Theorem rimul 12205

Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rimul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem rimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inelr 12204	. 2 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		ax-icn 11155	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
4		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
7	3, 5, 6	divcan4d 11993	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((i · 𝐴) / 𝐴) = i)
8		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
9	8, 4, 6	redivcld 12039	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((i · 𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
10	7, 9	eqeltrrd 2870	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → i ∈ ℝ)
11	10	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 0 → i ∈ ℝ))
12	11	necon1bd 2982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (¬ i ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
13	1, 12	mpi 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  ici 11098   · cmul 11101   / cdiv 11867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868

This theorem is referenced by:  cru  12206  cju  12210  crre  15161  tanarg  26746  constrrecl  34100  itrere  42962