MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cju Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cju 12232
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem cju
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11235 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)))
2 recn 11222 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3 ax-icn 11191 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
4 recn 11222 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
5 mulcl 11216 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
63, 4, 5sylancr 586 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
7 subcl 11483 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
82, 6, 7syl2an 595 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
92adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
106adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
119, 10, 9ppncand 11635 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) = (๐‘ฆ + ๐‘ฆ))
12 readdcl 11215 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1312anidms 566 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1511, 14eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
169, 10, 10pnncand 11634 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) = ((i ยท ๐‘ง) + (i ยท ๐‘ง)))
173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
184adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
1917, 18, 18adddid 11262 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) = ((i ยท ๐‘ง) + (i ยท ๐‘ง)))
2016, 19eqtr4d 2770 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) = (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง)))
2120oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) = (i ยท (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง))))
2218, 18addcld 11257 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง + ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
23 mulass 11220 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ง + ๐‘ง) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) = (i ยท (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง))))
243, 3, 22, 23mp3an12i 1462 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) = (i ยท (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง))))
2521, 24eqtr4d 2770 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) = ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)))
26 ixi 11867 . . . . . . . . 9 (i ยท i) = -1
27 1re 11238 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
2827renegcli 11545 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„
2926, 28eqeltri 2824 . . . . . . . 8 (i ยท i) โˆˆ โ„
30 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
3130, 30readdcld 11267 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง + ๐‘ง) โˆˆ โ„)
32 remulcl 11217 . . . . . . . 8 (((i ยท i) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ง + ๐‘ง) โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
3329, 31, 32sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
3425, 33eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) โˆˆ โ„)
35 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))))
3635eleq1d 2813 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) โˆˆ โ„))
37 oveq2 7422 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))))
3837oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))))
3938eleq1d 2813 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) โˆˆ โ„))
4036, 39anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) โˆˆ โ„)))
4140rspcev 3607 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) โˆˆ โ„)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
428, 15, 34, 41syl12anc 836 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
43 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ))
4443eleq1d 2813 . . . . . . 7 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„))
45 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ))
4645oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)))
4746eleq1d 2813 . . . . . . 7 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
4844, 47anbi12d 630 . . . . . 6 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
4948rexbidv 3173 . . . . 5 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
5042, 49syl5ibrcom 246 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
5150rexlimivv 3194 . . 3 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
521, 51syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
53 an4 655 . . . 4 ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†” (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โˆง ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
54 resubcl 11548 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆ’ (๐ด + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
55 pnpcan 11523 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆ’ (๐ด + ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
56553expb 1118 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆ’ (๐ด + ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
5756eleq1d 2813 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆ’ (๐ด + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„))
5854, 57imbitrid 243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„))
59 resubcl 11548 . . . . . . . 8 (((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
6059ancoms 458 . . . . . . 7 (((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
613a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
62 subcl 11483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
6362adantrl 715 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
64 subcl 11483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6564adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6661, 63, 65subdid 11694 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (i ยท ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) = ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))))
67 nnncan1 11520 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
68673com23 1124 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
69683expb 1118 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
7069oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (i ยท ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) = (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7166, 70eqtr3d 2769 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) = (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7271eleq1d 2813 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
7360, 72imbitrid 243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
7458, 73anim12d 608 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โˆง ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
75 rimul 12227 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0)
7675a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0))
77 subeq0 11510 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0 โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7877biimpd 228 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7978adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
8074, 76, 793syld 60 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โˆง ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
8153, 80biimtrid 241 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
8281ralrimivva 3195 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
83 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = (๐ด + ๐‘ฆ))
8483eleq1d 2813 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„))
85 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ))
8685oveq2d 7430 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)))
8786eleq1d 2813 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
8884, 87anbi12d 630 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
8988reu4 3724 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
9052, 82, 89sylanbrc 582 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  โˆƒ!wreu 3369  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133  ici 11134   + caddc 11135   ยท cmul 11137   โˆ’ cmin 11468  -cneg 11469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896
This theorem is referenced by:  cjth  15076  cjf  15077  remim  15090
  Copyright terms: Public domain W3C validator