Theorem tanarg 26859

Description: The basic relation between the "arg" function ℑ ∘ log and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanarg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem tanarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
2		re0 15242	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
4	3	necon3i 2987	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
5		logcl 26808	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7	6	imcld 15285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9		sqcl 14185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		abscl 15368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	sqcld 14211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
15		absrpcl 15378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
16	4, 15	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
17	16	rpne0d 13094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
18		sqne0 14190	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
19	13, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
20	17, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0)
21	10, 14, 14, 20	divdird 12056	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) + (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))))
22		ax-icn 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
23		mulcl 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
24	22, 8, 23	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
25		2z 12653	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
26		efexp 16192	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2))
27	24, 25, 26	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2))
28		efiarg 26847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
29	4, 28	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
30	29	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2) = ((𝐴 / (abs‘𝐴))↑2))
31		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	31, 13, 17	sqdivd 14226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴 / (abs‘𝐴))↑2) = ((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)))
33	27, 30, 32	3eqtrrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
34	14, 20	dividd 12016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) = 1)
35	33, 34	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) + (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))
36	21, 35	eqtr2d 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) = (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)))
37	10, 14	addcld 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
38	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → i ∈ ℂ)
39		2cn 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
40		recl 15200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
43	42	sqcld 14211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
44		mulcl 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
45	39, 43, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
46	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
47		imcl 15201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
50	42, 49	mulcld 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	38, 46, 50	mul12d 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
52	38, 42, 49	mul12d 11446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))
53	52	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
54	51, 53	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
55		mulcl 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	22, 49, 55	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
57	42, 56	mulcld 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
58		mulcl 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
59	39, 57, 58	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
60	54, 59	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
61	38, 45, 60	adddid 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))) = ((i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))) + (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
62		mulcl 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ)
63	42, 22, 62	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ)
64	46, 63, 42	mulassd 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴))))
65	42	sqvald 14210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
66	65	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) · i))
67		mulcom 11213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)))
68	43, 22, 67	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)))
69	42, 42, 38	mul32d 11447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) · i) = (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴)))
70	66, 68, 69	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴)))
71	70	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴)↑2))) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴))))
72	46, 38, 43	mul12d 11446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴)↑2))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))))
73	64, 71, 72	3eqtr2d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))))
74		ixi 11870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
75	74	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · i) · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))
76		mulcl 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
77	39, 49, 76	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
78	77, 42	mulcld 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
79	38, 38, 78	mulassd 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · i) · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))))
80	75, 79	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))))
81	78	mulm1d 11693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))
82	46, 49, 42	mulassd 11259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))))
83	49, 42	mulcomd 11257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
84	83	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
85	82, 84	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
86	85	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
87	86	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))) = (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
88	80, 81, 87	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
89	73, 88	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) + -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = ((i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))) + (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
90		mulcl 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) ∈ ℂ)
91	39, 63, 90	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) ∈ ℂ)
92	91, 42	mulcld 11256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
93	92, 78	negsubd 11602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) + -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
94	61, 89, 93	3eqtr2d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
95	49	sqcld 14211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
96	59, 95	subcld 11596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
97	43, 96, 43, 95	add4d 11466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) + (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
98		replim 15206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
99	98	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
100	99	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2))
101		binom2 14284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
102	42, 56, 101	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
103		sqmul 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
104	22, 49, 103	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
105		i2 14269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
106	105	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2))
107	104, 106	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
108	95	mulm1d 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
109	107, 108	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
