Theorem tanarg 26662

Description: The basic relation between the "arg" function ℑ ∘ log and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanarg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem tanarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
2		re0 15192	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
4	3	necon3i 2972	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
5		logcl 26611	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7	6	imcld 15235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9		sqcl 14159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		abscl 15318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	sqcld 14185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
15		absrpcl 15328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
16	4, 15	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
17	16	rpne0d 13083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
18		sqne0 14164	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
20	17, 19	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0)
21	10, 14, 14, 20	divdird 12082	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) + (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))))
22		ax-icn 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
23		mulcl 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
24	22, 8, 23	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
25		2z 12651	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
26		efexp 16138	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2))
27	24, 25, 26	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2))
28		efiarg 26650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
29	4, 28	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
30	29	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2) = ((𝐴 / (abs‘𝐴))↑2))
31		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	31, 13, 17	sqdivd 14200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴 / (abs‘𝐴))↑2) = ((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)))
33	27, 30, 32	3eqtrrd 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
34	14, 20	dividd 12042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) = 1)
35	33, 34	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) + (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))
36	21, 35	eqtr2d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) = (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)))
37	10, 14	addcld 11281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
38	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → i ∈ ℂ)
39		2cn 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
40		recl 15150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
43	42	sqcld 14185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
44		mulcl 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
45	39, 43, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
46	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
47		imcl 15151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
50	42, 49	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	38, 46, 50	mul12d 11471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
52	38, 42, 49	mul12d 11471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))
53	52	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
54	51, 53	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
55		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	22, 49, 55	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
57	42, 56	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
58		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
59	39, 57, 58	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
60	54, 59	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
61	38, 45, 60	adddid 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))) = ((i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))) + (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
62		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ)
63	42, 22, 62	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ)
64	46, 63, 42	mulassd 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴))))
65	42	sqvald 14184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
66	65	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) · i))
67		mulcom 11242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)))
68	43, 22, 67	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)))
69	42, 42, 38	mul32d 11472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) · i) = (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴)))
70	66, 68, 69	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴)))
71	70	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴)↑2))) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴))))
72	46, 38, 43	mul12d 11471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴)↑2))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))))
73	64, 71, 72	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))))
74		ixi 11893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
75	74	oveq1i 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · i) · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))
76		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
77	39, 49, 76	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
78	77, 42	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
79	38, 38, 78	mulassd 11285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · i) · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))))
80	75, 79	eqtr3id 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))))
81	78	mulm1d 11716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))
82	46, 49, 42	mulassd 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))))
83	49, 42	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
84	83	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
85	82, 84	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
86	85	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
87	86	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))) = (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
88	80, 81, 87	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
89	73, 88	oveq12d 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) + -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = ((i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))) + (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
90		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) ∈ ℂ)
91	39, 63, 90	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) ∈ ℂ)
92	91, 42	mulcld 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
93	92, 78	negsubd 11627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) + -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
94	61, 89, 93	3eqtr2d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
95	49	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
96	59, 95	subcld 11621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
97	43, 96, 43, 95	add4d 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) + (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
98		replim 15156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
100	99	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2))
101		binom2 14257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
102	42, 56, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
103		sqmul 14160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
104	22, 49, 103	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
105		i2 14242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
106	105	oveq1i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2))
107	104, 106	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
108	95	mulm1d 11716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
109	107, 108	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
110	109	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)))
111	43, 59	addcld 11281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
112	111, 95	negsubd 11627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
113	102, 110, 112	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
114	43, 59, 95	addsubassd 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))))
115	100, 113, 114	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))))
116		absvalsq2 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
118	115, 117	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) + (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
119	43	2timesd 12511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)))
120	59, 95	npcand 11625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
121	53, 51, 120	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
122	119, 121	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
123	97, 118, 122	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
124	123	oveq2d 7448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
125	91, 77, 42	subdird 11721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
126	94, 124, 125	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)))
127	91, 77	subcld 11621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
128		mulcom 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · i) = (i · (ℜ‘𝐴)))
129	42, 22, 128	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) = (i · (ℜ‘𝐴)))
130		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
131		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ))
132	48, 131	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ))
133		rimul 12258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) = 0)
134	41, 132, 133	syl6an 684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → (ℜ‘𝐴) = 0))
135	134	necon3d 2960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → (i · (ℜ‘𝐴)) ≠ (ℑ‘𝐴)))
136	130, 135	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℜ‘𝐴)) ≠ (ℑ‘𝐴))
137	129, 136	eqnetrd 3007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) ≠ (ℑ‘𝐴))
138	91, 77	subeq0ad 11631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) = 0 ↔ (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) = (2 · (ℑ‘𝐴))))
139		2ne0 12371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 2 ≠ 0)
141	63, 49, 46, 140	mulcand 11897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) = (2 · (ℑ‘𝐴)) ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) = (ℑ‘𝐴)))
142	138, 141	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) = (ℑ‘𝐴)))
143	142	necon3bid 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) ≠ (ℑ‘𝐴)))
144	137, 143	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)
145	127, 42, 144, 130	mulne0d 11916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
146	126, 145	eqnetrd 3007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ≠ 0)
147		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = 0 → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (i · 0))
148		it0e0 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 0) = 0
149	147, 148	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = 0 → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = 0)
150	149	necon3i 2972	. . . . . 6 ⊢ ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ≠ 0 → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
151	146, 150	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
152	37, 14, 151, 20	divne0d 12060	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
153	36, 152	eqnetrd 3007	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) ≠ 0)
154		tanval3 16171	. . 3 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))))
155	8, 153, 154	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))))
156	10, 14, 14, 20	divsubdird 12083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) − (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))))
157	33, 34	oveq12d 7450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) − (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1))
158	156, 157	eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) = (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)))
159	36	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1)) = (i · (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2))))
160	38, 37, 14, 20	divassd 12079	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (i · (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2))))
161	159, 160	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1)) = ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2)))
162	158, 161	oveq12d 7450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))) = ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))))
163	10, 14	subcld 11621	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
164		mulcl 11240	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ∈ ℂ)
165	22, 37, 164	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ∈ ℂ)
166	163, 165, 14, 146, 20	divcan7d 12072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))) = (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)))))
167	115, 117	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) − (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
168	43, 96, 95	pnpcand 11658	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) − (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
169	59, 95, 95	subsub4d 11652	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
170	95	2timesd 12511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
171	170	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
172	46, 63, 49	mulassd 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴))))
173	42, 38, 49	mulassd 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))
174	173	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
175	172, 174	eqtr2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)))
176	49	sqvald 14184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
177	176	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
178	46, 49, 49	mulassd 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
179	177, 178	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)))
180	175, 179	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴))))
181	91, 77, 49	subdird 11721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴))))
182	180, 181	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
183	169, 171, 182	3eqtr2d 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
184	167, 168, 183	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
185	184, 126	oveq12d 7450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)))) = ((((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) / (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴))))
186	49, 42, 127, 130, 144	divcan5d 12070	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) / (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))
187	166, 185, 186	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))
188	155, 162, 187	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035  ↑cexp 14103  ℜcre 15137  ℑcim 15138  abscabs 15274  expce 16098  tanctan 16102  logclog 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-tan 16108  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599

This theorem is referenced by:  logcnlem4  26688  atanlogsublem  26959