Theorem tanarg 25507

Description: The basic relation between the "arg" function ℑ ∘ log and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanarg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem tanarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
2		re0 14715	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
4	3	necon3i 2973	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
5		logcl 25457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylan2 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7	6	imcld 14758	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 10861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9		sqcl 13690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		abscl 14842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	sqcld 13714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
15		absrpcl 14852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
16	4, 15	sylan2 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
17	16	rpne0d 12633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
18		sqne0 13695	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
20	17, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0)
21	10, 14, 14, 20	divdird 11646	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) + (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))))
22		ax-icn 10788	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
23		mulcl 10813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
24	22, 8, 23	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
25		2z 12209	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
26		efexp 15662	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2))
27	24, 25, 26	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2))
28		efiarg 25495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
29	4, 28	sylan2 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
30	29	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2) = ((𝐴 / (abs‘𝐴))↑2))
31		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	31, 13, 17	sqdivd 13729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴 / (abs‘𝐴))↑2) = ((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)))
33	27, 30, 32	3eqtrrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
34	14, 20	dividd 11606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) = 1)
35	33, 34	oveq12d 7231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) + (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))
36	21, 35	eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) = (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)))
37	10, 14	addcld 10852	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
38	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → i ∈ ℂ)
39		2cn 11905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
40		recl 14673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
42	41	recnd 10861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
43	42	sqcld 13714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
44		mulcl 10813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
45	39, 43, 44	sylancr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
46	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
47		imcl 14674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
49	48	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
50	42, 49	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	38, 46, 50	mul12d 11041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
52	38, 42, 49	mul12d 11041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))
53	52	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
54	51, 53	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
55		mulcl 10813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	22, 49, 55	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
57	42, 56	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
58		mulcl 10813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
59	39, 57, 58	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
60	54, 59	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
61	38, 45, 60	adddid 10857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))) = ((i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))) + (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
62		mulcl 10813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ)
63	42, 22, 62	sylancl 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ)
64	46, 63, 42	mulassd 10856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴))))
65	42	sqvald 13713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
66	65	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) · i))
67		mulcom 10815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)))
68	43, 22, 67	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)))
69	42, 42, 38	mul32d 11042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) · i) = (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴)))
70	66, 68, 69	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴)))
71	70	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴)↑2))) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴))))
72	46, 38, 43	mul12d 11041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴)↑2))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))))
73	64, 71, 72	3eqtr2d 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))))
74		ixi 11461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
75	74	oveq1i 7223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · i) · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))
76		mulcl 10813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
77	39, 49, 76	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
78	77, 42	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
79	38, 38, 78	mulassd 10856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · i) · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))))
80	75, 79	eqtr3id 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))))
81	78	mulm1d 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))
82	46, 49, 42	mulassd 10856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))))
83	49, 42	mulcomd 10854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
84	83	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
85	82, 84	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
86	85	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
87	86	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))) = (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
88	80, 81, 87	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
89	73, 88	oveq12d 7231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) + -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = ((i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))) + (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
90		mulcl 10813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) ∈ ℂ)
91	39, 63, 90	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) ∈ ℂ)
92	91, 42	mulcld 10853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
93	92, 78	negsubd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) + -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
94	61, 89, 93	3eqtr2d 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
95	49	sqcld 13714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
96	59, 95	subcld 11189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
97	43, 96, 43, 95	add4d 11060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) + (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
98		replim 14679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
99	98	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
100	99	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2))
101		binom2 13785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
102	42, 56, 101	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
103		sqmul 13691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
