Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem13 44887
Description: 𝐡 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐡 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem13.1 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem13 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝐡 ⇝ 𝑑
Distinct variable group:   𝐡,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐡(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3478 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2 stirlinglem13.2 . . . . . . 7 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
32elrnmpt 5955 . . . . . 6 (𝑦 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))))
41, 3ax-mp 5 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
5 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)))
6 stirlinglem13.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))))
76stirlinglem2 44876 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ ℝ+)
87relogcld 26138 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1110rexlimiva 3147 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
124, 11sylbi 216 . . . 4 (𝑦 ∈ ran 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1312ssriv 3986 . . 3 ran 𝐡 βŠ† ℝ
14 1nn 12225 . . . . . 6 1 ∈ β„•
156stirlinglem2 44876 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜1) ∈ ℝ+)
16 relogcl 26091 . . . . . . . 8 ((π΄β€˜1) ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(π΄β€˜1)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . 7 (logβ€˜(π΄β€˜1)) ∈ ℝ
18 nfcv 2903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛1
19 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛log
20 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))))
216, 20nfcxfr 2901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛𝐴
2221, 18nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(π΄β€˜1)
2319, 22nffv 6901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(logβ€˜(π΄β€˜1))
24 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) = (logβ€˜(π΄β€˜1)))
2518, 23, 24, 2fvmptf 7019 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„• ∧ (logβ€˜(π΄β€˜1)) ∈ ℝ) β†’ (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜1)))
2614, 17, 25mp2an 690 . . . . . 6 (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜1))
27 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)) = (logβ€˜(π΄β€˜1)))
2827rspceeqv 3633 . . . . . 6 ((1 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜1))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
2914, 26, 28mp2an 690 . . . . 5 βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—))
3026, 17eqeltri 2829 . . . . . 6 (π΅β€˜1) ∈ ℝ
31 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(logβ€˜(π΄β€˜π‘›))
32 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛𝑗
3321, 32nffv 6901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(π΄β€˜π‘—)
3419, 33nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(logβ€˜(π΄β€˜π‘—))
35 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
3631, 34, 35cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
372, 36eqtri 2760 . . . . . . 7 𝐡 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
3837elrnmpt 5955 . . . . . 6 ((π΅β€˜1) ∈ ℝ β†’ ((π΅β€˜1) ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—))))
3930, 38ax-mp 5 . . . . 5 ((π΅β€˜1) ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜1) = (logβ€˜(π΄β€˜π‘—)))
4029, 39mpbir 230 . . . 4 (π΅β€˜1) ∈ ran 𝐡
4140ne0ii 4337 . . 3 ran 𝐡 β‰  βˆ…
42 4re 12298 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
43 4ne0 12322 . . . . . . 7 4 β‰  0
4442, 43rereccli 11981 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℝ
4530, 44resubcli 11524 . . . . 5 ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ∈ ℝ
46 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
476, 2, 46stirlinglem12 44886 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—))
4847rgen 3063 . . . . 5 βˆ€π‘— ∈ β„• ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)
49 breq1 5151 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) β†’ (π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ↔ ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)))
5049ralbidv 3177 . . . . . 6 (π‘₯ = ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)))
5150rspcev 3612 . . . . 5 ((((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π΅β€˜1) βˆ’ (1 / 4)) ≀ (π΅β€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
5245, 48, 51mp2an 690 . . . 4 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—)
53 simpr 485 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐡)
548rgen 3063 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘› ∈ β„• (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ
552fnmpt 6690 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ ℝ β†’ 𝐡 Fn β„•)
56 fvelrnb 6952 . . . . . . . . 9 (𝐡 Fn β„• β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦))
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐡 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦)
5853, 57sylib 217 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦)
59 nfra1 3281 . . . . . . . . 9 β„²π‘—βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—)
60 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐡
6159, 60nfan 1902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡)
62 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 π‘₯ ≀ 𝑦
63 simp1l 1197 . . . . . . . . . . 11 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
64 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
65 rsp 3244 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) β†’ (𝑗 ∈ β„• β†’ π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—)))
6663, 64, 65sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
67 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦)
6866, 67breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ (π΅β€˜π‘—) = 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
69683exp 1119 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π΅β€˜π‘—) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)))
7061, 62, 69rexlimd 3263 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• (π΅β€˜π‘—) = 𝑦 β†’ π‘₯ ≀ 𝑦))
7158, 70mpd 15 . . . . . 6 ((βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
7271ralrimiva 3146 . . . . 5 (βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦)
7372reximi 3084 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦)
7452, 73ax-mp 5 . . 3 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦
75 infrecl 12198 . . 3 ((ran 𝐡 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐡 π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ inf(ran 𝐡, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7613, 41, 74, 75mp3an 1461 . 2 inf(ran 𝐡, ℝ, < ) ∈ ℝ
77 nnuz 12867 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
78 1zzd 12595 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
792, 8fmpti 7113 . . . . 5 𝐡:β„•βŸΆβ„
8079a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐡:β„•βŸΆβ„)
81 peano2nn 12226 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
