V
4639, 4, 45fvmpt 6945 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜1) = (1 βˆ’ (logβ€˜2)))
4715, 46ax-mp 5 . . . . . . . 8 (πΊβ€˜1) = (1 βˆ’ (logβ€˜2))
4824, 47eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘–) = (1 βˆ’ (logβ€˜2)))
4948breq1d 5113 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ ((πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³ ↔ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ Ξ³))
5049rspcva 3577 . . . . 5 ((1 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³) β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ Ξ³)
5115, 23, 50sylancr 587 . . . 4 (⊀ β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ Ξ³)
52 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘–))
5352negeqd 11391 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑖 β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘–))
54 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))
55 negex 11395 . . . . . . . . . . 11 -(πΉβ€˜π‘–) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6945 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘–) = -(πΉβ€˜π‘–))
5756adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘–) = -(πΉβ€˜π‘–))
587simpli 484 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 ⇝ Ξ³
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ 𝐹 ⇝ Ξ³)
60 0cnd 11144 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ 0 ∈ β„‚)
61 nnex 12155 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
6261mptex 7169 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ V)
6410simpli 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹:β„•βŸΆβ„
6564ffvelcdmi 7030 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6766recnd 11179 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
68 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘˜))
6968negeqd 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = π‘˜ β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘˜))
70 negex 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
7169, 54, 70fvmpt 6945 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = -(πΉβ€˜π‘˜))
73 df-neg 11384 . . . . . . . . . . . . 13 -(πΉβ€˜π‘˜) = (0 βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜))
7472, 73eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = (0 βˆ’ (πΉβ€˜π‘˜)))
751, 2, 59, 60, 63, 67, 74climsubc2 15513 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ⇝ (0 βˆ’ Ξ³))
7675adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ⇝ (0 βˆ’ Ξ³))
7766renegcld 11578 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7872, 77eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7978adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8019simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
82 peano2nn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
8464ffvelcdmi 7030 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
8685, 66lenegd 11730 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ -(πΉβ€˜π‘˜) ≀ -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
8781, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ -(πΉβ€˜π‘˜) ≀ -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
88 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
8988negeqd 11391 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
90 negex 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ V
9189, 54, 90fvmpt 6945 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜(π‘˜ + 1)) = -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
9283, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜(π‘˜ + 1)) = -(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
9387, 72, 923brtr4d 5135 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ≀ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜(π‘˜ + 1)))
9493adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ≀ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜(π‘˜ + 1)))
951, 16, 76, 79, 94climub 15538 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ -(πΉβ€˜π‘₯))β€˜π‘–) ≀ (0 βˆ’ Ξ³))
9657, 95eqbrtrrd 5127 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ -(πΉβ€˜π‘–) ≀ (0 βˆ’ Ξ³))
97 df-neg 11384 . . . . . . . 8 -Ξ³ = (0 βˆ’ Ξ³)
9896, 97breqtrrdi 5145 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ -(πΉβ€˜π‘–) ≀ -Ξ³)
9914mptru 1548 . . . . . . . 8 Ξ³ ∈ ℝ
10064ffvelcdmi 7030 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
101100adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
102 leneg 11654 . . . . . . . 8 ((Ξ³ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ) β†’ (Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–) ↔ -(πΉβ€˜π‘–) ≀ -Ξ³))
10399, 101, 102sylancr 587 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–) ↔ -(πΉβ€˜π‘–) ≀ -Ξ³))
10498, 103mpbird 256 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–))
105104ralrimiva 3141 . . . . 5 (⊀ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–))
106 fveq2 6839 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜1))
107 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜π‘›) = (logβ€˜1))
108 log1 25925 . . . . . . . . . . . . 13 (logβ€˜1) = 0
109107, 108eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜π‘›) = 0)
11034, 109oveq12d 7371 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)) = (1 βˆ’ 0))
111 1m0e1 12270 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ 0) = 1
112110, 111eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...𝑛)(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜π‘›)) = 1)
