Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem13 45101
Description: 𝐡 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐡 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝐡 ⇝ 𝑑
Distinct variable group:   𝐡,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐡(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3477 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
32elrnmpt 5955 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))))
41, 3ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
5 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))))
76stirlinglem2 45090 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
87relogcld 26368 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1110rexlimiva 3146 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
124, 11sylbi 216 . . . 4 (𝑦 ∈ ran 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1312ssriv 3986 . . 3 ran 𝐡 βŠ† ℝ
14 1nn 12228 . . . . . 6 1 ∈ β„•
156stirlinglem2 45090 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜1) ∈ ℝ+)
16 relogcl 26321 . . . . . . . 8 ((π΄β€˜1) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(π΄β€˜1)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . 7 (logβ€˜(π΄β€˜1)) ∈ ℝ
18 nfcv 2902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛1
19 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛log
20 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))))
216, 20nfcxfr 2900 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛𝐴
2221, 18nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(π΄β€˜1)
2319, 22nffv 6901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(logβ€˜(π΄β€˜1))
24 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) = (logβ€˜(π΄β€˜1)))
2518, 23, 24, 2fvmptf 7019 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„• ∧ (logβ€˜(π΄β€˜1)) ∈ ℝ) β†’ (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜1)))
2614, 17, 25mp2an 689 . . . . . 6 (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜1))
27 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)) = (logβ€˜(π΄β€˜1)))
2827rspceeqv 3633 . . . . . 6 ((1 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜1))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
2914, 26, 28mp2an 689 . . . . 5 βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—))
3026, 17eqeltri 2828 . . . . . 6 (π΅β€˜1) ∈ ℝ
31 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(logβ€˜(π΄β€˜π‘›))
32 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛𝑗
3321, 32nffv 6901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(π΄β€˜π‘—)
3419, 33nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(logβ€˜(π΄β€˜π‘—))
35 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
3631, 34, 35cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
372, 36eqtri 2759 . . . . . . 7 𝐡 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
3837elrnmpt 5955 . . . . . 6 ((π΅β€˜1) ∈ ℝ β†’ ((π΅β€˜1) ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—))))
3930, 38ax-mp 5 . . . . 5 ((π΅β€˜1) ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
4029, 39mpbir 230 . . . 4 (π΅β€˜1) ∈ ran 𝐡
4140ne0ii 4337 . . 3 ran 𝐡 β‰  βˆ…
42 4re 12301 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
43 4ne0 12325 . . . . . . 7 4 β‰  0
4442, 43rereccli 11984 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℝ
4530, 44resubcli 11527 . . . . 5 ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ∈ ℝ
46 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
476, 2, 46stirlinglem12 45100 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—))
4847rgen 3062 . . . . 5 βˆ€π‘— ∈ β„• ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)
49 breq1 5151 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) β†’ (π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ↔ ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)))
5049ralbidv 3176 . . . . . 6 (π‘₯ = ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)))
5150rspcev 3612 . . . . 5 ((((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
5245, 48, 51mp2an 689 . . . 4 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—)
53 simpr 484 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐡)
548rgen 3062 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘› ∈ β„• (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ
552fnmpt 6690 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ β†’ 𝐡 Fn β„•)
56 fvelrnb 6952 . . . . . . . . 9 (𝐡 Fn β„• β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦))
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦)
5853, 57sylib 217 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦)
59 nfra1 3280 . . . . . . . . 9 β„²π‘—βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—)
60 nfv 1916 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐡
6159, 60nfan 1901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡)
62 nfv 1916 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 π‘₯ ≀ 𝑦
63 simp1l 1196 . . . . . . . . . . 11 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
64 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
65 rsp 3243 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) β†’ (𝑗 ∈ β„• β†’ π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—)))
6663, 64, 65sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
67 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦)
6866, 67breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
69683exp 1118 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π΅β€˜π‘—) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
7061, 62, 69rexlimd 3262 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
7158, 70mpd 15 . . . . . 6 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
7271ralrimiva 3145 . . . . 5 (βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦)
7372reximi 3083 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦)
7452, 73ax-mp 5 . . 3 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦
75 infrecl 12201 . . 3 ((ran 𝐡 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(ran 𝐡, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7613, 41, 74, 75mp3an 1460 . 2 inf(ran 𝐡, ℝ, < ) ∈ ℝ
77 nnuz 12870 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
78 1zzd 12598 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
792, 8fmpti 7113 . . . . 5 𝐡:β„•βŸΆβ„
8079a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐡:β„•βŸΆβ„)
81 peano2nn 12229 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
826a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
83 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ 𝑛 = (𝑗 + 1))
