Theorem redivcld 12010

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11901	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12081  ledivp1  12085  supmul1  12152  rimul  12177  div4p1lem1div2  12437  divelunit  13455  fldiv4p1lem1div2  13797  fldiv4lem1div2uz2  13798  quoremz  13817  intfracq  13821  fldiv  13822  modmulnn  13851  modmuladd  13878  modmuladdnn0  13880  expnbnd  14197  discr1  14204  discr  14205  sqreulem  15326  fprodle  15962  fldivndvdslt  16386  flodddiv4t2lthalf  16388  iccpnfhmeo  24843  ipcau2  25134  mbfmulc2lem  25548  i1fmulc  25604  itg1mulc  25605  itg2monolem3  25653  dvferm2lem  25890  dvcvx  25925  radcnvlem1  26322  tanord1  26446  logf1o2  26559  relogbcl  26683  ang180lem2  26720  chordthmlem2  26743  jensenlem2  26898  regamcl  26971  gausslemma2dlem0d  27270  gausslemma2dlem3  27279  gausslemma2dlem4  27280  gausslemma2dlem5  27282  2lgslem1a2  27301  2lgslem1  27305  2lgslem2  27306  2lgsoddprmlem2  27320  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  ostth2  27548  ttgcontlem1  28812  colinearalg  28837  axsegconlem8  28851  axpaschlem  28867  axeuclidlem  28889  nmophmi  31960  cos9thpinconstrlem1  33779  unitdivcld  33891  dya2icoseg  34268  dya2iocucvr  34275  signsply0  34542  logdivsqrle  34641  hgt750lem  34642  hgt750leme  34649  tgoldbachgtde  34651  sinccvglem  35659  circum  35661  knoppndvlem1  36500  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem15  36514  knoppndvlem17  36516  knoppndvlem18  36517  knoppndvlem19  36518  knoppndvlem21  36520  poimirlem31  37645  itg2addnclem  37665  itg2addnclem2  37666  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  lcmineqlem15  42031  3lexlogpow5ineq2  42043  3lexlogpow5ineq4  42044  3lexlogpow2ineq1  42046  3lexlogpow2ineq2  42047  3lexlogpow5ineq5  42048  dvrelog2  42052  dvrelog3  42053  dvrelog2b  42054  dvrelogpow2b  42056  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  aks4d1p5  42068  aks4d1p8  42075  aks6d1c2lem4  42115  2ap1caineq  42133  bcled  42166  bcle2d  42167  aks6d1c7lem1  42168  pellexlem1  42817  pellexlem6  42822  reglogcl  42878  modabsdifz  42975  areaquad  43205  imo72b2  44161  hashnzfzclim  44311  sineq0ALT  44926  suplesup  45335  reclt0d  45383  xrralrecnnge  45386  ltdiv23neg  45390  iooiinioc  45554  0ellimcdiv  45647  dvdivbd  45921  ioodvbdlimc1lem1  45929  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  stoweidlem1  45999  stoweidlem13  46011  stoweidlem26  46024  stoweidlem34  46032  stoweidlem36  46034  stoweidlem51  46049  stoweidlem60  46058  wallispilem4  46066  wallispilem5  46067  stirlingr  46088  dirker2re  46090  dirkerval2  46092  dirkerre  46093  dirkertrigeq  46099  dirkeritg  46100  dirkercncflem1  46101  dirkercncflem4  46104  fourierdlem4  46109  fourierdlem7  46112  fourierdlem9  46114  fourierdlem16  46121  fourierdlem19  46124  fourierdlem21  46126  fourierdlem22  46127  fourierdlem24  46129  fourierdlem26  46131  fourierdlem30  46135  fourierdlem39  46144  fourierdlem41  46146  fourierdlem42  46147  fourierdlem43  46148  fourierdlem47  46151  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem51  46155  fourierdlem56  46160  fourierdlem57  46161  fourierdlem58  46162  fourierdlem59  46163  fourierdlem63  46167  fourierdlem64  46168  fourierdlem66  46170  fourierdlem71  46175  fourierdlem72  46176  fourierdlem78  46182  fourierdlem83  46187  fourierdlem87  46191  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  fourierdlem95  46199  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  etransclem48  46280  qndenserrnbllem  46292  sge0rpcpnf  46419  sge0ad2en  46429  ovnsubaddlem1  46568  hoidmvlelem3  46595  ovolval5lem1  46650  ovolval5lem2  46651  vonioolem2  46679  vonicclem2  46682  pimrecltneg  46722  smfrec  46787  smfdiv  46795  sigardiv  46859  modn0mul  47358  lighneallem2  47607  requad01  47622  requad1  47623  requad2  47624  refdivmptf  48531  fldivexpfllog2  48554  dignnld  48592  dig2nn1st  48594  dig2bits  48603  dignn0flhalflem2  48605  affinecomb1  48691  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727  rrx2vlinest  48730  line2ylem  48740  line2  48741  line2xlem  48742  itsclc0lem1  48745  itsclc0lem2  48746  itscnhlc0yqe  48748  itsclquadb  48765