Theorem redivcld 12092

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12163  ledivp1  12167  supmul1  12234  rimul  12254  div4p1lem1div2  12518  divelunit  13530  fldiv4p1lem1div2  13871  fldiv4lem1div2uz2  13872  quoremz  13891  intfracq  13895  fldiv  13896  modmulnn  13925  modmuladd  13950  modmuladdnn0  13952  expnbnd  14267  discr1  14274  discr  14275  sqreulem  15394  fprodle  16028  fldivndvdslt  16449  flodddiv4t2lthalf  16451  iccpnfhmeo  24989  ipcau2  25281  mbfmulc2lem  25695  i1fmulc  25752  itg1mulc  25753  itg2monolem3  25801  dvferm2lem  26038  dvcvx  26073  radcnvlem1  26470  tanord1  26593  logf1o2  26706  relogbcl  26830  ang180lem2  26867  chordthmlem2  26890  jensenlem2  27045  regamcl  27118  gausslemma2dlem0d  27417  gausslemma2dlem3  27426  gausslemma2dlem4  27427  gausslemma2dlem5  27429  2lgslem1a2  27448  2lgslem1  27452  2lgslem2  27453  2lgsoddprmlem2  27467  selberg3lem1  27615  selberg4lem1  27618  ostth2  27695  ttgcontlem1  28913  colinearalg  28939  axsegconlem8  28953  axpaschlem  28969  axeuclidlem  28991  nmophmi  32059  unitdivcld  33861  dya2icoseg  34258  dya2iocucvr  34265  signsply0  34544  logdivsqrle  34643  hgt750lem  34644  hgt750leme  34651  tgoldbachgtde  34653  sinccvglem  35656  circum  35658  knoppndvlem1  36494  knoppndvlem14  36507  knoppndvlem15  36508  knoppndvlem17  36510  knoppndvlem18  36511  knoppndvlem19  36512  knoppndvlem21  36514  poimirlem31  37637  itg2addnclem  37657  itg2addnclem2  37658  areacirclem1  37694  areacirclem4  37697  lcmineqlem15  42024  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow5ineq4  42037  3lexlogpow2ineq1  42039  3lexlogpow2ineq2  42040  3lexlogpow5ineq5  42041  dvrelog2  42045  dvrelog3  42046  dvrelog2b  42047  dvrelogpow2b  42049  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1p5  42056  aks4d1p5  42061  aks4d1p8  42068  aks6d1c2lem4  42108  2ap1caineq  42126  bcled  42159  bcle2d  42160  aks6d1c7lem1  42161  itrere  42331  pellexlem1  42816  pellexlem6  42821  reglogcl  42877  modabsdifz  42974  areaquad  43204  imo72b2  44161  hashnzfzclim  44317  sineq0ALT  44934  suplesup  45288  reclt0d  45336  xrralrecnnge  45339  ltdiv23neg  45343  iooiinioc  45508  0ellimcdiv  45604  dvdivbd  45878  ioodvbdlimc1lem1  45886  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  stoweidlem1  45956  stoweidlem13  45968  stoweidlem26  45981  stoweidlem34  45989  stoweidlem36  45991  stoweidlem51  46006  stoweidlem60  46015  wallispilem4  46023  wallispilem5  46024  stirlingr  46045  dirker2re  46047  dirkerval2  46049  dirkerre  46050  dirkertrigeq  46056  dirkeritg  46057  dirkercncflem1  46058  dirkercncflem4  46061  fourierdlem4  46066  fourierdlem7  46069  fourierdlem9  46071  fourierdlem16  46078  fourierdlem19  46081  fourierdlem21  46083  fourierdlem22  46084  fourierdlem24  46086  fourierdlem26  46088  fourierdlem30  46092  fourierdlem39  46101  fourierdlem41  46103  fourierdlem42  46104  fourierdlem43  46105  fourierdlem47  46108  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem51  46112  fourierdlem56  46117  fourierdlem57  46118  fourierdlem58  46119  fourierdlem59  46120  fourierdlem63  46124  fourierdlem64  46125  fourierdlem66  46127  fourierdlem71  46132  fourierdlem72  46133  fourierdlem78  46139  fourierdlem83  46144  fourierdlem87  46148  fourierdlem89  46150  fourierdlem90  46151  fourierdlem91  46152  fourierdlem95  46156  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  etransclem48  46237  qndenserrnbllem  46249  sge0rpcpnf  46376  sge0ad2en  46386  ovnsubaddlem1  46525  hoidmvlelem3  46552  ovolval5lem1  46607  ovolval5lem2  46608  vonioolem2  46636  vonicclem2  46639  pimrecltneg  46679  smfrec  46744  smfdiv  46752  sigardiv  46816  lighneallem2  47530  requad01  47545  requad1  47546  requad2  47547  modn0mul  48369  refdivmptf  48391  fldivexpfllog2  48414  dignnld  48452  dig2nn1st  48454  dig2bits  48463  dignn0flhalflem2  48465  affinecomb1  48551  eenglngeehlnmlem1  48586  eenglngeehlnmlem2  48587  rrx2vlinest  48590  line2ylem  48600  line2  48601  line2xlem  48602  itsclc0lem1  48605  itsclc0lem2  48606  itscnhlc0yqe  48608  itsclquadb  48625