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Theorem tanarg 25990
Description: The basic relation between the "arg" function β„‘ ∘ log and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanarg ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = ((β„‘β€˜π΄) / (β„œβ€˜π΄)))

Proof of Theorem tanarg
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„œβ€˜0))
2 re0 15043 . . . . . . . 8 (β„œβ€˜0) = 0
31, 2eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 β†’ (β„œβ€˜π΄) = 0)
43necon3i 2973 . . . . . 6 ((β„œβ€˜π΄) β‰  0 β†’ 𝐴 β‰  0)
5 logcl 25940 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
64, 5sylan2 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
76imcld 15086 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
87recnd 11188 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
9 sqcl 14029 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„‚)
109adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴↑2) ∈ β„‚)
11 abscl 15169 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1312recnd 11188 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1413sqcld 14055 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
15 absrpcl 15179 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
164, 15sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
1716rpne0d 12967 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) β‰  0)
18 sqne0 14034 . . . . . . . 8 ((absβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (absβ€˜π΄) β‰  0))
1913, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (absβ€˜π΄) β‰  0))
2017, 19mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) β‰  0)
2110, 14, 14, 20divdird 11974 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2)) + (((absβ€˜π΄)↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2))))
22 ax-icn 11115 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
23 mulcl 11140 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
2422, 8, 23sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ∈ β„‚)
25 2z 12540 . . . . . . . 8 2 ∈ β„€
26 efexp 15988 . . . . . . . 8 (((i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) = ((expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))↑2))
2724, 25, 26sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) = ((expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))↑2))
28 efiarg 25978 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))) = (𝐴 / (absβ€˜π΄)))
294, 28sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))) = (𝐴 / (absβ€˜π΄)))
3029oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((expβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))↑2) = ((𝐴 / (absβ€˜π΄))↑2))
31 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3231, 13, 17sqdivd 14070 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((𝐴 / (absβ€˜π΄))↑2) = ((𝐴↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2)))
3327, 30, 323eqtrrd 2778 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((𝐴↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2)) = (expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))))
3414, 20dividd 11934 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((absβ€˜π΄)↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2)) = 1)
3533, 34oveq12d 7376 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((𝐴↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2)) + (((absβ€˜π΄)↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2))) = ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) + 1))
3621, 35eqtr2d 2774 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) + 1) = (((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2)))
3710, 14addcld 11179 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) ∈ β„‚)
3822a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ i ∈ β„‚)
39 2cn 12233 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
40 recl 15001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4241recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ β„‚)
4342sqcld 14055 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„œβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
44 mulcl 11140 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((β„œβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)) ∈ β„‚)
4539, 43, 44sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)) ∈ β„‚)
4639a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 2 ∈ β„‚)
47 imcl 15002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
4948recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
5042, 49mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)) ∈ β„‚)
5138, 46, 50mul12d 11369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))) = (2 Β· (i Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))))
5238, 42, 49mul12d 11369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄))) = ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))
5352oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· (i Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))) = (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))))
5451, 53eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))) = (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))))
55 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΄)) ∈ β„‚)
5622, 49, 55sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΄)) ∈ β„‚)
5742, 56mulcld 11180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))) ∈ β„‚)
58 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) ∈ β„‚)
5939, 57, 58sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) ∈ β„‚)
6054, 59eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))) ∈ β„‚)
6138, 45, 60adddid 11184 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)) + (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))))) = ((i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2))) + (i Β· (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))))))
62 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„œβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((β„œβ€˜π΄) Β· i) ∈ β„‚)
6342, 22, 62sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„œβ€˜π΄) Β· i) ∈ β„‚)
6446, 63, 42mulassd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„œβ€˜π΄)) = (2 Β· (((β„œβ€˜π΄) Β· i) Β· (β„œβ€˜π΄))))