110	109	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)))
111	43, 59	addcld 11255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
112	111, 95	negsubd 11602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
113	102, 110, 112	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
114	43, 59, 95	addsubassd 11616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))))
115	100, 113, 114	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))))
116		absvalsq2 15371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
117	116	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
118	115, 117	oveq12d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) + (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
119	43	2timesd 12514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)))
120	59, 95	npcand 11600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
121	53, 51, 120	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
122	119, 121	oveq12d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
123	97, 118, 122	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
124	123	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
125	91, 77, 42	subdird 11698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
126	94, 124, 125	3eqtr4d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)))
127	91, 77	subcld 11596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
128		mulcom 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · i) = (i · (ℜ‘𝐴)))
129	42, 22, 128	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) = (i · (ℜ‘𝐴)))
130		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
131		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ))
132	48, 131	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ))
133		rimul 12236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) = 0)
134	41, 132, 133	syl6an 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → (ℜ‘𝐴) = 0))
135	134	necon3d 2976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → (i · (ℜ‘𝐴)) ≠ (ℑ‘𝐴)))
136	130, 135	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℜ‘𝐴)) ≠ (ℑ‘𝐴))
137	129, 136	eqnetrd 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) ≠ (ℑ‘𝐴))
138	91, 77	subeq0ad 11604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) = 0 ↔ (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) = (2 · (ℑ‘𝐴))))
139		2ne0 12374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 2 ≠ 0)
141	63, 49, 46, 140	mulcand 11874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) = (2 · (ℑ‘𝐴)) ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) = (ℑ‘𝐴)))
142	138, 141	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) = (ℑ‘𝐴)))
143	142	necon3bid 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) ≠ (ℑ‘𝐴)))
144	137, 143	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)
145	127, 42, 144, 130	mulne0d 11893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
146	126, 145	eqnetrd 3022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ≠ 0)
147		oveq2 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = 0 → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (i · 0))
148		it0e0 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 0) = 0
149	147, 148	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = 0 → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = 0)
150	149	necon3i 2987	. . . . . 6 ⊢ ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ≠ 0 → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
151	146, 150	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
152	37, 14, 151, 20	divne0d 12034	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
153	36, 152	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) ≠ 0)
154		tanval3 16225	. . 3 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))))
155	8, 153, 154	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))))
156	10, 14, 14, 20	divsubdird 12057	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) − (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))))
157	33, 34	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) − (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1))
158	156, 157	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) = (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)))
159	36	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1)) = (i · (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2))))
160	38, 37, 14, 20	divassd 12053	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (i · (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2))))
161	159, 160	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1)) = ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2)))
162	158, 161	oveq12d 7432	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))) = ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))))
163	10, 14	subcld 11596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
164		mulcl 11211	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ∈ ℂ)
165	22, 37, 164	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ∈ ℂ)
166	163, 165, 14, 146, 20	divcan7d 12046	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))) = (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)))))
167	115, 117	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) − (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
168	43, 96, 95	pnpcand 11633	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) − (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
169	59, 95, 95	subsub4d 11627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
170	95	2timesd 12514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
171	170	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
172	46, 63, 49	mulassd 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴))))
173	42, 38, 49	mulassd 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))
174	173	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
175	172, 174	eqtr2d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)))
176	49	sqvald 14210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
177	176	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
178	46, 49, 49	mulassd 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
179	177, 178	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)))
180	175, 179	oveq12d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴))))
181	91, 77, 49	subdird 11698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴))))
182	180, 181	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
183	169, 171, 182	3eqtr2d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
184	167, 168, 183	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
185	184, 126	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)))) = ((((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) / (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴))))
186	49, 42, 127, 130, 144	divcan5d 12044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) / (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))
187	166, 185, 186	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))
188	155, 162, 187	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11898  2c2 12322  ℤcz 12618  ℝ⁺crp 13045  ↑cexp 14128  ℜcre 15187  ℑcim 15188  abscabs 15324  expce 16150  tanctan 16154  logclog 26794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ioc 13406  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-bc 14370  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-ef 16156  df-sin 16158  df-cos 16159  df-tan 16160  df-pi 16161  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-fbas 21585  df-fg 21586  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-nei 23326  df-lp 23364  df-perf 23365  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-haus 23543  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-fil 24075  df-fm 24167  df-flim 24168  df-flf 24169  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-cncf 25109  df-limc 26096  df-dv 26097  df-log 26796

This theorem is used by:  logcnlem4  26885  atanlogsublem  27155