Theorem tanarg 26584

Description: The basic relation between the "arg" function ℑ ∘ log and the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanarg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem tanarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘0))
2		re0 15075	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℜ‘𝐴) = 0)
4	3	necon3i 2964	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
5		logcl 26533	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7	6	imcld 15118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9		sqcl 14041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		abscl 15201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	sqcld 14067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
15		absrpcl 15211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
16	4, 15	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
17	16	rpne0d 12954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
18		sqne0 14046	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ 0))
20	17, 19	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) ≠ 0)
21	10, 14, 14, 20	divdird 11955	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) + (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))))
22		ax-icn 11085	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
23		mulcl 11110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
24	22, 8, 23	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
25		2z 12523	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
26		efexp 16026	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2))
27	24, 25, 26	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2))
28		efiarg 26572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
29	4, 28	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
30	29	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))↑2) = ((𝐴 / (abs‘𝐴))↑2))
31		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
32	31, 13, 17	sqdivd 14082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴 / (abs‘𝐴))↑2) = ((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)))
33	27, 30, 32	3eqtrrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
34	14, 20	dividd 11915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) = 1)
35	33, 34	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) + (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))
36	21, 35	eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) = (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)))
37	10, 14	addcld 11151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
38	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → i ∈ ℂ)
39		2cn 12220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
40		recl 15033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
43	42	sqcld 14067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
44		mulcl 11110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
45	39, 43, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
46	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
47		imcl 15034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
50	42, 49	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	38, 46, 50	mul12d 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
52	38, 42, 49	mul12d 11342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))
53	52	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
54	51, 53	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
55		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	22, 49, 55	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
57	42, 56	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
58		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
59	39, 57, 58	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
60	54, 59	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℂ)
61	38, 45, 60	adddid 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))) = ((i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))) + (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
62		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ)
63	42, 22, 62	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ)
64	46, 63, 42	mulassd 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴))))
65	42	sqvald 14066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
66	65	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) · i))
67		mulcom 11112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)))
68	43, 22, 67	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) · i) = (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)))
69	42, 42, 38	mul32d 11343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) · i) = (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴)))
70	66, 68, 69	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴)))
71	70	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴)↑2))) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℜ‘𝐴))))
72	46, 38, 43	mul12d 11342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (i · ((ℜ‘𝐴)↑2))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))))
73	64, 71, 72	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))))
74		ixi 11766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
75	74	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · i) · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))
76		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
77	39, 49, 76	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
78	77, 42	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
79	38, 38, 78	mulassd 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · i) · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))))
80	75, 79	eqtr3id 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))))
81	78	mulm1d 11589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))
82	46, 49, 42	mulassd 11155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))))
83	49, 42	mulcomd 11153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
84	83	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
85	82, 84	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
86	85	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))
87	86	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (i · ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)))) = (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
88	80, 81, 87	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴)) = (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
89	73, 88	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) + -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = ((i · (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2))) + (i · (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
90		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · i) ∈ ℂ) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) ∈ ℂ)
91	39, 63, 90	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) ∈ ℂ)
92	91, 42	mulcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
93	92, 78	negsubd 11498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) + -((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
94	61, 89, 93	3eqtr2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
95	49	sqcld 14067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
96	59, 95	subcld 11492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
97	43, 96, 43, 95	add4d 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) + (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
98		replim 15039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
100	99	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2))
101		binom2 14140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
102	42, 56, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)))
103		sqmul 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
104	22, 49, 103	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
105		i2 14125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
106	105	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2) · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2))
107	104, 106	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)))
108	95	mulm1d 11589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
109	107, 108	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℑ‘𝐴))↑2) = -((ℑ‘𝐴)↑2))
110	109	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + ((i · (ℑ‘𝐴))↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)))
111	43, 59	addcld 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) ∈ ℂ)
