Theorem redivcld 11625

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11516	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694   / cdiv 11454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455

This theorem is referenced by:  recp1lt1  11695  ledivp1  11699  supmul1  11766  rimul  11786  div4p1lem1div2  12050  divelunit  13047  fldiv4p1lem1div2  13375  fldiv4lem1div2uz2  13376  quoremz  13393  intfracq  13397  fldiv  13398  modmulnn  13427  modmuladd  13451  modmuladdnn0  13453  expnbnd  13764  discr1  13771  discr  13772  sqreulem  14888  fprodle  15521  fldivndvdslt  15938  flodddiv4t2lthalf  15940  iccpnfhmeo  23796  ipcau2  24085  mbfmulc2lem  24498  i1fmulc  24555  itg1mulc  24556  itg2monolem3  24604  dvferm2lem  24837  dvcvx  24871  radcnvlem1  25259  tanord1  25380  logf1o2  25492  relogbcl  25610  ang180lem2  25647  chordthmlem2  25670  jensenlem2  25824  regamcl  25897  gausslemma2dlem0d  26194  gausslemma2dlem3  26203  gausslemma2dlem4  26204  gausslemma2dlem5  26206  2lgslem1a2  26225  2lgslem1  26229  2lgslem2  26230  2lgsoddprmlem2  26244  selberg3lem1  26392  selberg4lem1  26395  ostth2  26472  ttgcontlem1  26930  colinearalg  26955  axsegconlem8  26969  axpaschlem  26985  axeuclidlem  27007  nmophmi  30066  unitdivcld  31519  dya2icoseg  31910  dya2iocucvr  31917  signsply0  32196  logdivsqrle  32296  hgt750lem  32297  hgt750leme  32304  tgoldbachgtde  32306  sinccvglem  33297  circum  33299  knoppndvlem1  34378  knoppndvlem14  34391  knoppndvlem15  34392  knoppndvlem17  34394  knoppndvlem18  34395  knoppndvlem19  34396  knoppndvlem21  34398  poimirlem31  35494  itg2addnclem  35514  itg2addnclem2  35515  areacirclem1  35551  areacirclem4  35554  lcmineqlem15  39734  3lexlogpow5ineq2  39746  3lexlogpow5ineq4  39747  3lexlogpow2ineq1  39749  3lexlogpow2ineq2  39750  3lexlogpow5ineq5  39751  dvrelog2  39754  dvrelog3  39755  dvrelog2b  39756  dvrelogpow2b  39758  aks4d1p1p4  39761  aks4d1p1p6  39763  aks4d1p1p7  39764  aks4d1p1p5  39765  2ap1caineq  39770  pellexlem1  40295  pellexlem6  40300  reglogcl  40356  modabsdifz  40452  areaquad  40691  imo72b2  41402  hashnzfzclim  41554  sineq0ALT  42171  suplesup  42492  reclt0d  42540  xrralrecnnge  42544  ltdiv23neg  42548  iooiinioc  42710  0ellimcdiv  42808  dvdivbd  43082  ioodvbdlimc1lem1  43090  ioodvbdlimc1lem2  43091  ioodvbdlimc2lem  43093  stoweidlem1  43160  stoweidlem13  43172  stoweidlem26  43185  stoweidlem34  43193  stoweidlem36  43195  stoweidlem51  43210  stoweidlem60  43219  wallispilem4  43227  wallispilem5  43228  stirlingr  43249  dirker2re  43251  dirkerval2  43253  dirkerre  43254  dirkertrigeq  43260  dirkeritg  43261  dirkercncflem1  43262  dirkercncflem4  43265  fourierdlem4  43270  fourierdlem7  43273  fourierdlem9  43275  fourierdlem16  43282  fourierdlem19  43285  fourierdlem21  43287  fourierdlem22  43288  fourierdlem24  43290  fourierdlem26  43292  fourierdlem30  43296  fourierdlem39  43305  fourierdlem41  43307  fourierdlem42  43308  fourierdlem43  43309  fourierdlem47  43312  fourierdlem48  43313  fourierdlem49  43314  fourierdlem51  43316  fourierdlem56  43321  fourierdlem57  43322  fourierdlem58  43323  fourierdlem59  43324  fourierdlem63  43328  fourierdlem64  43329  fourierdlem66  43331  fourierdlem71  43336  fourierdlem72  43337  fourierdlem78  43343  fourierdlem83  43348  fourierdlem87  43352  fourierdlem89  43354  fourierdlem90  43355  fourierdlem91  43356  fourierdlem95  43360  fourierdlem103  43368  fourierdlem104  43369  etransclem48  43441  qndenserrnbllem  43453  sge0rpcpnf  43577  sge0ad2en  43587  ovnsubaddlem1  43726  hoidmvlelem3  43753  ovolval5lem1  43808  ovolval5lem2  43809  vonioolem2  43837  vonicclem2  43840  pimrecltneg  43875  smfrec  43938  smfdiv  43946  sigardiv  43992  lighneallem2  44674  requad01  44689  requad1  44690  requad2  44691  modn0mul  45482  refdivmptf  45504  fldivexpfllog2  45527  dignnld  45565  dig2nn1st  45567  dig2bits  45576  dignn0flhalflem2  45578  affinecomb1  45664  eenglngeehlnmlem1  45699  eenglngeehlnmlem2  45700  rrx2vlinest  45703  line2ylem  45713  line2  45714  line2xlem  45715  itsclc0lem1  45718  itsclc0lem2  45719  itscnhlc0yqe  45721  itsclquadb  45738