Theorem redivcld 12067

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11958	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127   / cdiv 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12138  ledivp1  12142  supmul1  12209  rimul  12229  div4p1lem1div2  12494  divelunit  13509  fldiv4p1lem1div2  13850  fldiv4lem1div2uz2  13851  quoremz  13870  intfracq  13874  fldiv  13875  modmulnn  13904  modmuladd  13929  modmuladdnn0  13931  expnbnd  14248  discr1  14255  discr  14256  sqreulem  15376  fprodle  16010  fldivndvdslt  16433  flodddiv4t2lthalf  16435  iccpnfhmeo  24892  ipcau2  25184  mbfmulc2lem  25598  i1fmulc  25654  itg1mulc  25655  itg2monolem3  25703  dvferm2lem  25940  dvcvx  25975  radcnvlem1  26372  tanord1  26496  logf1o2  26609  relogbcl  26733  ang180lem2  26770  chordthmlem2  26793  jensenlem2  26948  regamcl  27021  gausslemma2dlem0d  27320  gausslemma2dlem3  27329  gausslemma2dlem4  27330  gausslemma2dlem5  27332  2lgslem1a2  27351  2lgslem1  27355  2lgslem2  27356  2lgsoddprmlem2  27370  selberg3lem1  27518  selberg4lem1  27521  ostth2  27598  ttgcontlem1  28810  colinearalg  28835  axsegconlem8  28849  axpaschlem  28865  axeuclidlem  28887  nmophmi  31958  cos9thpinconstrlem1  33769  unitdivcld  33878  dya2icoseg  34255  dya2iocucvr  34262  signsply0  34529  logdivsqrle  34628  hgt750lem  34629  hgt750leme  34636  tgoldbachgtde  34638  sinccvglem  35640  circum  35642  knoppndvlem1  36476  knoppndvlem14  36489  knoppndvlem15  36490  knoppndvlem17  36492  knoppndvlem18  36493  knoppndvlem19  36494  knoppndvlem21  36496  poimirlem31  37621  itg2addnclem  37641  itg2addnclem2  37642  areacirclem1  37678  areacirclem4  37681  lcmineqlem15  42002  3lexlogpow5ineq2  42014  3lexlogpow5ineq4  42015  3lexlogpow2ineq1  42017  3lexlogpow2ineq2  42018  3lexlogpow5ineq5  42019  dvrelog2  42023  dvrelog3  42024  dvrelog2b  42025  dvrelogpow2b  42027  aks4d1p1p4  42030  aks4d1p1p6  42032  aks4d1p1p7  42033  aks4d1p1p5  42034  aks4d1p5  42039  aks4d1p8  42046  aks6d1c2lem4  42086  2ap1caineq  42104  bcled  42137  bcle2d  42138  aks6d1c7lem1  42139  itrere  42314  pellexlem1  42799  pellexlem6  42804  reglogcl  42860  modabsdifz  42957  areaquad  43187  imo72b2  44143  hashnzfzclim  44294  sineq0ALT  44909  suplesup  45314  reclt0d  45362  xrralrecnnge  45365  ltdiv23neg  45369  iooiinioc  45533  0ellimcdiv  45626  dvdivbd  45900  ioodvbdlimc1lem1  45908  ioodvbdlimc1lem2  45909  ioodvbdlimc2lem  45911  stoweidlem1  45978  stoweidlem13  45990  stoweidlem26  46003  stoweidlem34  46011  stoweidlem36  46013  stoweidlem51  46028  stoweidlem60  46037  wallispilem4  46045  wallispilem5  46046  stirlingr  46067  dirker2re  46069  dirkerval2  46071  dirkerre  46072  dirkertrigeq  46078  dirkeritg  46079  dirkercncflem1  46080  dirkercncflem4  46083  fourierdlem4  46088  fourierdlem7  46091  fourierdlem9  46093  fourierdlem16  46100  fourierdlem19  46103  fourierdlem21  46105  fourierdlem22  46106  fourierdlem24  46108  fourierdlem26  46110  fourierdlem30  46114  fourierdlem39  46123  fourierdlem41  46125  fourierdlem42  46126  fourierdlem43  46127  fourierdlem47  46130  fourierdlem48  46131  fourierdlem49  46132  fourierdlem51  46134  fourierdlem56  46139  fourierdlem57  46140  fourierdlem58  46141  fourierdlem59  46142  fourierdlem63  46146  fourierdlem64  46147  fourierdlem66  46149  fourierdlem71  46154  fourierdlem72  46155  fourierdlem78  46161  fourierdlem83  46166  fourierdlem87  46170  fourierdlem89  46172  fourierdlem90  46173  fourierdlem91  46174  fourierdlem95  46178  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  etransclem48  46259  qndenserrnbllem  46271  sge0rpcpnf  46398  sge0ad2en  46408  ovnsubaddlem1  46547  hoidmvlelem3  46574  ovolval5lem1  46629  ovolval5lem2  46630  vonioolem2  46658  vonicclem2  46661  pimrecltneg  46701  smfrec  46766  smfdiv  46774  sigardiv  46838  lighneallem2  47568  requad01  47583  requad1  47584  requad2  47585  modn0mul  48448  refdivmptf  48470  fldivexpfllog2  48493  dignnld  48531  dig2nn1st  48533  dig2bits  48542  dignn0flhalflem2  48544  affinecomb1  48630  eenglngeehlnmlem1  48665  eenglngeehlnmlem2  48666  rrx2vlinest  48669  line2ylem  48679  line2  48680  line2xlem  48681  itsclc0lem1  48684  itsclc0lem2  48685  itscnhlc0yqe  48687  itsclquadb  48704