Theorem redivcld 12042

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11933	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12112  ledivp1  12116  supmul1  12183  rimul  12203  div4p1lem1div2  12467  divelunit  13471  fldiv4p1lem1div2  13800  fldiv4lem1div2uz2  13801  quoremz  13820  intfracq  13824  fldiv  13825  modmulnn  13854  modmuladd  13878  modmuladdnn0  13880  expnbnd  14195  discr1  14202  discr  14203  sqreulem  15306  fprodle  15940  fldivndvdslt  16357  flodddiv4t2lthalf  16359  iccpnfhmeo  24461  ipcau2  24751  mbfmulc2lem  25164  i1fmulc  25221  itg1mulc  25222  itg2monolem3  25270  dvferm2lem  25503  dvcvx  25537  radcnvlem1  25925  tanord1  26046  logf1o2  26158  relogbcl  26278  ang180lem2  26315  chordthmlem2  26338  jensenlem2  26492  regamcl  26565  gausslemma2dlem0d  26862  gausslemma2dlem3  26871  gausslemma2dlem4  26872  gausslemma2dlem5  26874  2lgslem1a2  26893  2lgslem1  26897  2lgslem2  26898  2lgsoddprmlem2  26912  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  ostth2  27140  ttgcontlem1  28142  colinearalg  28168  axsegconlem8  28182  axpaschlem  28198  axeuclidlem  28220  nmophmi  31284  unitdivcld  32881  dya2icoseg  33276  dya2iocucvr  33283  signsply0  33562  logdivsqrle  33662  hgt750lem  33663  hgt750leme  33670  tgoldbachgtde  33672  sinccvglem  34657  circum  34659  knoppndvlem1  35388  knoppndvlem14  35401  knoppndvlem15  35402  knoppndvlem17  35404  knoppndvlem18  35405  knoppndvlem19  35406  knoppndvlem21  35408  poimirlem31  36519  itg2addnclem  36539  itg2addnclem2  36540  areacirclem1  36576  areacirclem4  36579  lcmineqlem15  40908  3lexlogpow5ineq2  40920  3lexlogpow5ineq4  40921  3lexlogpow2ineq1  40923  3lexlogpow2ineq2  40924  3lexlogpow5ineq5  40925  dvrelog2  40929  dvrelog3  40930  dvrelog2b  40931  dvrelogpow2b  40933  aks4d1p1p4  40936  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p1p5  40940  aks4d1p5  40945  aks4d1p8  40952  2ap1caineq  40961  pellexlem1  41567  pellexlem6  41572  reglogcl  41628  modabsdifz  41725  areaquad  41965  imo72b2  42924  hashnzfzclim  43081  sineq0ALT  43698  suplesup  44049  reclt0d  44097  xrralrecnnge  44100  ltdiv23neg  44104  iooiinioc  44269  0ellimcdiv  44365  dvdivbd  44639  ioodvbdlimc1lem1  44647  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  stoweidlem1  44717  stoweidlem13  44729  stoweidlem26  44742  stoweidlem34  44750  stoweidlem36  44752  stoweidlem51  44767  stoweidlem60  44776  wallispilem4  44784  wallispilem5  44785  stirlingr  44806  dirker2re  44808  dirkerval2  44810  dirkerre  44811  dirkertrigeq  44817  dirkeritg  44818  dirkercncflem1  44819  dirkercncflem4  44822  fourierdlem4  44827  fourierdlem7  44830  fourierdlem9  44832  fourierdlem16  44839  fourierdlem19  44842  fourierdlem21  44844  fourierdlem22  44845  fourierdlem24  44847  fourierdlem26  44849  fourierdlem30  44853  fourierdlem39  44862  fourierdlem41  44864  fourierdlem42  44865  fourierdlem43  44866  fourierdlem47  44869  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem51  44873  fourierdlem56  44878  fourierdlem57  44879  fourierdlem58  44880  fourierdlem59  44881  fourierdlem63  44885  fourierdlem64  44886  fourierdlem66  44888  fourierdlem71  44893  fourierdlem72  44894  fourierdlem78  44900  fourierdlem83  44905  fourierdlem87  44909  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fourierdlem95  44917  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  etransclem48  44998  qndenserrnbllem  45010  sge0rpcpnf  45137  sge0ad2en  45147  ovnsubaddlem1  45286  hoidmvlelem3  45313  ovolval5lem1  45368  ovolval5lem2  45369  vonioolem2  45397  vonicclem2  45400  pimrecltneg  45440  smfrec  45505  smfdiv  45513  sigardiv  45577  lighneallem2  46274  requad01  46289  requad1  46290  requad2  46291  modn0mul  47206  refdivmptf  47228  fldivexpfllog2  47251  dignnld  47289  dig2nn1st  47291  dig2bits  47300  dignn0flhalflem2  47302  affinecomb1  47388  eenglngeehlnmlem1  47423  eenglngeehlnmlem2  47424  rrx2vlinest  47427  line2ylem  47437  line2  47438  line2xlem  47439  itsclc0lem1  47442  itsclc0lem2  47443  itscnhlc0yqe  47445  itsclquadb  47462