Theorem stirlinglem13 43627

Description: 𝐵 is decreasing and has a lower bound, then it converges. Since 𝐵 is log𝐴, in another theorem it is proven that 𝐴 converges as well. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem13.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem13.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem13	⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

Distinct variable group:   𝐵,𝑑

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑑)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem13

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		stirlinglem13.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
3	2	elrnmpt 5865	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))))
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)))
6		stirlinglem13.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
7	6	stirlinglem2 43616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 25778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ)
10	5, 9	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛))) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	rexlimiva 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (log‘(𝐴‘𝑛)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	4, 11	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
13	12	ssriv 3925	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ⊆ ℝ
14		1nn 11984	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	6	stirlinglem2 43616	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐴‘1) ∈ ℝ+)
16		relogcl 25731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ
18		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛1
19		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛log
20		nfmpt1 5182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
21	6, 20	nfcxfr 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝐴
22	21, 18	nffv 6784	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘1)
23	19, 22	nffv 6784	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘1))
24		2fveq3 6779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘1)))
25	18, 23, 24, 2	fvmptf 6896	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘1)) ∈ ℝ) → (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1)))
26	14, 17, 25	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))
27		2fveq3 6779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (log‘(𝐴‘𝑗)) = (log‘(𝐴‘1)))
28	27	rspceeqv 3575	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
29	14, 26, 28	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))
30	26, 17	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ℝ
31		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(log‘(𝐴‘𝑛))
32		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑗
33	21, 32	nffv 6784	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘𝑗)
34	19, 33	nffv 6784	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘𝑗))
35		2fveq3 6779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
36	31, 34, 35	cbvmpt 5185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
37	2, 36	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑗)))
38	37	elrnmpt 5865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ℝ → ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗))))
39	30, 38	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘1) = (log‘(𝐴‘𝑗)))
40	29, 39	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (𝐵‘1) ∈ ran 𝐵
41	40	ne0ii 4271	. . 3 ⊢ ran 𝐵 ≠ ∅
42		4re 12057	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
43		4ne0 12081	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
44	42, 43	rereccli 11740	. . . . . 6 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
45	30, 44	resubcli 11283	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ
46		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
47	6, 2, 46	stirlinglem12 43626	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗))
48	47	rgen 3074	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)
49		breq1 5077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
50	49	ralbidv 3112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((𝐵‘1) − (1 / 4)) → (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)))
51	50	rspcev 3561	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵‘1) − (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝐵‘1) − (1 / 4)) ≤ (𝐵‘𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
52	45, 48, 51	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
53		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑦 ∈ ran 𝐵)
54	8	rgen 3074	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ
55	2	fnmpt 6573	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (log‘(𝐴‘𝑛)) ∈ ℝ → 𝐵 Fn ℕ)
56		fvelrnb 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦))
57	54, 55, 56	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
58	53, 57	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
59		nfra1 3144	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)
60		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ran 𝐵
61	59, 60	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵)
62		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ≤ 𝑦
63		simp1l 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
64		simp2 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑗 ∈ ℕ)
65		rsp 3131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → (𝑗 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗)))
66	63, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
67		simp3 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → (𝐵‘𝑗) = 𝑦)
68	66, 67	breqtrd 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝐵‘𝑗) = 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
69	68	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
70	61, 62, 69	rexlimd 3250	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (𝐵‘𝑗) = 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
71	58, 70	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝑦)
72	71	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
73	72	reximi 3178	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
74	52, 73	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦
75		infrecl 11957	. . 3 ⊢ ((ran 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
76	13, 41, 74, 75	mp3an 1460	. 2 ⊢ inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ
77		nnuz 12621	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
78		1zzd 12351	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
79	2, 8	fmpti 6986	. . . . 5 ⊢ 𝐵:ℕ⟶ℝ
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐵:ℕ⟶ℝ)
81		peano2nn 11985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
