Theorem redivcld 11269

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1351	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  (class class class)co 6976  ℝcr 10334  0cc0 10335   / cdiv 11098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099

This theorem is referenced by:  recp1lt1  11339  ledivp1  11343  supmul1  11411  rimul  11430  div4p1lem1div2  11702  divelunit  12696  fldiv4p1lem1div2  13020  fldiv4lem1div2uz2  13021  quoremz  13038  intfracq  13042  fldiv  13043  modmulnn  13072  modmuladd  13096  modmuladdnn0  13098  expnbnd  13408  discr1  13415  discr  13416  sqreulem  14580  fprodle  15210  fldivndvdslt  15625  flodddiv4t2lthalf  15627  iccpnfhmeo  23252  ipcau2  23540  mbfmulc2lem  23951  i1fmulc  24007  itg1mulc  24008  itg2monolem3  24056  dvferm2lem  24286  dvcvx  24320  radcnvlem1  24704  tanord1  24822  logf1o2  24934  relogbcl  25052  ang180lem2  25089  chordthmlem2  25112  jensenlem2  25267  regamcl  25340  gausslemma2dlem0d  25637  gausslemma2dlem3  25646  gausslemma2dlem4  25647  gausslemma2dlem5  25649  2lgslem1a2  25668  2lgslem1  25672  2lgslem2  25673  2lgsoddprmlem2  25687  selberg3lem1  25835  selberg4lem1  25838  ostth2  25915  ttgcontlem1  26374  colinearalg  26399  axsegconlem8  26413  axpaschlem  26429  axeuclidlem  26451  nmophmi  29589  unitdivcld  30794  dya2icoseg  31186  dya2iocucvr  31193  signsply0  31473  logdivsqrle  31575  hgt750lem  31576  hgt750leme  31583  tgoldbachgtde  31585  sinccvglem  32441  circum  32443  knoppndvlem1  33377  knoppndvlem14  33390  knoppndvlem15  33391  knoppndvlem17  33393  knoppndvlem18  33394  knoppndvlem19  33395  knoppndvlem21  33397  poimirlem31  34370  itg2addnclem  34390  itg2addnclem2  34391  areacirclem1  34429  areacirclem4  34432  pellexlem1  38828  pellexlem6  38833  reglogcl  38889  modabsdifz  38985  areaquad  39225  imo72b2  39896  hashnzfzclim  40076  sineq0ALT  40696  suplesup  41042  reclt0d  41094  xrralrecnnge  41098  ltdiv23neg  41102  iooiinioc  41269  0ellimcdiv  41367  dvdivbd  41644  ioodvbdlimc1lem1  41652  ioodvbdlimc1lem2  41653  ioodvbdlimc2lem  41655  stoweidlem1  41723  stoweidlem13  41735  stoweidlem26  41748  stoweidlem34  41756  stoweidlem36  41758  stoweidlem51  41773  stoweidlem60  41782  wallispilem4  41790  wallispilem5  41791  stirlingr  41812  dirker2re  41814  dirkerval2  41816  dirkerre  41817  dirkertrigeq  41823  dirkeritg  41824  dirkercncflem1  41825  dirkercncflem4  41828  fourierdlem4  41833  fourierdlem7  41836  fourierdlem9  41838  fourierdlem16  41845  fourierdlem19  41848  fourierdlem21  41850  fourierdlem22  41851  fourierdlem24  41853  fourierdlem26  41855  fourierdlem30  41859  fourierdlem39  41868  fourierdlem41  41870  fourierdlem42  41871  fourierdlem43  41872  fourierdlem47  41875  fourierdlem48  41876  fourierdlem49  41877  fourierdlem51  41879  fourierdlem56  41884  fourierdlem57  41885  fourierdlem58  41886  fourierdlem59  41887  fourierdlem63  41891  fourierdlem64  41892  fourierdlem66  41894  fourierdlem71  41899  fourierdlem72  41900  fourierdlem78  41906  fourierdlem83  41911  fourierdlem87  41915  fourierdlem89  41917  fourierdlem90  41918  fourierdlem91  41919  fourierdlem95  41923  fourierdlem103  41931  fourierdlem104  41932  etransclem48  42004  qndenserrnbllem  42016  sge0rpcpnf  42140  sge0ad2en  42150  ovnsubaddlem1  42289  hoidmvlelem3  42316  ovolval5lem1  42371  ovolval5lem2  42372  vonioolem2  42400  vonicclem2  42403  pimrecltneg  42438  smfrec  42501  smfdiv  42509  sigardiv  42555  lighneallem2  43145  requad01  43160  requad1  43161  requad2  43162  modn0mul  43954  refdivmptf  43976  fldivexpfllog2  43999  dignnld  44037  dig2nn1st  44039  dig2bits  44048  dignn0flhalflem2  44050  affinecomb1  44063  eenglngeehlnmlem1  44098  eenglngeehlnmlem2  44099  rrx2vlinest  44102  line2ylem  44112  line2  44113  line2xlem  44114  itsclc0lem1  44117  itsclc0lem2  44118  itscnhlc0yqe  44120  itsclquadb  44137