Theorem redivcld 11733

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11624	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  recp1lt1  11803  ledivp1  11807  supmul1  11874  rimul  11894  div4p1lem1div2  12158  divelunit  13155  fldiv4p1lem1div2  13483  fldiv4lem1div2uz2  13484  quoremz  13503  intfracq  13507  fldiv  13508  modmulnn  13537  modmuladd  13561  modmuladdnn0  13563  expnbnd  13875  discr1  13882  discr  13883  sqreulem  14999  fprodle  15634  fldivndvdslt  16051  flodddiv4t2lthalf  16053  iccpnfhmeo  24014  ipcau2  24303  mbfmulc2lem  24716  i1fmulc  24773  itg1mulc  24774  itg2monolem3  24822  dvferm2lem  25055  dvcvx  25089  radcnvlem1  25477  tanord1  25598  logf1o2  25710  relogbcl  25828  ang180lem2  25865  chordthmlem2  25888  jensenlem2  26042  regamcl  26115  gausslemma2dlem0d  26412  gausslemma2dlem3  26421  gausslemma2dlem4  26422  gausslemma2dlem5  26424  2lgslem1a2  26443  2lgslem1  26447  2lgslem2  26448  2lgsoddprmlem2  26462  selberg3lem1  26610  selberg4lem1  26613  ostth2  26690  ttgcontlem1  27155  colinearalg  27181  axsegconlem8  27195  axpaschlem  27211  axeuclidlem  27233  nmophmi  30294  unitdivcld  31753  dya2icoseg  32144  dya2iocucvr  32151  signsply0  32430  logdivsqrle  32530  hgt750lem  32531  hgt750leme  32538  tgoldbachgtde  32540  sinccvglem  33530  circum  33532  knoppndvlem1  34619  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem15  34633  knoppndvlem17  34635  knoppndvlem18  34636  knoppndvlem19  34637  knoppndvlem21  34639  poimirlem31  35735  itg2addnclem  35755  itg2addnclem2  35756  areacirclem1  35792  areacirclem4  35795  lcmineqlem15  39979  3lexlogpow5ineq2  39991  3lexlogpow5ineq4  39992  3lexlogpow2ineq1  39994  3lexlogpow2ineq2  39995  3lexlogpow5ineq5  39996  dvrelog2  40000  dvrelog3  40001  dvrelog2b  40002  dvrelogpow2b  40004  aks4d1p1p4  40007  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p7  40010  aks4d1p1p5  40011  aks4d1p5  40016  aks4d1p8  40023  2ap1caineq  40029  pellexlem1  40567  pellexlem6  40572  reglogcl  40628  modabsdifz  40724  areaquad  40963  imo72b2  41672  hashnzfzclim  41829  sineq0ALT  42446  suplesup  42768  reclt0d  42816  xrralrecnnge  42820  ltdiv23neg  42824  iooiinioc  42984  0ellimcdiv  43080  dvdivbd  43354  ioodvbdlimc1lem1  43362  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  stoweidlem1  43432  stoweidlem13  43444  stoweidlem26  43457  stoweidlem34  43465  stoweidlem36  43467  stoweidlem51  43482  stoweidlem60  43491  wallispilem4  43499  wallispilem5  43500  stirlingr  43521  dirker2re  43523  dirkerval2  43525  dirkerre  43526  dirkertrigeq  43532  dirkeritg  43533  dirkercncflem1  43534  dirkercncflem4  43537  fourierdlem4  43542  fourierdlem7  43545  fourierdlem9  43547  fourierdlem16  43554  fourierdlem19  43557  fourierdlem21  43559  fourierdlem22  43560  fourierdlem24  43562  fourierdlem26  43564  fourierdlem30  43568  fourierdlem39  43577  fourierdlem41  43579  fourierdlem42  43580  fourierdlem43  43581  fourierdlem47  43584  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem51  43588  fourierdlem56  43593  fourierdlem57  43594  fourierdlem58  43595  fourierdlem59  43596  fourierdlem63  43600  fourierdlem64  43601  fourierdlem66  43603  fourierdlem71  43608  fourierdlem72  43609  fourierdlem78  43615  fourierdlem83  43620  fourierdlem87  43624  fourierdlem89  43626  fourierdlem90  43627  fourierdlem91  43628  fourierdlem95  43632  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  etransclem48  43713  qndenserrnbllem  43725  sge0rpcpnf  43849  sge0ad2en  43859  ovnsubaddlem1  43998  hoidmvlelem3  44025  ovolval5lem1  44080  ovolval5lem2  44081  vonioolem2  44109  vonicclem2  44112  pimrecltneg  44147  smfrec  44210  smfdiv  44218  sigardiv  44264  lighneallem2  44946  requad01  44961  requad1  44962  requad2  44963  modn0mul  45754  refdivmptf  45776  fldivexpfllog2  45799  dignnld  45837  dig2nn1st  45839  dig2bits  45848  dignn0flhalflem2  45850  affinecomb1  45936  eenglngeehlnmlem1  45971  eenglngeehlnmlem2  45972  rrx2vlinest  45975  line2ylem  45985  line2  45986  line2xlem  45987  itsclc0lem1  45990  itsclc0lem2  45991  itscnhlc0yqe  45993  itsclquadb  46010