Theorem redivcld 12100

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11991	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  0cc0 11157   / cdiv 11928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929

This theorem is used by:  recp1lt1  12170  ledivp1  12174  supmul1  12241  rimul  12266  div4p1lem1div2  12556  divelunit  13580  fldiv4p1lem1div2  13929  fldiv4lem1div2uz2  13930  quoremz  13949  intfracq  13953  fldiv  13954  modmulnn  13983  modmuladd  14010  modmuladdnn0  14012  expnbnd  14329  discr1  14336  discr  14337  sqreulem  15480  fprodle  16116  fldivndvdslt  16539  flodddiv4t2lthalf  16541  iccpnfhmeo  25213  ipcau2  25502  mbfmulc2lem  25915  i1fmulc  25971  itg1mulc  25972  itg2monolem3  26020  dvferm2lem  26253  dvcvx  26287  radcnvlem1  26689  tanord1  26814  logf1o2  26927  relogbcl  27050  ang180lem2  27087  chordthmlem2  27110  jensenlem2  27264  regamcl  27337  gausslemma2dlem0d  27635  gausslemma2dlem3  27644  gausslemma2dlem4  27645  gausslemma2dlem5  27647  2lgslem1a2  27666  2lgslem1  27670  2lgslem2  27671  2lgsoddprmlem2  27685  selberg3lem1  27833  selberg4lem1  27836  ostth2  27913  ttgcontlem1  29381  colinearalg  29407  axsegconlem8  29421  axpaschlem  29437  axeuclidlem  29459  nmophmi  32552  cos9thpinconstrlem1  34340  unitdivcld  34452  dya2icoseg  34829  dya2iocucvr  34836  signsply0  35100  logdivsqrle  35199  hgt750lem  35200  hgt750leme  35207  tgoldbachgtde  35209  sinccvglem  36352  circum  36354  knoppndvlem1  37294  knoppndvlem14  37307  knoppndvlem15  37308  knoppndvlem17  37310  knoppndvlem18  37311  knoppndvlem19  37312  knoppndvlem21  37314  poimirlem31  38483  itg2addnclem  38503  itg2addnclem2  38504  areacirclem1  38540  areacirclem4  38543  lcmineqlem15  43007  3lexlogpow5ineq2  43019  3lexlogpow5ineq4  43020  3lexlogpow2ineq1  43022  3lexlogpow2ineq2  43023  3lexlogpow5ineq5  43024  dvrelog2  43028  dvrelog3  43029  dvrelog2b  43030  dvrelogpow2b  43032  aks4d1p1p4  43035  aks4d1p1p6  43037  aks4d1p1p7  43038  aks4d1p1p5  43039  aks4d1p5  43044  aks4d1p8  43051  aks6d1c2lem4  43091  2ap1caineq  43109  bcled  43142  bcle2d  43143  aks6d1c7lem1  43144  pellexlem1  43768  pellexlem6  43773  reglogcl  43829  modabsdifz  43925  areaquad  44155  imo72b2  45110  hashnzfzclim  45244  sineq0ALT  45857  suplesup  46267  reclt0d  46314  xrralrecnnge  46317  ltdiv23neg  46321  iooiinioc  46484  0ellimcdiv  46575  dvdivbd  46849  ioodvbdlimc1lem1  46857  ioodvbdlimc1lem2  46858  ioodvbdlimc2lem  46860  stoweidlem1  46927  stoweidlem13  46939  stoweidlem26  46952  stoweidlem34  46960  stoweidlem36  46962  stoweidlem51  46977  stoweidlem60  46986  wallispilem4  46994  wallispilem5  46995  stirlingr  47016  dirker2re  47018  dirkerval2  47020  dirkerre  47021  dirkertrigeq  47027  dirkeritg  47028  dirkercncflem1  47029  dirkercncflem4  47032  fourierdlem4  47037  fourierdlem7  47040  fourierdlem9  47042  fourierdlem16  47049  fourierdlem19  47052  fourierdlem21  47054  fourierdlem22  47055  fourierdlem24  47057  fourierdlem26  47059  fourierdlem30  47063  fourierdlem39  47072  fourierdlem41  47074  fourierdlem42  47075  fourierdlem43  47076  fourierdlem47  47079  fourierdlem48  47080  fourierdlem49  47081  fourierdlem51  47083  fourierdlem56  47088  fourierdlem57  47089  fourierdlem58  47090  fourierdlem59  47091  fourierdlem63  47095  fourierdlem64  47096  fourierdlem66  47098  fourierdlem71  47103  fourierdlem72  47104  fourierdlem78  47110  fourierdlem83  47115  fourierdlem87  47119  fourierdlem89  47121  fourierdlem90  47122  fourierdlem91  47123  fourierdlem95  47127  fourierdlem103  47135  fourierdlem104  47136  etransclem48  47208  qndenserrnbllem  47220  sge0rpcpnf  47347  sge0ad2en  47357  ovnsubaddlem1  47496  hoidmvlelem3  47523  ovolval5lem1  47578  ovolval5lem2  47579  vonioolem2  47607  vonicclem2  47610  pimrecltneg  47650  smfrec  47715  smfdiv  47723  sigardiv  47787  modn0mul  48349  lighneallem2  48607  requad01  48635  requad1  48636  requad2  48637  refdivmptf  49570  fldivexpfllog2  49593  dignnld  49631  dig2nn1st  49633  dig2bits  49642  dignn0flhalflem2  49644  affinecomb1  49730  eenglngeehlnmlem1  49765  eenglngeehlnmlem2  49766  rrx2vlinest  49769  line2ylem  49779  line2  49780  line2xlem  49781  itsclc0lem1  49784  itsclc0lem2  49785  itscnhlc0yqe  49787  itsclquadb  49804