Theorem redivcld 11986

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11877	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   / cdiv 11811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12057  ledivp1  12061  supmul1  12128  rimul  12153  div4p1lem1div2  12413  divelunit  13431  fldiv4p1lem1div2  13773  fldiv4lem1div2uz2  13774  quoremz  13793  intfracq  13797  fldiv  13798  modmulnn  13827  modmuladd  13854  modmuladdnn0  13856  expnbnd  14173  discr1  14180  discr  14181  sqreulem  15302  fprodle  15938  fldivndvdslt  16362  flodddiv4t2lthalf  16364  iccpnfhmeo  24876  ipcau2  25167  mbfmulc2lem  25581  i1fmulc  25637  itg1mulc  25638  itg2monolem3  25686  dvferm2lem  25923  dvcvx  25958  radcnvlem1  26355  tanord1  26479  logf1o2  26592  relogbcl  26716  ang180lem2  26753  chordthmlem2  26776  jensenlem2  26931  regamcl  27004  gausslemma2dlem0d  27303  gausslemma2dlem3  27312  gausslemma2dlem4  27313  gausslemma2dlem5  27315  2lgslem1a2  27334  2lgslem1  27338  2lgslem2  27339  2lgsoddprmlem2  27353  selberg3lem1  27501  selberg4lem1  27504  ostth2  27581  ttgcontlem1  28865  colinearalg  28890  axsegconlem8  28904  axpaschlem  28920  axeuclidlem  28942  nmophmi  32010  cos9thpinconstrlem1  33772  unitdivcld  33884  dya2icoseg  34261  dya2iocucvr  34268  signsply0  34535  logdivsqrle  34634  hgt750lem  34635  hgt750leme  34642  tgoldbachgtde  34644  sinccvglem  35652  circum  35654  knoppndvlem1  36493  knoppndvlem14  36506  knoppndvlem15  36507  knoppndvlem17  36509  knoppndvlem18  36510  knoppndvlem19  36511  knoppndvlem21  36513  poimirlem31  37638  itg2addnclem  37658  itg2addnclem2  37659  areacirclem1  37695  areacirclem4  37698  lcmineqlem15  42024  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow5ineq4  42037  3lexlogpow2ineq1  42039  3lexlogpow2ineq2  42040  3lexlogpow5ineq5  42041  dvrelog2  42045  dvrelog3  42046  dvrelog2b  42047  dvrelogpow2b  42049  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1p5  42056  aks4d1p5  42061  aks4d1p8  42068  aks6d1c2lem4  42108  2ap1caineq  42126  bcled  42159  bcle2d  42160  aks6d1c7lem1  42161  pellexlem1  42810  pellexlem6  42815  reglogcl  42871  modabsdifz  42968  areaquad  43198  imo72b2  44154  hashnzfzclim  44304  sineq0ALT  44919  suplesup  45328  reclt0d  45376  xrralrecnnge  45379  ltdiv23neg  45383  iooiinioc  45547  0ellimcdiv  45640  dvdivbd  45914  ioodvbdlimc1lem1  45922  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  stoweidlem1  45992  stoweidlem13  46004  stoweidlem26  46017  stoweidlem34  46025  stoweidlem36  46027  stoweidlem51  46042  stoweidlem60  46051  wallispilem4  46059  wallispilem5  46060  stirlingr  46081  dirker2re  46083  dirkerval2  46085  dirkerre  46086  dirkertrigeq  46092  dirkeritg  46093  dirkercncflem1  46094  dirkercncflem4  46097  fourierdlem4  46102  fourierdlem7  46105  fourierdlem9  46107  fourierdlem16  46114  fourierdlem19  46117  fourierdlem21  46119  fourierdlem22  46120  fourierdlem24  46122  fourierdlem26  46124  fourierdlem30  46128  fourierdlem39  46137  fourierdlem41  46139  fourierdlem42  46140  fourierdlem43  46141  fourierdlem47  46144  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem51  46148  fourierdlem56  46153  fourierdlem57  46154  fourierdlem58  46155  fourierdlem59  46156  fourierdlem63  46160  fourierdlem64  46161  fourierdlem66  46163  fourierdlem71  46168  fourierdlem72  46169  fourierdlem78  46175  fourierdlem83  46180  fourierdlem87  46184  fourierdlem89  46186  fourierdlem90  46187  fourierdlem91  46188  fourierdlem95  46192  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  etransclem48  46273  qndenserrnbllem  46285  sge0rpcpnf  46412  sge0ad2en  46422  ovnsubaddlem1  46561  hoidmvlelem3  46588  ovolval5lem1  46643  ovolval5lem2  46644  vonioolem2  46672  vonicclem2  46675  pimrecltneg  46715  smfrec  46780  smfdiv  46788  sigardiv  46852  modn0mul  47351  lighneallem2  47600  requad01  47615  requad1  47616  requad2  47617  refdivmptf  48524  fldivexpfllog2  48547  dignnld  48585  dig2nn1st  48587  dig2bits  48596  dignn0flhalflem2  48598  affinecomb1  48684  eenglngeehlnmlem1  48719  eenglngeehlnmlem2  48720  rrx2vlinest  48723  line2ylem  48733  line2  48734  line2xlem  48735  itsclc0lem1  48738  itsclc0lem2  48739  itscnhlc0yqe  48741  itsclquadb  48758