11340elexi 3462 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
114112, 3, 113fvmpt 6945 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
11515, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜1) = 1
116106, 115eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘–) = 1)
117116breq2d 5115 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ (Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–) ↔ Ξ³ ≀ 1))
118117rspcva 3577 . . . . 5 ((1 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–)) β†’ Ξ³ ≀ 1)
11915, 105, 118sylancr 587 . . . 4 (⊀ β†’ Ξ³ ≀ 1)
12044, 40elicc2i 13322 . . . 4 (Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1) ↔ (Ξ³ ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ Ξ³ ∧ Ξ³ ≀ 1))
12114, 51, 119, 120syl3anbrc 1343 . . 3 (⊀ β†’ Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1))
122 ffn 6665 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn β„•)
12364, 122mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐹 Fn β„•)
12416, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
125 elfznn 13462 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
126125adantl 482 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
127126, 65syl 17 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
128 elfznn 13462 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...(𝑖 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
129128adantl 482 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
130129, 80syl 17 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
131124, 127, 130monoord2 13931 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ (πΉβ€˜1))
132131, 115breqtrdi 5144 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 1)
13399, 40elicc2i 13322 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘–) ∈ (Ξ³[,]1) ↔ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ Ξ³ ≀ (πΉβ€˜π‘–) ∧ (πΉβ€˜π‘–) ≀ 1))
134101, 104, 132, 133syl3anbrc 1343 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ (Ξ³[,]1))
135134ralrimiva 3141 . . . 4 (⊀ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΉβ€˜π‘–) ∈ (Ξ³[,]1))
136 ffnfv 7062 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1) ↔ (𝐹 Fn β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΉβ€˜π‘–) ∈ (Ξ³[,]1)))
137123, 135, 136sylanbrc 583 . . 3 (⊀ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1))
138 ffn 6665 . . . . 5 (𝐺:β„•βŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn β„•)
13911, 138mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐺 Fn β„•)
14011ffvelcdmi 7030 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
141140adantl 482 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
142126, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑖)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
143129, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑖 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ≀ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
144124, 142, 143monoord 13930 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜1) ≀ (πΊβ€˜π‘–))
14547, 144eqbrtrrid 5139 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ (πΊβ€˜π‘–))
14644, 99elicc2i 13322 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³) ↔ ((πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ (logβ€˜2)) ≀ (πΊβ€˜π‘–) ∧ (πΊβ€˜π‘–) ≀ Ξ³))
147141, 145, 22, 146syl3anbrc 1343 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
148147ralrimiva 3141 . . . 4 (⊀ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΊβ€˜π‘–) ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
149 ffnfv 7062 . . . 4 (𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³) ↔ (𝐺 Fn β„• ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• (πΊβ€˜π‘–) ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³)))
150139, 148, 149sylanbrc 583 . . 3 (⊀ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
151121, 137, 1503jca 1128 . 2 (⊀ β†’ (Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1) ∧ 𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³)))
152151mptru 1548 1 (Ξ³ ∈ ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]1) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(Ξ³[,]1) ∧ 𝐺:β„•βŸΆ((1 βˆ’ (logβ€˜2))[,]Ξ³))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  Vcvv 3443   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6488  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  β„‚cc 11045  β„cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   ≀ cle 11186   βˆ’ cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11808  β„•cn 12149  2c2 12204  β„€cz 12495  β„€β‰₯cuz 12759  β„+crp 12907  [,]cicc 13259  ...cfz 13416   ⇝ cli 15358  Ξ£csu 15562  logclog 25894  Ξ³cem 26325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-mod 13767  df-seq 13899  df-exp 13960  df-fac 14166  df-bc 14195  df-hash 14223  df-shft 14944  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-limsup 15345  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-ef 15942  df-sin 15944  df-cos 15945  df-pi 15947  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-lp 22471  df-perf 22472  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cncf 24225  df-limc 25214  df-dv 25215  df-log 25896  df-em 26326
This theorem is referenced by:  emcl  26336  harmonicbnd  26337  harmonicbnd2  26338
  Copyright terms: Public domain W3C validator