Theorem cju 12297

Description: The complex conjugate of a complex number is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cju	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cju

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11286	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2		recn 11271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3		ax-icn 11240	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 11271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5		mulcl 11265	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
7		subcl 11537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℂ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ)
9	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
10	6	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
11	9, 10, 9	ppncand 11690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) = (𝑦 + 𝑦))
12		readdcl 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
13	12	anidms 577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑦) ∈ ℝ)
15	11, 14	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ)
16	9, 10, 10	pnncand 11689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
17	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
18	4	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19	17, 18, 18	adddid 11314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · (𝑧 + 𝑧)) = ((i · 𝑧) + (i · 𝑧)))
20	16, 19	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))) = (i · (𝑧 + 𝑧)))
21	20	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
22	18, 18	addcld 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ)
23		mulass 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
24	3, 3, 22, 23	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) = (i · (i · (𝑧 + 𝑧))))
25	21, 24	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) = ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)))
26		ixi 11926	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
27		1re 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
28	27	renegcli 11600	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
29	26, 28	eqeltri 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
30		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
31	30, 30	readdcld 11319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ)
32		remulcl 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 𝑧) ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
33	29, 31, 32	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((i · i) · (𝑧 + 𝑧)) ∈ ℝ)
34	25, 33	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)
35		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))))
36	35	eleq1d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ))
37		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧))))
38	37	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))))
39	38	eleq1d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ))
40	36, 39	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − (i · 𝑧)) → ((((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)))
41	40	rspcev 3577	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 − (i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + (𝑦 − (i · 𝑧))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − (𝑦 − (i · 𝑧)))) ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
42	8, 15, 34, 41	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
43		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥))
44	43	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ ((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ))
45		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝐴 − 𝑥) = ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥))
46	45	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)))
47	46	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ))
48	44, 47	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
49	48	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (((𝑦 + (i · 𝑧)) + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝑦 + (i · 𝑧)) − 𝑥)) ∈ ℝ)))
50	42, 49	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
51	50	rexlimivv 3205	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
52	1, 51	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
53		an4 669	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) ↔ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
54		resubcl 11603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ)
55		pnpcan 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
56	55	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
57	56	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) − (𝐴 + 𝑦)) ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
58	54, 57	imbitrid 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ))
59		resubcl 11603	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
60	59	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ)
61	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ ℂ)
62		subcl 11537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
63	62	adantrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑦) ∈ ℂ)
64		subcl 11537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
65	64	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
66	61, 63, 65	subdid 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))))
67		nnncan1 11575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
68	67	3com23 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
69	68	3expb 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥)) = (𝑥 − 𝑦))
70	69	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · ((𝐴 − 𝑦) − (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
71	66, 70	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) = (i · (𝑥 − 𝑦)))
72	71	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑦)) − (i · (𝐴 − 𝑥))) ∈ ℝ ↔ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
73	60, 72	imbitrid 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
74	58, 73	anim12d 621	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
75		rimul 12292	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0)
76	75	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) = 0))
77		subeq0 11565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
78	77	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
79	78	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
80	74, 76, 79	3syld 61	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
81	53, 80	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
82	81	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦))
83		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
84	83	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ))
85		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
86	85	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − 𝑦)))
87	86	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ))
88	84, 87	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
89	88	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ ((((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)) → 𝑥 = 𝑦)))
90	52, 82, 89	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∃!wreu 3364  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182  ici 11183   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  -cneg 11523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  cjth  15250  cjf  15251  remim  15264