Theorem redivcld 12046

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11937	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12116  ledivp1  12120  supmul1  12187  rimul  12207  div4p1lem1div2  12471  divelunit  13475  fldiv4p1lem1div2  13804  fldiv4lem1div2uz2  13805  quoremz  13824  intfracq  13828  fldiv  13829  modmulnn  13858  modmuladd  13882  modmuladdnn0  13884  expnbnd  14199  discr1  14206  discr  14207  sqreulem  15310  fprodle  15944  fldivndvdslt  16361  flodddiv4t2lthalf  16363  iccpnfhmeo  24690  ipcau2  24982  mbfmulc2lem  25396  i1fmulc  25453  itg1mulc  25454  itg2monolem3  25502  dvferm2lem  25738  dvcvx  25772  radcnvlem1  26161  tanord1  26282  logf1o2  26394  relogbcl  26514  ang180lem2  26551  chordthmlem2  26574  jensenlem2  26728  regamcl  26801  gausslemma2dlem0d  27098  gausslemma2dlem3  27107  gausslemma2dlem4  27108  gausslemma2dlem5  27110  2lgslem1a2  27129  2lgslem1  27133  2lgslem2  27134  2lgsoddprmlem2  27148  selberg3lem1  27296  selberg4lem1  27299  ostth2  27376  ttgcontlem1  28409  colinearalg  28435  axsegconlem8  28449  axpaschlem  28465  axeuclidlem  28487  nmophmi  31551  unitdivcld  33179  dya2icoseg  33574  dya2iocucvr  33581  signsply0  33860  logdivsqrle  33960  hgt750lem  33961  hgt750leme  33968  tgoldbachgtde  33970  sinccvglem  34955  circum  34957  knoppndvlem1  35691  knoppndvlem14  35704  knoppndvlem15  35705  knoppndvlem17  35707  knoppndvlem18  35708  knoppndvlem19  35709  knoppndvlem21  35711  poimirlem31  36822  itg2addnclem  36842  itg2addnclem2  36843  areacirclem1  36879  areacirclem4  36882  lcmineqlem15  41214  3lexlogpow5ineq2  41226  3lexlogpow5ineq4  41227  3lexlogpow2ineq1  41229  3lexlogpow2ineq2  41230  3lexlogpow5ineq5  41231  dvrelog2  41235  dvrelog3  41236  dvrelog2b  41237  dvrelogpow2b  41239  aks4d1p1p4  41242  aks4d1p1p6  41244  aks4d1p1p7  41245  aks4d1p1p5  41246  aks4d1p5  41251  aks4d1p8  41258  2ap1caineq  41267  pellexlem1  41869  pellexlem6  41874  reglogcl  41930  modabsdifz  42027  areaquad  42267  imo72b2  43226  hashnzfzclim  43383  sineq0ALT  44000  suplesup  44347  reclt0d  44395  xrralrecnnge  44398  ltdiv23neg  44402  iooiinioc  44567  0ellimcdiv  44663  dvdivbd  44937  ioodvbdlimc1lem1  44945  ioodvbdlimc1lem2  44946  ioodvbdlimc2lem  44948  stoweidlem1  45015  stoweidlem13  45027  stoweidlem26  45040  stoweidlem34  45048  stoweidlem36  45050  stoweidlem51  45065  stoweidlem60  45074  wallispilem4  45082  wallispilem5  45083  stirlingr  45104  dirker2re  45106  dirkerval2  45108  dirkerre  45109  dirkertrigeq  45115  dirkeritg  45116  dirkercncflem1  45117  dirkercncflem4  45120  fourierdlem4  45125  fourierdlem7  45128  fourierdlem9  45130  fourierdlem16  45137  fourierdlem19  45140  fourierdlem21  45142  fourierdlem22  45143  fourierdlem24  45145  fourierdlem26  45147  fourierdlem30  45151  fourierdlem39  45160  fourierdlem41  45162  fourierdlem42  45163  fourierdlem43  45164  fourierdlem47  45167  fourierdlem48  45168  fourierdlem49  45169  fourierdlem51  45171  fourierdlem56  45176  fourierdlem57  45177  fourierdlem58  45178  fourierdlem59  45179  fourierdlem63  45183  fourierdlem64  45184  fourierdlem66  45186  fourierdlem71  45191  fourierdlem72  45192  fourierdlem78  45198  fourierdlem83  45203  fourierdlem87  45207  fourierdlem89  45209  fourierdlem90  45210  fourierdlem91  45211  fourierdlem95  45215  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  etransclem48  45296  qndenserrnbllem  45308  sge0rpcpnf  45435  sge0ad2en  45445  ovnsubaddlem1  45584  hoidmvlelem3  45611  ovolval5lem1  45666  ovolval5lem2  45667  vonioolem2  45695  vonicclem2  45698  pimrecltneg  45738  smfrec  45803  smfdiv  45811  sigardiv  45875  lighneallem2  46572  requad01  46587  requad1  46588  requad2  46589  modn0mul  47293  refdivmptf  47315  fldivexpfllog2  47338  dignnld  47376  dig2nn1st  47378  dig2bits  47387  dignn0flhalflem2  47389  affinecomb1  47475  eenglngeehlnmlem1  47510  eenglngeehlnmlem2  47511  rrx2vlinest  47514  line2ylem  47524  line2  47525  line2xlem  47526  itsclc0lem1  47529  itsclc0lem2  47530  itscnhlc0yqe  47532  itsclquadb  47549