112	111, 95	negsubd 11498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) + -((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
113	102, 110, 112	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))↑2) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
114	43, 59, 95	addsubassd 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))))
115	100, 113, 114	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))))
116		absvalsq2 15204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
118	115, 117	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) + (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
119	43	2timesd 12384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)))
120	59, 95	npcand 11496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
121	53, 51, 120	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
122	119, 121	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
123	97, 118, 122	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))))
124	123	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (i · ((2 · ((ℜ‘𝐴)↑2)) + (i · (2 · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))))))
125	91, 77, 42	subdird 11594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℜ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐴))))
126	94, 124, 125	3eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)))
127	91, 77	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
128		mulcom 11112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · i) = (i · (ℜ‘𝐴)))
129	42, 22, 128	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) = (i · (ℜ‘𝐴)))
130		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
131		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → ((i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ))
132	48, 131	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ))
133		rimul 12136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) = 0)
134	41, 132, 133	syl6an 684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · (ℜ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴) → (ℜ‘𝐴) = 0))
135	134	necon3d 2953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → (i · (ℜ‘𝐴)) ≠ (ℑ‘𝐴)))
136	130, 135	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (ℜ‘𝐴)) ≠ (ℑ‘𝐴))
137	129, 136	eqnetrd 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) · i) ≠ (ℑ‘𝐴))
138	91, 77	subeq0ad 11502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) = 0 ↔ (2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) = (2 · (ℑ‘𝐴))))
139		2ne0 12249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 2 ≠ 0)
141	63, 49, 46, 140	mulcand 11770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) = (2 · (ℑ‘𝐴)) ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) = (ℑ‘𝐴)))
142	138, 141	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) = (ℑ‘𝐴)))
143	142	necon3bid 2976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) · i) ≠ (ℑ‘𝐴)))
144	137, 143	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) ≠ 0)
145	127, 42, 144, 130	mulne0d 11789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴)) ≠ 0)
146	126, 145	eqnetrd 2999	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ≠ 0)
147		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = 0 → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = (i · 0))
148		it0e0 12364	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 0) = 0
149	147, 148	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) = 0 → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) = 0)
150	149	necon3i 2964	. . . . . 6 ⊢ ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ≠ 0 → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
151	146, 150	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
152	37, 14, 151, 20	divne0d 11933	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
153	36, 152	eqnetrd 2999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) ≠ 0)
154		tanval3 16059	. . 3 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))))
155	8, 153, 154	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))))
156	10, 14, 14, 20	divsubdird 11956	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) − (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))))
157	33, 34	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) / ((abs‘𝐴)↑2)) − (((abs‘𝐴)↑2) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1))
158	156, 157	eqtr2d 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) = (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)))
159	36	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1)) = (i · (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2))))
160	38, 37, 14, 20	divassd 11952	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2)) = (i · (((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2))))
161	159, 160	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1)) = ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2)))
162	158, 161	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) + 1))) = ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))))
163	10, 14	subcld 11492	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
164		mulcl 11110	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ∈ ℂ)
165	22, 37, 164	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) ∈ ℂ)
166	163, 165, 14, 146, 20	divcan7d 11945	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))) = (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)))))
167	115, 117	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) = ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) − (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
168	43, 96, 95	pnpcand 11529	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2))) − (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)))
169	59, 95, 95	subsub4d 11523	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
170	95	2timesd 12384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
171	170	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (((ℑ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
172	46, 63, 49	mulassd 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴))))
173	42, 38, 49	mulassd 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴))))
174	173	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · (((ℜ‘𝐴) · i) · (ℑ‘𝐴))) = (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))))
175	172, 174	eqtr2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)))
176	49	sqvald 14066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
177	176	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
178	46, 49, 49	mulassd 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
179	177, 178	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴)))
180	175, 179	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴))))
181	91, 77, 49	subdird 11594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) · (ℑ‘𝐴)) − ((2 · (ℑ‘𝐴)) · (ℑ‘𝐴))))
182	180, 181	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − (2 · ((ℑ‘𝐴)↑2))) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
183	169, 171, 182	3eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((2 · ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐴)))) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) − ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
184	167, 168, 183	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) = (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)))
185	184, 126	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / (i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2)))) = ((((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) / (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴))))
186	49, 42, 127, 130, 144	divcan5d 11943	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℑ‘𝐴)) / (((2 · ((ℜ‘𝐴) · i)) − (2 · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))
187	166, 185, 186	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((((𝐴↑2) − ((abs‘𝐴)↑2)) / ((abs‘𝐴)↑2)) / ((i · ((𝐴↑2) + ((abs‘𝐴)↑2))) / ((abs‘𝐴)↑2))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))
188	155, 162, 187	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘𝐴) / (ℜ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027  ici 11028   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  2c2 12200  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905  ↑cexp 13984  ℜcre 15020  ℑcim 15021  abscabs 15157  expce 15984  tanctan 15988  logclog 26519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-tan 15994  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521

This theorem is referenced by:  logcnlem4  26610  atanlogsublem  26881