Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem13 44802
Description: 𝐡 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐡 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝐡 ⇝ 𝑑
Distinct variable group:   𝐡,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐡(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3479 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
32elrnmpt 5956 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))))
41, 3ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
5 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))))
76stirlinglem2 44791 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
87relogcld 26131 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1110rexlimiva 3148 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
124, 11sylbi 216 . . . 4 (𝑦 ∈ ran 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1312ssriv 3987 . . 3 ran 𝐡 βŠ† ℝ
14 1nn 12223 . . . . . 6 1 ∈ β„•
156stirlinglem2 44791 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜1) ∈ ℝ+)
16 relogcl 26084 . . . . . . . 8 ((π΄β€˜1) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(π΄β€˜1)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . 7 (logβ€˜(π΄β€˜1)) ∈ ℝ
18 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛1
19 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛log
20 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))))
216, 20nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛𝐴
2221, 18nffv 6902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(π΄β€˜1)
2319, 22nffv 6902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(logβ€˜(π΄β€˜1))
24 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) = (logβ€˜(π΄β€˜1)))
2518, 23, 24, 2fvmptf 7020 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„• ∧ (logβ€˜(π΄β€˜1)) ∈ ℝ) β†’ (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜1)))
2614, 17, 25mp2an 691 . . . . . 6 (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜1))
27 2fveq3 6897 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)) = (logβ€˜(π΄β€˜1)))
2827rspceeqv 3634 . . . . . 6 ((1 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜1))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
2914, 26, 28mp2an 691 . . . . 5 βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—))
3026, 17eqeltri 2830 . . . . . 6 (π΅β€˜1) ∈ ℝ
31 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(logβ€˜(π΄β€˜π‘›))
32 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛𝑗
3321, 32nffv 6902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(π΄β€˜π‘—)
3419, 33nffv 6902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(logβ€˜(π΄β€˜π‘—))
35 2fveq3 6897 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
3631, 34, 35cbvmpt 5260 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
372, 36eqtri 2761 . . . . . . 7 𝐡 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
3837elrnmpt 5956 . . . . . 6 ((π΅β€˜1) ∈ ℝ β†’ ((π΅β€˜1) ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—))))
3930, 38ax-mp 5 . . . . 5 ((π΅β€˜1) ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
4029, 39mpbir 230 . . . 4 (π΅β€˜1) ∈ ran 𝐡
4140ne0ii 4338 . . 3 ran 𝐡 β‰  βˆ…
42 4re 12296 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
43 4ne0 12320 . . . . . . 7 4 β‰  0
4442, 43rereccli 11979 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℝ
4530, 44resubcli 11522 . . . . 5 ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ∈ ℝ
46 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
476, 2, 46stirlinglem12 44801 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—))
4847rgen 3064 . . . . 5 βˆ€π‘— ∈ β„• ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)
49 breq1 5152 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) β†’ (π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ↔ ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)))
5049ralbidv 3178 . . . . . 6 (π‘₯ = ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)))
5150rspcev 3613 . . . . 5 ((((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
5245, 48, 51mp2an 691 . . . 4 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—)
53 simpr 486 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐡)
548rgen 3064 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘› ∈ β„• (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ
552fnmpt 6691 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ β†’ 𝐡 Fn β„•)
56 fvelrnb 6953 . . . . . . . . 9 (𝐡 Fn β„• β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦))
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦)
5853, 57sylib 217 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦)
59 nfra1 3282 . . . . . . . . 9 β„²π‘—βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—)
60 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐡
6159, 60nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡)
62 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 π‘₯ ≀ 𝑦
63 simp1l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
64 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
65 rsp 3245 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) β†’ (𝑗 ∈ β„• β†’ π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—)))
6663, 64, 65sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
67 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦)
6866, 67breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
69683exp 1120 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π΅β€˜π‘—) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
7061, 62, 69rexlimd 3264 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
7158, 70mpd 15 . . . . . 6 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
7271ralrimiva 3147 . . . . 5 (βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦)
7372reximi 3085 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦)
7452, 73ax-mp 5 . . 3 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦
75 infrecl 12196 . . 3 ((ran 𝐡 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(ran 𝐡, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7613, 41, 74, 75mp3an 1462 . 2 inf(ran 𝐡, ℝ, < ) ∈ ℝ
77 nnuz 12865 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
78 1zzd 12593 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
792, 8fmpti 7112 . . . . 5 𝐡:β„•βŸΆβ„
8079a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐡:β„•βŸΆβ„)
81 peano2nn 12224 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
