Theorem stirlinglem13 46536

Description: 𝐵 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐵 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

Distinct variable group:   𝐵,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3434	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	2	elrnmpt 5909	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))))
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
7	6	stirlinglem2 46525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 26604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
10	5, 9	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	rexlimiva 3131	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	4, 11	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
13	12	ssriv 3926	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ⊆ ℝ
14		1nn 12180	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	6	stirlinglem2 46525	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
16		relogcl 26556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
18		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛1
19		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛log
20		nfmpt1 5185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
21	6, 20	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
22	21, 18	nffv 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘1)
23	19, 22	nffv 6846	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘1))
24		2fveq3 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
25	18, 23, 24, 2	fvmptf 6965	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
26	14, 17, 25	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
27		2fveq3 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑗)) = (log‘(𝐴‘1)))
28	27	rspceeqv 3588	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
29	14, 26, 28	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))
30	26, 17	eqeltri 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ℝ
31		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(log‘(𝐴‘𝑛))
32		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑗
33	21, 32	nffv 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑗)
34	19, 33	nffv 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑗))
35		2fveq3 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
36	31, 34, 35	cbvmpt 5188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
37	2, 36	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
38	37	elrnmpt 5909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ℝ → ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))))
39	30, 38	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
40	29, 39	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ran 𝐵
41	40	ne0ii 4285	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ≠ ∅
42		4re 12260	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
43		4ne0 12284	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
44	42, 43	rereccli 11915	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
45	30, 44	resubcli 11451	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ
46		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
47	6, 2, 46	stirlinglem12 46535	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗))
48	47	rgen 3054	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)
49		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
50	49	ralbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
51	50	rspcev 3565	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
52	45, 48, 51	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
53		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑦 ∈ ran 𝐵)
54	8	rgen 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ
55	2	fnmpt 6634	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → 𝐵 Fn ℕ)
56		fvelrnb 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦))
57	54, 55, 56	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
58	53, 57	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
59		nfra1 3262	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
60		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐵
61	59, 60	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵)
62		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ≤ 𝑦
63		simp1l 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
64		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑗 ∈ ℕ)
65		rsp 3226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → (𝑗 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)))
66	63, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
67		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
68	66, 67	breqtrd 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
69	68	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
70	61, 62, 69	rexlimd 3245	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
71	58, 70	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝑦)
72	71	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
73	72	reximi 3076	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
74	52, 73	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦
75		infrecl 12133	. . 3 ⊢ ((ran 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
76	13, 41, 74, 75	mp3an 1464	. 2 ⊢ inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ
77		nnuz 12822	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
78		1zzd 12553	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
79	2, 8	fmpti 7060	. . . . 5 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℝ
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
81		peano2nn 12181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
82	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
83		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
84	83	fveq2d 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑗 + 1)))
85	83	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑗 + 1)))
86	85	fveq2d 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
87	83	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
88	87, 83	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
89	86, 88	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
90	84, 89	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
91	81	nnnn0d 12493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
92		faccl 14240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
93		nncn 12177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
94	91, 92, 93	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
95		2cnd 12254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
96		nncn 12177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
97		1cnd 11134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
98	96, 97	addcld 11159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
99	95, 98	mulcld 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
100	99	sqrtcld 15397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
101		ere 16049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ
102	101	recni 11154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
104		0re 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
105		epos 16169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
106	104, 105	gtneii 11253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ≠ 0)
108	98, 103, 107	divcld 11926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℂ)
109	108, 91	expcld 14103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
110	100, 109	mulcld 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
111		2rp 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
113		nnre 12176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
114	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
115		1red 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
116		0le1 11668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
118		nnge1 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
119	114, 115, 113, 117, 118	letrd 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑗)
120	113, 119	ge0p1rpd 13011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
121	112, 120	rpmulcld 12997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
122	121	sqrtgt0d 15370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
123	122	gt0ne0d 11709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ≠ 0)
124	81	nnne0d 12222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
125	98, 103, 124, 107	divne0d 11942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ≠ 0)
126		nnz 12540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
127	126	peano2zd 12631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
128	108, 125, 127	expne0d 14109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ≠ 0)
129	100, 109, 123, 128	mulne0d 11797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ≠ 0)
130	94, 110, 129	divcld 11926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
131	82, 90, 81, 130	fvmptd 6951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
132		nnrp 12949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
133	91, 92, 132	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
134	121	rpsqrtcld 15369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
135		epr 16170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℝ+
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
137	120, 136	rpdivcld 12998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
138	137, 127	rpexpcld 14204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
139	134, 138	rpmulcld 12997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
140	133, 139	rpdivcld 12998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
141	131, 140	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
142	141	relogcld 26604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
143		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗 + 1)
144	21, 143	nffv 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
145	19, 144	nffv 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
146		2fveq3 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
147	143, 145, 146, 2	fvmptf 6965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
148	81, 142, 147	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
149	148, 142	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
150	79	ffvelcdmi 7031	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
151		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧))))
152	6, 2, 151	stirlinglem11 46534	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) < (𝐵‘𝑗))
153	149, 150, 152	ltled 11289	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
154	153	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
155	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
156	77, 78, 80, 154, 155	climinf 46058	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < ))
157	156	mptru 1549	. 2 ⊢ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )
158		breq2 5090	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf(ran 𝐵, ℝ, < ) → (𝐵 ⇝ 𝑑 ↔ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )))
159	158	rspcev 3565	. 2 ⊢ ((inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑)
160	76, 157, 159	mp2an 693	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5627   Fn wfn 6489  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  infcinf 9349  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  4c4 12233  ℕ₀cn0 12432  ℝ⁺crp 12937  ↑cexp 14018  !cfa 14230  √csqrt 15190   ⇝ cli 15441  eceu 16022  logclog 26535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-e 16028  df-sin 16029  df-cos 16030  df-tan 16031  df-pi 16032  df-dvds 16217  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lp 23115  df-perf 23116  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-haus 23294  df-cmp 23366  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-cncf 24859  df-limc 25847  df-dv 25848  df-ulm 26359  df-log 26537  df-cxp 26538

This theorem is referenced by:  stirlinglem14  46537