MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rimul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rimul 12200
Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rimul ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด = 0)

Proof of Theorem rimul
StepHypRef Expression
1 inelr 12199 . 2 ยฌ i โˆˆ โ„
2 ax-icn 11165 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
32a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
4 simpll 764 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54recnd 11239 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
73, 5, 6divcan4d 11993 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((i ยท ๐ด) / ๐ด) = i)
8 simplr 766 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
98, 4, 6redivcld 12039 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((i ยท ๐ด) / ๐ด) โˆˆ โ„)
107, 9eqeltrrd 2826 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ i โˆˆ โ„)
1110ex 412 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ i โˆˆ โ„))
1211necon1bd 2950 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ i โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด = 0))
131, 12mpi 20 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  ici 11108   ยท cmul 11111   / cdiv 11868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869
This theorem is referenced by:  cru  12201  cju  12205  crre  15058  tanarg  26469
  Copyright terms: Public domain W3C validator