MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cju Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cju 12157
Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cju (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem cju
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11160 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)))
2 recn 11149 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3 ax-icn 11118 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
4 recn 11149 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
5 mulcl 11143 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
63, 4, 5sylancr 588 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
7 subcl 11408 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
82, 6, 7syl2an 597 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
92adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
106adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
119, 10, 9ppncand 11560 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) = (๐‘ฆ + ๐‘ฆ))
12 readdcl 11142 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1312anidms 568 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1511, 14eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) โˆˆ โ„)
169, 10, 10pnncand 11559 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) = ((i ยท ๐‘ง) + (i ยท ๐‘ง)))
173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
184adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
1917, 18, 18adddid 11187 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) = ((i ยท ๐‘ง) + (i ยท ๐‘ง)))
2016, 19eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) = (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง)))
2120oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) = (i ยท (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง))))
2218, 18addcld 11182 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง + ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
23 mulass 11147 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ง + ๐‘ง) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) = (i ยท (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง))))
243, 3, 22, 23mp3an12i 1466 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) = (i ยท (i ยท (๐‘ง + ๐‘ง))))
2521, 24eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) = ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)))
26 ixi 11792 . . . . . . . . 9 (i ยท i) = -1
27 1re 11163 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
2827renegcli 11470 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„
2926, 28eqeltri 2830 . . . . . . . 8 (i ยท i) โˆˆ โ„
30 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
3130, 30readdcld 11192 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง + ๐‘ง) โˆˆ โ„)
32 remulcl 11144 . . . . . . . 8 (((i ยท i) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ง + ๐‘ง) โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
3329, 31, 32sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท (๐‘ง + ๐‘ง)) โˆˆ โ„)
3425, 33eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) โˆˆ โ„)
35 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))))
3635eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) โˆˆ โ„))
37 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))))
3837oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))))
3938eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) โˆˆ โ„))
4036, 39anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) โˆˆ โ„)))
4140rspcev 3583 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ฆ โˆ’ (i ยท ๐‘ง)))) โˆˆ โ„)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
428, 15, 34, 41syl12anc 836 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
43 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ))
4443eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„))
45 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ))
4645oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)))
4746eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
4844, 47anbi12d 632 . . . . . 6 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
4948rexbidv 3172 . . . . 5 (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
5042, 49syl5ibrcom 247 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)))
5150rexlimivv 3193 . . 3 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฆ + (i ยท ๐‘ง)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
521, 51syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
53 an4 655 . . . 4 ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†” (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โˆง ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
54 resubcl 11473 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆ’ (๐ด + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)
55 pnpcan 11448 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆ’ (๐ด + ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
56553expb 1121 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆ’ (๐ด + ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
5756eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆ’ (๐ด + ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„))
5854, 57imbitrid 243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„))
59 resubcl 11473 . . . . . . . 8 (((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
6059ancoms 460 . . . . . . 7 (((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
613a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
62 subcl 11408 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
6362adantrl 715 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
64 subcl 11408 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6564adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6661, 63, 65subdid 11619 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (i ยท ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) = ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))))
67 nnncan1 11445 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
68673com23 1127 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
69683expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
7069oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (i ยท ((๐ด โˆ’ ๐‘ฆ) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) = (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7166, 70eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) = (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7271eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆ’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
7360, 72imbitrid 243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
7458, 73anim12d 610 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โˆง ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
75 rimul 12152 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0)
7675a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0))
77 subeq0 11435 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0 โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7877biimpd 228 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7978adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
8074, 76, 793syld 60 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„) โˆง ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
8153, 80biimtrid 241 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
8281ralrimivva 3194 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
83 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = (๐ด + ๐‘ฆ))
8483eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†” (๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„))
85 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ) = (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ))
8685oveq2d 7377 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) = (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)))
8786eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„))
8884, 87anbi12d 632 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)))
8988reu4 3693 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ((((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โˆง ((๐ด + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
9052, 82, 89sylanbrc 584 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด + ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ด โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3350  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  cjth  14997  cjf  14998  remim  15011
  Copyright terms: Public domain W3C validator