Theorem stirlinglem13 47095

Description: 𝐵 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐵 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

Distinct variable group:   𝐵,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛, 𝑑)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3455	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	2	elrnmpt 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))))
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
7	6	stirlinglem2 47084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 26951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
10	5, 9	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	rexlimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	4, 11	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
13	12	ssriv 3935	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ⊆ ℝ
14		1nn 12346	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	6	stirlinglem2 47084	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
16		relogcl 26903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
18		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛1
19		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛log
20		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
21	6, 20	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
22	21, 18	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘1)
23	19, 22	nffv 6895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘1))
24		2fveq3 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
25	18, 23, 24, 2	fvmptf 7015	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
26	14, 17, 25	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
27		2fveq3 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑗)) = (log‘(𝐴‘1)))
28	27	rspceeqv 3599	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
29	14, 26, 28	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))
30	26, 17	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ℝ
31		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(log‘(𝐴‘𝑛))
32		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑗
33	21, 32	nffv 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑗)
34	19, 33	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑗))
35		2fveq3 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
36	31, 34, 35	cbvmpt 5207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
37	2, 36	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
38	37	elrnmpt 5940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ℝ → ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))))
39	30, 38	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
40	29, 39	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ran 𝐵
41	40	ne0ii 4290	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ≠ ∅
42		4re 12427	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
43		4ne0 12454	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
44	42, 43	rereccli 12082	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
45	30, 44	resubcli 11620	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ
46		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
47	6, 2, 46	stirlinglem12 47094	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗))
48	47	rgen 3079	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)
49		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
50	49	ralbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
51	50	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
52	45, 48, 51	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
53	8	rgen 3079	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ
54	2	fnmpt 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → 𝐵 Fn ℕ)
55		fvelrnb 6945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦))
56	53, 54, 55	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
57	56	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
58		nfra1 3287	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
59		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐵
60	58, 59	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵)
61		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ≤ 𝑦
62		simp1l 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
63		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑗 ∈ ℕ)
64		rsp 3251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → (𝑗 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)))
65	62, 63, 64	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
66		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
67	65, 66	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
68	67	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
69	60, 61, 68	rexlimd 3270	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
70	57, 69	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝑦)
71	70	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
72	71	reximi 3101	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
73	52, 72	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦
74		infrecl 12299	. . 3 ⊢ ((ran 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
75	13, 41, 73, 74	mp3an 1490	. 2 ⊢ inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ
76		nnuz 13004	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
77		1zzd 12727	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
78	2, 8	fmpti 7112	. . . . 5 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℝ
79	78	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
80		peano2nn 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
81	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
82		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
83	82	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑗 + 1)))
84	82	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑗 + 1)))
85	84	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
86	82	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
87	86, 82	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
88	85, 87	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
89	83, 88	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
90	80	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
91		faccl 14427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
92		nncn 12343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
93	90, 91, 92	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
94		2cnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
95		nncn 12343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
96		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
97	95, 96	addcld 11328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
98	94, 97	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
99	98	sqrtcld 15607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
100		ere 16255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ
101	100	recni 11323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
103		0re 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
104		epos 16375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
105	103, 104	gtneii 11422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ≠ 0)
107	97, 102, 106	divcld 12093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℂ)
108	107, 90	expcld 14289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
109	99, 108	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
110		2rp 13125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
112		nnre 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
113	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
114		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
115		0le1 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 1
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
117		nnge1 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
118	113, 114, 112, 116, 117	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑗)
119	112, 118	ge0p1rpd 13194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
120	111, 119	rpmulcld 13180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
121	120	sqrtgt0d 15580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
122	121	gt0ne0d 11880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ≠ 0)
123	80	nnne0d 12388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
124	97, 102, 123, 106	divne0d 12109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ≠ 0)
125		nnz 12714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
126	125	peano2zd 12806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
127	107, 124, 126	expne0d 14295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ≠ 0)
128	99, 108, 122, 127	mulne0d 11968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ≠ 0)
129	93, 109, 128	divcld 12093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
130	81, 89, 80, 129	fvmptd 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
131		nnrp 13132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
132	90, 91, 131	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
133	120	rpsqrtcld 15579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
134		epr 16376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℝ+
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
136	119, 135	rpdivcld 13181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
137	136, 126	rpexpcld 14391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
138	133, 137	rpmulcld 13180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
139	132, 138	rpdivcld 13181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
140	130, 139	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
141	140	relogcld 26951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
142		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗 + 1)
143	21, 142	nffv 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
144	19, 143	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
145		2fveq3 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
146	142, 144, 145, 2	fvmptf 7015	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
147	80, 141, 146	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
148	147, 141	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
149	78	ffvelcdmi 7083	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
150		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧))))
151	6, 2, 150	stirlinglem11 47093	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) < (𝐵‘𝑗))
152	148, 149, 151	ltled 11458	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
153	152	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
154	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
155	76, 77, 79, 153, 154	climinf 46617	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < ))
156	155	mptru 1577	. 2 ⊢ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )
157		breq2 5107	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf(ran 𝐵, ℝ, < ) → (𝐵 ⇝ 𝑑 ↔ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )))
158	157	rspcev 3577	. 2 ⊢ ((inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑)
159	75, 156, 158	mp2an 705	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  infcinf 9433  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  4c4 12399  ℕ₀cn0 12606  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204  !cfa 14417  √csqrt 15400   ⇝ cli 15651  eceu 16228  logclog 26882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-e 16234  df-sin 16235  df-cos 16236  df-tan 16237  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-ulm 26704  df-log 26884  df-cxp 26885

This theorem is used by:  stirlinglem14  47096