Theorem redivcld 12095

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11986	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12166  ledivp1  12170  supmul1  12237  rimul  12257  div4p1lem1div2  12521  divelunit  13534  fldiv4p1lem1div2  13875  fldiv4lem1div2uz2  13876  quoremz  13895  intfracq  13899  fldiv  13900  modmulnn  13929  modmuladd  13954  modmuladdnn0  13956  expnbnd  14271  discr1  14278  discr  14279  sqreulem  15398  fprodle  16032  fldivndvdslt  16453  flodddiv4t2lthalf  16455  iccpnfhmeo  24976  ipcau2  25268  mbfmulc2lem  25682  i1fmulc  25738  itg1mulc  25739  itg2monolem3  25787  dvferm2lem  26024  dvcvx  26059  radcnvlem1  26456  tanord1  26579  logf1o2  26692  relogbcl  26816  ang180lem2  26853  chordthmlem2  26876  jensenlem2  27031  regamcl  27104  gausslemma2dlem0d  27403  gausslemma2dlem3  27412  gausslemma2dlem4  27413  gausslemma2dlem5  27415  2lgslem1a2  27434  2lgslem1  27438  2lgslem2  27439  2lgsoddprmlem2  27453  selberg3lem1  27601  selberg4lem1  27604  ostth2  27681  ttgcontlem1  28899  colinearalg  28925  axsegconlem8  28939  axpaschlem  28955  axeuclidlem  28977  nmophmi  32050  unitdivcld  33900  dya2icoseg  34279  dya2iocucvr  34286  signsply0  34566  logdivsqrle  34665  hgt750lem  34666  hgt750leme  34673  tgoldbachgtde  34675  sinccvglem  35677  circum  35679  knoppndvlem1  36513  knoppndvlem14  36526  knoppndvlem15  36527  knoppndvlem17  36529  knoppndvlem18  36530  knoppndvlem19  36531  knoppndvlem21  36533  poimirlem31  37658  itg2addnclem  37678  itg2addnclem2  37679  areacirclem1  37715  areacirclem4  37718  lcmineqlem15  42044  3lexlogpow5ineq2  42056  3lexlogpow5ineq4  42057  3lexlogpow2ineq1  42059  3lexlogpow2ineq2  42060  3lexlogpow5ineq5  42061  dvrelog2  42065  dvrelog3  42066  dvrelog2b  42067  dvrelogpow2b  42069  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p5  42081  aks4d1p8  42088  aks6d1c2lem4  42128  2ap1caineq  42146  bcled  42179  bcle2d  42180  aks6d1c7lem1  42181  itrere  42353  pellexlem1  42840  pellexlem6  42845  reglogcl  42901  modabsdifz  42998  areaquad  43228  imo72b2  44185  hashnzfzclim  44341  sineq0ALT  44957  suplesup  45350  reclt0d  45398  xrralrecnnge  45401  ltdiv23neg  45405  iooiinioc  45569  0ellimcdiv  45664  dvdivbd  45938  ioodvbdlimc1lem1  45946  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  stoweidlem1  46016  stoweidlem13  46028  stoweidlem26  46041  stoweidlem34  46049  stoweidlem36  46051  stoweidlem51  46066  stoweidlem60  46075  wallispilem4  46083  wallispilem5  46084  stirlingr  46105  dirker2re  46107  dirkerval2  46109  dirkerre  46110  dirkertrigeq  46116  dirkeritg  46117  dirkercncflem1  46118  dirkercncflem4  46121  fourierdlem4  46126  fourierdlem7  46129  fourierdlem9  46131  fourierdlem16  46138  fourierdlem19  46141  fourierdlem21  46143  fourierdlem22  46144  fourierdlem24  46146  fourierdlem26  46148  fourierdlem30  46152  fourierdlem39  46161  fourierdlem41  46163  fourierdlem42  46164  fourierdlem43  46165  fourierdlem47  46168  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem51  46172  fourierdlem56  46177  fourierdlem57  46178  fourierdlem58  46179  fourierdlem59  46180  fourierdlem63  46184  fourierdlem64  46185  fourierdlem66  46187  fourierdlem71  46192  fourierdlem72  46193  fourierdlem78  46199  fourierdlem83  46204  fourierdlem87  46208  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem95  46216  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  etransclem48  46297  qndenserrnbllem  46309  sge0rpcpnf  46436  sge0ad2en  46446  ovnsubaddlem1  46585  hoidmvlelem3  46612  ovolval5lem1  46667  ovolval5lem2  46668  vonioolem2  46696  vonicclem2  46699  pimrecltneg  46739  smfrec  46804  smfdiv  46812  sigardiv  46876  lighneallem2  47593  requad01  47608  requad1  47609  requad2  47610  modn0mul  48441  refdivmptf  48463  fldivexpfllog2  48486  dignnld  48524  dig2nn1st  48526  dig2bits  48535  dignn0flhalflem2  48537  affinecomb1  48623  eenglngeehlnmlem1  48658  eenglngeehlnmlem2  48659  rrx2vlinest  48662  line2ylem  48672  line2  48673  line2xlem  48674  itsclc0lem1  48677  itsclc0lem2  48678  itscnhlc0yqe  48680  itsclquadb  48697