6542sqvald 14054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„œβ€˜π΄)↑2) = ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„œβ€˜π΄)))
6665oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((β„œβ€˜π΄)↑2) Β· i) = (((β„œβ€˜π΄) Β· (β„œβ€˜π΄)) Β· i))
67 mulcom 11142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((β„œβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (((β„œβ€˜π΄)↑2) Β· i) = (i Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)))
6843, 22, 67sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((β„œβ€˜π΄)↑2) Β· i) = (i Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)))
6942, 42, 38mul32d 11370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((β„œβ€˜π΄) Β· (β„œβ€˜π΄)) Β· i) = (((β„œβ€˜π΄) Β· i) Β· (β„œβ€˜π΄)))
7066, 68, 693eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)) = (((β„œβ€˜π΄) Β· i) Β· (β„œβ€˜π΄)))
7170oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· (i Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2))) = (2 Β· (((β„œβ€˜π΄) Β· i) Β· (β„œβ€˜π΄))))
7246, 38, 43mul12d 11369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· (i Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2))) = (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2))))
7364, 71, 723eqtr2d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„œβ€˜π΄)) = (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2))))
74 ixi 11789 . . . . . . . . . . . . 13 (i Β· i) = -1
7574oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((i Β· i) Β· ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))) = (-1 Β· ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄)))
76 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄)) ∈ β„‚)
7739, 49, 76sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄)) ∈ β„‚)
7877, 42mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
7938, 38, 78mulassd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i Β· i) Β· ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))) = (i Β· (i Β· ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄)))))
8075, 79eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-1 Β· ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))) = (i Β· (i Β· ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄)))))
8178mulm1d 11612 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-1 Β· ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))) = -((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄)))
8246, 49, 42mulassd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄)) = (2 Β· ((β„‘β€˜π΄) Β· (β„œβ€˜π΄))))
8349, 42mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„‘β€˜π΄) Β· (β„œβ€˜π΄)) = ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))
8483oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· ((β„‘β€˜π΄) Β· (β„œβ€˜π΄))) = (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄))))
8582, 84eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄)) = (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄))))
8685oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))) = (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))))
8786oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (i Β· ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄)))) = (i Β· (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄))))))
8880, 81, 873eqtr3d 2781 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄)) = (i Β· (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄))))))
8973, 88oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„œβ€˜π΄)) + -((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))) = ((i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2))) + (i Β· (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))))))
90 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„‚ ∧ ((β„œβ€˜π΄) Β· i) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) ∈ β„‚)
9139, 63, 90sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) ∈ β„‚)
9291, 42mulcld 11180 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„œβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
9392, 78negsubd 11523 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„œβ€˜π΄)) + -((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„œβ€˜π΄)) βˆ’ ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))))
9461, 89, 933eqtr2d 2779 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)) + (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))))) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„œβ€˜π΄)) βˆ’ ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))))
9549sqcld 14055 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„‘β€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
9659, 95subcld 11517 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) ∈ β„‚)
9743, 96, 43, 95add4d 11388 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2))) + (((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((β„‘β€˜π΄)↑2))) = ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((β„œβ€˜π΄)↑2)) + (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) + ((β„‘β€˜π΄)↑2))))
98 replim 15007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐴 = ((β„œβ€˜π΄) + (i Β· (β„‘β€˜π΄))))
9998adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 = ((β„œβ€˜π΄) + (i Β· (β„‘β€˜π΄))))
10099oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴↑2) = (((β„œβ€˜π΄) + (i Β· (β„‘β€˜π΄)))↑2))
101 binom2 14127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„œβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (β„‘β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (((β„œβ€˜π΄) + (i Β· (β„‘β€˜π΄)))↑2) = ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))) + ((i Β· (β„‘β€˜π΄))↑2)))
10242, 56, 101syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((β„œβ€˜π΄) + (i Β· (β„‘β€˜π΄)))↑2) = ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))) + ((i Β· (β„‘β€˜π΄))↑2)))
103 sqmul 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((i Β· (β„‘β€˜π΄))↑2) = ((i↑2) Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
10422, 49, 103sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i Β· (β„‘β€˜π΄))↑2) = ((i↑2) Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
105 i2 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i↑2) = -1