826a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ 𝑛 = (𝑗 + 1))
8483fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (!β€˜π‘›) = (!β€˜(𝑗 + 1)))
8583oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· (𝑗 + 1)))
8685fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) = (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))))
8783oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
8887, 83oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
8986, 88oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
9084, 89oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) β†’ ((!β€˜π‘›) / ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑛)) Β· ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
9181nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
92 faccl 14245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
93 nncn 12222 . . . . . . . . . . . . 13 ((!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
95 2cnd 12292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
96 nncn 12222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
97 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
9896, 97addcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„‚)
9995, 98mulcld 11236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
10099sqrtcld 15386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
101 ere 16034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e ∈ ℝ
102101recni 11230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ β„‚
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ e ∈ β„‚)
104 0re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
105 epos 16152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < e
106104, 105gtneii 11328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e β‰  0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ e β‰  0)
10898, 103, 107divcld 11992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑗 + 1) / e) ∈ β„‚)
109108, 91expcld 14113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ β„‚)
110100, 109mulcld 11236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
111 2rp 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ+)
113 nnre 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
114104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
115 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
116 0le1 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≀ 1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 1)
118 nnge1 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑗)
119114, 115, 113, 117, 118letrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑗)
120113, 119ge0p1rpd 13048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
121112, 120rpmulcld 13034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2 Β· (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
122121sqrtgt0d 15361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ 0 < (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))))
123122gt0ne0d 11780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) β‰  0)
12481nnne0d 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) β‰  0)
12598, 103, 124, 107divne0d 12008 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑗 + 1) / e) β‰  0)
126 nnz 12581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
127126peano2zd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„€)
128108, 125, 127expne0d 14119 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) β‰  0)
129100, 109, 123, 128mulne0d 11868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) β‰  0)
13094, 110, 129divcld 11992 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„‚)
13182, 90, 81, 130fvmptd 7005 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜(𝑗 + 1)) = ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
132 nnrp 12987 . . . . . . . . . . . 12 ((!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
13391, 92, 1323syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
134121rpsqrtcld 15360 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
135 epr 16153 . . . . . . . . . . . . . . 15 e ∈ ℝ+
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ e ∈ ℝ+)
137120, 136rpdivcld 13035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
138137, 127rpexpcld 14212 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
139134, 138rpmulcld 13034 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
140133, 139rpdivcld 13035 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑗 + 1)) / ((βˆšβ€˜(2 Β· (𝑗 + 1))) Β· (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
141131, 140eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
142141relogcld 26138 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
143 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(𝑗 + 1)
14421, 143nffv 6901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(π΄β€˜(𝑗 + 1))
14519, 144nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1)))
146 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (logβ€˜(π΄β€˜π‘›)) = (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))))
147143, 145, 146, 2fvmptf 7019 . . . . . . . 8 (((𝑗 + 1) ∈ β„• ∧ (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) = (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))))
14881, 142, 147syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) = (logβ€˜(π΄β€˜(𝑗 + 1))))
149148, 142eqeltrd 2833 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
15079ffvelcdmi 7085 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜π‘—) ∈ ℝ)
151 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„• ↦ ((1 / ((2 Β· 𝑧) + 1)) Β· ((1 / ((2 Β· 𝑗) + 1))↑(2 Β· 𝑧)))) = (𝑧 ∈ β„• ↦ ((1 / ((2 Β· 𝑧) + 1)) Β· ((1 / ((2 Β· 𝑗) + 1))↑(2 Β· 𝑧))))
1526, 2, 151stirlinglem11 44885 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) < (π΅β€˜π‘—))
153149, 150, 152ltled 11364 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π΅β€˜π‘—))
154153adantl 482 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΅β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (π΅β€˜π‘—))
15552a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• π‘₯ ≀ (π΅β€˜π‘—))
15677, 78, 80, 154, 155climinf 44407 . . 3 (⊀ β†’ 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < ))
157156mptru 1548 . 2 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < )
158 breq2 5152 . . 3 (𝑑 = inf(ran 𝐡, ℝ, < ) β†’ (𝐡 ⇝ 𝑑 ↔ 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < )))
159158rspcev 3612 . 2 ((inf(ran 𝐡, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ⇝ inf(ran 𝐡, ℝ, < )) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝐡 ⇝ 𝑑)
16076, 157, 159mp2an 690 1 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝐡 ⇝ 𝑑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  4c4 12271  β„•0cn0 12474  β„+crp 12976  β†‘cexp 14029  !cfa 14235  βˆšcsqrt 15182   ⇝ cli 15430  eceu 16008  logclog 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-ulm 25896  df-log 26072  df-cxp 26073
This theorem is referenced by:  stirlinglem14  44888
  Copyright terms: Public domain W3C validator