Theorem stirlinglem13 45287

Description: 𝐵 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐵 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

Distinct variable group:   𝐵,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3470	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	2	elrnmpt 5945	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))))
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
7	6	stirlinglem2 45276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 26473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
10	5, 9	eqeltrd 2825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	rexlimiva 3139	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	4, 11	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
13	12	ssriv 3978	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ⊆ ℝ
14		1nn 12220	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	6	stirlinglem2 45276	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
16		relogcl 26426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
18		nfcv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛1
19		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛log
20		nfmpt1 5246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
21	6, 20	nfcxfr 2893	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
22	21, 18	nffv 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘1)
23	19, 22	nffv 6891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘1))
24		2fveq3 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
25	18, 23, 24, 2	fvmptf 7009	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
26	14, 17, 25	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
27		2fveq3 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑗)) = (log‘(𝐴‘1)))
28	27	rspceeqv 3625	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
29	14, 26, 28	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))
30	26, 17	eqeltri 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ℝ
31		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(log‘(𝐴‘𝑛))
32		nfcv 2895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑗
33	21, 32	nffv 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑗)
34	19, 33	nffv 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑗))
35		2fveq3 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
36	31, 34, 35	cbvmpt 5249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
37	2, 36	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
38	37	elrnmpt 5945	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ℝ → ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))))
39	30, 38	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
40	29, 39	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ran 𝐵
41	40	ne0ii 4329	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ≠ ∅
42		4re 12293	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
43		4ne0 12317	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
44	42, 43	rereccli 11976	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
45	30, 44	resubcli 11519	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ
46		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
47	6, 2, 46	stirlinglem12 45286	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗))
48	47	rgen 3055	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)
49		breq1 5141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
50	49	ralbidv 3169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
51	50	rspcev 3604	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
52	45, 48, 51	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
53		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑦 ∈ ran 𝐵)
54	8	rgen 3055	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ
55	2	fnmpt 6680	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → 𝐵 Fn ℕ)
56		fvelrnb 6942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦))
57	54, 55, 56	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
58	53, 57	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
59		nfra1 3273	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
60		nfv 1909	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐵
61	59, 60	nfan 1894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵)
62		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ≤ 𝑦
63		simp1l 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
64		simp2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑗 ∈ ℕ)
65		rsp 3236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → (𝑗 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)))
66	63, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
67		simp3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
68	66, 67	breqtrd 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
69	68	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
70	61, 62, 69	rexlimd 3255	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
71	58, 70	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝑦)
72	71	ralrimiva 3138	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
73	72	reximi 3076	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
74	52, 73	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦
75		infrecl 12193	. . 3 ⊢ ((ran 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
76	13, 41, 74, 75	mp3an 1457	. 2 ⊢ inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ
77		nnuz 12862	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
78		1zzd 12590	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
79	2, 8	fmpti 7103	. . . . 5 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℝ
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
81		peano2nn 12221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
82	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
83		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
84	83	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑗 + 1)))
85	83	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑗 + 1)))
86	85	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
87	83	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
88	87, 83	oveq12d 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
89	86, 88	oveq12d 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
90	84, 89	oveq12d 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
91	81	nnnn0d 12529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
92		faccl 14240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
93		nncn 12217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
94	91, 92, 93	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
95		2cnd 12287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
96		nncn 12217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
97		1cnd 11206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
98	96, 97	addcld 11230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
99	95, 98	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
100	99	sqrtcld 15381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
101		ere 16029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ
102	101	recni 11225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
104		0re 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
105		epos 16147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
106	104, 105	gtneii 11323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ≠ 0)
108	98, 103, 107	divcld 11987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℂ)
109	108, 91	expcld 14108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
110	100, 109	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
111		2rp 12976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
113		nnre 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
114	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
115		1red 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
116		0le1 11734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
118		nnge1 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
119	114, 115, 113, 117, 118	letrd 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑗)
120	113, 119	ge0p1rpd 13043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
121	112, 120	rpmulcld 13029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
122	121	sqrtgt0d 15356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
123	122	gt0ne0d 11775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ≠ 0)
124	81	nnne0d 12259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
125	98, 103, 124, 107	divne0d 12003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ≠ 0)
126		nnz 12576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
127	126	peano2zd 12666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
128	108, 125, 127	expne0d 14114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ≠ 0)
129	100, 109, 123, 128	mulne0d 11863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ≠ 0)
130	94, 110, 129	divcld 11987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
131	82, 90, 81, 130	fvmptd 6995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
132		nnrp 12982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
133	91, 92, 132	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
134	121	rpsqrtcld 15355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
135		epr 16148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℝ+
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
137	120, 136	rpdivcld 13030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
138	137, 127	rpexpcld 14207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
139	134, 138	rpmulcld 13029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
140	133, 139	rpdivcld 13030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
141	131, 140	eqeltrd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
142	141	relogcld 26473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
143		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗 + 1)
144	21, 143	nffv 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
145	19, 144	nffv 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
146		2fveq3 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
147	143, 145, 146, 2	fvmptf 7009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
148	81, 142, 147	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
149	148, 142	eqeltrd 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
150	79	ffvelcdmi 7075	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
151		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧))))
152	6, 2, 151	stirlinglem11 45285	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) < (𝐵‘𝑗))
153	149, 150, 152	ltled 11359	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
154	153	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
155	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
156	77, 78, 80, 154, 155	climinf 44807	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < ))
157	156	mptru 1540	. 2 ⊢ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )
158		breq2 5142	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf(ran 𝐵, ℝ, < ) → (𝐵 ⇝ 𝑑 ↔ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )))
159	158	rspcev 3604	. 2 ⊢ ((inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑)
160	76, 157, 159	mp2an 689	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ∃wrex 3062  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ran crn 5667   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  infcinf 9432  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11245   ≤ cle 11246   − cmin 11441   / cdiv 11868  ℕcn 12209  2c2 12264  4c4 12266  ℕ₀cn0 12469  ℝ⁺crp 12971  ↑cexp 14024  !cfa 14230  √csqrt 15177   ⇝ cli 15425  eceu 16003  logclog 26405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-e 16009  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-ulm 26230  df-log 26407  df-cxp 26408

This theorem is referenced by:  stirlinglem14  45288