Theorem rimul 12141

Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rimul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem rimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inelr 12140	. 2 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		ax-icn 11107	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
4		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11180	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
7	3, 5, 6	divcan4d 11934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((i · 𝐴) / 𝐴) = i)
8		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
9	8, 4, 6	redivcld 11980	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((i · 𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
10	7, 9	eqeltrrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → i ∈ ℝ)
11	10	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 0 → i ∈ ℝ))
12	11	necon1bd 2960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (¬ i ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
13	1, 12	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2942  (class class class)co 7354  ℂcc 11046  ℝcr 11047  0cc0 11048  ici 11050   · cmul 11053   / cdiv 11809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810

This theorem is referenced by:  cru  12142  cju  12146  crre  14996  tanarg  25970