Theorem redivcld 12077

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11968	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  0cc0 11137   / cdiv 11902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12148  ledivp1  12152  supmul1  12219  rimul  12239  div4p1lem1div2  12504  divelunit  13516  fldiv4p1lem1div2  13857  fldiv4lem1div2uz2  13858  quoremz  13877  intfracq  13881  fldiv  13882  modmulnn  13911  modmuladd  13936  modmuladdnn0  13938  expnbnd  14253  discr1  14260  discr  14261  sqreulem  15380  fprodle  16014  fldivndvdslt  16435  flodddiv4t2lthalf  16437  iccpnfhmeo  24912  ipcau2  25204  mbfmulc2lem  25618  i1fmulc  25674  itg1mulc  25675  itg2monolem3  25723  dvferm2lem  25960  dvcvx  25995  radcnvlem1  26392  tanord1  26515  logf1o2  26628  relogbcl  26752  ang180lem2  26789  chordthmlem2  26812  jensenlem2  26967  regamcl  27040  gausslemma2dlem0d  27339  gausslemma2dlem3  27348  gausslemma2dlem4  27349  gausslemma2dlem5  27351  2lgslem1a2  27370  2lgslem1  27374  2lgslem2  27375  2lgsoddprmlem2  27389  selberg3lem1  27537  selberg4lem1  27540  ostth2  27617  ttgcontlem1  28830  colinearalg  28855  axsegconlem8  28869  axpaschlem  28885  axeuclidlem  28907  nmophmi  31978  unitdivcld  33859  dya2icoseg  34238  dya2iocucvr  34245  signsply0  34525  logdivsqrle  34624  hgt750lem  34625  hgt750leme  34632  tgoldbachgtde  34634  sinccvglem  35636  circum  35638  knoppndvlem1  36472  knoppndvlem14  36485  knoppndvlem15  36486  knoppndvlem17  36488  knoppndvlem18  36489  knoppndvlem19  36490  knoppndvlem21  36492  poimirlem31  37617  itg2addnclem  37637  itg2addnclem2  37638  areacirclem1  37674  areacirclem4  37677  lcmineqlem15  42003  3lexlogpow5ineq2  42015  3lexlogpow5ineq4  42016  3lexlogpow2ineq1  42018  3lexlogpow2ineq2  42019  3lexlogpow5ineq5  42020  dvrelog2  42024  dvrelog3  42025  dvrelog2b  42026  dvrelogpow2b  42028  aks4d1p1p4  42031  aks4d1p1p6  42033  aks4d1p1p7  42034  aks4d1p1p5  42035  aks4d1p5  42040  aks4d1p8  42047  aks6d1c2lem4  42087  2ap1caineq  42105  bcled  42138  bcle2d  42139  aks6d1c7lem1  42140  itrere  42316  pellexlem1  42803  pellexlem6  42808  reglogcl  42864  modabsdifz  42961  areaquad  43191  imo72b2  44147  hashnzfzclim  44298  sineq0ALT  44914  suplesup  45307  reclt0d  45355  xrralrecnnge  45358  ltdiv23neg  45362  iooiinioc  45526  0ellimcdiv  45621  dvdivbd  45895  ioodvbdlimc1lem1  45903  ioodvbdlimc1lem2  45904  ioodvbdlimc2lem  45906  stoweidlem1  45973  stoweidlem13  45985  stoweidlem26  45998  stoweidlem34  46006  stoweidlem36  46008  stoweidlem51  46023  stoweidlem60  46032  wallispilem4  46040  wallispilem5  46041  stirlingr  46062  dirker2re  46064  dirkerval2  46066  dirkerre  46067  dirkertrigeq  46073  dirkeritg  46074  dirkercncflem1  46075  dirkercncflem4  46078  fourierdlem4  46083  fourierdlem7  46086  fourierdlem9  46088  fourierdlem16  46095  fourierdlem19  46098  fourierdlem21  46100  fourierdlem22  46101  fourierdlem24  46103  fourierdlem26  46105  fourierdlem30  46109  fourierdlem39  46118  fourierdlem41  46120  fourierdlem42  46121  fourierdlem43  46122  fourierdlem47  46125  fourierdlem48  46126  fourierdlem49  46127  fourierdlem51  46129  fourierdlem56  46134  fourierdlem57  46135  fourierdlem58  46136  fourierdlem59  46137  fourierdlem63  46141  fourierdlem64  46142  fourierdlem66  46144  fourierdlem71  46149  fourierdlem72  46150  fourierdlem78  46156  fourierdlem83  46161  fourierdlem87  46165  fourierdlem89  46167  fourierdlem90  46168  fourierdlem91  46169  fourierdlem95  46173  fourierdlem103  46181  fourierdlem104  46182  etransclem48  46254  qndenserrnbllem  46266  sge0rpcpnf  46393  sge0ad2en  46403  ovnsubaddlem1  46542  hoidmvlelem3  46569  ovolval5lem1  46624  ovolval5lem2  46625  vonioolem2  46653  vonicclem2  46656  pimrecltneg  46696  smfrec  46761  smfdiv  46769  sigardiv  46833  lighneallem2  47551  requad01  47566  requad1  47567  requad2  47568  modn0mul  48399  refdivmptf  48421  fldivexpfllog2  48444  dignnld  48482  dig2nn1st  48484  dig2bits  48493  dignn0flhalflem2  48495  affinecomb1  48581  eenglngeehlnmlem1  48616  eenglngeehlnmlem2  48617  rrx2vlinest  48620  line2ylem  48630  line2  48631  line2xlem  48632  itsclc0lem1  48635  itsclc0lem2  48636  itscnhlc0yqe  48638  itsclquadb  48655