8483fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (!β€˜π‘›) = (!β€˜(𝑗 + 1)))
8583oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· (𝑗 + 1)))
8685fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) = (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))))
8783oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
8887, 83oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
8986, 88oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
9084, 89oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
9181nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
92 faccl 14248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
93 nncn 12225 . . . . . . . . . . . . 13 ((!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
95 2cnd 12295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
96 nncn 12225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
97 1cnd 11214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
9896, 97addcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„‚)
9995, 98mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
10099sqrtcld 15389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
101 ere 16037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ
102101recni 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ β„‚
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ e ∈ β„‚)
104 0re 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
105 epos 16155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
106104, 105gtneii 11331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e β‰  0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ e β‰  0)
10898, 103, 107divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑗 + 1) / e) ∈ β„‚)
109108, 91expcld 14116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
110100, 109mulcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
111 2rp 12984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ+)
113 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
114104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
115 1red 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
116 0le1 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≀ 1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 1)
118 nnge1 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑗)
119114, 115, 113, 117, 118letrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑗)
120113, 119ge0p1rpd 13051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
121112, 120rpmulcld 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
122121sqrtgt0d 15364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))))
123122gt0ne0d 11783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) β‰  0)
12481nnne0d 12267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) β‰  0)
12598, 103, 124, 107divne0d 12011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑗 + 1) / e) β‰  0)
126 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
127126peano2zd 12674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„€)
128108, 125, 127expne0d 14122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) β‰  0)
129100, 109, 123, 128mulne0d 11871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) β‰  0)
13094, 110, 129divcld 11995 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„‚)
13182, 90, 81, 130fvmptd 7005 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜(𝑗 + 1)) = ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
132 nnrp 12990 . . . . . . . . . . . 12 ((!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
13391, 92, 1323syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
134121rpsqrtcld 15363 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
135 epr 16156 . . . . . . . . . . . . . . 15 e ∈ ℝ+
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ e ∈ ℝ+)
137120, 136rpdivcld 13038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
138137, 127rpexpcld 14215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
139134, 138rpmulcld 13037 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
140133, 139rpdivcld 13038 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
141131, 140eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
142141relogcld 26368 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
143 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(𝑗 + 1)
14421, 143nffv 6901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(π΄β€˜(𝑗 + 1))
14519, 144nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1)))
146 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) = (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))))
147143, 145, 146, 2fvmptf 7019 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ β„• ∧ (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) = (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))))
14881, 142, 147syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) = (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))))
149148, 142eqeltrd 2832 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
15079ffvelcdmi 7085 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ)
151 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„• ↦ ((1 / ((2 Β· 𝑧) + 1)) Β· ((1 / ((2 Β· 𝑗) + 1))↑(2 Β· 𝑧)))) = (𝑧 ∈ β„• ↦ ((1 / ((2 Β· 𝑧) + 1)) Β· ((1 / ((2 Β· 𝑗) + 1))↑(2 Β· 𝑧))))
1526, 2, 151stirlinglem11 45099 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) < (π΅β€˜π‘—))
153149, 150, 152ltled 11367 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π΅β€˜π‘—))
154153adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π΅β€˜π‘—))
15552a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
15677, 78, 80, 154, 155climinf 44621 . . 3 (⊀ β†’ 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < ))
157156mptru 1547 . 2 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < )
158 breq2 5152 . . 3 (𝑑 = inf(ran 𝐡, ℝ, < ) β†’ (𝐡 ⇝ 𝑑 ↔ 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < )))
159158rspcev 3612 . 2 ((inf(ran 𝐡, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < )) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝐡 ⇝ 𝑑)
16076, 157, 159mp2an 689 1 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝐡 ⇝ 𝑑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  infcinf 9440  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  4c4 12274  β„•0cn0 12477  β„+crp 12979  β†‘cexp 14032  !cfa 14238  βˆšcsqrt 15185   ⇝ cli 15433  eceu 16011  logclog 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26126  df-log 26302  df-cxp 26303
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  45102
  Copyright terms: Public domain W3C validator