106105oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i↑2) Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2)) = (-1 Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2))
107104, 106eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i Β· (β„‘β€˜π΄))↑2) = (-1 Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
10895mulm1d 11612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-1 Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2)) = -((β„‘β€˜π΄)↑2))
109107, 108eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i Β· (β„‘β€˜π΄))↑2) = -((β„‘β€˜π΄)↑2))
110109oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))) + ((i Β· (β„‘β€˜π΄))↑2)) = ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))) + -((β„‘β€˜π΄)↑2)))
11143, 59addcld 11179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((β„œβ€˜π΄)↑2) + (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))) ∈ β„‚)
112111, 95negsubd 11523 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))) + -((β„‘β€˜π΄)↑2)) = ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
113102, 110, 1123eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((β„œβ€˜π΄) + (i Β· (β„‘β€˜π΄)))↑2) = ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
11443, 59, 95addsubassd 11537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) = (((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2))))
115100, 113, 1143eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴↑2) = (((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2))))
116 absvalsq2 15172 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) = (((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
117116adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((absβ€˜π΄)↑2) = (((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
118115, 117oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) = ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2))) + (((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((β„‘β€˜π΄)↑2))))
119432timesd 12401 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)) = (((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((β„œβ€˜π΄)↑2)))
12059, 95npcand 11521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) + ((β„‘β€˜π΄)↑2)) = (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))))
12153, 51, 1203eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) + ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
122119, 121oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)) + (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄))))) = ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((β„œβ€˜π΄)↑2)) + (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) + ((β„‘β€˜π΄)↑2))))
12397, 118, 1223eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) = ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)) + (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄))))))
124123oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) = (i Β· ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄)↑2)) + (i Β· (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))))))
12591, 77, 42subdird 11617 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„œβ€˜π΄)) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„œβ€˜π΄)) βˆ’ ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„œβ€˜π΄))))
12694, 124, 1253eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„œβ€˜π΄)))
12791, 77subcld 11517 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) ∈ β„‚)
128 mulcom 11142 . . . . . . . . . . 11 (((β„œβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((β„œβ€˜π΄) Β· i) = (i Β· (β„œβ€˜π΄)))
12942, 22, 128sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„œβ€˜π΄) Β· i) = (i Β· (β„œβ€˜π΄)))
130 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) β‰  0)
131 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i Β· (β„œβ€˜π΄)) = (β„‘β€˜π΄) β†’ ((i Β· (β„œβ€˜π΄)) ∈ ℝ ↔ (β„‘β€˜π΄) ∈ ℝ))
13248, 131syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i Β· (β„œβ€˜π΄)) = (β„‘β€˜π΄) β†’ (i Β· (β„œβ€˜π΄)) ∈ ℝ))
133 rimul 12149 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (i Β· (β„œβ€˜π΄)) ∈ ℝ) β†’ (β„œβ€˜π΄) = 0)
13441, 132, 133syl6an 683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i Β· (β„œβ€˜π΄)) = (β„‘β€˜π΄) β†’ (β„œβ€˜π΄) = 0))
135134necon3d 2961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„œβ€˜π΄) β‰  0 β†’ (i Β· (β„œβ€˜π΄)) β‰  (β„‘β€˜π΄)))
136130, 135mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (β„œβ€˜π΄)) β‰  (β„‘β€˜π΄))
137129, 136eqnetrd 3008 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„œβ€˜π΄) Β· i) β‰  (β„‘β€˜π΄))
13891, 77subeq0ad 11527 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) = 0 ↔ (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) = (2 Β· (β„‘β€˜π΄))))
139 2ne0 12262 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 2 β‰  0)
14163, 49, 46, 140mulcand 11793 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) = (2 Β· (β„‘β€˜π΄)) ↔ ((β„œβ€˜π΄) Β· i) = (β„‘β€˜π΄)))
142138, 141bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) = 0 ↔ ((β„œβ€˜π΄) Β· i) = (β„‘β€˜π΄)))
143142necon3bid 2985 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) β‰  0 ↔ ((β„œβ€˜π΄) Β· i) β‰  (β„‘β€˜π΄)))
144137, 143mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) β‰  0)
145127, 42, 144, 130mulne0d 11812 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„œβ€˜π΄)) β‰  0)
146126, 145eqnetrd 3008 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) β‰  0)
147 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) = 0 β†’ (i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) = (i Β· 0))
148 it0e0 12380 . . . . . . . 8 (i Β· 0) = 0
149147, 148eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) = 0 β†’ (i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) = 0)
150149necon3i 2973 . . . . . 6 ((i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) β‰  0 β†’ ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) β‰  0)
151146, 150syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) β‰  0)
15237, 14, 151, 20divne0d 11952 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2)) β‰  0)
15336, 152eqnetrd 3008 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) + 1) β‰  0)
