Theorem redivcld 11988

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11879	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℝcr 11045  0cc0 11046   / cdiv 11813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12059  ledivp1  12063  supmul1  12130  rimul  12155  div4p1lem1div2  12415  divelunit  13433  fldiv4p1lem1div2  13775  fldiv4lem1div2uz2  13776  quoremz  13795  intfracq  13799  fldiv  13800  modmulnn  13829  modmuladd  13856  modmuladdnn0  13858  expnbnd  14175  discr1  14182  discr  14183  sqreulem  15303  fprodle  15939  fldivndvdslt  16363  flodddiv4t2lthalf  16365  iccpnfhmeo  24877  ipcau2  25168  mbfmulc2lem  25582  i1fmulc  25638  itg1mulc  25639  itg2monolem3  25687  dvferm2lem  25924  dvcvx  25959  radcnvlem1  26356  tanord1  26480  logf1o2  26593  relogbcl  26717  ang180lem2  26754  chordthmlem2  26777  jensenlem2  26932  regamcl  27005  gausslemma2dlem0d  27304  gausslemma2dlem3  27313  gausslemma2dlem4  27314  gausslemma2dlem5  27316  2lgslem1a2  27335  2lgslem1  27339  2lgslem2  27340  2lgsoddprmlem2  27354  selberg3lem1  27502  selberg4lem1  27505  ostth2  27582  ttgcontlem1  28866  colinearalg  28891  axsegconlem8  28905  axpaschlem  28921  axeuclidlem  28943  nmophmi  32011  cos9thpinconstrlem1  33773  unitdivcld  33885  dya2icoseg  34262  dya2iocucvr  34269  signsply0  34536  logdivsqrle  34635  hgt750lem  34636  hgt750leme  34643  tgoldbachgtde  34645  sinccvglem  35653  circum  35655  knoppndvlem1  36494  knoppndvlem14  36507  knoppndvlem15  36508  knoppndvlem17  36510  knoppndvlem18  36511  knoppndvlem19  36512  knoppndvlem21  36514  poimirlem31  37639  itg2addnclem  37659  itg2addnclem2  37660  areacirclem1  37696  areacirclem4  37699  lcmineqlem15  42025  3lexlogpow5ineq2  42037  3lexlogpow5ineq4  42038  3lexlogpow2ineq1  42040  3lexlogpow2ineq2  42041  3lexlogpow5ineq5  42042  dvrelog2  42046  dvrelog3  42047  dvrelog2b  42048  dvrelogpow2b  42050  aks4d1p1p4  42053  aks4d1p1p6  42055  aks4d1p1p7  42056  aks4d1p1p5  42057  aks4d1p5  42062  aks4d1p8  42069  aks6d1c2lem4  42109  2ap1caineq  42127  bcled  42160  bcle2d  42161  aks6d1c7lem1  42162  pellexlem1  42811  pellexlem6  42816  reglogcl  42872  modabsdifz  42969  areaquad  43199  imo72b2  44155  hashnzfzclim  44305  sineq0ALT  44920  suplesup  45329  reclt0d  45377  xrralrecnnge  45380  ltdiv23neg  45384  iooiinioc  45548  0ellimcdiv  45641  dvdivbd  45915  ioodvbdlimc1lem1  45923  ioodvbdlimc1lem2  45924  ioodvbdlimc2lem  45926  stoweidlem1  45993  stoweidlem13  46005  stoweidlem26  46018  stoweidlem34  46026  stoweidlem36  46028  stoweidlem51  46043  stoweidlem60  46052  wallispilem4  46060  wallispilem5  46061  stirlingr  46082  dirker2re  46084  dirkerval2  46086  dirkerre  46087  dirkertrigeq  46093  dirkeritg  46094  dirkercncflem1  46095  dirkercncflem4  46098  fourierdlem4  46103  fourierdlem7  46106  fourierdlem9  46108  fourierdlem16  46115  fourierdlem19  46118  fourierdlem21  46120  fourierdlem22  46121  fourierdlem24  46123  fourierdlem26  46125  fourierdlem30  46129  fourierdlem39  46138  fourierdlem41  46140  fourierdlem42  46141  fourierdlem43  46142  fourierdlem47  46145  fourierdlem48  46146  fourierdlem49  46147  fourierdlem51  46149  fourierdlem56  46154  fourierdlem57  46155  fourierdlem58  46156  fourierdlem59  46157  fourierdlem63  46161  fourierdlem64  46162  fourierdlem66  46164  fourierdlem71  46169  fourierdlem72  46170  fourierdlem78  46176  fourierdlem83  46181  fourierdlem87  46185  fourierdlem89  46187  fourierdlem90  46188  fourierdlem91  46189  fourierdlem95  46193  fourierdlem103  46201  fourierdlem104  46202  etransclem48  46274  qndenserrnbllem  46286  sge0rpcpnf  46413  sge0ad2en  46423  ovnsubaddlem1  46562  hoidmvlelem3  46589  ovolval5lem1  46644  ovolval5lem2  46645  vonioolem2  46673  vonicclem2  46676  pimrecltneg  46716  smfrec  46781  smfdiv  46789  sigardiv  46853  modn0mul  47352  lighneallem2  47601  requad01  47616  requad1  47617  requad2  47618  refdivmptf  48525  fldivexpfllog2  48548  dignnld  48586  dig2nn1st  48588  dig2bits  48597  dignn0flhalflem2  48599  affinecomb1  48685  eenglngeehlnmlem1  48720  eenglngeehlnmlem2  48721  rrx2vlinest  48724  line2ylem  48734  line2  48735  line2xlem  48736  itsclc0lem1  48739  itsclc0lem2  48740  itscnhlc0yqe  48742  itsclquadb  48759