82	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
83		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → 𝑛 = (𝑗 + 1))
84	83	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑗 + 1)))
85	83	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑗 + 1)))
86	85	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
87	83	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → (𝑛 / e) = ((𝑗 + 1) / e))
88	87, 83	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))
89	86, 88	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))))
90	84, 89	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑗 + 1)) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
91	81	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
92		faccl 13997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
93		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
94	91, 92, 93	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
95		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
96		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
97		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
98	96, 97	addcld 10994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
99	95, 98	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
100	99	sqrtcld 15149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
101		ere 15798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ
102	101	recni 10989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
104		0re 10977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
105		epos 15916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
106	104, 105	gtneii 11087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ≠ 0)
108	98, 103, 107	divcld 11751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℂ)
109	108, 91	expcld 13864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
110	100, 109	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
111		2rp 12735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
113		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
114	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
115		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
116		0le1 11498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
118		nnge1 12001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
119	114, 115, 113, 117, 118	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑗)
120	113, 119	ge0p1rpd 12802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℝ+)
121	112, 120	rpmulcld 12788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
122	121	sqrtgt0d 15124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (𝑗 + 1))))
123	122	gt0ne0d 11539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ≠ 0)
124	81	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ≠ 0)
125	98, 103, 124, 107	divne0d 11767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ≠ 0)
126		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
127	126	peano2zd 12429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
128	108, 125, 127	expne0d 13870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ≠ 0)
129	100, 109, 123, 128	mulne0d 11627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ≠ 0)
130	94, 110, 129	divcld 11751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
131	82, 90, 81, 130	fvmptd 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) = ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))))
132		nnrp 12741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
133	91, 92, 132	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (!‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
134	121	rpsqrtcld 15123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (√‘(2 · (𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
135		epr 15917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ e ∈ ℝ+
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
137	120, 136	rpdivcld 12789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑗 + 1) / e) ∈ ℝ+)
138	137, 127	rpexpcld 13962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
139	134, 138	rpmulcld 12788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ+)
140	133, 139	rpdivcld 12789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((!‘(𝑗 + 1)) / ((√‘(2 · (𝑗 + 1))) · (((𝑗 + 1) / e)↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ+)
141	131, 140	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ+)
142	141	relogcld 25778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
143		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗 + 1)
144	21, 143	nffv 6784	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴‘(𝑗 + 1))
145	19, 144	nffv 6784	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(log‘(𝐴‘(𝑗 + 1)))
146		2fveq3 6779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑗 + 1) → (log‘(𝐴‘𝑛)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
147	143, 145, 146, 2	fvmptf 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 + 1) ∈ ℕ ∧ (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
148	81, 142, 147	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (log‘(𝐴‘(𝑗 + 1))))
149	148, 142	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
150	79	ffvelrni 6960	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘𝑗) ∈ ℝ)
151		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑧) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑗) + 1))↑(2 · 𝑧))))
152	6, 2, 151	stirlinglem11 43625	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) < (𝐵‘𝑗))
153	149, 150, 152	ltled 11123	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
154	153	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) ≤ (𝐵‘𝑗))
155	52	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵‘𝑗))
156	77, 78, 80, 154, 155	climinf 43147	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < ))
157	156	mptru 1546	. 2 ⊢ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )
158		breq2 5078	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf(ran 𝐵, ℝ, < ) → (𝐵 ⇝ 𝑑 ↔ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )))
159	158	rspcev 3561	. 2 ⊢ ((inf(ran 𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ⇝ inf(ran 𝐵, ℝ, < )) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑)
160	76, 157, 159	mp2an 689	1 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝐵 ⇝ 𝑑

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  4c4 12030  ℕ₀cn0 12233  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782  !cfa 13987  √csqrt 14944   ⇝ cli 15193  eceu 15772  logclog 25710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-e 15778  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-ulm 25536  df-log 25712  df-cxp 25713

This theorem is referenced by:  stirlinglem14  43628