Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem13 41046
Description: 𝐵 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐵 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
Distinct variable group:   𝐵,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3388 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛)))
32elrnmpt 5576 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))))
41, 3ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛)))
5 simpr 478 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))) → 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛)))
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
76stirlinglem2 41035 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℝ+)
87relogcld 24710 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
98adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))) → (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2878 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛))) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110rexlimiva 3209 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴𝑛)) → 𝑦 ∈ ℝ)
124, 11sylbi 209 . . . 4 (𝑦 ∈ ran 𝐵𝑦 ∈ ℝ)
1312ssriv 3802 . . 3 ran 𝐵 ⊆ ℝ
14 1nn 11325 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
156stirlinglem2 41035 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
16 relogcl 24663 . . . . . . . 8 ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . 7 (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
18 nfcv 2941 . . . . . . . 8 𝑛1
19 nfcv 2941 . . . . . . . . 9 𝑛log
20 nfmpt1 4940 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
216, 20nfcxfr 2939 . . . . . . . . . 10 𝑛𝐴
2221, 18nffv 6421 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐴‘1)
2319, 22nffv 6421 . . . . . . . 8 𝑛(log‘(𝐴‘1))
24 2fveq3 6416 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
2518, 23, 24, 2fvmptf 6526 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
2614, 17, 25mp2an 684 . . . . . 6 (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
27 2fveq3 6416 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (log‘(𝐴𝑗)) = (log‘(𝐴‘1)))
2827rspceeqv 3515 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗)))
2914, 26, 28mp2an 684 . . . . 5 𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗))
3026, 17eqeltri 2874 . . . . . 6 (𝐵‘1) ∈ ℝ
31 nfcv 2941 . . . . . . . . 9 𝑗(log‘(𝐴𝑛))
32 nfcv 2941 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑗
3321, 32nffv 6421 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴𝑗)
3419, 33nffv 6421 . . . . . . . . 9 𝑛(log‘(𝐴𝑗))
35 2fveq3 6416 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴𝑗)))
3631, 34, 35cbvmpt 4942 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑗)))
372, 36eqtri 2821 . . . . . . 7 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴𝑗)))
3837elrnmpt 5576 . . . . . 6 ((𝐵‘1) ∈ ℝ → ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗))))
3930, 38ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴𝑗)))
4029, 39mpbir 223 . . . 4 (𝐵‘1) ∈ ran 𝐵
4140ne0ii 4124 . . 3 ran 𝐵 ≠ ∅
42 4re 11398 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
43 4ne0 11428 . . . . . . 7 4 ≠ 0
4442, 43rereccli 11082 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℝ
4530, 44resubcli 10635 . . . . 5 ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ
46 eqid 2799 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
476, 2, 46stirlinglem12 41045 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗))
4847rgen 3103 . . . . 5 𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)
49 breq1 4846 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ↔ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)))
5049ralbidv 3167 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)))
5150rspcev 3497 . . . . 5 ((((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
5245, 48, 51mp2an 684 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗)
53 simpr 478 . . . . . . . 8 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑦 ∈ ran 𝐵)
548rgen 3103 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ
552fnmpt 6231 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴𝑛)) ∈ ℝ → 𝐵 Fn ℕ)
56 fvelrnb 6468 . . . . . . . . 9 (𝐵 Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦))
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦)
5853, 57sylib 210 . . . . . . 7 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦)
59 nfra1 3122 . . . . . . . . 9 𝑗𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗)
60 nfv 2010 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐵
6159, 60nfan 1999 . . . . . . . 8 𝑗(∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵)
62 nfv 2010 . . . . . . . 8 𝑗 𝑥𝑦
63 simp1l 1255 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
64 simp2 1168 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → 𝑗 ∈ ℕ)
65 rsp 3110 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) → (𝑗 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵𝑗)))
6663, 64, 65sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
67 simp3 1169 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → (𝐵𝑗) = 𝑦)
6866, 67breqtrd 4869 . . . . . . . . 9 (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵𝑗) = 𝑦) → 𝑥𝑦)
69683exp 1149 . . . . . . . 8 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵𝑗) = 𝑦𝑥𝑦)))
7061, 62, 69rexlimd 3207 . . . . . . 7 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵𝑗) = 𝑦𝑥𝑦))
7158, 70mpd 15 . . . . . 6 ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑥𝑦)
7271ralrimiva 3147 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦)
7372reximi 3191 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦)
7452, 73ax-mp 5 . . 3 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦
75 infrecl 11297 . . 3 ((ran 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥𝑦) → inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7613, 41, 74, 75mp3an 1586 . 2 inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ
77 nnuz 11967 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
78 1zzd 11698 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
792, 8fmpti 6608 . . . . 5 𝐵:ℕ⟶ℝ
8079a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
81 peano2nn 11326 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
826a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