104	22, 49, 103	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
105		i2 13771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
106	105	oveq1i 7223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2))
107	104, 106	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
108	95	mulm1d 11284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
109	107, 108	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
110	109	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)))
111	43, 59	addcld 10852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
112	111, 95	negsubd 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
113	102, 110, 112	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
114	43, 59, 95	addsubassd 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))))
115	100, 113, 114	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))))
116		absvalsq2 14845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
117	116	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
118	115, 117	oveq12d 7231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) + (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
119	43	2timesd 12073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)))
120	59, 95	npcand 11193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
121	53, 51, 120	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
122	119, 121	oveq12d 7231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
123	97, 118, 122	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
124	123	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
125	91, 77, 42	subdird 11289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
126	94, 124, 125	3eqtr4d 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)))
127	91, 77	subcld 11189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
128		mulcom 10815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · i) = (i · (ℜ‘𝐴)))
129	42, 22, 128	sylancl 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) = (i · (ℜ‘𝐴)))
130		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
131		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ))
132	48, 131	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ))
133		rimul 11821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) = 0)
134	41, 132, 133	syl6an 684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → (ℜ‘𝐴) = 0))
135	134	necon3d 2961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → (i · (ℜ‘𝐴)) ≠ (ℑ‘𝐴)))
136	130, 135	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℜ‘𝐴)) ≠ (ℑ‘𝐴))
137	129, 136	eqnetrd 3008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) ≠ (ℑ‘𝐴))
138	91, 77	subeq0ad 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) = 0 ↔ (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) = (2 · (ℑ‘𝐴))))
139		2ne0 11934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 2 ≠ 0)
141	63, 49, 46, 140	mulcand 11465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) = (2 · (ℑ‘𝐴)) ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) = (ℑ‘𝐴)))
142	138, 141	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) = (ℑ‘𝐴)))
143	142	necon3bid 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) ≠ (ℑ‘𝐴)))
144	137, 143	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)
145	127, 42, 144, 130	mulne0d 11484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
146	126, 145	eqnetrd 3008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ≠ 0)
147		oveq2 7221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = 0 → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (i · 0))
148		it0e0 12052	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 0) = 0
149	147, 148	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = 0 → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = 0)
150	149	necon3i 2973	. . . . . 6 ⊢ ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ≠ 0 → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
151	146, 150	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
152	37, 14, 151, 20	divne0d 11624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
153	36, 152	eqnetrd 3008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) ≠ 0)
154		tanval3 15695	. . 3 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))))
155	8, 153, 154	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))))
156	10, 14, 14, 20	divsubdird 11647	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) − (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))))
157	33, 34	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) − (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1))
158	156, 157	eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) = (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)))
159	36	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1)) = (i · (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2))))
160	38, 37, 14, 20	divassd 11643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (i · (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2))))
161	159, 160	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1)) = ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2)))
162	158, 161	oveq12d 7231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))) = ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))))
163	10, 14	subcld 11189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
164		mulcl 10813	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ∈ ℂ)
165	22, 37, 164	sylancr 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ∈ ℂ)
166	163, 165, 14, 146, 20	divcan7d 11636	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))) = (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)))))
167	115, 117	oveq12d 7231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) − (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
168	43, 96, 95	pnpcand 11226	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) − (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
169	59, 95, 95	subsub4d 11220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
170	95	2timesd 12073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
171	170	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
172	46, 63, 49	mulassd 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴))))
173	42, 38, 49	mulassd 10856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))
174	173	oveq2d 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
175	172, 174	eqtr2d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)))
176	49	sqvald 13713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
177	176	oveq2d 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
178	46, 49, 49	mulassd 10856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
179	177, 178	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)))
180	175, 179	oveq12d 7231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴))))
181	91, 77, 49	subdird 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴))))
182	180, 181	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
183	169, 171, 182	3eqtr2d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
184	167, 168, 183	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
185	184, 126	oveq12d 7231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)))) = ((((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) / (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴))))
186	49, 42, 127, 130, 144	divcan5d 11634	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) / (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))
187	166, 185, 186	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))
188	155, 162, 187	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730  ici 10731   + caddc 10732   · cmul 10734   − cmin 11062  -cneg 11063   / cdiv 11489  2c2 11885  ℤcz 12176  ℝ⁺crp 12586  ↑cexp 13635  ℜcre 14660  ℑcim 14661  abscabs 14797  expce 15623  tanctan 15627  logclog 25443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-tan 15633  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445

This theorem is referenced by:  logcnlem4  25533  atanlogsublem  25798