Theorem redivcld 11949

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11840	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   / cdiv 11774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12020  ledivp1  12024  supmul1  12091  rimul  12116  div4p1lem1div2  12376  divelunit  13394  fldiv4p1lem1div2  13739  fldiv4lem1div2uz2  13740  quoremz  13759  intfracq  13763  fldiv  13764  modmulnn  13793  modmuladd  13820  modmuladdnn0  13822  expnbnd  14139  discr1  14146  discr  14147  sqreulem  15267  fprodle  15903  fldivndvdslt  16327  flodddiv4t2lthalf  16329  iccpnfhmeo  24870  ipcau2  25161  mbfmulc2lem  25575  i1fmulc  25631  itg1mulc  25632  itg2monolem3  25680  dvferm2lem  25917  dvcvx  25952  radcnvlem1  26349  tanord1  26473  logf1o2  26586  relogbcl  26710  ang180lem2  26747  chordthmlem2  26770  jensenlem2  26925  regamcl  26998  gausslemma2dlem0d  27297  gausslemma2dlem3  27306  gausslemma2dlem4  27307  gausslemma2dlem5  27309  2lgslem1a2  27328  2lgslem1  27332  2lgslem2  27333  2lgsoddprmlem2  27347  selberg3lem1  27495  selberg4lem1  27498  ostth2  27575  ttgcontlem1  28863  colinearalg  28888  axsegconlem8  28902  axpaschlem  28918  axeuclidlem  28940  nmophmi  32011  cos9thpinconstrlem1  33802  unitdivcld  33914  dya2icoseg  34290  dya2iocucvr  34297  signsply0  34564  logdivsqrle  34663  hgt750lem  34664  hgt750leme  34671  tgoldbachgtde  34673  sinccvglem  35716  circum  35718  knoppndvlem1  36556  knoppndvlem14  36569  knoppndvlem15  36570  knoppndvlem17  36572  knoppndvlem18  36573  knoppndvlem19  36574  knoppndvlem21  36576  poimirlem31  37690  itg2addnclem  37710  itg2addnclem2  37711  areacirclem1  37747  areacirclem4  37750  lcmineqlem15  42135  3lexlogpow5ineq2  42147  3lexlogpow5ineq4  42148  3lexlogpow2ineq1  42150  3lexlogpow2ineq2  42151  3lexlogpow5ineq5  42152  dvrelog2  42156  dvrelog3  42157  dvrelog2b  42158  dvrelogpow2b  42160  aks4d1p1p4  42163  aks4d1p1p6  42165  aks4d1p1p7  42166  aks4d1p1p5  42167  aks4d1p5  42172  aks4d1p8  42179  aks6d1c2lem4  42219  2ap1caineq  42237  bcled  42270  bcle2d  42271  aks6d1c7lem1  42272  pellexlem1  42921  pellexlem6  42926  reglogcl  42982  modabsdifz  43078  areaquad  43308  imo72b2  44264  hashnzfzclim  44414  sineq0ALT  45028  suplesup  45437  reclt0d  45484  xrralrecnnge  45487  ltdiv23neg  45491  iooiinioc  45655  0ellimcdiv  45746  dvdivbd  46020  ioodvbdlimc1lem1  46028  ioodvbdlimc1lem2  46029  ioodvbdlimc2lem  46031  stoweidlem1  46098  stoweidlem13  46110  stoweidlem26  46123  stoweidlem34  46131  stoweidlem36  46133  stoweidlem51  46148  stoweidlem60  46157  wallispilem4  46165  wallispilem5  46166  stirlingr  46187  dirker2re  46189  dirkerval2  46191  dirkerre  46192  dirkertrigeq  46198  dirkeritg  46199  dirkercncflem1  46200  dirkercncflem4  46203  fourierdlem4  46208  fourierdlem7  46211  fourierdlem9  46213  fourierdlem16  46220  fourierdlem19  46223  fourierdlem21  46225  fourierdlem22  46226  fourierdlem24  46228  fourierdlem26  46230  fourierdlem30  46234  fourierdlem39  46243  fourierdlem41  46245  fourierdlem42  46246  fourierdlem43  46247  fourierdlem47  46250  fourierdlem48  46251  fourierdlem49  46252  fourierdlem51  46254  fourierdlem56  46259  fourierdlem57  46260  fourierdlem58  46261  fourierdlem59  46262  fourierdlem63  46266  fourierdlem64  46267  fourierdlem66  46269  fourierdlem71  46274  fourierdlem72  46275  fourierdlem78  46281  fourierdlem83  46286  fourierdlem87  46290  fourierdlem89  46292  fourierdlem90  46293  fourierdlem91  46294  fourierdlem95  46298  fourierdlem103  46306  fourierdlem104  46307  etransclem48  46379  qndenserrnbllem  46391  sge0rpcpnf  46518  sge0ad2en  46528  ovnsubaddlem1  46667  hoidmvlelem3  46694  ovolval5lem1  46749  ovolval5lem2  46750  vonioolem2  46778  vonicclem2  46781  pimrecltneg  46821  smfrec  46886  smfdiv  46894  sigardiv  46958  modn0mul  47456  lighneallem2  47705  requad01  47720  requad1  47721  requad2  47722  refdivmptf  48642  fldivexpfllog2  48665  dignnld  48703  dig2nn1st  48705  dig2bits  48714  dignn0flhalflem2  48716  affinecomb1  48802  eenglngeehlnmlem1  48837  eenglngeehlnmlem2  48838  rrx2vlinest  48841  line2ylem  48851  line2  48852  line2xlem  48853  itsclc0lem1  48856  itsclc0lem2  48857  itscnhlc0yqe  48859  itsclquadb  48876