Theorem redivcld 12122

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 12013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12193  ledivp1  12197  supmul1  12264  rimul  12284  div4p1lem1div2  12548  divelunit  13554  fldiv4p1lem1div2  13886  fldiv4lem1div2uz2  13887  quoremz  13906  intfracq  13910  fldiv  13911  modmulnn  13940  modmuladd  13964  modmuladdnn0  13966  expnbnd  14281  discr1  14288  discr  14289  sqreulem  15408  fprodle  16044  fldivndvdslt  16462  flodddiv4t2lthalf  16464  iccpnfhmeo  24995  ipcau2  25287  mbfmulc2lem  25701  i1fmulc  25758  itg1mulc  25759  itg2monolem3  25807  dvferm2lem  26044  dvcvx  26079  radcnvlem1  26474  tanord1  26597  logf1o2  26710  relogbcl  26834  ang180lem2  26871  chordthmlem2  26894  jensenlem2  27049  regamcl  27122  gausslemma2dlem0d  27421  gausslemma2dlem3  27430  gausslemma2dlem4  27431  gausslemma2dlem5  27433  2lgslem1a2  27452  2lgslem1  27456  2lgslem2  27457  2lgsoddprmlem2  27471  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  ostth2  27699  ttgcontlem1  28917  colinearalg  28943  axsegconlem8  28957  axpaschlem  28973  axeuclidlem  28995  nmophmi  32063  unitdivcld  33847  dya2icoseg  34242  dya2iocucvr  34249  signsply0  34528  logdivsqrle  34627  hgt750lem  34628  hgt750leme  34635  tgoldbachgtde  34637  sinccvglem  35640  circum  35642  knoppndvlem1  36478  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem15  36492  knoppndvlem17  36494  knoppndvlem18  36495  knoppndvlem19  36496  knoppndvlem21  36498  poimirlem31  37611  itg2addnclem  37631  itg2addnclem2  37632  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  lcmineqlem15  42000  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow5ineq4  42013  3lexlogpow2ineq1  42015  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  dvrelog2  42021  dvrelog3  42022  dvrelog2b  42023  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p5  42037  aks4d1p8  42044  aks6d1c2lem4  42084  2ap1caineq  42102  bcled  42135  bcle2d  42136  aks6d1c7lem1  42137  itrere  42307  pellexlem1  42785  pellexlem6  42790  reglogcl  42846  modabsdifz  42943  areaquad  43177  imo72b2  44134  hashnzfzclim  44291  sineq0ALT  44908  suplesup  45254  reclt0d  45302  xrralrecnnge  45305  ltdiv23neg  45309  iooiinioc  45474  0ellimcdiv  45570  dvdivbd  45844  ioodvbdlimc1lem1  45852  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  stoweidlem1  45922  stoweidlem13  45934  stoweidlem26  45947  stoweidlem34  45955  stoweidlem36  45957  stoweidlem51  45972  stoweidlem60  45981  wallispilem4  45989  wallispilem5  45990  stirlingr  46011  dirker2re  46013  dirkerval2  46015  dirkerre  46016  dirkertrigeq  46022  dirkeritg  46023  dirkercncflem1  46024  dirkercncflem4  46027  fourierdlem4  46032  fourierdlem7  46035  fourierdlem9  46037  fourierdlem16  46044  fourierdlem19  46047  fourierdlem21  46049  fourierdlem22  46050  fourierdlem24  46052  fourierdlem26  46054  fourierdlem30  46058  fourierdlem39  46067  fourierdlem41  46069  fourierdlem42  46070  fourierdlem43  46071  fourierdlem47  46074  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem51  46078  fourierdlem56  46083  fourierdlem57  46084  fourierdlem58  46085  fourierdlem59  46086  fourierdlem63  46090  fourierdlem64  46091  fourierdlem66  46093  fourierdlem71  46098  fourierdlem72  46099  fourierdlem78  46105  fourierdlem83  46110  fourierdlem87  46114  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  fourierdlem95  46122  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  etransclem48  46203  qndenserrnbllem  46215  sge0rpcpnf  46342  sge0ad2en  46352  ovnsubaddlem1  46491  hoidmvlelem3  46518  ovolval5lem1  46573  ovolval5lem2  46574  vonioolem2  46602  vonicclem2  46605  pimrecltneg  46645  smfrec  46710  smfdiv  46718  sigardiv  46782  lighneallem2  47480  requad01  47495  requad1  47496  requad2  47497  modn0mul  48254  refdivmptf  48276  fldivexpfllog2  48299  dignnld  48337  dig2nn1st  48339  dig2bits  48348  dignn0flhalflem2  48350  affinecomb1  48436  eenglngeehlnmlem1  48471  eenglngeehlnmlem2  48472  rrx2vlinest  48475  line2ylem  48485  line2  48486  line2xlem  48487  itsclc0lem1  48490  itsclc0lem2  48491  itscnhlc0yqe  48493  itsclquadb  48510