Theorem redivcld 11978

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033   / cdiv 11802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12049  ledivp1  12053  supmul1  12120  rimul  12145  div4p1lem1div2  12427  divelunit  13442  fldiv4p1lem1div2  13789  fldiv4lem1div2uz2  13790  quoremz  13809  intfracq  13813  fldiv  13814  modmulnn  13843  modmuladd  13870  modmuladdnn0  13872  expnbnd  14189  discr1  14196  discr  14197  sqreulem  15317  fprodle  15956  fldivndvdslt  16380  flodddiv4t2lthalf  16382  iccpnfhmeo  24934  ipcau2  25223  mbfmulc2lem  25636  i1fmulc  25692  itg1mulc  25693  itg2monolem3  25741  dvferm2lem  25975  dvcvx  26009  radcnvlem1  26400  tanord1  26523  logf1o2  26636  relogbcl  26759  ang180lem2  26796  chordthmlem2  26819  jensenlem2  26973  regamcl  27046  gausslemma2dlem0d  27344  gausslemma2dlem3  27353  gausslemma2dlem4  27354  gausslemma2dlem5  27356  2lgslem1a2  27375  2lgslem1  27379  2lgslem2  27380  2lgsoddprmlem2  27394  selberg3lem1  27542  selberg4lem1  27545  ostth2  27622  ttgcontlem1  28975  colinearalg  29001  axsegconlem8  29015  axpaschlem  29031  axeuclidlem  29053  nmophmi  32124  cos9thpinconstrlem1  33985  unitdivcld  34097  dya2icoseg  34473  dya2iocucvr  34480  signsply0  34747  logdivsqrle  34846  hgt750lem  34847  hgt750leme  34854  tgoldbachgtde  34856  sinccvglem  35915  circum  35917  knoppndvlem1  36833  knoppndvlem14  36846  knoppndvlem15  36847  knoppndvlem17  36849  knoppndvlem18  36850  knoppndvlem19  36851  knoppndvlem21  36853  poimirlem31  38033  itg2addnclem  38053  itg2addnclem2  38054  areacirclem1  38090  areacirclem4  38093  lcmineqlem15  42543  3lexlogpow5ineq2  42555  3lexlogpow5ineq4  42556  3lexlogpow2ineq1  42558  3lexlogpow2ineq2  42559  3lexlogpow5ineq5  42560  dvrelog2  42564  dvrelog3  42565  dvrelog2b  42566  dvrelogpow2b  42568  aks4d1p1p4  42571  aks4d1p1p6  42573  aks4d1p1p7  42574  aks4d1p1p5  42575  aks4d1p5  42580  aks4d1p8  42587  aks6d1c2lem4  42627  2ap1caineq  42645  bcled  42678  bcle2d  42679  aks6d1c7lem1  42680  pellexlem1  43289  pellexlem6  43294  reglogcl  43350  modabsdifz  43446  areaquad  43676  imo72b2  44631  hashnzfzclim  44781  sineq0ALT  45395  suplesup  45798  reclt0d  45845  xrralrecnnge  45848  ltdiv23neg  45852  iooiinioc  46015  0ellimcdiv  46106  dvdivbd  46380  ioodvbdlimc1lem1  46388  ioodvbdlimc1lem2  46389  ioodvbdlimc2lem  46391  stoweidlem1  46458  stoweidlem13  46470  stoweidlem26  46483  stoweidlem34  46491  stoweidlem36  46493  stoweidlem51  46508  stoweidlem60  46517  wallispilem4  46525  wallispilem5  46526  stirlingr  46547  dirker2re  46549  dirkerval2  46551  dirkerre  46552  dirkertrigeq  46558  dirkeritg  46559  dirkercncflem1  46560  dirkercncflem4  46563  fourierdlem4  46568  fourierdlem7  46571  fourierdlem9  46573  fourierdlem16  46580  fourierdlem19  46583  fourierdlem21  46585  fourierdlem22  46586  fourierdlem24  46588  fourierdlem26  46590  fourierdlem30  46594  fourierdlem39  46603  fourierdlem41  46605  fourierdlem42  46606  fourierdlem43  46607  fourierdlem47  46610  fourierdlem48  46611  fourierdlem49  46612  fourierdlem51  46614  fourierdlem56  46619  fourierdlem57  46620  fourierdlem58  46621  fourierdlem59  46622  fourierdlem63  46626  fourierdlem64  46627  fourierdlem66  46629  fourierdlem71  46634  fourierdlem72  46635  fourierdlem78  46641  fourierdlem83  46646  fourierdlem87  46650  fourierdlem89  46652  fourierdlem90  46653  fourierdlem91  46654  fourierdlem95  46658  fourierdlem103  46666  fourierdlem104  46667  etransclem48  46739  qndenserrnbllem  46751  sge0rpcpnf  46878  sge0ad2en  46888  ovnsubaddlem1  47027  hoidmvlelem3  47054  ovolval5lem1  47109  ovolval5lem2  47110  vonioolem2  47138  vonicclem2  47141  pimrecltneg  47181  smfrec  47246  smfdiv  47254  sigardiv  47318  modn0mul  47840  lighneallem2  48098  requad01  48126  requad1  48127  requad2  48128  refdivmptf  49047  fldivexpfllog2  49070  dignnld  49108  dig2nn1st  49110  dig2bits  49119  dignn0flhalflem2  49121  affinecomb1  49207  eenglngeehlnmlem1  49242  eenglngeehlnmlem2  49243  rrx2vlinest  49246  line2ylem  49256  line2  49257  line2xlem  49258  itsclc0lem1  49261  itsclc0lem2  49262  itscnhlc0yqe  49264  itsclquadb  49281