826a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
83 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ 𝑛 = (𝑗 + 1))
8483fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (!β€˜π‘›) = (!β€˜(𝑗 + 1)))
8583oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· (𝑗 + 1)))
8685fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) = (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))))
8783oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
8887, 83oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
8986, 88oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
9084, 89oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
9181nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
92 faccl 14243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
93 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . 13 ((!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
95 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
96 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
97 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
9896, 97addcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„‚)
9995, 98mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
10099sqrtcld 15384 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
101 ere 16032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ
102101recni 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ β„‚
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ e ∈ β„‚)
104 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
105 epos 16150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
106104, 105gtneii 11326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e β‰  0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ e β‰  0)
10898, 103, 107divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑗 + 1) / e) ∈ β„‚)
109108, 91expcld 14111 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
110100, 109mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
111 2rp 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ+)
113 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
114104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
115 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
116 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≀ 1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 1)
118 nnge1 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑗)
119114, 115, 113, 117, 118letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑗)
120113, 119ge0p1rpd 13046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
121112, 120rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
122121sqrtgt0d 15359 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))))
123122gt0ne0d 11778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) β‰  0)
12481nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) β‰  0)
12598, 103, 124, 107divne0d 12006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑗 + 1) / e) β‰  0)
126 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
127126peano2zd 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„€)
128108, 125, 127expne0d 14117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) β‰  0)
129100, 109, 123, 128mulne0d 11866 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) β‰  0)
13094, 110, 129divcld 11990 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„‚)
13182, 90, 81, 130fvmptd 7006 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜(𝑗 + 1)) = ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
132 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . 12 ((!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
13391, 92, 1323syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
134121rpsqrtcld 15358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
135 epr 16151 . . . . . . . . . . . . . . 15 e ∈ ℝ+
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ e ∈ ℝ+)
137120, 136rpdivcld 13033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
138137, 127rpexpcld 14210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
139134, 138rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
140133, 139rpdivcld 13033 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
141131, 140eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
142141relogcld 26131 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
143 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(𝑗 + 1)
14421, 143nffv 6902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(π΄β€˜(𝑗 + 1))
14519, 144nffv 6902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1)))
146 2fveq3 6897 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) = (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))))
147143, 145, 146, 2fvmptf 7020 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ β„• ∧ (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) = (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))))
14881, 142, 147syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) = (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))))
149148, 142eqeltrd 2834 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
15079ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ)
151 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„• ↦ ((1 / ((2 Β· 𝑧) + 1)) Β· ((1 / ((2 Β· 𝑗) + 1))↑(2 Β· 𝑧)))) = (𝑧 ∈ β„• ↦ ((1 / ((2 Β· 𝑧) + 1)) Β· ((1 / ((2 Β· 𝑗) + 1))↑(2 Β· 𝑧))))
1526, 2, 151stirlinglem11 44800 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) < (π΅β€˜π‘—))
153149, 150, 152ltled 11362 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π΅β€˜π‘—))
154153adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π΅β€˜π‘—))
15552a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
15677, 78, 80, 154, 155climinf 44322 . . 3 (⊀ β†’ 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < ))
157156mptru 1549 . 2 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < )
158 breq2 5153 . . 3 (𝑑 = inf(ran 𝐡, ℝ, < ) β†’ (𝐡 ⇝ 𝑑 ↔ 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < )))
159158rspcev 3613 . 2 ((inf(ran 𝐡, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < )) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝐡 ⇝ 𝑑)
16076, 157, 159mp2an 691 1 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝐡 ⇝ 𝑑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  β†‘cexp 14027  !cfa 14233  βˆšcsqrt 15180   ⇝ cli 15428  eceu 16006  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  44803
  Copyright terms: Public domain W3C validator