154 tanval3 16021 . . 3 (((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) + 1) β‰  0) β†’ (tanβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) + 1))))
1558, 153, 154syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) + 1))))
15610, 14, 14, 20divsubdird 11975 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2)) βˆ’ (((absβ€˜π΄)↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2))))
15733, 34oveq12d 7376 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((𝐴↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2)) βˆ’ (((absβ€˜π΄)↑2) / ((absβ€˜π΄)↑2))) = ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) βˆ’ 1))
158156, 157eqtr2d 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) βˆ’ 1) = (((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2)))
15936oveq2d 7374 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) + 1)) = (i Β· (((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2))))
16038, 37, 14, 20divassd 11971 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) / ((absβ€˜π΄)↑2)) = (i Β· (((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2))))
161159, 160eqtr4d 2776 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) + 1)) = ((i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) / ((absβ€˜π΄)↑2)))
162158, 161oveq12d 7376 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))) + 1))) = ((((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) / ((absβ€˜π΄)↑2))))
16310, 14subcld 11517 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) ∈ β„‚)
164 mulcl 11140 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) ∈ β„‚)
16522, 37, 164sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) ∈ β„‚)
166163, 165, 14, 146, 20divcan7d 11964 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) / ((absβ€˜π΄)↑2))) = (((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) / (i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)))))
167115, 117oveq12d 7376 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) = ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2))) βˆ’ (((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((β„‘β€˜π΄)↑2))))
16843, 96, 95pnpcand 11554 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2))) βˆ’ (((β„œβ€˜π΄)↑2) + ((β„‘β€˜π΄)↑2))) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
16959, 95, 95subsub4d 11548 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) = ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ (((β„‘β€˜π΄)↑2) + ((β„‘β€˜π΄)↑2))))
170952timesd 12401 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2)) = (((β„‘β€˜π΄)↑2) + ((β„‘β€˜π΄)↑2)))
171170oveq2d 7374 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ (2 Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2))) = ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ (((β„‘β€˜π΄)↑2) + ((β„‘β€˜π΄)↑2))))
17246, 63, 49mulassd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„‘β€˜π΄)) = (2 Β· (((β„œβ€˜π΄) Β· i) Β· (β„‘β€˜π΄))))
17342, 38, 49mulassd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((β„œβ€˜π΄) Β· i) Β· (β„‘β€˜π΄)) = ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄))))
174173oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· (((β„œβ€˜π΄) Β· i) Β· (β„‘β€˜π΄))) = (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))))
175172, 174eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) = ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„‘β€˜π΄)))
17649sqvald 14054 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„‘β€˜π΄)↑2) = ((β„‘β€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄)))
177176oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2)) = (2 Β· ((β„‘β€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄))))
17846, 49, 49mulassd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„‘β€˜π΄)) = (2 Β· ((β„‘β€˜π΄) Β· (β„‘β€˜π΄))))
179177, 178eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (2 Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2)) = ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„‘β€˜π΄)))
180175, 179oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ (2 Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2))) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„‘β€˜π΄)) βˆ’ ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„‘β€˜π΄))))
18191, 77, 49subdird 11617 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„‘β€˜π΄)) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) Β· (β„‘β€˜π΄)) βˆ’ ((2 Β· (β„‘β€˜π΄)) Β· (β„‘β€˜π΄))))
182180, 181eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ (2 Β· ((β„‘β€˜π΄)↑2))) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„‘β€˜π΄)))
183169, 171, 1823eqtr2d 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· (i Β· (β„‘β€˜π΄)))) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) βˆ’ ((β„‘β€˜π΄)↑2)) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„‘β€˜π΄)))
184167, 168, 1833eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) = (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„‘β€˜π΄)))
185184, 126oveq12d 7376 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) / (i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2)))) = ((((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„‘β€˜π΄)) / (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„œβ€˜π΄))))
18649, 42, 127, 130, 144divcan5d 11962 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„‘β€˜π΄)) / (((2 Β· ((β„œβ€˜π΄) Β· i)) βˆ’ (2 Β· (β„‘β€˜π΄))) Β· (β„œβ€˜π΄))) = ((β„‘β€˜π΄) / (β„œβ€˜π΄)))
187166, 185, 1863eqtrd 2777 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((𝐴↑2) βˆ’ ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((absβ€˜π΄)↑2)) / ((i Β· ((𝐴↑2) + ((absβ€˜π΄)↑2))) / ((absβ€˜π΄)↑2))) = ((β„‘β€˜π΄) / (β„œβ€˜π΄)))
188155, 162, 1873eqtrd 2777 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜(β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = ((β„‘β€˜π΄) / (β„œβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  ici 11058   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  β„€cz 12504  β„+crp 12920  β†‘cexp 13973  β„œcre 14988  β„‘cim 14989  abscabs 15125  expce 15949  tanctan 15953  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-tan 15959  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  logcnlem4  26016  atanlogsublem  26281
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