Theorem redivcld 11971

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028   / cdiv 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12042  ledivp1  12046  supmul1  12113  rimul  12138  div4p1lem1div2  12398  divelunit  13412  fldiv4p1lem1div2  13757  fldiv4lem1div2uz2  13758  quoremz  13777  intfracq  13781  fldiv  13782  modmulnn  13811  modmuladd  13838  modmuladdnn0  13840  expnbnd  14157  discr1  14164  discr  14165  sqreulem  15285  fprodle  15921  fldivndvdslt  16345  flodddiv4t2lthalf  16347  iccpnfhmeo  24901  ipcau2  25192  mbfmulc2lem  25606  i1fmulc  25662  itg1mulc  25663  itg2monolem3  25711  dvferm2lem  25948  dvcvx  25983  radcnvlem1  26380  tanord1  26504  logf1o2  26617  relogbcl  26741  ang180lem2  26778  chordthmlem2  26801  jensenlem2  26956  regamcl  27029  gausslemma2dlem0d  27328  gausslemma2dlem3  27337  gausslemma2dlem4  27338  gausslemma2dlem5  27340  2lgslem1a2  27359  2lgslem1  27363  2lgslem2  27364  2lgsoddprmlem2  27378  selberg3lem1  27526  selberg4lem1  27529  ostth2  27606  ttgcontlem1  28938  colinearalg  28964  axsegconlem8  28978  axpaschlem  28994  axeuclidlem  29016  nmophmi  32087  cos9thpinconstrlem1  33925  unitdivcld  34037  dya2icoseg  34413  dya2iocucvr  34420  signsply0  34687  logdivsqrle  34786  hgt750lem  34787  hgt750leme  34794  tgoldbachgtde  34796  sinccvglem  35845  circum  35847  knoppndvlem1  36685  knoppndvlem14  36698  knoppndvlem15  36699  knoppndvlem17  36701  knoppndvlem18  36702  knoppndvlem19  36703  knoppndvlem21  36705  poimirlem31  37821  itg2addnclem  37841  itg2addnclem2  37842  areacirclem1  37878  areacirclem4  37881  lcmineqlem15  42332  3lexlogpow5ineq2  42344  3lexlogpow5ineq4  42345  3lexlogpow2ineq1  42347  3lexlogpow2ineq2  42348  3lexlogpow5ineq5  42349  dvrelog2  42353  dvrelog3  42354  dvrelog2b  42355  dvrelogpow2b  42357  aks4d1p1p4  42360  aks4d1p1p6  42362  aks4d1p1p7  42363  aks4d1p1p5  42364  aks4d1p5  42369  aks4d1p8  42376  aks6d1c2lem4  42416  2ap1caineq  42434  bcled  42467  bcle2d  42468  aks6d1c7lem1  42469  pellexlem1  43108  pellexlem6  43113  reglogcl  43169  modabsdifz  43265  areaquad  43495  imo72b2  44450  hashnzfzclim  44600  sineq0ALT  45214  suplesup  45621  reclt0d  45668  xrralrecnnge  45671  ltdiv23neg  45675  iooiinioc  45839  0ellimcdiv  45930  dvdivbd  46204  ioodvbdlimc1lem1  46212  ioodvbdlimc1lem2  46213  ioodvbdlimc2lem  46215  stoweidlem1  46282  stoweidlem13  46294  stoweidlem26  46307  stoweidlem34  46315  stoweidlem36  46317  stoweidlem51  46332  stoweidlem60  46341  wallispilem4  46349  wallispilem5  46350  stirlingr  46371  dirker2re  46373  dirkerval2  46375  dirkerre  46376  dirkertrigeq  46382  dirkeritg  46383  dirkercncflem1  46384  dirkercncflem4  46387  fourierdlem4  46392  fourierdlem7  46395  fourierdlem9  46397  fourierdlem16  46404  fourierdlem19  46407  fourierdlem21  46409  fourierdlem22  46410  fourierdlem24  46412  fourierdlem26  46414  fourierdlem30  46418  fourierdlem39  46427  fourierdlem41  46429  fourierdlem42  46430  fourierdlem43  46431  fourierdlem47  46434  fourierdlem48  46435  fourierdlem49  46436  fourierdlem51  46438  fourierdlem56  46443  fourierdlem57  46444  fourierdlem58  46445  fourierdlem59  46446  fourierdlem63  46450  fourierdlem64  46451  fourierdlem66  46453  fourierdlem71  46458  fourierdlem72  46459  fourierdlem78  46465  fourierdlem83  46470  fourierdlem87  46474  fourierdlem89  46476  fourierdlem90  46477  fourierdlem91  46478  fourierdlem95  46482  fourierdlem103  46490  fourierdlem104  46491  etransclem48  46563  qndenserrnbllem  46575  sge0rpcpnf  46702  sge0ad2en  46712  ovnsubaddlem1  46851  hoidmvlelem3  46878  ovolval5lem1  46933  ovolval5lem2  46934  vonioolem2  46962  vonicclem2  46965  pimrecltneg  47005  smfrec  47070  smfdiv  47078  sigardiv  47142  modn0mul  47640  lighneallem2  47889  requad01  47904  requad1  47905  requad2  47906  refdivmptf  48825  fldivexpfllog2  48848  dignnld  48886  dig2nn1st  48888  dig2bits  48897  dignn0flhalflem2  48899  affinecomb1  48985  eenglngeehlnmlem1  49020  eenglngeehlnmlem2  49021  rrx2vlinest  49024  line2ylem  49034  line2  49035  line2xlem  49036  itsclc0lem1  49039  itsclc0lem2  49040  itscnhlc0yqe  49042  itsclquadb  49059