Theorem stirlinglem13 43517

Description: 𝐵 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐵 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

Distinct variable group:   𝐵,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	2	elrnmpt 5854	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))))
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
7	6	stirlinglem2 43506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 25683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
10	5, 9	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	rexlimiva 3209	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	4, 11	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
13	12	ssriv 3921	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ⊆ ℝ
14		1nn 11914	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	6	stirlinglem2 43506	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
16		relogcl 25636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
18		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛1
19		nfcv 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛log
20		nfmpt1 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
21	6, 20	nfcxfr 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
22	21, 18	nffv 6766	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘1)
23	19, 22	nffv 6766	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘1))
24		2fveq3 6761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
25	18, 23, 24, 2	fvmptf 6878	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
26	14, 17, 25	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
27		2fveq3 6761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑗)) = (log‘(𝐴‘1)))
28	27	rspceeqv 3567	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
29	14, 26, 28	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))
30	26, 17	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ℝ
31		nfcv 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(log‘(𝐴‘𝑛))
32		nfcv 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑗
33	21, 32	nffv 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑗)
34	19, 33	nffv 6766	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑗))
35		2fveq3 6761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
36	31, 34, 35	cbvmpt 5181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
37	2, 36	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
38	37	elrnmpt 5854	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ℝ → ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))))
39	30, 38	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
40	29, 39	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ran 𝐵
41	40	ne0ii 4268	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ≠ ∅
42		4re 11987	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
43		4ne0 12011	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
44	42, 43	rereccli 11670	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
45	30, 44	resubcli 11213	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ
46		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
47	6, 2, 46	stirlinglem12 43516	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗))
48	47	rgen 3073	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)
49		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
50	49	ralbidv 3120	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
51	50	rspcev 3552	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
52	45, 48, 51	mp2an 688	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
53		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑦 ∈ ran 𝐵)
54	8	rgen 3073	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ
55	2	fnmpt 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → 𝐵 Fn ℕ)
56		fvelrnb 6812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦))
57	54, 55, 56	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
58	53, 57	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
59		nfra1 3142	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
60		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐵
61	59, 60	nfan 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵)
62		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ≤ 𝑦
63		simp1l 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
64		simp2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑗 ∈ ℕ)
65		rsp 3129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → (𝑗 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)))
66	63, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
67		simp3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
68	66, 67	breqtrd 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
69	68	3exp 1117	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
70	61, 62, 69	rexlimd 3245	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
71	58, 70	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝑦)
72	71	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
73	72	reximi 3174	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
74	52, 73	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦
75		infrecl 11887	. . 3 ⊢ ((ran 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
76	13, 41, 74, 75	mp3an 1459	. 2 ⊢ inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ
77		nnuz 12550	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
78		1zzd 12281	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
79	2, 8	fmpti 6968	. . . . 5 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℝ
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
81		peano2nn 11915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
82	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
83		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
84	83	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑗 + 1)))
85	83	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑗 + 1)))
86	85	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
87	83	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
88	87, 83	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
89	86, 88	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
90	84, 89	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
91	81	nnnn0d 12223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
92		faccl 13925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
93		nncn 11911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
94	91, 92, 93	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
95		2cnd 11981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
96		nncn 11911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
97		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
98	96, 97	addcld 10925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
99	95, 98	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
100	99	sqrtcld 15077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
101		ere 15726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ
102	101	recni 10920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
104		0re 10908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
105		epos 15844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
106	104, 105	gtneii 11017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ≠ 0)
108	98, 103, 107	divcld 11681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℂ)
109	108, 91	expcld 13792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
110	100, 109	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
111		2rp 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
113		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
114	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
115		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
116		0le1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
118		nnge1 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
119	114, 115, 113, 117, 118	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑗)
120	113, 119	ge0p1rpd 12731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
121	112, 120	rpmulcld 12717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
122	121	sqrtgt0d 15052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
123	122	gt0ne0d 11469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ≠ 0)
124	81	nnne0d 11953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
125	98, 103, 124, 107	divne0d 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ≠ 0)
126		nnz 12272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
127	126	peano2zd 12358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
128	108, 125, 127	expne0d 13798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ≠ 0)
129	100, 109, 123, 128	mulne0d 11557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ≠ 0)
130	94, 110, 129	divcld 11681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
131	82, 90, 81, 130	fvmptd 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
132		nnrp 12670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
133	91, 92, 132	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
134	121	rpsqrtcld 15051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
135		epr 15845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℝ+
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
137	120, 136	rpdivcld 12718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
138	137, 127	rpexpcld 13890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
139	134, 138	rpmulcld 12717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
140	133, 139	rpdivcld 12718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
141	131, 140	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
142	141	relogcld 25683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
143		nfcv 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗 + 1)
144	21, 143	nffv 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
145	19, 144	nffv 6766	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
146		2fveq3 6761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
147	143, 145, 146, 2	fvmptf 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
148	81, 142, 147	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
149	148, 142	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
150	79	ffvelrni 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
151		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧))))
152	6, 2, 151	stirlinglem11 43515	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) < (𝐵‘𝑗))
153	149, 150, 152	ltled 11053	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
154	153	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
155	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
156	77, 78, 80, 154, 155	climinf 43037	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < ))
157	156	mptru 1546	. 2 ⊢ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )
158		breq2 5074	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf(ran 𝐵, ℝ, < ) → (𝐵 ⇝ 𝑑 ↔ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )))
159	158	rspcev 3552	. 2 ⊢ ((inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑)
160	76, 157, 159	mp2an 688	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  infcinf 9130  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  4c4 11960  ℕ₀cn0 12163  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710  !cfa 13915  √csqrt 14872   ⇝ cli 15121  eceu 15700  logclog 25615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-e 15706  df-sin 15707  df-cos 15708  df-tan 15709  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-ulm 25441  df-log 25617  df-cxp 25618

This theorem is referenced by:  stirlinglem14  43518