Theorem cju 12153

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cju

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11141	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2		recn 11128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3		ax-icn 11097	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5		mulcl 11122	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
7		subcl 11391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℂ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
9	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
11	9, 10, 9	ppncand 11544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) = (𝑦 + 𝑦))
12		readdcl 11121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
13	12	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
15	11, 14	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ)
16	9, 10, 10	pnncand 11543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
17	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
18	4	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19	17, 18, 18	adddid 11168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · (𝑧 + 𝑧)) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
20	16, 19	eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = (i · (𝑧 + 𝑧)))
21	20	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
22	18, 18	addcld 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ)
23		mulass 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
24	3, 3, 22, 23	mp3an12i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
25	21, 24	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)))
26		ixi 11778	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
27		1re 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
28	27	renegcli 11454	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
29	26, 28	eqeltri 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
30		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
31	30, 30	readdcld 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ)
32		remulcl 11123	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
33	29, 31, 32	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
34	25, 33	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)
35		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))))
36	35	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ))
37		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))))
38	37	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))))
39	38	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ))
40	36, 39	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)))
41	40	rspcev 3578	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
42	8, 15, 34, 41	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
43		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥))
44	43	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ))
45		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥))
46	45	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)))
47	46	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
48	44, 47	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
49	48	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
50	42, 49	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
51	50	rexlimivv 3180	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
52	1, 51	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
53		an4 657	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) ↔ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
54		resubcl 11457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ)
55		pnpcan 11432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
56	55	3expb 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
57	56	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
58	54, 57	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
59		resubcl 11457	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
60	59	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
61	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ ℂ)
62		subcl 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
63	62	adantrl 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
64		subcl 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
65	64	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
66	61, 63, 65	subdid 11605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))))
67		nnncan1 11429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
68	67	3com23 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
69	68	3expb 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
70	69	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
71	66, 70	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
72	71	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ ↔ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
73	60, 72	imbitrid 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
74	58, 73	anim12d 610	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
75		rimul 12148	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0)
76	75	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0))
77		subeq0 11419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
78	77	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
79	78	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
80	74, 76, 79	3syld 60	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
81	53, 80	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
82	81	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
83		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
84	83	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ))
85		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
86	85	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − 𝑦)))
87	86	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ))
88	84, 87	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
89	88	reu4 3691	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦)))
90	52, 82, 89	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  cjth  15038  cjf  15039  remim  15052