83 simpr 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
8483fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑗 + 1)))
8583oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑗 + 1)))
8685fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
8783oveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
8887, 83oveq12d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
8986, 88oveq12d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
9084, 89oveq12d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
9181nnnn0d 11640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
92 faccl 13323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
93 nncn 11321 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
95 2cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
96 nncn 11321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
97 1cnd 10323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
9896, 97addcld 10348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
9995, 98mulcld 10349 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
10099sqrtcld 14517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
101 ere 15155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ
102101recni 10343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℂ
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
104 0re 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
105 epos 15271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
106104, 105gtneii 10439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≠ 0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → e ≠ 0)
10898, 103, 107divcld 11093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℂ)
109108, 91expcld 13262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
110100, 109mulcld 10349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
111 2rp 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
113 nnre 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
114104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
115 1red 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
116 0le1 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
118 nnge1 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
119114, 115, 113, 117, 118letrd 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑗)
120113, 119ge0p1rpd 12147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
121112, 120rpmulcld 12133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
122121sqrtgt0d 14492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
123122gt0ne0d 10884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ≠ 0)
12481nnne0d 11363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
12598, 103, 124, 107divne0d 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ≠ 0)
126 nnz 11689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
127126peano2zd 11775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
128108, 125, 127expne0d 13268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ≠ 0)
129100, 109, 123, 128mulne0d 10971 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ≠ 0)
13094, 110, 129divcld 11093 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
13182, 90, 81, 130fvmptd 6513 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
132 nnrp 12087 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
13391, 92, 1323syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
134121rpsqrtcld 14491 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
135 epr 15272 . . . . . . . . . . . . . . 15 e ∈ ℝ+
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
137120, 136rpdivcld 12134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
138137, 127rpexpcld 13288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
139134, 138rpmulcld 12133 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
140133, 139rpdivcld 12134 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
141131, 140eqeltrd 2878 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
142141relogcld 24710 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
143 nfcv 2941 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑗 + 1)
14421, 143nffv 6421 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
14519, 144nffv 6421 . . . . . . . . 9 𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
146 2fveq3 6416 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
147143, 145, 146, 2fvmptf 6526 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
14881, 142, 147syl2anc 580 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
149148, 142eqeltrd 2878 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
15079ffvelrni 6584 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
151 eqid 2799 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧))))
1526, 2, 151stirlinglem11 41044 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) < (𝐵𝑗))
153149, 150, 152ltled 10475 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵𝑗))
154153adantl 474 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵𝑗))
15552a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵𝑗))
15677, 78, 80, 154, 155climinf 40582 . . 3 (⊤ → 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < ))
157156mptru 1661 . 2 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )
158 breq2 4847 . . 3 (𝑑 = inf(ran 𝐵, ℝ, < ) → (𝐵𝑑𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )))
159158rspcev 3497 . 2 ((inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑)
16076, 157, 159mp2an 684 1 𝑑 ∈ ℝ 𝐵𝑑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wtru 1654  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3385  wss 3769  c0 4115   class class class wbr 4843  cmpt 4922  ran crn 5313   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  infcinf 8589  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11368  4c4 11370  0cn0 11580  +crp 12074  cexp 13114  !cfa 13313  csqrt 14314  cli 14556  eceu 15129  logclog 24642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-e 15135  df-sin 15136  df-cos 15137  df-tan 15138  df-pi 15139  df-dvds 15320  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-cmp 21519  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cncf 23009  df-limc 23971  df-dv 23972  df-ulm 24472  df-log 24644  df-cxp 24645
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  41047
  Copyright terms: Public domain W3C validator